장음표시 사용
71쪽
biei est, tuod, cum numerus aliquis debet ei alium multiplicari, quo clinaque illor uni velit, poterit ilis uti pro Miltiplicalido et similiter quocumque pro multiplicante, qui provenit idem ducendo in , et 5 in Deinde cum dicti sunt autem eae regulae, assignat sex regula hanc speciem rectificantes, et iuxta hoc ista pars habet dividi in sex partes, ita quod primo dat regulam ducendi digitum in digitum secund0 digitum in articulum tertio digitum in numerum compositum; quarto articulum in articulum quinto articulum in nullierum comp0Situm; sext numerum compositum in numerum compositum. Nec 10 phiribus modis est possibile numerum duci in numerum sive numerum naultiplicare per munerum et patent partes. Sed luia semper qualibet figura utimur, ac si per e poneretur, ideo sola prima regula est de esse huius speciei. Sed aliae sunt quasi corrotaria luaedam ex prima regula Sequentia sicut videbitur. 15Quapropter quinque regula ultima reservabo ad finem capituli.
Quia igitur tota vis capituli iacet in prima regula, de diligenter est notanda. Dicit igitur sic: urendo digitus multiplicat dio
tum subtrahendus es etc id est, si velit aliquis uiltiplicare unum digitum per alium, quorum unus est maior alio, tunc 20xidendum est, per quot unitates maior digitus distet a decem inclusive totiens debet ni inor subtratu ali illo articulo, qui ab ipso minore digito denominatur. Verbi gratia si velis multiplicare per , vide, per quot unitates Dii decem distet inclusive et On Slal fluos lier siti; is unitates erit totiens, id est 25bis, subtrahas 4 de 40. Cum igitur bis quater sunt , si subtrahas de eo, remanent 2 qu0d est utentum, quia quater 0et sunt 32. Exponas litteram sic: Quando digitus multiplicat digitum, id est, quando digitum portet multiplicare digitum, altero semper mai0re existeni et alter minore, subfruisendus adest minor digitus ab urticulo suo denominutionis, id est ab articulo, qui denominatur ab illo digito, per differentium maioris digiti ad denurium, id est totiens vel io vicibus, quo per unit; ite maior digitus disia a denario, denuri simul cinii putato,
72쪽
id est vel iriclusive, vel etiana anni unetallulo denariun . Subditidem exemplium, quod iam induxi. Nolandum, quod hic auctor non facit mentionem de multiplicatione digiti eiusdem in eundem, Sed solum loquitur de talibus, quoruni linus est maior et alter minor. Est igitur, quod tu velis multiplicare eundem per se vel ducere in se, quod idem est, verbi gratiara per , tunc, quia idem est iudiciunt de unque, per quot unitate 8 distanta decem inclusive totiens subtrahas octo de 80, et patet, quid ulterius aciendum est, per ea, quae prius dicta sunt itemi nota virtutem illi iis quod dieit per differentis . an ad denarium. Disserentia duorum numeroriani est id, ita quo maior excedi minorem Verbi gratia, quia denarius excedit Min duobus, ideo dicimus, dii tunc esse dissereni iam 8 ad denarium: et ideo credo vere, quod non portebit addere denario simius compututo; nim credo, qu0d hoc sit gl0eta inserta textui ex parvo intellectu illius differentia minoris numeri u maiorem. ideo nota, qu0d, licet haec regula Sit gemel ali ad olline n meros et digii0s, in primis tamen digilis non est per eam laborandum, quia, si debeas multiplicare tria per tria, vel tria per
20 quatuor, quilibet uilis Si Illini ciet qualitis in provenit. in tunc
obviis sis quinque reguli sequentibus vadas ad 0cum illum: Si relis igitur, in quo dat auctor modum perandi et facit du0. Primo enim docet ordinem figurarum, sive ordinare figura numeroruin qu 0rum nilim oportet in altera in ducere, et secundo
2 exequitur, cum dicit quo ueto eic Prima pars patet secundum litteram, sed exemplum accipiatur sic. Esto, quod numerum istum, Scilicet : ΥΤ, velis ulultiplicare per Stum 6o4, tunc hoc ordine stabunt figurae:
