장음표시 사용
61쪽
4l superi0ris ordinis, tunc, qui maior de minore sulti vhi noupotest, mutuetur unitus proxima sequente, quae unitus
valet I respeetu ligurae praecedentis , scilicet primae, quia quaelibet unitas in secundo loco posita valet decein, ut dicebatur supra. Ab illo denario in secundo loco sub forma unitalis accepto et u Duru, o quu sieri . it in principi subtructio, simul iunctis subtrahatur Dura inferior et residuum etc Verbi gratia sint numeri isti: 463348. 10 Cum prima superioris ordinis, sellieet , sit minor quam ,.quae est litia interioris, iiiserior de Superiori subtrali non
potest. Accipiatur igitur i de , quae est ligura proxima sequens, et quia quaelibet unitas in hoc valet 0, haec unitas
valet 10. in loco igitur 6 scribatur , et postea a denari 15 accepto et a 3, a quo debere Subtrahere, subtrahas , et remanent , quae p0nas loco ternarii sic:
r48. Si ero Duru docet, qualiter perandum si, cum figura illa 20 sit unitas, a qua mutuandum St, et patet. Verbi gratia sint isti numeri
848. Cum ergo non possint subtrahi deleas , quae est in ea Secuti do loco et quia illa valet 0, sit btrahas 8 de 3 et remanent , quae repona l0c d et pr0pter figuram sequentem ponas loco , quam in l0co secundo mutuatus es, sic: 405348. 30 Tunc sequitur illa pars Si autem Dura in qua docet, qualiter operandum est, cum in secundo loco uelit , et lacit duo. Primo facit, quod dictum est, et secundo dat causam perali0-
62쪽
nis. Et incipit secunda pars ibi: uti autem, et patet in littera Verbi irratia Sitit iumeri isti
348. 5 uuia tori poteris subtrahere 8 de , inutii accipias desgi ira sequenti. Cum ergo ipsa siti, de sequenti, scilicet de 4 sumus , et residuum, scilicet , 0nas loco , et redeundo ad primant de tia volebas sub vahere fac dem . et hoc facto remanent solumm0d0 10 de illa unitate, quam accepisti in l0c010 tertio Ab illo igitur denari et ara subtrahas , et remanent isto modo
34 8. Deinde dat causam operationis, scilicet quare de s stat 9 ins isto casu, et patet in littera de se. unc sequitur illa pars, Hoc autem fucto et quia usque huc docuit in inni casu subtrahere primam de prima, ideo consequenter innuit, idem esse faciendum in subiraelione secundae a secunda et universaliter in subtiacti0ne cuiuslibet interi0ri a figura sibi Suprap0Sita. 20 nec in aliquo variabitur modus perandi. Sciendum tamen etc'. Ilic removet dubium incidens circa praemissa, et posset ista pars luisse divisa contra principiunt capituli praecedentis, ei incidit illi id dubium sie. Quia dictum est in utraque istarum specierum, scilicet in additione et subtractione, quod incipere
2 debet nus a prima lignu' versus dextram, ideo 'orte lilii tui rei
aliquis, utrum possibili esset perari a sinistra. llic igitur auctor removet dubium dicens, quod tum in additisue quimuin suffractione possumus operum incipientes a sinistru sed commodosius, id est facilius, et, sicut dictum est Si uiuetua probare: P0sset autem haec pars divisa suis Se 0ntra utraque eapitula iam lecta in mediate in qua docet auctor erilicare et
examinare, utrum bene operatum sit. Et primo docet exllini nare sive probare, uirum bene subtraxeris, quantum ad capitulum iam inmediate lectum, et secundo docet examinare, utrum bene
63쪽
addideris, quantum ad capituli im ante istud. Et incipit secunda pars ibi Similiter in additione, et patent paries. Sed ali uinmodum examinandi additionem habes supra. Hic etiam alium modum ab examinandi si bene subtraxisti nec ne, sed primo
hac specie, quae est subtractio. Sit numerus iste, a quo debet seri subtractio 10222, numerus vero subtrahendus ille 432, quo Secundum praedicta in hoc capitulo Sic locabis:
