장음표시 사용
31쪽
A in concauam circumserentiam FK, sic argumentor , sed δ. T rtis maior est quam ΑΕ, ergo S in maior erit quam A X. Et quo- ' in niam poniturin non maior quam AK, ea minor erit quam A F. ergo maior quam Αα, rectangulum enim Fri aequale est quadrato AI Cum Itaque ΑΙ maior sit quam Αα, erit S in maior. atque AE multo maior, S per consequens maior N in F Quatuor igitur proportionalium FAEA SAX minima est A X. unde β 2 in maxima ΑF, atque adeo X F maior erit quam SE. a Cadente vero x in conuexam circumferentiam P argume a*- tor hoc modo, sed A minor est quani AE ergo S minora .gruin erit quam Λ X. Et quoniam ponitur Λ non minor quam ΛΚ, ea maior erit quam AF S per consequens minor quam Λα, rectan-- r. gulum enim Fri X aequatur ' quadrato AI Cum igitur A minorytquam X,erit minor 5 ΑΚ, S AE multo minor,b consequenterminor quoque S in F Sic igitur quatuor proportionalium Finas,.srom ΑΔ Αα maxima erit A X, minima vero I atque adeo dira-3iv ior erit quam SE, quod S superiori casu demonstrauimus.
R r an utroque casu igitur quoniam est ut G ad AC ita FCad CX,5 ita. EB ad BS, erita ad C xv EB ad BS, S existente
inter X F erit conuertendo S componendo, existente ver inter G, erit conuertendo S diuidciado, at existente X interi C. erit per conuersionem rationis Sc conuertendo ut XI ad FG ita Si ad EB, sed XI ostensa est maior quam S E ergo S a C maior erit Quam EB Eademque ratione demonstrabitur omnibus alijs maior-Cεν. Maxima est igitura C.
L Et quoniam aequalia' sunt rectangula EAS AK, erit ri AE ad citara ad AS si igituro cadit in concauam circumse-ι ινιν rentiam Fri, sic argumentor, sed A maior est quam Λ Κ, ergo S maior erit quam AS. Et quoniam ponitur A non a
Ior quam AK, ea minor erit quam A E , maior autem quan AS, rectangulum enim EAS aequatur quadrato AI Cum igitur Λ --
ior sit quam AS, erit S maior, o A multo maior . Atque
1.- adeo quatuor proportionalium AEA ΚΛ Λ S minima erit AS,ai. Quis S per consequens maxima ΑΕ, quare SE maior erit quama AD. - Si vero Λ in conuexam K circumferentiam cadit, argumen-ς τ' labor in hunc modum, sed Assi minor est quam AK, ergo S in Y J 'minor erit quam S. Et ouoniam ponituros non minor quam K, ea maior erit quam Assi, unde minor quam ΑΔ, rectangulum α η' enim E A S aequales est quadratoin I. Cum igiturin minor sit quam AS, erit minor, S AK, atque E multo minor. Itaque quatuor proportionalium AE ΑΚAYAS maxima erit ΛS, nu-L . . alma ' vero Assi ergo S E maior erit quam K Idemque demonstrauimus S supra. - Λ
32쪽
conuertendos componendo, existente vero in inter R, i uertendo diuidendo, at existentes inter Em erit per e ueisio nem ratiotia dc conuertendo viri ad EB ita
ostenta est maior quam K. ergovi Elu' e erit et am Li
eoncauam circumferentiam F hoc mota argumentor, ELA, maior est quanae Ai ergo maior erit duamis V otici
o rit A multo minor,& multo minor ipsa N; unde Quamor
Propinquior maxima maior remotiore, quod erat ostendendum.
Facibus inexpeditius in semicirculis se inuicein sicantibus aut tangentibus, etiam in mitis alijs propositu mpsset demo
33쪽
strari sed eam demonstrationem breuitatis causa mitibnus. quandoquidem insuperiori qua est uniuersalis , ad omnes e sus consentanea idempraestitimus. Idem autem Lemma posset quoque lienunciari. SInt duo semicirculi ABC DEF in direct umbases ha bentes,&recta Accontingens semicirculum DEFin Κ, secet ipsum ABC in T,&excentro circuli DEFquod sit, ponatur G aequalis V C. Sit autem in se
micirculis, quorum alter reliquum includit, ratio AD ad A non minor ratione AG ad AC in semicirculis vero ex opposito existentibus, non maior. Dico maiorema charum x DC maximam esse omnium quae per A du istae inter circumferentias KF C interijciuntur, mino rem vero minimam. Aliarum autem propinquiorem ma-2ximae, remotiore maiorem esse. Sed huiusmodi enuntiatio parum commoda videtur, neque enim Omnes casus ampletili potest, neque in hanc formutimisquens Lemma aut vigesimum possent bene concipita deopriore -- mur tanquam commodiore V clariore.
