장음표시 사용
41쪽
nentes inter Κ Τ, erit per conuersionem rationis, conuertendo, existente vero Κ inter T. erit conuertendo dc diuidendo, ut
YAE ad K citam h a MD, sed M ostensa est maior quam
M t, ergo S m maior erit quam Mo. L ineque quoniam rechagulum E AS aequale est quadrato AI, hoc Ir. ti est quadrato A , proportionales erunt ΑΕ ΑΜ ΑΔ, sed Asinae- . . . . quales ergo E composita ex extremis maior erit quam duplam c dia, hoc est quam M'. Et quoniam est ut AG ad A C ita et ad Iamr. AES, S ita M ad O Bh, erit E ad BS ut O ad O di .exbstente S intera B, erit per conuersionem rationis S conuertendo, cxistente vero E inter B S, erit conuertendo&diuidendo, vim ad EB itam hi ad O, sed S maior est quam Mi tu demonstrauimus, ergo S EB quanam maior erit. Atque eadem ratione demonstrabimus omnes alias maiores esse ipsa MO . Minima est igitur M omnium quae ad A pertingentes inter circumferentias EF C interij ciuiatur, quod esto secundum. Et si in semicirculisse inuicem secantibus non datur minima, ea enim quae propinquior est puncto sectiones remotiore ex eademia te semper minor est, sed ut omnibus figuris una eademque demonstratio conueniat,in semicirculis se se secantibus punctum sectionis
Ducatur ergo per A quaeuis recta linea NP secans circumferentias KF . in punctis N Pitavim P minimae Moesit propinquior quam EB, eaque secet circumferentiam D in , sitque Ni R ex eadem parte minimae 5 iungatur cui parallela ducatur C mecans NA vel ei productae occurrens in in Aequalia
Cord igitur erunt rectatagula E Nino, quare ut AE ad A ita. i. i. sit A ad A S, si igitur Assi maior sit quam AN sunt enim 1 .m. . inaequales, erit 1 Ad maior quam AS, sed Ad minor est quam
a T.=ιν A rectangulum enim in equatur quadrato I hoc est quadrato AN, S: est Λ maior quam A M, ergo ipsa Am maior erit quam utraque ipsarum Q. AS, Ss per consequens AE multo maior. Sic igitur quatuor proportiona luim AE AN A L m t AS maxima erit AF, minima vero AS unde S maior erit quam QN, composita enim ex maxima, S minima maior est quam comis .isa. , positam reliquis, similiter Sc differentia maximari minimae maior
Idem demonstra binuissi A minor sit quam AN, nam cum sint proportionales AE AN A RS, S in minor quam AN, erit M Amyinor quam AS, sed Amnaior est quam AN quia rectan-L- gulum N Α aequale est quadrato AI, hoc est quadrato AM, Mi. Tιυν. A minor quam M. Ergo A minor erit utraque ipsarum A AS 5 consequenter A multo minor. Itaque quatuor pro
portionalium AE AN AQAS Gmnia erit AE , unde maxima
42쪽
AS ideo SDmaior erit quam M, quod demonstrauimus,
43쪽
conuersionem rationis S conuertendo, ut E ad EB ita QN ad N P, sed ostenta est E maior quam QN ergo et quam lmaior erat, seu quod idem est a minor quam EB Sic igitur propinquior minime minor est retavitiore, quod postremo loco erae demonstrandum
COROLLARIVMI-ΕX demonstratis patet T maxima esse omnium, quae ii ter circumferentias M TO interi ci tur,ete- ni propinquior minimae, remotiore ex eadem parto minor et L ergo Κ cum sit remotissima omnium, oi
quior enim minimae remotiore ex eadem parte minor est, itaque I Criti ippe quae remotissma est omnium,omni unai
Et hoc Lemma facilius in semicirculis se inuicem scotiabus posset demonstrari, sed quoniam na eademque niuersali
demonstratione iliud perfecimus, particularem bremtatis a sap
SIn duo semicirculi AB Cm EF in directum bases h
bentes,&recta AK perpendicularis ipsi DF secet se micirculum D EF in Κ, 8 excentro circuli DEF, quod si V ponatur G aequalis C,&fiat ut AG ad AC ita quadratum A ad quadratum I. Sit autem AF maior quam AK, in I non minor quam F. Vel sit
44쪽
As minor quam AK, in I non maior quam A F. Dico Κ maiorem esse quam C.
