장음표시 사용
91쪽
ssolidius in genere, qui provenit ex ductu numeri in numerum bis absolui l0quendo, n0n contrahendo ad eundem vel ad alium, et secui ut illa a Si specialiter des eiulei id siti, illo nomiit emembrum praedicium subdividit ibi Sed numerus ete'. Adhuc
primo dia facit, quia prim0 facit, qu0d dictum est, et secundo
dat rationem impositionis nominis i ii iis . luod si solidus qui est uni erus ille absolutus, et incipit secunda pars ibi Et diritur solidus Dicitur igitur primo, quod, si numerus duciturbis in numerum c0nstituet solidum quia numerus solidus est, qui pr0 venit ex duplici ductu nutrieri in una erutra Scilicet 0n 10c0ntrahendo ad eundem vel ad alium sic enim haberetur species sub solido. Et dieitur solidus haec pars plana est. Sed numerus potest dupliciter bis etc' specialiter descendendo sub solido membra hi subdit constituendo species sub 80lido. Primo ergo subdivisionem illam ponit, et secundo membra di 15 videi uia pertractat, cum dicit: Si igitur itinerus bis ducatur. Prima pars est laua, sed secunda dividitur in quatuor parte8. Primo enim pertractat primum membrum, ecunil secundum, cum dicit: Si et ero ali pus et tertio quasi corollari per comparationen ad radicem quadratam dicit, quae sit radix cubica 20 sive numeri cubici, cum dicit: Eae praedistis euum putet ei quarto removet dubium ibi, cum dicit: Cum igitur ex duetui ita i8. 'rim adlluc pertractando prinnula leuibruulis, titieat, quid sit numerus cubicus, et secundo dat rationem impositi0nis nominis eius, cum dicit: sit dieitur ubicus. Dicitur igitur a
prim0, UOLl, Si tumeria i tricatur bis in se vel semel in uani
quadratum, quod idem est, tunc sit numerus cubicus, et dicitur cubicus solidus, quia est species solidi. In se bis verbi gratia
xeniunt 2 utrobique Cum enim dicitur ter tria, inbentur 30 quod est quadratum de tribus, et cum replicatur ultimo ter, illa replicatio extenditur ad totum, qu0d praecessit, scilicet ad ter tria vel ad , et ideo iden est, ducere numerum, quemcumque velis, in suum quadratum vel bis in se ipsum. Est
92쪽
uutem cubire corpus quoddam eae hulem supersicida, sicut 0- est ymaginari de taxillo eue veris estio, in tio scilicet est pr0sunditas, l0ugittulo et latitudo eiusdem luanti talis et distentionis. Sic numerus iste tres habet numer0 ipsum dimetientes. Esto erg0, quod sit linea trium pedum sive punctorum. Ducantur
ergo iste tria tilicta iii se, et iunt b, qui St Uuler ut, ill R-draius mensuratus numero lineari, scilicet , bis sumpto, et
tali quasi linea trium pedum fluent ad tantam distantiam inurit L siluralia est eius siligillulo, eon Stituitur quae dana superficies
10 more mal liematicorum loquendo. Deinde in eadem novenario ducatur eadem linea, ac si in deorsum uens e cum totam superficiem hanc trahens ad tantam distantiam descenderet. quanta est eiu8dem long itudo sive t0tius superliciei latitudo, et
sic quasi qu0ddam corpus c0nstitutum est, quod sic factum 1 habebit in qualibet sex superficierum 9 et in quolibet duodecim laterum 3 puncta, et ab angulo qu0 libet in angulum oppositum in quamcumque partem habebit etiam tria puncta, et ideo merit hic numerus cubicus est vocatus Si ero liquis nim
20 landus sit numerus, qui ex opposito distinguitur contra numerum cubicum et prim facit hoc secundo comparat numerum cubicum ad solidum, cum dieit inde patet, quod omnis numerum cubicu8 Primo ergo dicit, quod, si numerus bis ducatur Di in se, sed in alium est numerus 80lidus n0n cubicus, et ut 25 legatur sub uno dicit secundo comparando numerum cubicumad 80lidum, qu0d omni numerus cubicus est Solidia et non e converso et haec est comparati specie ad genus, sicut
Superius erat de quadrato et superficiali praedictis uitur
putet per compalationen ad radicunt numeri quadrati ostendit, a quae est radix numeri cubici. Iliade dieii, qu0d, sicut ex praedictis patet, idem numerus est cubie et quadrati radix Π0ce piae dicti patet, cuin idem est per dicta prius ducere numerum in se bis vel semel in suum quadratum; et subdit, quod tamen n0 idem cubicus et quadratus sunt unius et eius-
93쪽
dem radicis. Verbi gratia: iste numerus 729 est quadratus et cubicus, sed non idem numerus est eius radix, ut est cubicus, et ut est quadratus . um o su est quadratus, radix eius est 27, ut autem est cubicus, radix eius est Et similiter iste numerus, scilice 4096 est cubicus et quadratus, non tamen idem
ii uua erus est ei it radix, ut Si quadraul S i l l l est citi ici S.
