장음표시 사용
81쪽
numerus dividendus sit ille ut supra 9876, ei numerus, per quem velis eum dividere, fit iste ut supra 4 iumentur ergoisi modo:
Videas igitur, quotiens p0leris quinque de novem subtrahere, ut aliae totiens etiam possint a suis superioribus subtrahi; et constat . quod semel. In signiani uitur huius quia sente linc poteris, p0nas s super , quia Sub ea est prima ligura divisoris, fiet stabunt sigurae isto m0do:
Quo facto per unitatem illam subtrahas omnes figuras inferioris i 5 orditus a Superioribu8, ducendo eam in quamlibet interiorit, Ordinis per modum multiplicationis sic dicendo semel quinque sunt , quae t0llas de novem, et remanent 4. Iterum ad aliam ligurat interioris ordinis sic semel 4 Sunt , quae tolla ite . et remanent 4 iterum ad Itiuiam sic semel 3 sunt , quae 20 demas de , et remanent 4. Hoc facto stabunt figurae p0si talem subtracti0uem isto modo:
Deinde addit Hoc autem facto. Docet invenire quotiens alia a primo, et facit duo. Primo enim innuit, idem esse faciendum omnino post anteri0rationem figurarum ac primo, et secundo d0cet, ii amdiu sit utendum quotiens, et cum l0c, quamdilisit anteriorandum, ibi cum dicit: Ne cessundum. Adhuc prim 30saeit duo, quia primo faciij, qu0d dictum est, et secundo dat
qua nitant Hautelam lii Ob Servandam ibi Si autem contingui.
Dicit primo, quod hoc facto, id est iuvenio qu0tiens primo et sacta per ipsum subiractione omnium figurarum inseriurum de
82쪽
superioribus, uniteri undus sunt Durue miseri dieisoris ei unum disserentium, et negotiandum est ut prius. Verbi gratia:
iii vento primo quotielit, et acto Subtracti0lle inlliu in ligurarum inseriorum a superi0ribus stabunt figurae sic:
Vide igitur, quotiens b ossi Subtrahi de 4 et invenie S, fluod octies. Ponatur igitur supra , quia sub illa est prima divia soris, et stabunt figurae postea sic:
Deinde per illa 8 subtrahas omnes inferiores de superioribus 2 sic octies quinque sunt 10, quae tolla de 44, et remanent . Item clies quatuor sunt 32, quae t0llas de 4 et remanent 2;ilem octies tria sunt 24, quae i0llas de 26 hoc mod0, et stabunt figurae sic: 1825
Sequitur illa pars Si utem contingui, in qua dat quandam cautelam hic observandam; et est talis, qu0d, uel unterioratione si aliquando ultim ligura vel alia non possit subtro hiuliquotiem a superioribus, tunc inpru ilium, in qu primua dirisoris, ponendu estis in ordine numeri denotantis quotiens, et tune anteriorundae sunt gurae ut prius; et hoc est verum, si nondum perventum sit ad limum unierum dividendi illud igitur eo usque semper faciendum est Verbi gratia esto,
83쪽
quod velis dividere istum unierum η8ii, per 38. Situentur igitur hoc m0do:
Et quia bis poteris subtrahere tria de , et bis 8 de sibi supra sposita, ideo numerum quotiens, scilicet 2 ponas supra , sub quo est ritii nil ineri divisoris, et tal)ruit ligurae sic:
38 10 P0stea igitur subtrahas inseri0re a Superi0ribus, Sicut dictuna est, et sacta subtractione stabunt figurae sic:
287638 Loquo facto anteriorentur figurae inseri0res per unam disserentiam, et stabuli Sic
uuia igitur null0tiens poteris tria de du0bus subtrahere, in signum igitur huius scilicet 0 ponas supram superioris ordinis, sub quo stat prima inferioris, et anteriora guras per unam litterentiani, et tunc Stabunt sigurae Sic 08 anteriorati0neni:
Deinde videas, quotiens poteris inferiores subtrahere de sibi suprapositis, ei invenies, qu0d septies. Ponas igitur 7 supra , Sub quo S prima divisoris, et tali uiri figurae sic: 30
Post hoc igitur septies subtrahas omnes interiores a Sibi upra-
84쪽
64p0sitis superi0ri 0rdinis ut prius, et cum miles ubtractasi Sunt, stabunt gurae sic:
Quo facto anteriorandae sunt ingurae numeri divisoris, et stabunt figurae sic:
Deinde ideas, qu0liens poteris subtrahere guras interiores a sibi suprapositis, et invenies, quod quinquies. Ponas igitur Supia 6, Sub quo est prima iii letioris orditiis et stabunt ligurae sic
