장음표시 사용
431쪽
ABD, sunt magnitudines proportionaliter analogae, & consequenter exproposita a . sunt prop* rti naliter analogae in grauitate ; ergo eorum centra sincabunt v D, eodem modo. Sed ex scholaprim. pr posita, lib. 3. centrum iE, trilinei ABn, sic diuidit BD, ut BE, ,sit ad ED, viniimerus trilinei unitate auctus, ad unitatem ; qui numerus trilinei vn itate auctus, quoniam numerus trilinei duplus est numeri conici, est duplus numerus conici unitate auctus. Ergo E, centrum grauitatis conici, sic diuidet BD, ut BE, sit ad E D, ut duplus numerus conici unitate auctus ad unitatem. Quod, &α ,
Patet ergo proposit. 3s. Lucae Ualerii lib. pri. decent. grauit. oc omnium illorum, qui probant, centrum grauitatis coni sic secare axim, ut pars ad verticem sit ad reliquam ut 3. ad i. esse nostrae corolla
sentrum grauitatis Meessus e sindri urcumferipti cuilibet conicorumsupralbum, sie diuidit axim conici, et, o, ad et retium sitad reliquam, it duplus numerus consti- rimitate auct , ad duplum numerum eontes' ternario
432쪽
3 s1 DE INFINITII PARABOLIS ETC.
Conico ββ C, antec. proposit. sit circumseriis
plus cylindrus FC, & H, sit centrum grauitatis excessus cylindri FC, supra conicum AB C. Dico B H, esse ad ΗD, ut duplus numerus conici unitate auctus, ad duplum numerum conici ternario auctum. V. g. in pri. annulo ut 3. ad s. In sec. ut 3. ad T. Intere. ut T. ad s. Et sic in infinitum. Nam supponamus, ut prius, Λ BD, esse etiam trilineum, cuius exponens sit duplus numeri conici,& FD, esse parallelogrammum sibi circumscriptum . Patebit ex schol, pri. proposit. 4. huius. Excessum cylindri supra conicum, & semiparabolam FB A, esse magnitudines proportionaliter analogas I & consequenter, ex dictis, esse etiam magnitudines propo
tionaliter analogas in grauitate. Ergo eorum centra grauitatis aberunt aequaliter a B. Sed ex schoI. 2. proposit.a. lib. 3. centrum atqui librij semiparab
lae FBA, sic diuidit FA, v. g. in k, ut Fh, sit
ad his, ut numerus parabolae unitate auctus, adnumerum parabolae ternario auctum ; qui numerus parabolae unitate auctus, est duplus numerus annuli unitate auctus, quia numerus parabolae supponitur duplus numeri annuli, sicuti propter eandem causam, numerus parabolae ternario auctus, est duplus numerus annuli ternario auctus . Ergo H, cem
433쪽
sed etiam nunc, ex doctrinis supra traditis, non modo habemus centra grauitatis praedicta, sed etiam aliorum solidorum, quae nunc explicabimus. Primo habebimus centrum frauitatis frusti cuiuscumque
conici, resecti plano bas parallelo. V. g. s conicus ABC, secetur plano LHM, basi A DC, parallelo, habemus centrum grauitatis frusti A L M C. Hoc autem centrum tribus modis habetur. Primo, quia cum, exsuperius dictis, pateat, frustum conicum ALM C, esse proportionaliter analogum in grauitate cum trapezio A L H D, cuius exponens sit duplus exponentis frusti, &cum traperii cuius cumque inuentum sit centrum aequilibrij in diam tro H D, in proposit. I a. lib. 3, inuentum erit consequenter centrum grauitatis frusti conici ALM C. Secundo inuenietur sic. Tam BD, quam B H, sic secenturino, N, ut BO, ad OH,& BN, ad N D, sint ut duplus numerus conici unitate auctus ad unitatem. Ergo ex proposit a T. O, & N, erunt centra grauitatis conicorum ABC, LBM. Fiat autem, ut excessus potestatis DB, duplici gradu altioris potestate conici, supra similem potestatem .