30 654 Deinde cum dicit: Quo furio, exequitur; et quia ligurae numeri multiplieantis debent duci in quamlibet sigurum numeri multiplicatuli, ideo docet primo ducere omnes figuras numeri multiplicantis in ultimam numeri multiplicandi, et Secundo docet
73쪽
ducere uiues easdem siguras numeri multiplicaniis in penultimam multiplicandi et in convenienter se hahentes, cum dicit: Π0 u tem uoto Terti subdit quasdam cautela hic observandas in perando ibi Si ulmi contingui Adhuc circa primam partem dii facit, quia primo docet ducere ultimam figuram
itusneri multiplicaniis in ulliuiam sigilia in latiteri inultiplicaudi, et secundo alias convenienter se habentes numeri multiplicantis in eandem ultimam multiplicandi. Secundam ibi: Non facto. Adliu prinio facit dilo; prinio enim ,onit casus provenientes ex ductu unimae in unimam, et Secundo iuxta quemlibet casum 10
docet operari, cum dicit: Si digitus eic' Prima pars patet. Deinde eum dicit: Si digitus, docet, quid in unoqu0que eaSi sit
agendum, et haec pars liabet rei, parte iuxta numerum trium casuum. Secundam ponit ibi Si articuius tertiam ibi Si numerus comporitus, ei patebunt partes, cum deder exempli in de mod0 50perandi Deinde eum dicit Hoc veto, docet ducere omnes lias a prima figura numeri mustiplicantis in audem ultimam numeri multiplicandi, et facit duo. Primo enim dicit eundem modum esse in ducendo omnes ab ultinia numeri multiplicantis in eandem ultimam multiplicandi usque ad primam numeri multiplicantis 20 et secund0 0cet, quom0d ducenda sit prima numeri muniplicantis in eandem ultimam numeri multiplicandi Secunda pars est ibi: διι ι ducenda est. Prima pars patebit in exemplo. In secunda socii duo, quia prim p0nit casus provenientes ex ductu primae figurae numeri multiplicaniis in ultimam multipli 25 candi, et palet; et secundo iuxta caSu isto docet operari, cum dicit: Si igitus, et palebi exemplificando. Deinde cum didit: Non utem uoto, postquam docuit ducere omnes figuras numeri multiplicantis in lituram numeri multiplicandi, docet convenienter ducere omnes easdem siguras numeri multipli 30 caniis in penultimam numeri multiplicandi, et secundo d0eet ducere omnes easdem 1lguras numeri mustiplicantis in omnes alias ab ultima et penultima numeri multiplicandi. Secunda ibi: Deinde ut prius. Adhuc prima pars p0test dividi in paries
74쪽
duas quia primo d0cet ducere ultimam numeri multiplicantis in emit uitiani ministri miltiplicam iij et secti nil alius in penulti inam inultiplicaiidi. Secunda ibi Similiter quaelibet liguru Adhuc circa primum duo facit primo praemittit casu prove nientes ex uesione utinae multiplicaniis in penultimam mulli-plicandi, et Secundo exequit tironodum operandi iuxta quemlibet illorum casuum, eum dicit: Si diquus, et palent ambae partes. Similiter quaelibet Duru docet ducere omnes alias ab ultima numeri iuniplicantis in eandem penultimani numeri multiplii candi, et patet in littera. Deinde ut prius docet, quid agendum est in duetione innium figurarum numeri multiplicantis
in omne liu uriis, alia ab ultinia et sumit ima numeri multiplicandi, et dicit, quod eodem modo iaciendum est, sicut 0d0sactum est circa ultimam et penultimam, quia non est cessan-15 uni ab anterioratione gurarum numeri multiplicaniis, nec ceSSaud uua est a ductu mutum figurarum numeri multiplicantis
