장음표시 사용
11쪽
ius latus ΑΚ, ct data ratio AG ad AC.Opor te inuenire aliud quadratum , ut quadratum AK ad quadratum inuentum habeat rationem ut AG ad A C. Ponantu in directum A AC, d expuncto A ducatur AK ita ut cuna ACconstituatantulum quemcumque, S iungatur GK, eique parallela ducatur C occurrens in prodach.uia . in recta alitem K deleri-hatur seniicirculus IK S exin ipsi K duciatur perpendicularis Α usque ad circiri ferentiana, si punctum A siit in diametro Y si vero sit extra diametrum , ducaturis contingens emicirculum in I. uaniam igitur parallelae sunt GAE CY erunt anguli AG aequatas, de aequales quoque anguli AM G V C. unde si nilia triangula AGK CY ut igitur Λ G ad AC ita erit AK ad Y Sed, AK ad A ita est quadratum Am ad quadratum AI, sunt enim tres proportionales AK ADAT, Mama. Pr. It ut prima ad tertiam ita quadratum prima ad quadratum te cundae, ergoy AG ad AC ita erit quadratum AK ad Ru dratum AI factum est igitur quod oportebat
SINT duo se inicirculli AEC DEF in directum ba l
ias habentes A DF, qui se inuice insecens, ctia in si compleantur in M, iungatur AM, ducatur autem
A contingens semicirculum D EF in si punctum: sit extra basim semicirculi DF, si vero sit in ipsa baseducatu A perpendicularis ipsi DF secans semici culum in , ct existente V centro circuli DEF, fiat, aequalis V C. Dico ut AG ad AC ita csse quadratum A ad quadratum M.
12쪽
GH, S: ducatur V perpensicularis ad M. Aequales igitur 3. τε τε erunt ML ZH, S ipsa V parallela erit ipsi M C, quia M perpendicularis est ad m, rectus est enim angulus A Cin semicirculo Quare ob eas parallelas 5 anguli ACM in Tarquales erunt Et propterea similia triangula M AZ V ut igitur' ad AC ita erit AZ ad A M. Et existente puncto
inter Ata erit conuertendo di diuidendo, existente vero A inter CV, crit conuertendo, componendo , at existentem inter ΑV, erit per conuersionem rationis S conuertendo ut C hoc est G ad A ita L M, seu TH ad AZ, de rursus existente inter A G, erit componendo, existente vero A inter V G, erit diuidendo , at existentem inter V erit conuertendo S uer
conuersionem rationis S rursus conuertendo ut AG ad A ita
AH ad AZ, S permutando ut AG ad AH ita erit A V ad AZ. Duo igitur triangula H AZ circa aequales angulos qui sunt ad A proportionalia habent latera, ergo sunt aequim LSεκα gula, quare angulus AH aequalis est angulo AZU, S angulus AGH aequalis angulo VL, sed angulis AZ AV aequales sunt anguli A ME, ACM utrique uterque propter parallelas L UM ergo anguli AH AGH aequales sunt angulis AM CACM, ac proinde similia triangula AH AM C. Ut igitur AG ad AC ira erit A H ad A M. Sedit Am ad A cita eit rectangulum HAM ad quadratum A M. eandem enim habent altitudinem 'AM; ergo ut AG ad A C, ita erit rectangulum H AM, O ' est . Vir quadratum AH ad quadratum Abi, quod crati adendum. ib.
13쪽
SIn duo semicirculi ABC DEF indirestim bases ha
bentes,& recta Accontingens semicirculum DEFin Κ secet alterum ABC in T, ex centro circuli DE quod si V ponatur G aequalis C, per A ducatur utcunque recta linea AE Bresecans circumferentias A F TC in punctis Era, Circumferentiam vero x inri&iungantur GH X D, quibus parallel agantur C CY X secantes B TA A etiam continua amo tas in punctis SYX,Qfiat ut AG ad A Ita quadratum Acad quadratum AI Dieo ut AG ad AC, ita
esse FC ad C X,&ita E ad BS, ita quoque R T ad TY, adque unumquodque rectangulorum AI EAS FAX quadrato A I aequale esse.