B H, ad ipsam potestatem B H, sic O N, ad N E. Punctum E, erit centrum grauitatis frusti ALMC. Nam cum ex schol proposit. i . lib. t. st ut potestas D B, duplici gradu altior potestate conici, ad simi-
434쪽
3 4 DE INFINITIS PARABOLII ET lem potestatem Bii, sc conicus ABC, ad conicum L B M. Ergo diuidendo, erit ALM C, ad LBM, ut excessiis potestatis DB, gradus explicati, supra similem potestatem Bii, adsimilem potestatem B H s, nempe ex constriustione , reciproce, ut
ON, ad NE . Patet ergo, quod si supponamus
ABC, conum esse; ex dictis Ho, esse quartam . partem Biis, &esse ON, ad N E, ut excessus cubi DB, pra cubum B H, ad cubum B H. Componendoque, esse OE, ad EN, ut cubus DB, ad cubum B H. Vnde patet, propost. 23. lib. 3. decent. graii. L uca: Valeri j, in 'ii' a a i t. Omnis fructi coni, cem trum grauitatis eni punctum istud, in quo eius a viola diu ditur, et pars, quα minorem basim attingit u semens quas tam partem axis ablati coni, sit ad eam, quae inter postremam sectionem, gre quartae partis ab cissae ad basim axis totius coni terminum interlicitur, mi cubus, qui sit ab axe totius, ad jubum, qui sit ab axe ablati coni. esse huius veluti corollarium . Tertio, sint O, & N, centra conicorum
A BC, LBM, ut prius ;& intellecto conico AH C, eiusdem gradus cum prioribus, sit eius centrum grauitatis Q. Si eigo fiat ut vi , ad H D, sic QN, ad N R . Erit R, centrum grauitatis solidi A B C H. Nam ex proposit. 3 lib. 2. est diuidendo, AB CH, ad A H C, ut d H , ad H D ; nempe reciproce ut Q ad N R. Fiat S D, aequalis L H, & fiat ut rectat gulum A s C, ad quadratum L i, sic O R, ad RT. Ergo T, erit centrum grauitatis solidi ALMCH. Cum enim sit sui probabitur in proposit, sequent.
435쪽
LIBER A VARTVS. selidum A B C H, ad conicum L B M, ad verticem,
ut quadratum AD, ad quadratum L H. Erit diuidendo, solidum ALM CH , ad LBM, ut rectangulum AS C, ad quadratum L H; nempe ex con nructione, reciproce, ut OR , ad I T. Tandem ratio DB, ad B H, continuetur in tot terminos, ut numeru5 eorum excedat duplum numerum conici unitate; & υ, sic secetur in V, ut fiat Vt omnes hae pioportionales praeter D B, ad D B, sic Q.V, ad VT. Dico punctum V, esse i laesitum centrum. Etenim, ex corollar. proposit. 3. lib. 1. patet esse Omnes illas proportionales inuentas absque DB, ad DB, ut solidum ALM CH, ad conicum AH C. S erit reciproce, utiALM CH, ad AH G, sic
436쪽
sed portionis LP A, parabolas cuiuscumquisest Ilia uentum in propositi r q. lib. 3. centra in grauitatis in basia 96 DE IN 'TIS P)RABOLII grc. QV, ad U T. Quare patet propositum.
Secund.insgura sequenti, habemus centrum grauitatis annuli lati cx portione LPA, parabolae cuiuscumque, reuoluta circa GD. Ratio est, quia talis annulus, est, ex dictis, magnitudo proportionalia ter analoga in grauitate cum portione simili par bolae, cuius exponetis sit duplus exponentis annuli .
437쪽
basi LA. Ergo consequenter erit inuentum centrum grauitatis annuli ex LPA, in GD. Imo ex eadem proposit. est etiam inuentum centrum grauitatis annuli stricti ex segmento EBPL, ad diametrum reuoluto circa BG. Ex proposit. is. lib I, inuentum est centrum grauitatis annuli stricti ex R B P L, portione maiori cultiscumque parabolae,reuoluta circa S G. Ex proposit. autem ai. eiusdem libri, inuentum est centrum grauitatis annuli stricti ex segmento IT BPL, reuoluto circa SD. Tandem si mente concipiamus inter plana ITKE B Κ, traicialiud planum ipsi E B Κ, parallelum ;inuentum erit ex propositi II. lib. 3. centrum grauitatis partis annuli contentae inter planum ductum,&
Si covicus quicum'e secetur plum basi parasit, , ω super
eadem basi, circaque diametrum feremi coustituaturalius conicus eiusdem generis cum priori. Erit residuum totius conici, dempto ab eo Femudo conico . ad comum ad merticem, it basis conici, ad basim conici ad me ricem
sto conicus ABC, in schem. sito pag. 393- T. qui sit sectus plano LHM, basi ADC, parabiclo , & intelligamus alium conicum AIqC, eiusdem