5432. 0 Subtrahas igitur primam a prima scilicet 2 de . et nichil remallet loco ergo Superiori S lelelae ponatur Deinde subtrahas secundam de secunda, scilice 3 de , et quin u0n 0ies, accipera de 2 iu pr0ximo l0c0, et remanet i, quod in tertio l000 0nas l000 2. Sul, trali igitur 3 de 12, quae habes aggre iagata ex 2, a quo debebas subtrahere, et ab eo, quod mutuatum est, et tunc remanet , quae pona loco secundo, scilicet loco . Quo acto Subtrahas tertiani de tertia, scilicet sed lutan0 Potes, erg0, cuia in loco pr0ximo est , accipera de figura proxima pusi , et quia illa est , deleas illam. Sed n0n portet ' il000 eius p0nere , quia nulla figura sequitur. Quia igitur unitas ahit centum respeetu ligurae, a qua debuisti Subtrahere, ideo de illis centum relinquas si faciendo de , quae erit in via, et sic non remanet nisi denarius. Ab hoc igitur denario adiuncta unitati, a qua debuisti Subtrali ere, Stubtraha 4 et re 25 manent , quae p0nas loco Deinde subtrahas quartam de quarta, scilicet 5 de , et remanent , quae p0na loe s deleti, et remanebunt haec figurae 4 90. Si igitur proliare velis, uirum bene subtraxisti, addas figuras, quas subtraxisti, ad figuras hic residuas, et redibunt eaedem gurae, quae primo ponebantur. 30Vel sic hoc plobes, quia, si proba numeri residui et proba numeri, quem subtraxisti, fuerint aequale probae numeri, quo subtraxisti, bene fecisti. Est autem proba, sicut dictum est, residuum abiecto quotiens potest novenario, et erit proba utrobique .
64쪽
Medicitio est eteri In parte ista exequitur de quarta specie, quae est mediatio, et facit tria, quia prim diffinit mediationem, et Secundo, quid requiritur tamquam obiectu ui operationis in liae specie, manifestat, et tertio exequitur de modo operandi. Et incipit secunda pars ibi: In mediutione uiuem , tertia ibi: Si elis igitur. Diffinitio patet utili uiteni liuius Specie aute uisubdit ibi ut ideatur. Est igitur haec species ad inveniendam medietatem cuiuslibet numeri pr0positi utilis. In mediu- 10 tione haec pars etia in patet in litteris. Deinde cum digit Siretis igitur, hic exequitur de numer0, quod hic est operandum, et radii duo. Primo pr090sitis guris docet, ubi est incipiendum perari, et secundo exequi iur de intento, cum dieit Iliuigitur Pars prima patet secunda incipit ibi, cum dicit Illui igitur. Hic exequitur de m0d0 perandi, et facit duo. Primo enim docet mediare primam siguram, si illa suerit signisculiva quia n0n Pontingit tediare nichil et propter hoc oportet, qu0dsigura medianda aliquid significet , et secundo alias ibi Hoc uutein Doto. Iuxta primam partem notandum est, quod omnis
20 figura aut est significativa aut non significativa. Si sit non
signifieativa, non c0ntingit eam mediare, sicut dictum est; si sit significativa, aut est unitas, aut ulla ab unitate; si alia ab
unitate , aut significat numerum parem aut ni parem in omnibus autem mediare contingit aliis a , et ideo de s non dicit 25 mentionem Circa significativas autem sic procedit, quod primo docet mediare guram primam, cum fuerit unitas, et Secundo cum luerit alia ab unitate, cum dicit : Si utem pristis Duru. Pars prima patet in littera, sed ibi: et resolaretur, more astronomorum qui dixist0ne semper sic dividunt in teirrum, in ma minutu, illud totum dicit propter nichil aliud, nisi quod medietas illius 1 primae exierius reservetur, quia, sicut dicit, cum duplare volueris, quod p0st mediationem remanserit, medietas i primae
exterius reservata et duplata et integra acta in locum suum,
65쪽