Quoniam enim aequales sunt V G C, aequales tuoque DV F, erunt per aequalium aequalibus additionem, vel subductionem aequales, G C. 5 quoniam propter parallelas D XY aequales sunt anguli G DK XY, S propter parallelas G CYaequales anguli DGK XC similia erunt triangula D. X CY, ut igitur m ad GD, ita erit C ad X, permutando ut mad Y, ita D, hoc est FCad X. Aeque quonia parallele sunt GK CY erit angulus AGK aequalis angulo ACY, S angtulus AK aequalis angulo AYC, Vn- de similia erunt triangula AGK ACY de propter similitudinem erit, ut G ad K, ita A C ad Y dc permutando ut AGB ad AC ita GK ad CV, sed ut G ad C ostensa est C ad CX, ergo ut G ad AC, ita erit FG ad X, quod esto primum. Deinde iungatur BC, S ei parallela agatur GR aequalis igitur erit angulus ARG angulo ABC, ideo rectus , qui Wipse L .a. BC in semicirculo rectus est, unde ΗR DB aequales erunt. Et quoniam paralleis sunt GH CS erit angulus GH aequalis angulo CS B est autem 5 anguIus RG aequalis angulo SBC, rectus nempe recto , ergo similia erunt triangula H GSBC, quare ut GH ad R, ita erit CS ad SB, 5 permutando
14쪽
Similiter quoniam parallelae sunt GH CS anguli AGH AC s. naales quoque anguli AH G SC, &ideo sit.
15쪽
16쪽
Similiter quoniam parallelae sunt GH CS anguli AGH AC S,
erunt aequales, S aequales quoque anguli H ASC, N: ideo similia triangula GH CS, ut igitur AG ad GH, ita erit AC ad S, S permutando ut AG ad AC ita GH ad S, sed
ut GH ad S, ita est E ad BS, ut demonstrauimus: Ergo ut AG ad AC, ita erita ad S, quod esto secundum. Iam conectatur C, S ei parallela agatur L ergo angulus KL aequalis erit angulo AT C, sed rectus est AT C in semicirculo ergo SCA L G rectus erit,d ideo aequales WURAE T. Et quoniam si nassia sunt triangula KL Goa ,sunt enim equa-Ies anguli GK CY ob parallelas Κ Υ, aequales anguli ΚLGOT C, quia recti Erit ut G ad KL, ita C ad YT, S permutando vi K ad Y,itam hoc est Κ ad a, sed M G ad AC est ut G ad CV, ut demonstrauimus ad signum B, Ergo ut AG ad AC, ita erit T ad Y atque id esto tertium. Et quoniam similia sunt triangula AGK ACY ut adsignum Ademonstrauimus, erit AG ad K, ut AC ad ΛΥ, 5 permutando AG ad AC erit ut A ad ΑΥ, sed ut A ad ΑΥ, ita est quadratum A ad rectangulum AK sunt enim eiusdem s.f.κιὸ altitudinis ΑΚ, ergo ut AG ad AC ita erit quadratum AK ad rectangu Ium AK, sed ut AG ad AC, ita ponitur quadratum AK ad quadratum AI ergo rectangulum A quadrato Iaequale erit, quod esto quartum. quae quoniam similia sunt triangula AGH AC S, ut ad signum C demonstrauimus, erit ut AG ad H, ita AC ad AS, 5 permutando, ut AG ad A C, ita AH ad AS . sed ut AH ad AS ita est rectangulum AH ad rectangulum AS eandent enim E altitudinem habent, ut igitur AG ad AC, ita erit rectangulum E AH hoc est quadratum AK ad rectangulum AS, c. τὸν sedit AG ad G ita ponitur quadratum A cad quadratum I ιν. ergo rectangulum AS aequale erit quadrato I, quod esto
Postremo quoniam parallelae sunt Κ XY erunt anguli AD KAXY aequales aequales anguli AK Λ YX,, ideo similia triangula AD AXY, ut igitur Λ ad AK, ita erit A X ad Ari r ut AD ad ΛΚ, ita est quoque AK ad AF, rectangulti enim rDxιι