IIsdem positis. Sit autem A minor maiori rei harum
AF ΑΚ, maior minore. Ergo a puncto A ad circumferentiam Κ poterit duci recta AM ipsi AI aequalis. Ducatur igitur,' producatur ad circumferentiam ABCini. Dico maiore icctarum T C maximam esse Pinnium, quae per A ducuntur inter circumferentias EF a C interii ciuiuur,minimam vero M. Aliarum au
34쪽
tem propinquiorem minimae, remouore ex eadem parte minorem esse.
Ducatur enim per A utcunque recta linea AEBesecans circumferentias E T CAin punctis E B, circumferentiam vero D in II, Conectantur H Κ Κ D, quibus parallelae ducan tu CS CY X secantes EA AE A continuatas in punctis S X, sit primum K Tmaior qualia C. Quoniam igitur
CX, existente pacto Κ interYT, erit conuertendo S diuidedo S rursus conuertendo, existere vero Trinter M, erit conuertendo, componedo rursus Conuertendo, at existentes inter ΚT, erit percon uersionem rationis, ut Tad YK- ita FGad XF, sed Κ ponitur ma
ior quam EC Ergo' Macquam XI maior erit. Et
35쪽
FAX, erit in Y cad A sicut Ariad AK, sed Kostenta est maior quam hoc est composita ex extremis maior quam composita ex med ijs, vel differentia extremarum maior quam differentia mediarum, ergo altera extremarum YAcmaxima erit altera minima In semicirculis quidem , in quibus AF in conuexam circumferentiam
FK cadit, sic argumeror. Sed Aia non est minima, quia maior est quam AF, ergo maxima erit Vnde Ac minima Itaque A mi-Nor eritquam AF de multo minor, quam AE. Similiter quinniam aequalia
36쪽
adeo YTcoposita ex maxima S minima,vel earunde disserentia, as L .niaior erit quam S E coposita ex reliquis, vel reliquaru differentia. In sermicirculis vero, in quibus Α cadit in concauam circumse- r rentiamam in hunc modum argumento . Sed A non est maxima,quia minor est quam AF, Ergo minima erit, S consequen-r.Tisi . te maxima,unde A maior erit quam F, multoma iior quam ΑΕ. Et quoniam aequalia sunt rectangula R EAS, c. .ι. erit vi ΑΚ Ο ΑΕ ita Α, ad Y, sed ΑΚ minor est quam is s. AE, ergo S in minor erit quam RY. Cum itaque Aa maior sit quam Assi, S maior quam I, ut est demonstratum, acetiam maior quam ΑΚ, erit ipsa A maxima quatitor proportionalium ΑΚ ΑΕ Α Sin Y minimc vero ΑΚ sed con sosita essi a Xima iis adi minima maior cst quam cCmrosita ex reliquis, Similiter di differentia maximae S mma armator ' quam di fierentia reliquaruna, . ergo maior erat .m Ε, quod etiam cadente AF in conue L. r. xam circumserentia in F demonstrauimus.
Ergo in utroque casu quoniam est ut G ad AC ita EB ad BS, 1.- ,. 5 ita 'ΚT ad Y erit Κ Tad Y ut EB ad BS, S existente
inter T, erit conuertendo S diuidendo existente vero T inter K, erit conuertendo S c OICncndo, at existet Y inter T,erat perconuersionem rationis S conuertendo, vi K ad T ita S ad EB,
sed' costensa est maior quam SE, ergo S qua EB maior erit. Et sic demonstrabitur omnibus alijs maior Maxima est igitur a. i
37쪽
ad Ta, Lexistentem inter TT, erit conuel tendo S diuidendo ac rurius conuertendo, existente vero Tinteram, erit conuertendo MCoponeiado dc iterutri conuertendo,at existentea inter Ka erit per conuellionem rationis, ut C ad vitam L ad ΚY, sed F p nitur maior quam T ergo M X maior erit quam Κ, sed
νε- φη NYI differentia mediariri, constat quidem eas proportionales esse, ex eo quod aequalia sunt tectangula TAX Y AK alteta igitura. e tremarum AR X erit maxima, altera minima Cadente qui- ..It. . demo in conuexam circumferentiam K lio modo argumen-δTεν is tor ' Sed AF non est maximi milia minor est quam AK, ergo G κ minima erit, Sc consequenter Αα maxima Itaque A X maior erit quam AK. Mideo mulioniaior quam ΑΕ. Et quoniam aequalia
lax xu rectingula PACE AS. erit ut A ad A minor ' videlicet, . ad maior: ita AS as ΔΚ, ergo M AS iam erit quam AS, seu
38쪽
seu quod idem est A X maior quam AS, sed A X ostensa est cilicique maior quam AE,' tanto mani semiis maior est Quam ipse
go quatuor proportionalium A RE AS A maximae: Auct per coniequens mima AF, unde XI maior eris quam S ECadente vero ' in concauam circumferentiamum, si carnu. mentor Sed F non est ramima. quia maior est quam AK 'i' re maxima erit,unde in X minuata, sic igitur Aa minor eritqύam Id it K, coiisequenter multo minor quam Λ E. Et quonian propter aequalitatem rectangulorum FAX E S est v F ad AI ρ ρι maior ' videlicet ad minorem, Ita AS ad A X, er OS ASma' ἔ vir erit quam X, hoc est A minor quam AS sed Apocrisa estniinor quam Ai S consequenter minor etiam quam AsErgo quatuor proportionalium ADAE AMAX minima erit A X. quare F niaxima, unde V maior erit quam SE, quod etiam i
demonstrauimus, de supra. Udm I .m. .