scilice primum, recipietur, sicut in sine capituli sequentis vide-bi in exstiti plo. unc sequitur illa Mars, iii Iu: docet mediare primam figuram, cum meri alia ab unitate, et lacit lu0, quin prim praemitti quandam divisionem, et patet et secundo membra divisionis prosequitur cum dicit: Si et primo membrun primum, et Secundo secundusii, cum dicit: Si impur. Ubi dicit, quod, si prima figura significet numerum imparem, puta , sum proximum parem contentum sub illo impari scilicet , et medietatena eius, scilicet , pone loco eiuS; et qui umediasti , non , remanet adhue i medianda, et ideo dicit: 10 de unitate autem, quae remanet, suo ut priu8, scilicet quand0 priuia figura erat inta8. ILoc utent fucto docet ni ediare figuras alias a prima, et facit duo. Primo docet mediare secundam, et secundo innuit eundem modum habendum esse iumediando tua Scunt illi alia S. Et incit ut seclutila I ar ili fine capituli, cum dicit: M sic ope 'undum est Circa primam partem notandum est, iiud secunda aut si , aut alia. Si alia, aut est par aut impar mane autem divisionem innuit audiorcon preliendens sub unier in pari. Facit igitur auctor duo, quia primo docet, qualiter operandum sit, si secunda fuerit , 20 et patet et secundo docet, qualiter sit faciendum, si sit figura significativa cuui dicit: Si t , nisicutiva, et facit duo. Priuio enim docet, quid faciendum sit, cum secunda fuerit par, et patet et secund0, si impar ubi Si my r adhue in duo, quia primo docet tediare secundani, quando aut eam in loco a primo fuerit gura significativa, et secundo d0cet mediare secundam, quando aui eam fuerit in loco primo . Secunda ibi es autem yfra Ad intellectum parti priuine Sit m ne rus mediandus ille 74. mediabis secunda ui sic accipe numerui a parem pr0ximum sub , ei erit 6, cuius sciliceim, medietatem 30 scilicet , 0nas loco I et quia quaelibet imitas in secund0l0cs, valet 0, , quae remanet, valet Pro medietate igitur
eius addas 5 ad figuram primam, scilicet ad 4 si 839. Deinde eum dicit: Si autem o ru, docet, qualiter medianda est secunda,
66쪽
ctim ante eam et Deo primo uerit euia pro tedietate , quae remanet, ponendus est quinarius, scilicet , loco in primo loco. iam dictis constat etiam , quid faciendum sit, si l fuerit in sequii do loco si uia ea deleta loco eius scribatur cysra, et 5 addatur ligurae primae e modo, quo dictum est. Deinde cum didit: sit si operundum, in parte ista innui idem esse faciendum in omnibus aliis guris, sicut inodo factum est circa Secundam, et patet tu lia specie utaris fio exeuiplo ad
omnes casus Sit iste numerus mediandus 1032 l. incipei igitur a prima, et quia illa est unitas, illa deleta loco eius scribatur , et signum dimidii tale scilii et O ponatur extra in tabula; et tunc erunt illae figurae 10320 Deinde media secundam quae igitur quia par est, loco eius deletae ponatur sic bl0310 Deinde me ilia iuuain, quae est impar, Scii licet Medietatem igitur de in scilicet , 0co eius ponas, et 5 addas ad fguram praecedentem sic: 10is Deinde vadas ad quartam. Quia igitul liae estis, praetermittatur intacta. Quo facto media penultimam, et quia haec est unitas, loco eius p0nas , et o ponas ante loco praecedentis isto 2 modo 505 160 Deinde media ultimam quae quia est impar, scilicet , loco eius ponas medietate ni de , cilicet 2 et pro- unitate, scilicet i, quae remanet, addas ad figuram ante, scilicet ubi est , 5; et erit residuum totius istud: 255 160 et unum dimidium. Nuod si probare veli8, utrum bene mediasti, SumaS 25 probam residui, et est i cum dimidio. Quod si duplaxeris habebis tria, quae erat proba numeri primi positi. Sed nota, qu0d, Si aliqua proba numeri residui duplata excedlit , hi stetis residuum erit proba numeri i0talis primo prop0siti. Attamen n0n semper erit pr0ba residui medietas probae totalis, liceta residuum sit medietas totalis ut in ioc numero 23 i5. 'roba enim numeri totalis est , pr0ba autem residui lacla viediati0ne
est cum dimidio quo duplai erunt i5, qu0rum pr0ba est .
