장음표시 사용
21쪽
ad Bita C ad D, sit autem composita ex extremis A maior quam compolita ex mcclijs C. Dico alteram ipsarum A maximam esse,alteram minimam. Si enim si cri potest neutra ipsarum AD sit maxima ergo una mediarum erit maxima Et conlequenter altera minimc unde composita cx mi maxima minima, hoc est cx mediis maior erit quam composita ex reliquis, hoc est ex extremis, quod est absurdum, ponitur enim composita ex extremis maior quam composita ex med ijs. Cum igi
tur neutra mediarum sit maxima, erit maxima una LM t. Extremarum, d per conlequens altera niuiuna
Similiter si differetrii extremarum qitatuor magnitu- diiunia proportionalium fuerit maior quam differcn'tia mediarum. Altera extremarum maxima, Altera minimma erit Sint quatuor magnitudines proportionaIes AB CD DEB F, ast in disterentia videlicet extre inartina A BF sit nmaior quam C differentia mediarum C DE . Dido ΑΒ maxinaam esse proportionalium FB minimam. Si enim fieri potest non siit maxima AB. Ergo CD maximi erit S co :alequenter ' Da minima . Itaque D minotetit quam BF . Si igitur a maiori auferatur minor quantitas quam a minore, reliqua maiori maior erit quam rei qua minori S aut eratur ergo D a CD, SI FDa AB, reliquam maior erit quam reliqua AF, quod est ablux-dum, Ponitur enim A maior quam C E. Non est igitur maxima CD, ergo A naaxima erit, S per consequens ma, quod erat ostendendum.
Si composita ex extremis quatuor magnitudinum proportionalium fuerit aequalis composit ex med ijs. Maio extremarum aequalis erit imaiori mediarum , Minor
22쪽
Sint quatuor magnitudine proportio
posita ex exircinis aequalis et composi ta ex med ijs,4 sit AB maior extrema D maior media. D: co AB DE quales esse, itemque aequales BF D. Si enim non sunt aequales erit altera maior, altera minor. Sit primum AB sieri potest maior quam E, ergo multo maior erit qu.im CD. ed B ponitur' loque maior quam Ba Ergo ipsam omnium erit maxima, S consequenter minima; unde AI LV M. composita ex maxim. S minima maior erit quam C composita ex reliques, quod est abliirdum ponuntur enim aequales A CE, non igitur AB maior est quam DE. Seu sit AB ii fieri potest minor quam D E erbi F multo minor erit, sed S ponitur minor quam E ergo D omnium erit maxma CD vero ' minima, atque adeo C compofita ex maxima. S minima maior erit quam A composita ex reliquis, quod itidem est ablurdum, Ponuntur enim aequale E. Non igitur ABminor est quam T. Cum itaque A non sit maior, neque minor quam Di, erit ipsi aequalis, S per conlequens GD aequalis quoque vi, est enim ut AS ad CD ita DT ad BI, S: est A p rima aequalis Di tertiae ut demonstrauimus, ergo S uecunda C aequalis est vi quartae. Quare constat propositum.
Imiliter si differentia extrema rurnquatuor magnitudinum proportionalium fuerit aequalis disserentiae me diarum. Maior extrema maiori media aequalis erit, Minor autem minori.
Sint quatuor magnitudines proportionales AB CD Da BF. Sit autem A differentia extremarum aequalis C E differentia media rum. Dico AB CD aequale esse, ει α - , quales quoque D E BI. Producantur, -- enim B CD ut G sit aequalis EO, c Is
H aequalis B. Qiapniam igitur aequalis est ED, S a B aequalis H, erit FG aequalis H, Ieddi AF aequalis est C E ergo tota AG
Et quoniam est ut AB ad CD ita D ad B F, erit permutando ut AB ad D, hoc est ad BG ita CD ad F, hoc est ad m, A componendo ut AG ad BG, ita erit CH ad H, sed G
23쪽
Ostensa est aequalis CH, ergo BG aequalis erit H, hoc est
D aequalis erit ipsi B, minor videlicet mediarum minori extremarum. Atque si aequalibus Ba addantur aequales I GE, erit S AB aequalis CD, hoc est maior extremarum maiori mediarum. Maior igitur extrema maiori mediae aequalis est, minor autem minori, quod erat ostendendum. Iungantur enim G MD, eisque parallela agantur CY V X secantes ΚΑ δε continuatas in punctis X, di sit primum Fmaior qua ΛΚ, S A non minor quam AF, ergo neque A minor erit quam AF, alioquin rectangulum FAX minus esset quar m. s. raro Aa, quod fieri non pote it, et enim ' aequale . Cum igitur KF maior sit quam non minor quam Aa,erit S ipla A maior quam AK. Eadem ratione , quoniam δε minor stquam AF, S per consequens minor qua in Aci, crit A maior quam Κ, alioquin sequeretur quod rectangulum AK minus Lon. s. esset quadrato AI, quod neri non potest, ostenilim ' enim est aequale. Cum igitur A major sit quam AK similiterct utraque ipsarum Fra maior quam AK, erat ipsa AK minima quac tuo proportionalium AK AI A X AN . Vnde maxima, , ιε.xii. constat quidem eas proportionale csse, quia aequalia ' sunt re C ,' langula in F A XJ quare M major erit quam XI, com- posita enim ex maxima, S minima maior est quam composita ex
reliquis, similiter de distercnua maxima S minimae maior quam . . r. :fferentia reliquarii m.