Immo, ut est quadratus est eius radix 4 et ut est cubicus, est eius radix 0. Et subdit, qu0d eliam patet, quod omnisti umerii est radix quadrati et cubici; luoi patet ex hoc, lilia. cum numerus non ta in urSum, qu0m0d quemcumque u 10 merum convenit ducere semel in se, convenit eundem ducere in se bis. Sed n0n tamen omnis numerus est quadratus vel cubicus, quia supersicialium quidam est quadratus et quidam superficialis non quadratus item solid0rum quidam est ubicus, quidam solidus n0n cubicus, sicut pale per praedicta. Cum 5Mnti r eae ductu removet tulit luia, qu0d Sic ex dicti ol lum babel. Dixit enim, qu0do est primus numerus quadratus, et radix eius est , ex quo sequitur, quod est prima radix et miniuia. Ex isto dubitaret ali liii S, trulli inita fit iumeruS, cum non possit esse alicuius numeri radix, quia 2 est radix 20 minima. Ideo introducit auctor partem istam, et stat summa peti tis in hoc quod utiliis Iton est aliqtiis uni erus il actu, quia numerus est multitudo, sed potentialiter est unitas omnis numerus, quia est ut materia. Per replieationem enim unitatis 0mnis numeri quantitas efficitur Notundum etium subdit aquae dant notabilia, et unt tria. Primum est hic; stolli uisun ibi: Inter duos cubicos et tertium per modum corollarii ponitur ibi: Cum igitur ultra. Primum est, quod inter du0s quadrat08D HI1BIOS proXim DS est uniciam medium prop0rti0nale, qu0d scilicet proxeni ex ductu radicis unius quadrati in radicem assalterius. Verbi gratia 4 est numerus quadratus, cuius radix est 2 sive binarius, et alter uine rus luadratu In Oximus Si , cuius radix est ternarius. Inter est ui eum medium pr0p0rti0nale, scilicet , qu0 provenit ex ductu 2 in ternarium,
94쪽
quia bis tria sunt , et oeatur illud inedium proportionale, quia, quae est proporii quadrati maioris, scilicet , ad illud medium, eadem est pr0porti eiusdem medii ad minorem quadratu in utrobi siue enim est proporti sexqui altera. Sicut enim continet 6 et eius medietatem, sic continet 4 et eius medietatem. Et nota quod illi quadrati sunt proximi, inter
quo ruin radice noti est medium Vel iuni erus ni edin S. Propter
hoc igitur novenarius et quaternarius sunt quadrati proximi, quia inter radicem unius et radicem alterius non est medium, scilicet 10 inter 2 et . Et dicit auctor significanter, quod inter du08 quadrat08 proxim08 est unicum medium prop0rtionale, quia, Si aliquando sumantur dii quadrati non proximi, sicut sunt
primus quadratus et 49, constat, quod isti non sunt quadrati pr0ximi, quia radix primi est 2, secundi autem P et inter eosi est medium, nam plura media, scilicei , , , si et ide0 inter istos duos quadrat0s sunt plura media proportionalia, scilicet 42, 36, 30, 25, 20, 6, 2, 9 et . Sicut enim maior
quadratus, scilicet 49, continet 2 et 0rum extam partem, sic continet 3 et eorum sextam partem. Item sic ut 3620 continet 30 et eoruni iluintani lilir leni, sic 30 conlinet 25et 0rum quintam partem. Adhuc icut 2 conlinet 20 et eorum quartam partem, sic contine i et eorum quartam partem. Sicut insuper i continet 12 et eorum tertiam partem, sic continet ' et 0runt tertiam partem. Ultimo 2 sicut 9 0ntinet 6 et eorum medietatem, sic contineto et medietatem de , quae quatuor sunt minor liuidratus. Sic ergo paret, quod non 8 nece88 Semper inter duo quadrato Stanium unum esse medium proportionale, et ideo addit auctor proximos. Deinde cum dicit Intem duos ei cos, ponit notabile 30 Secundum et St, quod inter duo numerus cubicos proximos est duplex medium proportionale, scilicet maius medium et minus. Verbi gratia primus cubicus est , secundus proximus