in illam, sub qua est prima multiplicantis, d0ue quaelibet figura numeri multiplicaniis ducatur in quamlibet siguram numeri multiplicandi Deinde cum dicit: es utem contingui, p0Siquunt 20 0cuit, qualiter est hic operandum, subdit convenienter quasdam cautelas hic observandas, ei sunt quinque. Secunda ibi Si autem oecurat: tertia ibi Sed si sit spatium qua ita illi: Si utem e ru quinta ibi si pruedictis etiam putet. Et omne istae cautelae videbuntur in exemplo Deinde cum dicit: et Serenduin 8 ut tem ponit suoddam notabile, quod specta ad bene esse huius artis, quantuni ad hanc speciem et divisi0nem et radi eum extracti0nem, et patebit in exemplo. Utaris igiturh0 exemplo in operando iuxta quemlibet casuiuii incidentium in hac specie. Sitor linertii, , que ni velis nulltiplicare, ill 45060, 30 et numerus multiplicans, scilicet ille, per quem velis illum alium multiplicare, si ille 2030 ordinabis igitur figuras, et
75쪽
bbDucas ultimam in ultimam, scilicet 2 in sic dicendo bis quater, et resulta digilus, quem p0nas super caput ipsius 2 iuor lili numeri iti ultiplicari di sicut Ilic:
45000 2030 50u facto, quia non vales ducere penultimam in ultimam, cum ipsa penultima sit , de Supra caput eiu8 0ne V iuxta tertiam cautelam isto mod0:80 45060 2030 10
Deinde ducas 3 in , et resulta numerus c0mpositu S, scilicet iste 2. Ponas igitur 2 supra , et articulum l0co versus sinistram sic:
Deinde ducas primam numeri multiplicantis in ultimam numeri multiplicandi, et quia illa prima est , deleas superi0rum, scilicet 4 et potius igituri iuxta primam cautelam, et stabim figurae ordinatae sic: 81 2s 5060 20 Quo facio anteriorandae sunt gurae numeri multiplicanii per
it c in ulli Di, et figurae tal)unt post anteriolatione in sic
uia suci ducas iterum figuras omnes numeri multiplicantis in illam liguram, Sub qua Si prinui unieri ut ultiplicantis, scilicet in b, et quidquid excrexerit addas ad figura suprapositas. Duc ergo ultimam numeri multiplicantis in illum, sub qua est prima nullii pii illitis scilicet 2 in . et proveni articulus, scilicet 0 30 et quia Significativa est supra , sinisportet pro ea ponere , cum 0n ponatur alicubi, nisi ut 0cus vacuus occupetur; sed illum articuliam addas ad 8 versus sinistram. Qia saet0, quia proxima ligura multiplicantis est , praetermittatur intactu, sicut dixit cautela secunda de residuis utem, scilicet de 3 ei
76쪽
0, numeri multiplicantis ac ut prius, et stabunt sigurae ordinatae isto m0d et superius et inserius:
5 Quo facto iterum anteriorandae sunt sigurae numeri multiplicanti per unui l00um; et quin gura pr0xima illae, sub mae si prima numeri multiplicantis, est , 0n portet sub eam anteriorare, et ideo anteriorandae sunt figurae numeri multiplicantis per duo loca sicut olixit cautela liaria. IPacta uti mi anterioratione stabunt figurae sic:
Deinde ducas iterum omnes figuras numeri multiplicanti in , sub quo est prima numeri multiplicaniis, et per omnia fac uti prius, et erunt figurae sic stantes post multiplicationem illam:
Η00 autem laeto non oportet ulterius anteriorare, quia prima ligura unieri inultiplicandi est . sicut docuit cautela quinta 20 et Rima. Sed inter ist0 duos numeros, scilicet multiplicandum et multiplicantem, posset relinqui spatium, ut dixit n0tn-bile in sine capituli positum ut ibi ponatur illud quod provenit ex ductu ligurae in figuraui. unc enim non errabitur de facili, et ideo hoc notabile est de bene esse uiris artis. ea mis expeditis resumas regulas dimissas ibi: Quando digitus. Et est regula prima tuter has quinque, qu0d, i digitus multipli-eut urticulum, ducendus est digitus ille in digitum urtieuli ele'. Verbi gratia: Sit digitus 9 et arti evius 60. Duc ergo si in , et pr0 venient 4 et 0nstat, quod ratione V praecedenti si a quaelibet unitas, id est , valet decem, et quilibet denarius, id est , valet centum, n0xies ergo valent 40 Quando digitus Segunda regula uitii Sia10di est Si digitus ut pNeutuumerum compostium, ducendus est digitus ille in utrumque surtem numeri compositi et ' Verbi gratia: Si multiplicare
77쪽