Deinde per illa quinque subtrahas Iguras numeri divis0ris ut prius , et sacta subtractione remanebunt 26 de numero primo 2 proposito, quod est minus divisore. Tunc equi uir illa pars Me mundum est, in qua d0cet, quamdiu anteriorandum sit, et invenienda sit gura quotiens et dicit, qu0d a tali anterio
cessandum punere quotiens nun)erum supra numerum dixidendum, 25 nec cessandum est ducere numerum quotiens in divisorem et prodii liini a dividendo subtrahere, nam omnia ista facienda sunt, donec prima figura cum omnibus aliis numeri divisoris fieri ut
subtractae a prima figura numeri dividendi. Quo laeto aut aliquid erit residuum, aut nichil. Si ali iiiiii sicut in exemplo secundo 30 patet, reServetur ex tertia in tabula, et erit Senipe mimi divisore, si bene meri operaium Deinde cum dicit: Si uutem elis scire, assignat finem et utilitatem huius specie dicens: Si velis Scire, quantum de tot numero proposito eveniat cuilibet de numero dixisore numerus quotiens hoc stendet. Verbi gratia:
85쪽
libet de pyra et remanserim 102, quae inter δέ non p088mat dividi, nisi frangantur. Ut si essent tot librae, frangerentur in
soli flos ii iunipli calido I 02 per 20. liae sunt uine rus solidorum
in una libra, et tunc post multiplicationem exient 2040, quae iterum dividendo per eundem numerum dixis0rem 543 haberes solidos et renianerent tunc adhuc 4si 0lidi. Quos si adhue inter e0sdem velis dividere resolvas eos in denari0s ducendo
4s in i 2 quia tot sunt denarii in quolibet solido, et erunt 4932 denarii; quos sicut prius per 5 3 dividas, et exibunt 9 10 denarii, et remanebunt 55 denarii , de quibus quilibet de divisore non habebit dimidiam pictam. Sic igitur de tota summa proposita quilibet de numero divisore habebit i libras et
80ltilo cum Θ denariis. Iunc sequitur illa pars: Cum tu se fuctu, quae dat modum examinandi operati0nem in his duabus in speciebus, et prim in divisione, et secundu in multiplicati0ne, cum dicit et e contrario. Et quia utraque pars plana est in littera, ponantur exempla, et primo de divisi0ne. Quia facta divisione d 9876 per 543 exibunt in numero quotiens i remanentibus 102, multiplicentur 1 per 543, et exibunt 774 20 quilui Si addideri l02, quae prius remanserunt rediluuit primae figurae, scilicet 876. Exemplum de multiplicatione sit illud. Numerus multiplicandus erat ille 45060, numerus multiplicans ille 2030, ex quo ruin unius ductu in alterum pr0xeniunts 187i800. Dividas igitur hunc numerum per numerum mulli 25 plicantem, scilicet per 2030, et exibunt in numero quotiens
45060. quae ligurae prius erant ili numero multiplicasul D. Operatio autem in divisiune etiam sine multiplicatione divi 80ris perqu0liens probari p0terit, sicut e contrario etiam factum est in fine capituli de multiplicatione. Quia sumatur proba numeri 30 dividendi, numeri dixi Sori et numeri qu0tiens. Adhuc pr0bam numeri divis0ris in pr0bam numeri qu0liens multiplica, et provenientis sume probam; quae si aequalis fuerit probae numeri dixi dendi, bene actum est Verbi gratia numeru prim pro-5
86쪽
positus dividendus sit iste 6058 cuius pr0ba est . Sit divisor iste 23, cuius pr0ba est Facta igitur divisione erit numerus quotiens iste 456, cuius proba est etiam . Duc ergo
5 qu0rum pr0ba esti, sicut est proba numeri dividendi. Verum p- tamen acta divisione residuum si quid uerit, aliud quid est faciendum; quia videas probam illius residui, si eam tollas de proba totius numeri propositi priin i i lividendi , si p0teris; sin0n, tunc probae numeri totalis addas , et postea subtrahasi probam residui, et tunc duc probam numeri divisoris in probam
numeri quotiens, et pr0 venienti proliam Serva, quae si luerit aequalis probae numeri primae, bene fecisti. Verbi gratia numerus propositus primo dividendus erat iste 876, cuius proba est , numerus autem divi S0 erat Sle o i , cuius proba Sira, 1 et numerus quotiens erat iste l8, cuius proba est . Facta autem divisione remanserunt 102, cuius pr0ba est etiam . Subtratu S ix illi li Iob auris lini seri residui de proba numeri primo pro pusit dividendi, et emanet 0. Duc autem pr0bam numeri divisoris in probam numeri qu0tiens, et provenit , quare bene 2 operatus e St.