Deinde sit A minor quam ΑΚ, S in non maior quam AT, ergo neque A maior erit quam Ain, alioquin rectangulum FA Xt,m , manifestet quadrat AI quod fieri non potest, est enim aequale.
SInt duo semicirculi ABC DEF in directum bases lia
bentes, S rcet A contingens semicirculun DEFin Κ secet ipsum ABC in T, t ex centro circuli DEF, quod sit V ponatur G aequalis C, sat ut AG ad AC ita quadratum AK ad quadratum AI. Sit autem AF maior quam A , A non minor quam A F. Vel si AF minor quam ΑΚ, S AI non maior quam A F. Dico D maiorem esse quam PC
24쪽
orii a Cima itaque A minor sit quam AK S in non maior quani AF erit Scipsa A minor quam AK. Similiter quoniam AK maior est quam AF, S ideo Dor quam AI erit a minor ouam AK, alioquin rectangulum AK maius esset quadrato AI, quod fieri non ' potest. Cum igiuris minor sit quam Λ Κ, L.m. s. similiter S: utraque ipsarum Atax minor, ut demonstriritimus, erit A K maxima quatuor proportionalium A X AN, per consequens a minima, si unt quidem proportionales Wic s.αι AK A A X AN, propter quod aequalia luntrectanstula Y AK C. .l.
R X, sed composita ex maxima S minima Vatia o pro 'ε rriona Lem. s. Iium maior ' est q iam composita ex reli quis mi militer ω differentia , Leuio
maxima: S minima maior ' quam differentia reliquarum. Ergo . Y maior erit quam F, Quod S superiori casu de ilion strauim is LM 'η moniam igitur utroque AG ad AC ita ad Gi. i. TY S ita FC in erit K ad Y ut Cadix, Mexistente puncto Κ interpuncta' , erit conuertendo S diuidelidendo exiliente vero T inter erit conuertendo S componendo, at existent Winter T, erit per comicrsionem rationis, S conuertendo ut ita XI ad F C, sed i K ostensa est maior quam X F, ergo iam quam C maior erit, quod erat ostendendum.
Lemma XIV:TSdem positis. Sit autem AK maior quam AF 3 ΑΙ non minor quam AK. Vel sit AK minor quam AS,
25쪽
ae APOLLONII REDI VIVI& A non maior quam AK. Dico FC maiorem esse quam T.
Conectantur enim G ΚΚD, eisque parallela: ducantu CY X secam te ΑΚ F etiam continuatas in punctis YX, αε sit primum ΝΚ maior quam MF, 'I non minor quam ΑΚ, ergo neque A minor erit quam Α Κ, rectangulum enim ΑΚ aequale' est quadrato I , sed Ammaior est quam KR ergo S: A quam ΑFmaior erit. Et quoniamin IPonitur non minor quam Κ, ea maior erit quam AF, 8 A multo maior, nam rectangulum
Fin X aequales est quadratoin I. Cum igitur v-naquaeque ipsarum XΑΚΛ maior sit quam Assi, ipsa Ariminima erit, sed sunt proportiona U
rectangulum enim in X aequale est rectangulo ΑΚ, Ergo A X altera
nempe extremarum maxima erit;quare X. maior erit quam Κ, comis posita nimis maxima, .minima maior est quam composita ex reliquis, similiter, S differentia maximae, minimae maior quam reliquarum differentia.