AD aequatur quadrato A; ergo ut A ad Λ , ita erit AK c. ιν- ad AF Vnde rectangulum FAX sub extremis aequale erit rectatio v. gulo AK sub medijs sed rectangulum se aequale est quadrato δεμ η'.ΛΙ, ut quarto loco demonstrauimus : Ergo S rectangulum FAX eidem quadrato A aequale erit, quod postremo loco erat dela On
17쪽
onstat igitur rectangula YA EAS FAX aequalia
esse, etenim, numquodque eorum ostensum est quale quadrato A I. In semicirculis finiticem secantibus facile rectam I in . Meniemus, si enim a pundi A ad uncitum sectionis, quod sit
ad ducatur refla linea AM, eique ponatur aequalis AI ea ' erit de qua quaeritur, est enim ' et AG ad AC ita quadratum Acad quadratum M. Similiter ω in f micirculis sinuicem tangentibusfacilia me inueniemus rectam Ad, ea enim aequalis est restae AC, nams cum rectangulum GAC aequale si quadrato AK,proporti N.s,ae . natis erunt AG AX AC Ut igitur OG ad AC, prima Iri. P. Videlicet ad tertiam taerit quadratum secundae Acad qua dratum Ac tertIAE.
In duo semicirculi ABC DEF in directis bases habentes,& recta A perpendicularis ad AC secet semicirculum D EF in Κ, per A ducatiar victuaque recta linea A B E secans circumferetias ABCAE in punctis B E S compleatur circulus D EFH, quem E continuata secet in , ex eius centro, quod sit, ponatur VG aequalis C S conectatur H Gm D, quibus parallel agantur CS CY X secantes EA Aia F etiam i productas in punctis YX, fiat 'it AG ad AC ita quadratum Ah ad quadratum AL Dico ut AG ad AC ita es ea C ad Cri S ita E ad BS, ita quoque Alc
18쪽
ad AY. Et insuper unumquodque rectangulorum YAΚEAS FAX quadrato I aequale esse.
Qu9niam enim aequales sunt V VC, S aequales quoque DV F, erunt aequales, DG FC. Et quoniam aequales sunt anguli VCX GDo parallelas C G, SI aequales quoque anguli YXC DG ob parallelas YX D, similia erunt triangula GDYCX. Vt igitur G ad GD ita erit C ad X, S permutando vi K Gad C, ita GD hoc est C ad C X. Similiter quoniam propter parallelas C; G, aequales sunt an guli AGK AGY, S aequales AKG-YC similia erunt triangula in GK ACY; quare ut AG ad G Κ, ita erit C ad Y S permutando, AG ad KC, ita Gm ad Y sedit M ad CY, ita est
FCad CX ut demonstrauimus, ergo ut AG ad AC, ita etita Cad C X, quod est primum Iam conectatur BC, cui parallela agatur GR. Angulus igiturARG aequalis erit angulo ABC, sed rectus est ABC in semicirculo ergo S ARG rectus erit. Quare aequales erunt UR EB. Lem./.
Et quoniam parallela sunt GH CS, S parallela RG C erit angulus GH aequalis angulo CSB S angulus HRG aequalis angulo SBC, unde similia erunt triangulam RG BC, S propter similitudinem erit, ut GH ad HR, ita CS ad SB, B permutando ut Had CSita HR, hoc est E ad BS. Similiter quoniam parallelae sunt GH CS anguli GH CS, erunt aequales, S aequales quoque anguli AH G ASC ac proinde similia triangula AGH AC S, ergo et AG ad GH, ita erit A vad CS N permutando ut AG ad A C, ita GH ad Cci, sed ut G Had C ita nunc ostensa est E ad BS, v igitur AG ad AC, ita erit E ad BS, quod est fecundum.