Progressio est numerorum etc'. maec est octava species, quae si in Sulliciens, quia Se ad inuem nullierum non extendit
et undecumque indeplum ideo loco huius capituli illud, si 2 placet, pro textu habeatur.
uumentulorum aggregulio, ut univers0rum summa compendiose his beatur. Unde si eae aggregatione numeri tutim eum primor uuat numerus pur, per eius medietutem multiplicetur hume-30 rus locorum 8 vero impar, m eum multiplicetur milietus numeri locorum, et eaeibit sumni quaesitu. In hoc octavo capitulo duo fiunt Primo enim describitur progre8Sio, Secundo de ea dantur duae regulae, per qua l0la
87쪽
haec species regulatur. Seci da ibi Unde si eae D 'esulione. Dic primo, qu0d progressi est aggregali numerorum augmentatorum secundum aequale excessus, ut summa universorii naaggregat0rum compendi0Se, id est l)ie iter, habeatit r. Verbi gratia si proponantur ista, scilicet s. 2 3. 4. 5. 6. quantum est in toto vel sic: . . . . . 8 9. In omnibus, in quibus igitur, ita quod, in quanto Seci nutu ex edit prinium in ;uito teritus secundum et quartus tertium, et sic deinceps, in omnibus talibus alet haec species. Incipias igitur ubi olueris, sistiis, ubi volneris, et sἰilietis quas liun volueris dum imod 10 uniformiter iveris vel illi sucis in dicti numeris, semper valebit
id, qu0d dicetur do i eae oggregatione mic dantur duae
regulae hanc speciem rectificantes, et se eundum hoc haec pars dividitur in duas, qu0niam per numerum l0corum et per nulli erum aggregatum ex primo numero et ultimo progi essionis recti 15sseatur haec species. Numerus igitur aggregatu ex numero primo et ulti in aut Si par, aut in par. Iuxta Itali dixiSione in bimembrem sumantur regulae. Prima est: si ex primo numero cum ultimo resultat par numerus, tunc per eius medietatem
inultiplice nium i tui locorum. Verbi grati: i in progressi ille 20
naturali in ista l. 2 3. 4. b. 6. 7. hinge prinuim, Scilicet unitatem, cum ultimo, scilicet , et pr0veniunt , per qu0rum medietatem, scilicet per , multiplices 7 loca positionum, et proveniunt 28. Vel sic in pr0gressione naturali 7. 8. 9. 0.ess. 12 l 3. 4. 15 sunt novem loca p0sitionum, ex aggregati0ne o primi numeri ad ultimum proveniunt 22, ergo per medietatemde 22, scilicet per l, nihil tiplices oen sui Sition uin, Scilicet 2, et provenit summa totius progressionis, scilicet 99. Exemplum autem in inlurcisa piogressione sit illud. Primo: l. 3. 5. 7. s. li. Ilic sunt se loca p08ition una, et ex prini cum ulti illo re Sut 30iant 2 per horum igitur medietatem, scilicet , multiplices l0ca post ii0num, et provenierit 36, quod est summa progressi0nis Secundo eliani illud in intercisa Iouressione: l . 12.15. 8. i. 24 27. Sunt igitur locata positi0num, et ex primo
88쪽
eum ultimo resultant 36, qui est numerus par. Per medietatem erg0 eius, scilicet per i 8, multiplicentur loca positionum,
Regula secunda est, quod, si ex primo numero et ultimo reSultat numerus impar, semper per illum multiplices medietatem numeri locorum sive p0siti0num, et exibit summa in qualibet progressione. Verbi gratia in progressione naturali sit hoc exemplunt. Primo i 2 3. 4. 5. 6. 7. 8. Hic uni et loca positionum, et numerus aggregatus ex primo et ultimo est . Duc igitur in medietaleii de di se ilicet in , et evenient i, Suntina pro 10 gressi0nis. Vel sic: 8 9. 10. 11. 12. 13.14. 15.16.lJ. Hic Sunt loca is positi0uum, et aggregatum ex primo et ullina est 25. Duc igitur in edietatem Iocorum, scilicet , iii 25, et pro Venienti 25, summa t0tius progressionis . Aliud exempli in in progressione intercisa esse potest illud: l. 4. 7. 0. 3. 10. Dicu sunt loca position luit et numeru aggregatus ex primo et ultimo sit 17. IJunc ergo multiplices per medietatem l0corum, scilicet per 3 et proxenient i, summa totius progressi0ni Sin. Vel sic: 3. 8. 13. 18. 23. 28. Hic sunt loca positionum, et ex primo et ultim resultant l. iunc ergo multiplice per me-20 dietatem locorum, scilicet per 3 et provenient a summat0tius progressionis. Unde debes hic indubitanter scire, quod vel nun stru l0c0rum erit tu, vel numerus aggregatus ex prim0 et ultimo erit par, et uterque.