67쪽
Duplatio est numeri propositi ete'. Postqi uim fictor expedivit se de ii altior speciebris huius artis, in ista parte determinat de duplatione, quae est quinta species huius artis, et sadii tria. Primo enim dis sinit, quid sit duplalii feci indo Subiungit ea, quae in ii ac specie uiri necessaria; et tertio tradit modum operandi. Et incipit Secunda pars statim post eum dieit: In duplutione te' et tertia ibi Si telis igitur. Prima pars patet, ni Si quoi dicit ad se PSHnι. prol isti dili r se liti in huius specie ad additi0nem, ubi indisserenter quilibet cuilibet 10 aggregatur. Omnis enim duplatio additi quaedam est; et non convertitur. Si igitur aliquiis aliquain uin mana, ut 999 libras, habet, et eandem accepturus est a debitore, ad sciendum summam totius valet haec species. Deinde cum dicit: In duplatione te' subdit, suae ad hanc speciem sunt nece Sesalia, et iosacit duo. Primo enim dicit, quod unu ordo si rui in est hic necessarius, et patet secimo docet, ubi incipiendum est operari, ibi cum dicit: Ut inchoandum est. Et hae in duo primo enim docet, ubi in hac Specie et universaliter in uinibus sequentibus sit incipiendum perari; et secundi assigna caii 20sam specialiter, quare in hac specie incipiendum est a sinistra, id est ab niti ima sigura, et incipit secunda pars ibi, cum dicit:
Et rutis huius est. Adhuc primo adit du0, quia primo facit,
quod dictum est et secundo ad facili0rem dict0rum retenti0nem subdit quos da in vel Sus ibi: Subtram aut addis a deaetris ut omediabis etc', et patet prima pars. Sequiturὶ Subtruhis ele'. Si addideris vel si ibtraxeris numerum numero vel numerum a
piendo a dextris Sed dupla dinide multiplica a uenu, id esta sinistra scilice incipiend0 Extrahe rudicen duplum, id est 30 in numeris tam quadratis quam cubicis, a sui te sinistra scilicet incipiendo 'unc sequitur alia pars ibi sit ratio huius est, in qua assignat causam specialiter, quare a sinistra est in istu
68쪽
specie incipiendum; et lacit duo. ' o niui facit, quod dictum est, et Secundo innuit possibilitatem perandi incipienti a figura prima versus dextram; et incipit secunda pars ibi sit licet iliquo Exem l)lum primae partis ion potest hi : dari antequam dicitur ita odiis operandi in sine igitur stendendunest, quom0d incipiendo a prima figura c0niingit aliquando idem bis duplare et similiter quomodo possibile sit incipere a primo ligura praeter li0c, quod idem dupletur bis. Deinde cum dicit Si selis igitur, in parte ista tradit modum perandi, et actii duo. Primo enim facit hoc, et secundo dat modum examinandi operationen , si recte iactum est, cum adicit in sine Probat Ouutem huius est. Adhuc prima pars dividitur, quia primo d0cet duplare ultimam, secundo penultimam, tertio innuit, hoc idem eSSe acie Iuliani in innibus aliis. Secunila pars incipit illi a Boo uoto tertia ibi Miletu modo operandum est. Prima pars patet, quia, quid ex duplati0ne ultimae provenit, per innia inciendum est sicut in additione Deinde cum dicit Hoc facto,d0cet duplare penultimam, et facit duo. Primo enim innuit, quod eodem modo aciendum est cum penultima, si eut fit cum 2 ultima, et thoc, cum penultima suerit significativa; et secundos illi iunitit, quid laciendum est, cum illa penultima suerit , idium dicit: Si ero fuerit e ru paries patent. Tunc cum dicit Eodem modo, innuit, idem esse laetendum in omnibus aliis, sicut modo actum est culi uitiina et penultinui. Deinde cum 25 dicit Probatio autem huius, dat modum examinandi operati0nem suam in hoc capitulo et in praecedenti proximo, et patet.
Ε, iii illitur, quod num emis lupiandus sit iste: 255 160 et nun o.
incipe igitur a sinistra, id est ab ultima sigurarum, scilicet a 2; quibus dupla iis proveniunt , quae ponas Ioe 2 sie: 455 160 30 Deinde dupla penultimam, sellicet , et proveniunt 10. Pone igitur loco , et i addas ad 4 sic: 505l60 Deinde duples
antepenultimam, scilicet , et proveniunt iterum s0. Pone igitur loco , et articulum transferas ponendo 1 locum sic ol Ultimo Deinde dupla , et proveniunt , quae 90na l0co I.