57 velis 3 per , tunc ducas primo dignuin illum s scilicet, ius, illi est articulus tui meri compositi, ei provenierit 1 et stabunt figurae sic 'li'. Deinde ducas eundem digitum, scilicet', in digitum numeri comp0siti, et provenient etiam i addas igitur , scilicet articulum illum, ad , qui erat digitus uuaeri, qui prim pr0venit, et , quae est digilus numeri provenientis,p0ua loco ; et stabunt 1gurae sic et totum istud patet
per ea, quae sunt liabit in operatione. Sed nota quod, cuiuauctor dicit, quod digitiis iste debet duci in utramiliae partem numeri composui, et produci debent coniungi, hoc sic et, quod ultima ei ira numeri qui provenit ex ductu digiti tu digitum, debet altili ad primana ligurant numeri, qui pro Venit ex ductu digiti in digilum articuli, sicut evidens es in exemplo. Tertia regula est ista: Quando articulus Verbi gratia: Sint articuli 0 et 60. Duc ergo siguris i dinatis, sicut id en et dictum est supra, hoc m0d0:
Ε ductu igitur 9 in vel e c0ntrario, provenient 4 ergo per ea, quae supra dicta sunt, 4 debent poni supra , et qui narius sinistrari. Deinde debρ deleri 6 ei loco eius poni , sicut dictuni est in cautela prima, et Stabunt figurae sic:
Constat etiam, quamlibet unitatem valere centuin et quemlibet denarium mille. Vides ergo totum istud 0rollari sequi ex praedictis, quibus visis patent regulae sequentes. Utrum autem bene operatu Sis, sic in virilie8. Multiplice pr0lnun unieri multiplicantis in probam numeri multiplicandi, tunc, si proba numeri provenientis est aequalis pr0bae producti, bene peralus
es. Sin autem non erratum est. Verbi gratia numerus primo
multiplicandus erat iste 45060, cuius pr0ba est si numerus vero
primo multiplicans erat iste 2030, cuius proba est 5. Duc igitur 5 in , et provenituit 30, cuius proba est 3. Vide igitur,
78쪽
si pr0ba numeri, qui provenit ex ductu numeri multiplicaniis primo in numerum multipli eandum primo, etiam est 3 et constat, quod sic, quia erat l47l800. Sic de illo. Unde illud valde est utile in aequationibus, cum p0rteat aliquos numeros magnos in se ducere; quia, si probae concordani, non p0rtebitreiterationem sacere, Sicut 8 consti elimi fieri, cum aliquis ilis-
fidat sibi, timens se errasse. Et si dicas, quod c0nvenienter hoc non tenet, quia oppositio contradicentis stat, eum desciat in causa, ut aliquit, praeciSe, vel Voluntarie, vel obliviori trani seM , vel eum aliquo modo obmittat, scilicet vel addendum n0n addat, vel non addendum addat tunc ad istud repellendum,
quod etiani letur occa Si 908Se errare. Illilr, lirobam per
sicut dictuni est, et similiter per , et si in utraque concordaverint, non est possibile te errasse.
Di o est et '. aec est species septima huius artis, et dividitur ista pars in duas. Primo enim auct0 distinguit divi Sionem, et Secundo de ea exequitur. Secunda ibi Notundum igitur. Primo enim vult dicere, quod, si proponantur duo u 20 meri, quorum unum op0rte per alium dividere, tunc divisio est
distributio unieri maioris in tot partes, quot unitales sunt in
minori. Verbi gratia si velis dividere 24 per , tunc in tot paries portet dividere 24, quot unitates sunt in . Et quia quatitur unitates sunt in , ideo in qualibet parte de 2 ei uni 2 6, quia i sunt quatuor vicibus in 24. Et valet liae Species, quia, si ex aliquis deputat 987 libras parisiensium 4 militibus ituris in expeditionem illi quod haec summa aequaliter inter eos dividatur, quantum de tanta sumiani cuilibet 00ntinget, scietur per speciem istum, quae est divisio. Deinde cum dicit: a Notundum igitur, exequitur de divisi0ne, et facit quatuor. Primo
enim praemittit, quot numeri sunt neces Sarii in divisione secundo exequitur de modo operandi et tertio subdit sinem et utilitatem huius speciei et quarto docet examinare, si erratum
79쪽
est vel non. Secunda pars incipit ibi: His itaque tertia ibi