ter bd erit conuertendo S diuidendo, existente vero B inter SE 'erit conuertendo S componendo, at existente S inter EB, erit de Conuersionem rationis SI conuertendo, ut 4 ad Finitam ad
EB, sed ostensa est F maior quam S E ergo &a quam EB maior erit. Atque eadem ratione demonstrabitur auior omnibus aliis. Quare a tua est PC. Sed Dipit pum Cc oste
39쪽
Sed sint aequales FC. Quoniam igitur ut G ad A C ita Μ est FCad CX, N ita 'Κ Tad TY, erita ad Xsicut T ad TY, sed FC ponitur aequalis ΚT,
ergo SD X aequalis erit Ta , quare per subductionem vel additionem aequalium aequalibus erunt aequales& XJ Κ,
Portionalium A A A, A X, ipsa vero YMex med ijs, vel a differentia est extremarum,
Y disterentia mediarum, Constat quidem rc.Sext . eas proportionales esse, ex eo quod rectangula FAX AK aequalio
Lιm.o sis in Acaequales erunt, maior videlicet maiori minor minori. Itaque Fin aequalis erit al-Gteri ipsarum Y Aram sed non est aequalis ipsi ΝΚ, haec enim tangit circulum EF, illa vero secat. Ergo ipsa in aequalis erit ipsi AN. Et quoniam aequalia sunt rectangula AK o. EAS, erit AY ad AE tori ad Am Cadente
autem AF in conuexam ircumferentiam FK sic argumento . Sed NY,
cum sit ostens aequalist.Tres ipsi Aa, minor est qua AE ergo, A minor erit
40쪽
erit quam AK, est autem 5 A minor quam AK. A multo inuior . clamor igitur proportionalium A AE AS A ma ibis axima erit AK S coniequenter minima AN, Vndere maior erit , .esia
quam S E. si Cadente vero AF in concauam circumferentiam K, argumen L. -
tor hoc modo. Sed A cum sit aequalis ipsi Aa maior cst quam r. ,2AE; ergo SI AS maior erit quam A K, 5 AYmulto maior Itaque quatuor proportionalium AYAEAS AK minima erit AK, 5 pec conseqtiens maxima Aa unde maior erit quam Ε, l . quod etiam demonstratum est S luperiori casu. ' 'Quoniam igitur in utroque calii ut is ad AC ita 'est Bad L.λγ.BS N ita K ad Y erit K ad T v EB ad BS, S existen-Zιm. s.
tem intera , erit conuertendo S diuidendo, existente vero Trinter K, erit conueriendo componendo,at existente cinter KT, erit per conuersionem rationis S conuertendo, ut m ad K ita
S ad EB, sed ostensa est maior quam E ergo S m maior erit quam EB Eademque ratione demonstrabitur maior omnibus alijs. Quare S FC, cum sit aequalis ipsi K , erit omnibus maior. Itaque utraque maxima erit Maior igitur rectarum ΚΤ Cmaxima est omnium ductarum pero, quae inter circumferetias K FT C interjjciuntur, quod esto primum. Iam vero ad demonstrandam minimam producatur bi opus exigi ΛΜ, ut circumferentiam, D secet iam, S iungatur G R., cui parallela agatur C di secans A continuatam in N. Rectangulum igitur . 1 A P aequale erit quadrato AI, hoc est quadrato A , sunt enim aequales A AM quare AM aequalis erit ipsi A N. Et quoniam rectangulum FAX aequale est quadrato AI, hoc est Z.mis quadrato Abi proportionales erunt A A M AX, sunt autem V. μιλα inmquales , recta enim AF vel ea producta transit per centrum circuli Det , secus vero Am , ergo x composita ex extremis maior erit quam dupla media, hoc est quam Misi. Et
quoniam est ut AG ad AC ita FC ad C X, S ita Moad O e, erit C ad C X vim ad O nt,4 existente X inter DC erit per
conuersionem rationis S conuertendo, existente vero F inter CX,
erit conuertendoti diuidendo via X ad C ita in ad MO, sed maioresta quam Mist, sic demonstrauimus, ergo S qu MMO maior erit. Pari ratione, Quoniam rectangulum o aequatur quadrato t. m. s. Α hoc est quadrato A , proportionales ' erunt a .r- id sed sunt inaequales, Am enim tangit circulum D EI A M vero secat ergo compositae extremis maior erit quam Mouet, media
videlicet dupla. Et quoniam ut AG ad AC ita ' est CT ad a. M a m ad inde et .iv K ad T Y ita O ad O IV S exi i. s. stente