26쪽
Idem demonstrabimus si ΑΚ minor sit quam ΑFi A non maior quam Α Κ, nam cum A non sit maior quam AK , neque' maior erit alioquin rectangulum A maius esset quadrato AI, quod fieri non potest, est enim ' aequat sed AK mi- nor est quam F, ergo δ minor erit. Et quoniam A ponitur non maior quam ΑΚ, S in minor quam AF, erit S AImisor quam AF, per consequens X multo minor, rectangulum enim FAX aequale est quadrato AI Cum igitur singu Lem. s. larin X K ΑΚ ostensae sint minores quam AF, ipsa Α maxima erit Vnde Ας minima,sunt enim quatuor proportionales
AF ΚΜ in X quoniam aequalia ' sunt rectangula FAX 'Κ, ergo i maior erit quamam, quod etiam demonstra ET
Vtroque igitur casu, quoniam est ut AG ad Accita ad re CX, ita AE ad T Y erit C ad X ut Tad TY, existenti inter C erit conuertendo, diuidendo, existente veros inter X erit conuertendo SI componendo, at existente inter C erit per conuersionem rationis S conuertendo ut Fad Cita Κ ad T sed Jostensa est maior quam K, ergo S FC maior erit quam, , quod erat ostendendum.
CInt duo semicirculi ABC DEF in directum bases hara bentes S recta A contingens sic micirculum DEFin Κ secet ipsum ABC in T, ex centro circuli DEF, quod si V ponatur VG aequalis C S 'fiat ut AG ad I . LAC ita quadratum M ad quadratum I. Sit autem et, si', 'A vel non minor maiore rectarum A A , vel non amatori in Ore . Dico maiorem rectarum ΚT C maximam este omnium qua per A ductae Inter circumferen βῆ
tias F C interjjciuntur, minorem vero minimam. ιζ' Aliarum autem propinquiorem maximae, remotiore ma- ra
iorem esse. Κτ maxiIungantur enim GK D, eisque paralleliae agantur CY X raeantes A A continuatas in punctis YX. Et sit prilinum cadente AF in concauam circumferentiam FΚ Iecta Al non minornaa.
27쪽
ΑΚ, unde AI non minor quam Α FPonatur enim in Inon minor maiore rectarum in F K. Secundo ca- των su AF minoi erit quam AK, S AInon maior quam, AF ex post tione .. Itaque troire caei 33. sum T maior erit quam FC. -
nar ΚTmaximama esse, F minima, aliarum aute pro
pinquiorem ipsi Κ Tmaiorem esse:
per Hircunq; recta linea AEB se cans circumferent
ierentia vero in inm Sc conecta ni GH cui parallthiae ducatur CS secans SA, etiam
continuatam in S . Rectangulum igi turYAK aequa-la erit rectangulo
28쪽
TAs, quare ut ΑΚ ad AC ita erit AS ad a. Cadente qui ι Sexti demin F inconcauam circumferentiam P sic argumento , sed ΛΚ minor est quam AE ergo S in minor erit quam Λ Y Et . s. quoniam ponitur Arno minor quam AF, ea maior erit quam ΛΚ, E consequenter maior quam ΑY, rectangulum enim ΑΚ aequale. est quadrato A I. Cum igiturin minor sit quam Aa, erit Ec Lam. i. criminor, A in multo minor, per consequens minor, ΑΚ. Cum igitur una quaeque rectam AK AE ASaninor sit quam ΑY, eritina maxima, consequenter in minima, suntenim qua zam. . tuo proportionale ΑΚ AE SΑY ut demonstrauimus, unde Y maior erit quam SE, O osita enim maxima S minima
maior est quam composita ex reliquis, similiterdifferetia interana s. ι- rimam e minimam maior quamdifferentia inter reliquas. 3.Cadentevero Aman conuexam circunderentiam Fcargumen LM
tor lioc modo, sed K maior est quamina, ergo S AE a 3 rere .ior eritquam ΑY. quoniam a ponitur non maior quam Αλε α ea minor erit quam AK, per consequens maior quam Λ re 'ctangulum enuia in is quale est quadrato A I. Cum igitur ΛI Lam.f. maior sit quam ΑY erit maior in F, atq; AE Aulto maior, S per
consequens maior ciuoque S ΑΚ. Sic igitur quatuor proportiona
maior erit quam SE videmonstrauimus, in superiori casu. 'in' Sed utroque casu, quoniam est ut AG ad AC ita ad TY.d 'ita B ad BS, erit K ad V, E ad BS, SI existente i m. s.