Si autem elis scire: itaria ibi tu in laque thuc circa primum facit tria. Primo enim proponit, quot numeri hic sunt necessarii, secundo conditiones eorum subiungit, et tertio de ordine et stiliatione eorum determinat. Secunila ibi Mimeri A
autem tertia ibi Si elis igitur. Quantum ad primam aitem, supponatur de dieiis numeris, quid sit eorum mictum, usque exemplificetur Circa secundam partem sciendum est, sicut dicit auct0r, qu0 m emis dii idendus uper delet esse inuior numero dirisore, vel saltem equulis ei, si disisse debet fieri id per integra. Hoc autem, quia, si 4 debent dividi inter , tune
cuilibet de illis octo contiliget nulli di in illiu in de illis . Si etiam tot sim imitates in dixis0re, quoi sunt in dividendo, planum est, quod cuilibet continget unum de illis tantum Deinde eunt dicit: Si eris setur, determinat de Ordine et sit uatione 5 numerorum, scilicet dividendi et divi80ris, et lacit duo. Primo enim facit hoc, et seeundo subdi quosdam casus silus huius impedientes, eum dicit: Sunt enim duue ouusue. Quantum ad primam partem, Sit numerus, que ni velis dividere 9876, et numerus divisor, sive per quem velis istud dividere, sit iste 43 20 P0nas igitur ultimam sub ultima, et i, nullimam sub penultima
Ε dicit auctor, quod locanda est ulti uia uti ultima sicut
hic factum est, si competenter fleri p0test; et quia hoc non a semper est possibile, ideo consequenter subdit auct0 casus, in quibus impedimentum accidit, ne hoc fieri possit, cum dicit: Sunt enim duae a ue. Dicit autem, qu0d duae Sunt cauSae, scilicet quare ultima numeri divis0ris non erit sub ultima numeri dividendi. Ut verbi gratia, si velis dividere 654 per iis, o tunc non potes subtrahi. Alia causa est, Si ultinannumeri divis0ris possit aliquotiens subtrahi ab ultima numeri dividendi, sed alii numeri dixi foris non possunt totiens subtrahi
80쪽
a sibi suprapositis. Verbi gratia si velis dividere 654 per 59, vel etiam 254 per 29. I 0 habito cum iligit His tuque, exequitur de modo perandi, et mei duo. Primo enim praemittit quoddam praeambulum in tota hac specie bservandum, et Secundo iuxta illud praeani bulum peratur, cuin dicit : Vi80 igitur tu prima parte intendit dicere, quod disp0sitis guris indipiendum est ab ultima sigura numeri divisoris, et videndum
est, quotiens illa subtiali poterit a ligura sibi Suplap0Sita, ut et totiens subtrahi possint reliquae figurae numeri divisoris at sibi suprapositis et a residuo, si quid fuerit residuum versus sinistram. Et subdit, quod non contingit hiries subirahere quani novies nec minus quam Semel Ilic Sciendum St, quod, quidquid est directe supra aliquam figuram, et ab eadem superiori, quae dicitur esse supra inferiorem, et a toto debet fieri ii subtractio quod autem est versus sinistraui, vocat auctor re Siduum. Ide nota, quare n0n contingit pluries subtrahere quam novies, nec minus quam semel. Causa huius est, quia, qu0liensli Subtracti0, hoc sigi illic alii ligura in numero quotielli, Sicut
statim dicetur; et nulla est figura, quae plus significe quam , 20 et nulla, quae minus quam unum. Deinde cum dicit: Viso
intelligendum, quod, quia, quotiens poterit ultinia subtrahi de ultima, t0tiens etiam quaelibet alia de sibi suprap0situ, 0nenda es quaedam gura supra numerum dividendum signans quo-2 tiens inferiore de superioribus ut tralu 08sint; leo ligura ista et omnes illius tertii ordinis qu0liens vocantur. Duo igitur
aucior facit. Primo enim d0cet invenire quotiens primum et iuxta ipsu in perari, et secundo alia et iuxta ea perari, cum dicit me autem ueto. Dicit primo eum tu ideris, quotiens a Duro inferioris ordinis possint subtro hi a superioribus, or butur mim seu figura denotans, Iuotiens illa sub tragii est possibilis, quotiens scribatur, inquam, directe supru situm fissurum, sub qua est prim Dura numeri dirisoris seu ordinis inferioris et per illum ligurun 8ubtrahendae M/ut omnes gurue