장음표시 사용
421쪽
LIBER AVARTUS. . 3 Iscentrum grauitatis M. Dico B M, esse ad MD, ut dimidium numeri conoidis unitate auctum , ad dimidium numeri conoidis. V. g. in conoide quadratico, ut a. ad I. In quadratoquadratico ut 3 .ad In quadratocubico vi q. ad 3. Et sic in infinitum. . Supponamus ABC, eae etiam parabolam,cuius exponens sit subduplus exponentis trilinei. Quoniam ex schol. a. proposit. 3. huius, conoides & parabola sunt magnitudines proportionaliter analogae. Ergo
ex proposit. I a. erunt etiam proportionaliter analogae in grauitate. Ergo ex proposit. anteced. eorum
centra grauitatio aberunt proportic naliter a verticibus
422쪽
381 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. bus B. Sed M, centrum grauitatis in parabola sic secat BD, ut B M, sit ad MD, ut numeruS para-hoIae unitate auctus ad numerum parabolς ex schol. pri. proposit. a. lib. 3. Ergo & in conoide. Sed numerus parabolae est dimidium numeri conoidis. Ergo in conoide erit B M, ad M D, ut dimidium numeri conoidis unitate auctum, ad dimidium numeri conoidis. Ouod erat ostendendum. i '
Patet ergo proposit. qi. lib. 2. Lucie Valerij decent. gra. & omnium illorum,qui probant in conoi de parabolico quadratico , M, sic secare B D ,
ut B M, sit ad M D, ut a. ad i. esse nostrae corollarium.
bentrum grauitatis exeqs.s cybudri circumscripti constidi antec. propo sit si ra cono des , sic diuidit axim conoidis,
t pris ad verticom sit adretiquam, it dimidium nu- meri constidis ivitate auctum, ad se uialterum numeri conoidis initate auctum.
COnoldi A B C, antec. propos sit circumscriptus cylindrus L C, N F, sit centrum grauitatis excessus cylindri supra conoidcs. Dico BF, esse ad F D, ut dimidium numeri conoidis unitate. auctum
423쪽
LIBER βVARTH. ' ' 383a uctu ua ad sesquialierum numeri Lonoidis unitate auctum. V. g. in quadratico Vt a. ad 4. In quadrato quadratico Vt s. ad 7. in quadratocubico ut ad 1 o. & sic in infinitum. Nam si supponamus ut prius, ABC, esse parabolam, cuius exponens sit subduplus exponentis conoidis,& EC, este paralle. logrammum ei circumscriptum, patebit ex prop. 3. huius, & ex schol. prim. eiula. excessiim cylindri supra conoides , & excessum parallelogrammi supra parabolam , esse magnitudines proportionaliter analogas. Ergo&ex dictis in hoc libro, erunt magnitudines proportionaliter analogae in grauitate. Ergo eorum centra grauitatis aequaliter aberunt a B. Sed ex schol. proposit 8. lib. s. F, centrum grau itatis excessus parallelogrammi supra parabolam, sic diuidit B D, ut B F, sit ad F D, ut numerus parabolae
unitate auctus, ad triplum numerum parabolae unitate auctum. Ergo& in conoide. Sed quia numerus parabolae est dimidium numeri connidis, numerus parabolae unitate auctus est dimidium numeri conoidis unitate auctum sicuti tripluS numerus parabolae unitate auctus, eis sesquialterum numeri coinnoidis unitate auctum. Quare patet propositum.
Sed ex doctrinis superius traditis , non modo habemus centra grauitatis praedicta, sed etiam centrussa grauitatis frustorum conoideorum supra expli
424쪽
38 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
catorum, contentorum inter duo plana basi paralle-
, allelum , habebimus centrum grauitatis frusti AP GC. Ratio est, quia si supponamus ABC, esse etiam parabolam, cuius exponens sit subduplus numeri cono idis, segmentum AP GC, parabolae
est, ex dictis, proportionaliter analogum ingrauitate cum segmento AP GC, conoidis. Cum ergo ex propos t. lo. lib 3. assignatum sit centrum grauitatis segmenti AP GC, parabolae cuiuscumque, assignatum etiam erit centrum grauitatis segmenti
AP GC, conoidis cuiuscumque, cuius eXponen Sst nuae erus par.
Ex quibus patere potest propos 2. lib. a. de cent. grau. Lucae Valerij, in qua probat H, centrum grauitatis segmenti APGC, conoidis parabol ici quadratici, sic secare MD, ut M H, sit ad H D, ut duplum quadratum A D, cum quadrato P M, ad duplum quadratum P M, cum quadrato A in esse veluti corollarium deductum ex nostra methodo vnivcrsali. Nam cum ductis AB, BC, in parabola, segmentum A PG C, sit magnitudo proportionaliter analoga in grauitate cum trapeZio Ah L ex superius dictis; cum H, centrum grauitatiStra
peet ij sic diuidat M D, ut M H, sit ad H D, vidupla AD, cum ΚM, ad duplam kM, cum AD, ut probatum est in schol prim. praec. prop. I . lib. I. Qq tur H, centrum grauitatis frusti conoidis qti dratici sic secare M D. Sed cum ex genesi parabola
425쪽
lae, sit ut A D, ad k M, sic quadratum AD, ad quadratum P M, unde est ut dupla AD, eum h ad duplam , M, cum AD, sic duplum quadratum A D, cum quadrato PM , ad duplum quadratum P M, cum quadrato A D. Ergo in frusto cono dis, M H, erit ad HD, ut duplum quadratum A eum quadrato PM, ad duplum quadratum P M. cum quadrato A D. Imb si MD, secetur intres partes aequales M N, N O, O D, habebimus ex dictis in schol. citat. H, centrum frusti APGC, sic secare N Ο, mediam tertiam partem MD, ut NH, si ad HG, ut quadratum AD, ad quadratum PM.