69쪽
49 Deinde dupla . et provenieni 2 2 igitur ponas l0co , et
addas ad 2 et erunt 3 et erit iste numerus sequens 10320 θ. Deinde tipla, quod hii buisti hiltra integra, b, et di pitim eius. scilicet unum integrum, p0nas loco in primo loco, et stabunt sigurae sic: 10321. Iste est numerus, quem in praecedenti 5 RItitulo lites liasti. Quod si probare velis, an bene seceris, absque e0, qu0d tu probes unam speciem per aliam, videas, Si proba numeri iam duplati, id est, qui provenit post dupla li0nem faciam, uerit dupla ad probam numeri duplandi, quem scilicet primo posuisti. Si Sic tunc bene actum est; et patet in pr0- posit0, qu0 pr0ba numeri, qui provenit p0st peractam duplationem 3 est, proba autem duplandi, scilicet numeri primo pr0p08iti est i cum , eto'.
Multipliniatis miseri ete'. In I, arte ista delerminat lo auct0r de exta specie liuius arti8, scilicet de multiplicatione. Universaliter potuit dici, quod hie determinat de multiplieali0ue et divisione simul. Et primo dicit hoc, et secundo ut 0dum examinandi perationem in utraque Specie, et lio laci in hie capituli sequentis, eum dicit Cum itaque. Adhuc primo deter es mina de multiplicatione, secund de divisione, eum dicit in proximo capitulo Diniri est et '. In hoc capitulo prinio lictor sacit quinque. Primo enim diffinit multiplicati0nem secund0 manifestat, quot ordines figurarum sunt hic necessarii et tertio
dat sex regulas tum speciem rectificantes illa arto docet opeiari 2 oet quinto subdit quoddam notabile vel aut ehun hic observandam. Et incipit secunda pars ibi: In multiplicatione te' tertia ibi Sunt autem eae quarta ibi Si elis Uitur; quinta ibi: Scim ι uurem, in fine capituli. Dicit ergo primo, qu0 multiplicatio est propositis duobus numeris insentio tertii vineri, 30
qui te'. Vult dicere, quod, si prop0nantur dii numeri, quorum unum veli multiplicare per alterutia, tunc multiplicati est inventi cuiusdam numeri tertii, qui numerus tertius totiens et
70쪽
tot vicibus continet alterum illor una pr090 Sitor usu, quot unilales sunt in reliquo. Verbi gratia: si velis multiplicare 5 per , proveniunt 20, qui scilicet numerus vigenarius tertius est a duobus propositis et 8 te totiens continet , quot uuitates sunt in , et etiam t0tiens continet , quot unitates sunt in . Quater enim quinque continet 20 vel quinquies quater, qu0didem est Iuni plicare igitur numeriana per alium est invenirequendam numerum tertium, qui totiens contine alterum ill0rum, quot unitates sunt in reliquo. Est autem haec species maximei utilis quia Sto, qu0d rex aliqui deputat aliquo in sed cuiliis stimilitum, ut 666, quos mittat in expeditionem, magnam Summam pecuniae, via 99s librarum. Ἀ sciendum igitur, quantam summam in universo militibus deputavit, valet line species luc tradita. Tunc sequitur illa pars In multiplicatione etc ui qua manifestat, quot 0rdines figurarum in hac specie sunt necessarii, et facit duo. Primo enim lacii, quod dictum est, et Secund per ioduni notabilis dat quandali cautelam hic observandam, ei incipii pars secunda ibi Notunduin etiam eieri Circa primum duo facit, quia primo manifestat, quod duo nu-20 meri in hae specie Sunt ite cessarii, et secundo addit tertium
quendam numerum, qui provenit ex du0bus pr0p08ilis, cum dicit Potest otium tertius numerus. Adhuc circa primam pariem facit duo, quia prim 1 acit quod uaodo dictum est, et secundo subiungit i0dum qu numero istos den0miuabimus, ibi Nu-25 merus multiquiorens. Circa primam partem est sciendum, quod numerus multiplicandus es ille, qui debet multiplicari numerus multiplicans St, per quem alius est uiltiplicatulus. Deinde eum dieit Numerus multiplicans, subiungit modum, quo numeros istos den0minabimus, et patet. Verbi gratia si velimus 30 uiltiplicare 6 per . dicemus nutiplicando Sic: quater sex. Et cum dicit potest etiam te addit quendam numerum tertium, qui resultat ex duobus, quorum unus est multiplicans et alter multiplicandus, et patet. Deinde cum didit: Notandum etia in per modum n0tabilis dat quandam cautelam hic observandam,