est 27 radix primi est 2 r: illi se euntii A. et illi ii sunt proximi numeri, quia inter eorum radice non est medium. Inter ist0s
95쪽
cubicos est duplex medium pr0portionale, ei licet 18 et 2. Sicut enim 27 semel contineto et medietatem e0rum, si 18
continet 12 et iii edietatem eorum, et consimiliter 2 continet
et medietatem eorum, ita quod omniquaque est proportio sexquialtera et proveniunt haec sic, sicut dicit auct0r, quod illicendo radiceni nutioris cubici in quadratium minoris tibici provenit minus medium sic scilicet, quia radix maioris cubicierat , et quadratum minoris cubici erat , ducendo in erunt 2 quod est minus medium pr0portionale . ducendo iterum radicena minori cubici, cilicet 2, in qua liatuna maioris 10 cubici, scilicet in , exibit maius medium, scilicet 18. t 0rdines istos mimeros in tali gura:
et 0 natur in spatio, ut videtur. Et Sciendum, qu0d, in quacumque proportione sunt radices ad invicem, in eadem sunt media ista, quod, quae est pr0 portio radicis maiori ad uin0rem, eadem est proportio maioris cubici ad maius medium, et maioris medii ad minus, et iniu0ris medii ad minorem cubicum. 20Hoc generaliter est verum in omnibus, et potest illud etiam ostendi in aliis unieris. Sit ni inor radix 4 et maior . Ducatur 4 in se semel, et exibunt 16, suum quadratum, cuius cubicus est 64. Deinde ducatur maior radix, scilicet , in se
Semel, et exibunt 25, suum quadratiun cuius cubicus est 125. 25
Duc ergo unam radicem in aliam, et exibunt 20, medium proportionale inter duas quadratos numeros, scilicet inter 25 et
lai. istin de si sunt tu radix minoris cubici, scilicet . in quadratum maiori cubici, scilicet in b, et exibit medium maius prop0rli0nale, scilicet 80. Si ergo velis scire, in qua propor 30tione se habet maior quadratus ad medium suum, et matur cubicias ad maius medium etc', videas, in qua prop0rtione Sehabet radix maior ad minorem; et constat, qu0 5 se habet ad
96쪽
4, in prop0rti0ne exqui quarta, iii 5 0ntinet 4 et quartam partem Drui a. 0dem m0d se labet maior quadratu ad medium pr0p0rti0nale, et idem medium proporti0nale ad minorem quadratum, scilicet 2 ad 2 et 20 ad 16, quia 2 continet 20 5 et qualia in I arteria de 20, et similiter 20 continet 6 et tuartam partem de s 5. Consimiliter mali, cubidus continet 00 et quartam partem eorum, quae est 25, et consimiliter 100 eontinet 80 et quartam partiti de 80, quae sunt 20 et similiter 80 0ntinet 04 et quartam partem eorum, scilicet 6. Sic ergos quae est proportio maioris radicis ad mi i0rem radicem, eadem est prop0rtio mai0ris quadrati ad medium unicum, et eiusdem medii ad minorem quadrataim et similiter eadem S pr090rtiumaioris ubi ei ad maius medium, et maioris ad minus, et minoris ad minorem cubicum. Insuper quae est proporti minorisi medii proportionalis ad ni edi uni inter quadratos, eadem est eiusdem medii inter quadratos ad mai0rem radicem; et quae est pr0 portio maioris medii ad medium inter quadrat0s, eadem est prop0rtio eiusdem medii ut ' qua irati S ad ilii Dreni radicem. item quae est prop0rti maioris medii ad mai0rem quadratum, 2 eadem si medii quadrat0rum ad maiorem radicem, et quae est proportio minoris medii ad minorem quadratum, eadem est pro-p0rti medii quadratorum ad min0rem, radicem. I Stud verun est universaliter in milibus unieris sine dubi0. Cum igitur illis ete' hic est notabile tertium per modum orollarii, in eo quo incit auctor tria. I rim enim dat limiunn uua erum, e-
cunil in generali ostendit, quid sit limes, et tertio in speciali ostendit, quid sit limes unusquisque Dicit primo, quod
limites non sunt nisi novem, quia ultra fuΠΙΠ1uill uuler Urum