Et quoniam ad signum A demonstrauimus similia esse triangula AGAE ACY erit ut AG ad K, ita AC ad AY, S permutando, ut AG ad AC ita erit AK ad Α , atque id est tertium. Deinde quoniam quadratum AK rectangulum Aceandem habent altitudinem ΑΚ, eritv ' A ad AY, ita quadratum AK ad rectangulum AK sed AcasAY est ut AG ad AC, ut tertio loco demonstrauimus, ergo ut AG ad AC. ita erit quadratum δε ad rectangulum AK, sed ut AG ad C, ita ponitur quadratum A ad quadradum AI ergo rectangulum A quadrato A aequale erit, quod est quartum Eadem ratione Quoniam rectangula EAH EAS eandem habent altitudinem E erit ut AH ad S, ita rectangulum E AH ad re-r.ctangulum EAS, sed AH ad AS est ut AG ad AC propter triangulorum AGH AC sunt litudinem quam ad signum B demonitiavimus: Ergo ut AG ad AC ita erit rectangulum AH, hoc
19쪽
1 ιν η est quadratum AK ad rectangitium AS, sed idem quadratum AK ponitur se habere ad qtradratum AI, ut AG ad AC, ergo z-ctangillum EAS aequale erit quadrato AI, quod est quitatum-Postremo, quoniam parallelae sunt erit angulus AD Kaequalis angat Ax , S angultis AKD angulo A X, S ideo similia triangula AD K A Xa. Ut igitur AD ad AK, ita erit A ad ,rs xii AY, sed ut AD ad AK ita eii quoque AK ad AI rect. aligulum 3 i. Tιν enim D AF aequale est quadrato AK, ergo ut A X ad AY, ita erit AK ad AF, quare rectangulum in X sub extremis aequale erit - Τ rectangulo AK sub med ijs , sed rectangulum AK ossensim est quarto loco aequale quadrato AI, ergo rectanguli im FAXeidem quadrato A aequale crit, quod lexto iuina a loco erat de-
Anisest uines igitur rectan ruta EAS FAX aequalia estE, ostensum enim citi numquodqae co- Iumae fuari quadrato AL In semicirculis sinuicem secautilus recta I aequalis est rectae lim e quae a puncto A ad ΡηElum fedtionis quod sit Asducitur, demonstratum ' est enim ut AG ad AC ita spe quadratum L ad quadratum A M. In semicirculis vero semulcem tangentibus recta Adlis eri recT A C, nam cum sint tres retitae lineae proportionale C mi. t AG AL AC est ut AG ad AC prima id licet ad tertia i ita quadratum L secundi ad quadratum C tertiae . taque tu se circulis stinuicem secantibus, aut tangestibus facitime inuenietur redia A P.
C l flerentia maximaei minimae quatuor magnitudinum maior est quam et j quarum disterentia.
20쪽
Sint quatuor magnitudines AB CD CE A sitque maxima AB, minima AF, differentia igitur maximae deminimae erit B differentia vero reliquarum CD CE erit D. Dico ipsam FB maiorem esse quam ED. Ouoniam enim ΑΒ maior est quam GD, F vero inmorquam CF erit reliqua FB maior quam Dreliqua, a maiore enim B ablata est minor quantitas quam aminore D. Quare constat propositum.
B DI quatuor magnitudinum proportionalium tremarum aut mediarum fuerit maxima. Altera minima erit. Sua quatuor magnitudines proportionales ABCD, si queo ad B, ut C ad D, S sit una extremarum, Vtpote A, Omnium maxima. Dico alteram ex tremam D minimam esse . tapniam enim maxima ponitur 'prima ea est maior quam C tertia, ergo&secunda B maior est quam D quarta Et quoniam est in ad B ita C ad D, A vero maior quam B, erit S C maior quam D. Sic igitur ipsa Dominum est
Sed sit maxima una mediarum, nempe B. Dico alteram mediam C minimam esse Qtisniam enim ut A ad B, minor nempe ad maiorem , ita est C ad D erit oc minor quam . Et quoniam est ut A ad B ita Cad D, erit conuertendo ut ad A tam ad C est autem maior quam , cum sit omnium maxima. ergo A quam C maior erit Minima est igitur omnium C. Quare constat Propositum.