438쪽
398 DE INFINITIS PARABOIIS ETC.
ordinis cum AB C. Dico solidum AB CH, esse ad conicum ad verticem L vra, ut basis A DC, ad b sin L H M. Ratio DB, ad B H, continuetur in tot
terminos ut numeruS eorum excedat duplum num
rum conici binario, & sint duo vilitari minimi termini X, Z. Quoniam enim ex proposit. S. lib. 2. Conicus ABC, est ad conicum AH C, ut BD, ad DH. Ergo per conuersionem rationis,& conuertendo, erit ABC H, ad AB C, ut d H, ad BD. Sed quoniam , ex proposit. a. eiusdem lib. 2. A BC, est ad LBM, ut potestas DB, cuius numerus sit duplus via itate auctus rumeri conici, ad similem potestatem B H, & viralis potestas ad talem potestatem,sic D B, ad g. Ergo ABC, erit ad L B M, ut D s, ad Z. E ex aequali, erit AB CH, ad LBM, ut BH, ad Z. Sed ut ΒΗ, ad Z, sic DB, ad X quia tot proportionales interijciuntur inter secundum terminum Hs,&vltimum Ζ, ac inter primuna DB,&pen ultimum X. Ergo ABCH, erit ad LBM, ut DB, ad X. Sed
Z, est ultimus terminus terminorum excedentium duplum numerum conici binario. Ergo. X, excedet duplum numerum conici unitate. Ergo ratio DB, ad X, erit duplicata rationis DB, ad talem terminum praedicta seriei, qui excedat numerum conici unitate . Sed quoniam ex natura parabolarum, &trilineorum cxplicata, est A D, ad Lia, ut potestas
D B, eiusta in gradus cum parabola ad similem potestatem 5H; & ut talis potestas ad talem potestatem, sic Ds, ad talem terminum praedictae seriei,ci
439쪽
- LIBER QUARTI S. 399ius numerus excedat numerum conici unitate. Ergo AD, ad I H, erit ut Dd, ad illum terminum excedentem unitate numerum conici. Ergo & quadratum AD, erit ad quadratum Lis, ut DB, ad ad quam habet duplicatam rationem illius , quam habet ad illum terminum . Sed ut D ad X, itiprobatum est esse AB CH, ad LBM, & ut quadratum AD, ad quadratum L i, ita basis DC, ad basim L HM. Ergo ut basis ADC: ad LHM, sie 'BCH, ad LBM. Quod erat ostendendumλ
Variorum sigmentorum obaerae , obaeroidis , excessus cylindri supra duos conos inuerae positos, quorum bases
oppositae bases cybusi , mertex mero me ium puncIum axis ylindri,assignare centrum grauitatis .PRobauimus supra in proposit. 8. & in scholiis
eiusdem, sphaeram, sphaeroides, & excessum cylindri supra duos conos, esse magnitudines proportionaliter analogas, & inter se, & cum parabola quadratica, tam secundum totum, quam secundum partes si parabola secetur lineis diametro parallelis, iecantibus proportiona liter basim parabol dc diametrum, seu aximpnedictorum solidorum.) Ergo, exsuperioribus, erunt etiam omnia haec proportionaliter analoga in grauitate. Ergo habito centro grauitatis unius illorum tam secundum totum quam
440쪽
secundum partes, habebimus etiam centrum grauitatis aliorum, &c. Cum autem supra assignata sint centra aequilibrii parabolae quadraticae , variarumque eiusdem partium,appensarum secundum basimi ex ipsis centris inuentis, deducentur centra talium solidorum. Explicabimus autem haec tantum in
sphaera, & quae de ipsa dicentur, intelligenda etiam erunt & de sphaeroide, & de illo excessu. Esto ergo ABC, hemisphaerium, &c. Dico primo , quod si BE, eius axis sic secetur in T, vin T, sit ad TE, ut 3. ad 3. T, erit centrum grauitatis hemisphaerij . Nam si supponamus o B E, esse semiparabolam quadraticam, cuius basis B E. Erit ex schol. a. proposit. a. lib. i. a , centrum arquilibris semiparabolae. Sed intelligamus hemisphaerio circumscriptum cylindrum EC, &supponamus N, esse centrum grauitatis excessus cylindri supra hemisphaerium, seu hemisphaeroides o BC, & etiam coni, cuius ibasis kBM, axis BE. Dico EN, esse ad Nn, ut 3. ad i. Deducitur ex schol. i . eiusdem prop. Quia centrum aequilibrii trilinei quadratici Ah B, inpraedicta ratione secat ΑΚ. item ex eodem scholio habemus, quod ducto plono G F H, AC, parallelo it centrum grauitatis, ex cessus cylindri GC, supra segmentum AOP C,
quod sit S, sic diuidit EF, ut ES, sit ad S F,
ut 3. ad I. Pater, quia talis excessus est proporti naliter analogus in grauitate cum trilineo AGO .