solid0riim in hac arte numerat0ria non proceditur generaliast ista in sine partis videbuntur. Et tunc cum dicit Est enim
litues, diuuiit limite ui in generali dicen S, Iuod limes Si continua rdinatio numer0rum contentorum terminis extremi S terminis dico eiusdem naturae existentibus. Huiusm0di enim diffiniti iam apparebit in sine partis. Deinde cum dicit: Un de
97쪽
primus, notissica in speciali, quis sit imus quisque eorum novem iniit ulli. ainies primus. Dicit is ritur, quod limes iiii tu Sest continua progressio novem digitorum, verbi gratia: l. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. Secundus limes. Secundus ver est continua ordinatio novem articul0rum prineipalium, qui vocantur denarii, Verbi gratia: 10. 20.30.40 50. 60. 70. 80. 90. I ertius limes. Et fertius limes est continua progressio sive rili uati novem centenariorum, verbi gratia i 00.200.300.400. 500. 600. 700. 800. 900. Quartus inaes Quartus lime est novem millenari0runt, ut
1000. 2000 3000.4000. 5000. 6000 7000. 8000 9000. Et subdit, is quod etiam tres limites resultant in compositis per appositionem digit 0rtun super quemlit et istorum Scilicet limitum. Quintus limes. Verbi gratiar apponantur digitiminues, qui sunt in prim0 limite, super denarios, qui sunt in secundo limite, et se quin
ad 9 vel 1. 32. te ' et sic usque ad 39. Et sic apponendo 0mnes digit0s super i 0, et super 20, et super 30 usque ad 90 sit si limes quintus, ita qu0d mai0 numerus in hoc limite est 3. Sextus limes opp0nantur ergo omnes digiti super 0mnes centenari0s, qui sunt in terti limite, et siet sextus limes 20 Verbi gratia: 101. 02. 03, usque ad 109 vel 20 l. 202 203,
usque ad 209; et sic apponendo nute digit08 Super lime Scentenarios, scilicet super i 00, super 200, super 300, et i a usque ad 00 sit iste limes sextus, ita quod maior numerus in hoc linii te est sui Septimus limes App0nant tu igitur 25 omnes digiti super omnes millenarios, qui sunt in quarto limite, et et limes septimus. Verbi gratia: 100s. 1002. 003, et sic usque ad 009 vel si 200 l. 2002.200 usque ad 2009; et sic app0nendo omnes digit0s superinane millenari0s, scilicet superl000 2000 3000 usque ad 9000 fit iste limes septimus, ita a iquod mai0r numerus in hoc limile est 9009. Sed addit auct0r, quod est Si uer alteri praeportatur, resultabit aliquis de histribus limitibus. Verbi gratia: 10. 1ll. ii 2.113. usque ad lis; vel 20. 121 122 123 usque ad 29; vel 30 131. 132 1 3.
98쪽
usque ad G 39 piae potui id sic a lusistiti de lenariis cum omnibus digitis ante centum; et eodem modo praeponendo eosdem ante ducenta vel trecenta eic'; et consimiliter praepolle Itil centenari iiii ante in illeliari0s cum nivibus digitis, ut
il0i. 102. 1103, vel 210l 2102 et consilia iliter etiana prae-p0nendo denari0s cum omnibus digitis ante millenarios ei centenarios, ut iis. 1112, vel 21li 2112, vel 121 1. 212 etc , quilibet istorum ad aliquem trium ali 0rum lini illa ui reducitur, i a quod, si digiti praep0nantur denariis, ad quintum redui euntur, si digiti praeponantur denariis praecedente centenari0runt aliquo ad Sextum reducuntur, Sed si digiti pr; u lionantur centenariis milienari0rum quo eumque praecedente, ad Septimum limitem reducuntur. Ita credo auctorem esse intelligendum. Et tunc, quantula ad clavum et non iura linule in dicit nuctor, 1 quod limes penultimus et ultimus, id est clavus et nonus, resultant per replicationem termini sinalis supra Se qu0cumque ali praecedente ex replicolione, dico, ni illenarii supra se Semel per m0dum quadrat0runt, vel bis per moduli S0lid 0rum.