puncto Κ inter erit conuertendo,N diuidendo existente vero' inter m erit conuertendo S componendo; at existente Uinter erit per conuersionem rationis, S conuertendo ut Mad T ita E ad EB, sed M ostensa est maior quam SE, ergo S IT maior erit quam EB . Et sic demonstrabitur omnibus aliis maior Maxima est igitur omnium a. Similiter quoniam equalia' sunt rectangula EAS in X erit E A C. .Lad AF ad AS Cadente quidem Fin concauam cir-ου s.cumferentiam Κ, hac ratione argumentor, Sed Λ ' minor est V s. quam Ai ergo minor erit quam A S, Et quoniamin Iponitur non minor quam AF, ea maior erit quam ΑΕ, minor autem quam S rectangulum enim EAS aequatur quadram AI ergo AF minor erit quam AS, Z ΑΕ multo minor, atque adeo quatuor proporitonalium ΛΛ FAXAS , maxima erit ΛS, minima ' vero Assi, quare S maior ' erit quam X F. R Cadente vero Assi in conuexam K circumferentiam argumen.
tor hoc modo , sed Assi maior ' est citam ruri ergo dein X ma Ir Tior erit quam AS, A quoniam' ponitur non maior quam AF, ea minor erit quam ΑΕ, ergo maior quam AS; rectansrulum enim in aequale est quadrato AD quare S maior
29쪽
maior. Itaq; qua tuor proportiona
' Hoc de demostra uimus, citi pra. Vtroque igitur
existente E inter pucta SD, erit conuertendo S diuidendo, existente vero B inter SI, erit conuertendo S componendo; at existente Sinter EB, erit per con uersione rationis de conuertedo ut
stensa est maior quam XI , ergo&a maior erit quam C. Atque
eadem ratione demo strabimus quacunque aliam maiorem esse quam FC. Minima est igitur FC. Iam agatur pei punctu A quaevis recta
30쪽
recta Linea AN P secans circumferentias KF TC in puncti DP, circumterentiam vero mini, sitque Ni maximo T copii, quior quam EB Iungatur igitur L eique parallela agat 1ecans NA, vel ei producta occurrens ii Q equalia igitur erunt v rectangula NAQ. EAS; quare ad A ita erit A L mr ad A Si quidem A in concauam circumferentiam Fccadit sic argumentor, sed A minor est quam AE ergo S A S minor erit quam Et quoniam A non est minor quam AF ex positione, ea naaior erit quam MN, S consequenter minor quam Ad rectangulum enim N AG aequatur quadrato AI, Dis. i. ergo S ΑΨ minor erit quam A SI A E multo minor,ac etiam minor 3 AN . Sic igitur quatuor proportionalium AN ME .., a. AS A naxima erit in S consequenter ' minima AN,via i , iis de QN maior erit quam , E
Si vero Aa in conuexamam circumferentiam cadit argumen 'ut te .
tabor hoc modo, sed Am maior ' est quam Aa, ergo S ma. V Vr ior erit quam Adi Et quoniam A ponitur non maior quam AI, ea minor erit quam AN, dc per conlequens maior quam A., rectangulum enim N A inaequale est quadrato AI, ergo S AFm nor erit quam AS, minor quoque: Assi, atque A multo minor. Sic igitur quatuor proportionalitina AN AE ADAQ ainimae , ' . . ritino, unde maxima Amri quare QN maior erit quam SE . . . '
Atque noc idem demonstrauimus S supra vel D. .
Utroque igitur casu quoniam est ut AG ad AC ita 'm P ad PQ Om. s. 'Mita ' EB ad S, erit Ni ad PQA E ad BS, cxistente
inter Orit conuertendo diuidendo , existente vero 'inter
N erit conuertendo, componendo, at existentes Interm Ρ, erit Per conuersionem ratiotiis SI conuertendo ut Q. ad Ni ita
S ad EB, sed in ostensa est maior quam SE, ergo Niniator erit quam EB, hoc est propinquior maximae maior quam re
Deinde cadente AF in concauam circumseret iam FK. Sit A Ino maior minore rectarum Α Α Vel cadente AF in conuexam circumferentiam Κ, sit A non minor maiore rectarum Λ ΛΚ. Primo igitur casu Acminor erit quam Λ F, unde A I non maior .Tm,.quam AK ex positione. Secundo casu ας maior erit quam AI, τε ν consequenter Λ non minor quam AK Similiter ex positione. t.m.io. Itaque utroque casu FC maior erit quam T. Ostendendum est igitura maximam esse, Κ minimam, atque propinquiorem ipsi C remotiore maiorem esse. Ducatur enim per A quaeuis recta linea AE secetns circumserentias Dr in punctis B, circumferentiam vero x in H, B conectatur GH, eique parallela ducatur CS secans Bin etiam continuatam in . Rcriangulum igitur FAX aeq.iale erit rectangulo
Eos, quare ut A E ad Assi ita erit Aci ad A X cadonte quide in AF in