1 Sequitur de radicum aetractione etc'. Haec Si nona Species ei ultima huius peris, in qua facit auct0 duo. Primo enim praemittit capi inham quoddam praeumbulum, in qu langit quaedam, quorum cognitio Si necesSaria ad liniae speciem, et secundo de interit prosequitur, cum dicit: Si elis igitur, iuxta a principium capituli sequentis, ubi alii aliud capitulum assignaverunt. Adiuti primo praemittit ea, quae declaranda in ad intentum principale, et secundo ea pertractat, cum dicit: Mae-
89쪽
notanda tumen. Et 0 priua iii quirit, quis sit innie ius quadratus, et quae sit eius radix et similiter quis sit numerus cubicus, et quae eius radix, et secundo notificat tertium propositor uni, quid sit ad istem exuahere, uni dicit . adicem
numeri quadrati, in principio capituli sequentis Adhuc primo praemittit quandam divisi0nem, ex qua investigat duo. Primo
inlii proposita, et se eundo Ineinbra dividentia pertractat, cum
dicit Notundum etiam. Circa primam parte in St 0tandum, quod, sicut quantitatis c0ntinuae quaedam est linea unam dimensi0nem habens, et alia superficies habens duas, et alia 10c0rpus habens tres, sic etiam recte S de quantitate discreta, quae est numerus. Numerorum enim, ut diei auctor, ultus est linearis, lius stiyti 'l tulis, uilius solidus. Numerus linem est: hi pertractat membra dividentia, et primo duo membra pertractat, et secundo quasi subdividendo secundum membriana 15 specialius de eodem. Secundum determinat, eum dicit: Sed 8eiendum. Ἀdliue itin prae illittit Sub clivi Sione ui Suniri, et secundo membra ostendit ibi: Si igitur numeriis. Adhuc primo petractat primum membrum, et secundo secundum, cum dicit: Si utini numereris bis. Adhuc primo de primo membro inve 20stigat, qui Sit nurnerus quadratus, Sub quadam subdivisione membri primi, quia, si numerus semel ducitur in numerum, aut ducitur in se ipsum aut in alium. Si in se ipsum sit, est Iuli ierit quadratia S, et quare quadratu dicitur. Si in lium sit, si numerus superficialis non quadratus, quasi diceretur, o quod numerus quadratus est sub superficiali, et numerus n0n quadratu8 8 Sub eodem supersiciali, quia superficialis absolute est ille numerus etiam abs0lute, qui ex ductu numeri in numerum semel provenit. Sed supersciali specialiter est, Secundum quod est pro vel Dinns ex ductu nuuieri non cuiuslibet in 30
quemlibet, sed numeri in quendam alium et similem eius. Sicut enim, sub animal si esseni solum duae species, ut homo eiqu0dcumque aliud ab homine, tunc, cum quodcumque aliud ab homine non habet 0r8stia impositum unum nomen, dividendo
90쪽
animal contingeret sic dicere animalium xioddam est homo et qu0ddam es non humo, etiam sic est in proposito, ut patet. Et vocatur numerus quadratu8, Sicut dicit auctor, gula divisim scriptus per unitutes constitui quadratum. Verbi gratia iste numerus est quadratus, Scilicet , et scribi uir qualu0 unitatibus sicut hic: - 1
Et 9 est quadratus numerus et Scribitur in quatuor lateribus1 aequalibus per n0vem unitates sic: i. iis . 1 - 11 i. Et ita de aliis. Sed in superfidiali non quadrai n0n stanti latera aequalia Verbi gratia 6 provenit ex ductu ternarii in binarium, et scribitur ex unitatibus sic: l . . i
C0nstat, qu0 l latera non sunt aequalia in no enim uti duo 20 puncta et in alio tres. opposita autem sunt quadrata ei quadrangula, quia quadrata 80la aequalia sunt, unde senarius bene
quadranguluna est Superius ad quadratum, quia est et quadratum et quadrangulum n0n quadratum, sic superficialis suum erus 25 erit superius ad quadratum numerum, quia est et quadratus et quadrangulus non quadratus, et de dicit auctor quod omnis quadratus est superficialis, sed n0n convertitur. Rudis autem hic stendit quae est radix numeri quadrati, et patet. Si utem uine ui bis hic pertractat Secundum 1enuunt ma dictae suae divisionis, quod aliquis numerus provenit ex duclualicuius numeri bis in numerum, vel etiam, quod aliquis nu-nierii bi ducitur in numerunt. In quo me uibro dicit, quis sit numerus cubicus, et quae eius radix et primo quasi in generali pertractat membrum h0c, nolificaris, quis sit numerus