Limes di avus. Auct0 vult dicere, quod limes octavus sit, 20 cum supra millenariorum aliquem millenarius replicatur. Verbi gratia mille ille sies, duo nailia ni illestes, tria mi illi mille Sies, quatuor milia millestes, et sic usque ad novem milia mille sies, vel millesie novem milia; et sit idem limes praep0neudo isti replicati0ni piem cumque de aliis linii l. il us, Scilicet die endo 2 millesie centies decies mille, millesie centies decies duo milia, millesie centies decies tria milia et sic usque ad millestes
genties decies novent ii illi: i: vel in illesie ducenties xi e sies
mille, vel duo milia, vel tria milia. Sicque eruid et replicand semper millenarium semel super quemcumque miliena- a riorum qu0 unique tuae cedente sit ille clavus limes. Non ustimes. Nouus ver limes sit ser modo consimili. Non enim dissert, nisi quia in hoc non limite sit replicati millenarii bis Super quemcumque millenarium, etiam quocumque praecedente. erbi gratia millesie mille milia vel millesie mille misse Sies,
99쪽
quod idem est, vel millesie dii milia mille sies, millestes tria milia millestes, vel millesie decem milia mille sies, vel millestes XX milia si ii ipsi es vel millesie XXX inlia in ille sies vel millesie ceruum milia mille sies, vel millesie ducenta milia mille- sies, vel millestes recenia milia mille sies, vel millesie centum et decem milia millestes, millesie ducenia et XX milia millesie seteri 'Io modo ritelligi debet linies iste nonus. Ex dictis patent duo prius binissa et supp0sita. Quia prim0 accepta est hae continua valere ibi : Cum ultra inmmu mineror ι solidornm non ut ii hac arte processit 8, ideo tantum novem i0-nt milites. Iluc nune patet, quia tot debent esse limites, qu0 in numeris p0ssibile est seri pr0gressus continua apprehensione itillic iIuitione stantis Sed nox eiIi lii nituni processit
eundo usque ad replicationem millenarii supra quemcumque bis stat apprehensio maginationis, ei 0n lira iij, sicut patet in 15 numeris iam expliscatis ad unum limitem adductis, vim vix ymaginatio apprehelidat illud et g etcri Vel sic stendit, quod completiva et ultima dimensionum est dimensi trina et ideo
cum numerus solidus dimensione triplici mensuretur, lira ipsum etiam u0n 0uvenit trali Seendere. de c0ncludere p08Su 20 mus, qu0d, cum limes n0nus est in genere numerorium solidorum, iunium novem erunt limites et non plures. Iterum secundo Supp0Si tum est, Iuod lim os vi conti su ordinatio numero mimeontentorum terminis extremis eiusdem nutu illud nunc manifestum est inducendo ex omnibus limitibus. Extrema enim 25
prini lina iti sunt eiusdem natiuae quia trianis Ille exirennune si digitus, scilicet i similiter secundi utraque sunt artieuli principales, scilicet is et 90 exirema tertii sunt enlenarii, scilicet 100 el 900, etc'.
Jradiem numeri quadrati etc'. Ista littera continet unam partem et continuatur sic. Superius auct0 notistest ii, qui sit numerus quadratus, et quae eius radix item in secund0, quis
100쪽
Sit numerus lilii Is et illi ast iii radix Consequenter laicnotilicat tertium propositorum, scilicet quid sit radicem extrahere, ei pale pars illa. Si velis igitur praemissis praeambulis ad intentiam neeessariis exequitur de intenio, et primo deter minat de extracti0ne radicis in quadratis, secundo in cubici8. Secundum ibi Sequitur de rudicum aetructioi e Circa primum tria facit. Primo enim docet, in quo numero est incipiendum operari in extracti0ne radici de unier quadrato, ut ecula lodocet, qualiter sit operandum, et tertio dat modum rectistestudis suam operationem. Secunda ibi Sub tutini igitur Duru tertia ibi: Quo uot aut I 'ar prima ni anilesia est de se. Sequitur illa pars. Sub ultima igitur, in qua docet, qualiter est perandum. Circa istam partem n0landum est, quod haec species omittetur in ili et ili 0lle digitorum quorundam, et ip8015 rum in se et in Sua duplata ductione, et in pr0ducti a nuuier0 proposito subiractione. de auct0r primo docet, quid agendum sit, quantum ud prodessum primum, Scilicet quantum ad iuventionem digiti uinu Secundo, quantum ad digitos alios cum dicit: Quo uolo. Primo dicit, quod sub ultima figura in impari 20 l0co posita incipiendum est perari, ei inveniendus est ibi qui ilani digitus, qui ductus in se quadrato iud0, scilicet Semel, deleat totum suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinius potest. Vult dicere, qu0d illud, quod ex ductu inventi digitis in se semel pii stilit, detrahi debet l, eo quod ex directo ei 2 supraponitur nota, quod ilgura illa, quae directe alteri figurae supraponitur, cum omnibus versus sinistram positis dieitur figurae suprapositum. Et subdit uetur qu0 tali digito invento et ducto in se et a Superiori Sto iodo Subtracl0, duplandus est iste digitus, scilice primo iuventus, et duplatum 30 sive duplum eius ponendum est sub proxima figura versus dextraria, et eius Suli duplum, quod est digitus prim inventus, debet poni sub illo duplato. Et nota, quod, si duplum h0c fuerit articulus vel numerus compositus, tunc l0co digiti primo inventi debet p0ni articulus et digitus eu Ssra De memorato,