seatur circulus EFR, quem ς producta
secet in R,4 sit primum AF maior quam ΑΚ, de' non minor quam Aa, ergo neque ΑX minor erit qua
minus esset quadrato Aa, quod est falsum, este nim aequale.Cα σigitur AF maior
quam AF, erit ipsa X maior quam Λ Κ. Similiter quonia
K minor est quam AF, per eonsequens minor quam Ierit A maior quam Κ, rectangulum enim AK aequale' est quadrato AI, sed, utraque Λ ΑX ostensa est maior quam K, xg quatuor proportionalium ΑΚ Α ΛXAY minima erit A consequenter maxima Λ , constat quidem' eas Proportionales esse, quia aequalia sunt rect angula in Κ in X)quare δε maior erit quam F, aequalis enim eomposita eX maxima S minima maior est quam composita ex reliqui , similiter S ca quae aequalis est differentiae uitet maximam S minimam maior
45쪽
Idem demonstrabimus si AF minor fit quam ΑΚ, dc Al nota malo qua AF-Nam cum AInon sit maior quam AF, neque A X maior erit quam ipsa F, alioquin rectangulum FA X maius esset qua diato AIquod fieri noni 2-.c. potest, ex enim aequale, selponitur ΑΙ minor quam AK. ergo dc ipsa AL
A F minor qua AK, erit MAIminor qua AK
AYm ito 2 r,rectangulum enim, Acaequale est qu:drato
ALCuigitur singulae Α Α Αα ostentae sint minores qua N: Gis, erit ipsa ΑΚ maema,unde Y minima, sunt enim propo τ H- A X As propter aequalitatem rectangulorum Y Α Κ
46쪽
uertendo, HYR ad A R. ita X F ad FG, sed ostensa est Ria. ior quam F, ergo S in Rohoc est A maior erit quam EC, quod
Iisdem positis. Sit autem ΑΚ maior quam AR&ΑΙ nolimmo quam AK Vel sit AK minor quam AT, MAInon maior quam AK. Dico Faquam AK maiorem esse.
Conei'antur enim ut prius Geta D, eisque parallelae ducantus o YX, quas secerit ΛΚ F etiam continuatae in punctis αὐ&compleatur circulus DEFR, quem ΚΛ producta secet in . Et sit primum ΛΚ maior quam AF, in non minor quam AKErgo neque A minor erit quam ΑΚ, rectangulum enim AK aequale est quadrato Ad ted AK ponitur maior quam AF Ergo M A maior erit quam A F. Et quoniam Al ponitu non minor quana AK, ea maior erit quam ΛΨ, SI A X multo maior, re tangulum enim in X aequale ' est quadrato A I. miscCum itaque unaquaeque ipsarum A X ΛΚ A maior sit quam ...LAF, erit ipla A minima Sed Propter aequalitatem rectanguloria Gm G
47쪽
FAX A proportionales sunt Α ΑΚ YΑX, Ergo AX,
altera nempe extremarum, maxima erit, sed maxima, S minima maiores sunt reliquis,vel differentia maximae, minimae maior est qua differentia reliquarum, Ergo X maior erit quam R. Vel si ΑΚ minor quam F, ω Inon maior quam ΑΚ. Ergo neque A maior erit quam Κ, rectangulum enim ΑΚ quale est quadrato AI, sed ΑΚ ponitur minor quam AF, Ergo de A quam AF minor erit. Et quoniam , ponitur non maior quam AK S in minor quam Aa, erit S AI minor quam AriS consequenter A X multo minor rectangulti enim FAX aequale est quadrato A I. Cum igitur unaquaeque rectarum A X Α ΑΚ ostensa sit minor quam AF, ipsa Aa, maxima erit, unde A X minima , sunt enim propter aequalitatem rectangulorum FAXYΑ proportionales , AK Α AM. Ergo X F, maxima videlicet S minima,vel earum differentia, maior erit quam TR, quae est composita ex reliquis, vel reliquarum disserentia, quod etiam dein superiori casu demonstrauimus.
In utroque igitur casu.Quoniam est ut AG ad AC ita FCad CX, S ita 'AK ad AY, erit ut C ad C ita ΑΚ hoe est A ad
Y S existente F inter X C erit conuertendo S diuidendo, exi- sente vero C inter UX, erit conuertendo S componendo, at exis entem intera erit per conuersionem rationis Δ conuertendo, t
48쪽
Ponatur Oe folium sub linea secunda paginae 39. figurae respiciant ipsam paginam ut perviant Len
49쪽
et X ad Cita V ad AK, sed XJ ostensa est maior quam Rergo S quam ΑΚ maior erit, quod erat ostendendum.
Cant duo sermicirculi ABC DEF in direetiam bases ha bentes, de recta A perpendicularis ipsi re secet
semicirculum D EF in Κ, d excentro circuli DEF, quod si , ponatur V G aequalis V C, fac ut AG ad A C M.,. ita quadratum A ad quadratum AI. Sit autem A Ivel non minor maiore rectarum A A c, vel non maior minore. Dico maiorem rectarum Ari Famaximam sese omnium,quae per ductae inter circumferentia ABCΚ interhciuntur, minorem vero minimam. Aliar uim autem propinquiorem maximae, maiorem esse remotiore. Excipio autem semicirculos se inuicem secantes, in quibus centrum V idem est quod uincitum A, quoniam inj non datur
minima,propinquior enim punEt sectionis, remotiore ex eadem. Pψrte semper minor ess, t infra demonstrabimus. Iungantia igitur Κ ΚD, quibus parallelae ducatur CτYXsecantes ΑΚ R et a continitatas in punctis Y X. Et sit existe te centro Vinter puncta recta A I non minor maiore rectarum A FA . Vel existente eodem centro inter puncta AD, sit AI non maior minore rectarum ΑFAK. Ergo primo casu AF maior erit qua j. AR. unde A non minor quam A ex possitione. Secundo a GI , suin minor erit quam ΑΚ, LAI non maior quam A simili-I. . tere positione. Itaque vrioque caluo maior erit quam FC. ci ς 63 Ostendendum est igitur maximam esse DC minimam, atque propinquiorem ipsi x remotiore maiorem esse Ducatur enim per A utcunque recta Linea AEB secans circumferentia ABC, F in punctisa E, SI compleatur circulus D EI H, vs A quem in Eo productae iecent in punctis A, iungatur GH, e cui parallela ducaturi S lecans Am etiam continuaram in S.Duo igitii rectangula TAM E A S a citi alia ' erunt quare ut x hoc Ie '' est A R. ad Aa ita erit A S ad 1i, existente quidem centro V in ιι ι' ιε
50쪽
s ter puncta AF, sic argumentor Sedin minor est quam T eris, A S minor erit quamina. Et quoniam APponitur non Tzininor quam AF, ea maior erit quam ΑΚ, S confeci uenter mira, , .nor quam AY, rectangulum cnim ΑΚ aequale est quadrato φεν πια I. Cum igitur ΑΙ minor sit quam Aa, eriti A minor, cper consequens minor atque multo minor , fier, ab agitur quatuor proportionalium AR EAS A maximai,...is erit AY, minima vero M. Vnde δε maior erit quam E. si composita enim ex maxima , 5 minima maior est quam composita L 7 ex reliquis,similiter, N: disterentia maximaevi minimae maior'quam
Existente vero centros inter Amargumento hoc modo Seir. νιν in maior est quam ΑΕ ergo S in S maior erit quam AY. Et quoniam At non est maior quam AF,sic enim ponitur, ea minor erit quam ΑΚ, unde maior quamina, rectangulum enim in Kaequale est quadrato Α I. Ergo dc maior erit quam Λ Y dc consequenter maior 5 in E atque multo maior. Itaque quatuor proportionalium ARAE ASA minima erat Aa, maxis I: . ma AR. Ergoa maior erit quam SE, atque hoc idem demon ga.. . strauimus existente centro Circuli DEF inter ΑF. Et quoniam in utroque casu est ut AG ad AC ita A ad J. L m. Et ita EB ad BS, erit ΑΚ hoc est AR ad A v Et ad BS,Mexistentes intera erit conuertendo S componendo, existente Vero Rinter Aa, erit conuertendo S diuidendo, at existente Y terram erit per conuersonem rationis S conuertendo ad Α ita S ad EB, sed δε ostensa est maior quam E ergo MN hoc est ΛΚ maior erit quam EB Et sic demonstrabitur omninhus alijs maior Naxima est igitur Gmnium AK σε εἰ- Pari ratione quoniam aequalia sunt tectangula E AX erix A ad AF ut Acad KS. Existente quidem centro V mxς hac ratione argumento . Sed a minor est quam ' ergo ΑΔ minor erit quam AS 5 quoniam I ponitur non mor
rxi ente vero centro, inter AD, argument Imaior est quam AF, ergo S in maior erit quam AS. Et A non est maiorqtiam F, anainor erit quam ΑΕ, Ergo maior
urrit oportionalium Ea APAX AS minima erit AS RIδ z: nde S E maior erit qua XE. Ideque in superiori casu demonstr um