Quod no vidimus animaduertisse Lucam Valerium. Sed centrum grauitatis, talis frusti cuiuscumque conoidis, cuius exponens sit numerus par, inuenim tur alijs etiam duobus modis. Si enim conoides
ABC, sit sectum plano H D k, plano A E C, purallelo, inueniemus primb sic eius centrum grauitatis. B E, B D, secentur in S, ut tam Binsit ad QE, quam B S, ad SD, ut dimidium numeri
conoidis unitate auctum ad dimidium numeri co-noidis. Ergo ex proposit. antec. S, &Q, erunt centra grauitatis conoideorum ABC, HBh. Ratio A E, ad H D, continuetur in tot terminos Vt numerus eorum excedat ternario numerum conoidis, &sit ultimus minimus terminus L, fiatque ut excessusA E, supra L, ad L, sic SQ, ad Q V. Dico v,
esse centrum quaesitum . Cum enim, ex propositi pri. lib. a. sit conoides A B C, ad conoides ΗΒΚ,
426쪽
386 DE IOINITII PARABOLIS ET .vμνotestas A B, duplo gradu altior potestate conlidis, adsimilem potestatem Η D, nempe ut AE, ad Ilago & diuidendo, erit Α Η Κ C, ad H B h.
vi excessus AB, supra L, ad L; nempe reciproce ut SQ, ad Qu. Ergo V, erit centrum quaesitum. Secundo. Reperiantur & incentra grauit dis conoideorum AB C, HBK; intellectoque co-noide ADC, eluciem generis cum prioribus, si e P, eius centrum grauitatis. Fiat ut BD, ad DB, se PQ, ad in . Ergo R, ubicunque cadat, erit centrum grauitatis ABCD, excessiis conoidis
ABC, supra concides ADC. Quod patebit, quia supra factum est, ut B D, ad DF, sic P Q, ad QR. Sed ut BD, ad DB, se ex proposk3. lib. x. huius, diuidendo, A B C D, ad conoides A D C. Ergo ut AB C D, ad A D C, sic reciproce P ad QR. E
go ex Archim. R, erit centrum grauitatis ABCD. Quod notetur, & seruetur.
Fiat ut rectangulum AOC, differentia inter quadrata A E, H D, ad quadratum H D, sic S R; ad RT. Ergo T, erit centrum grauitatis excessus frusti AHE C, supra conoides ADC. Quod pariter sic patebit. Quoniam enim, ut patebit in s quenti proposit. AB CD, est ad HBk, ut quadratum A E, ad H D, quadratum. Ergo diuidendo, erit AHDAED, ad HBh, ut rectangulum Ao C, ad H D, quadratum; nempe ex constrinione, utS R , ad R T, 'reciproce. Sed R, est centrum totius
A BC D ; S, est centrum concidis H B Κ . Eum rierit
427쪽
terminostii numerus eorum excedat numerum coc
428쪽
188 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. AD C. Ergo V, erit ex Archi m. centrum qum
Si comides quodcumqueparasobcumsecetur plano basi paraLώlo,s uper eadem basi, circaque diametrumferent3, consituatur aliud consides eluserim steneris eum priori. Erit residuum totius comissis, dempto ab eo secundo e miri,ad conoides ad merticem, mi basis comidis, ad,
Sto emoides para licum quodcumque AB C. quod sit sectumplano H D ti basi A E C, p, rallelo a sitque constitu tum aliud conoides ADC, eiusdem generis cum prioribus Dico selidunia A B C D, esse ad conoides H B Κ , ut basis A E Gad basim H D h, seu ut quadratum A E, ad quadra tum H D. Ratio A E, ad ΗD, continuetur in tot
terminos, ut eorum numeruS excedat numerum cin
noidis ternario , sitque ultimus minimus terminus M, L, vero sit ante penultimus, nempe excedens num merum conoidis unitate.Quoniam eonoides ABC,
est ad eonoides A DC, ut B E, ad E D, ex proposit. 3. l; b. a. Ergo per conuersionem rationis,&COnue tendo, eris ABCD, ad A BC, ut DB, ad B E. Sed ut DB, ad BE, sic potestas H D, eiusdem gradus cum conoide,ad similem potestatem A E ; & vitalis p otestas ad talem potestatem , sic L, ad A E . Ergo
429쪽
Ergo ABCD, erit ad ABC, ut L, ad AE. V rum comides ABC, est ad conoides ad verticem H B k, ex proposit. prim. lib. a. ut potestas A E, d plici gradu altior potestate conoidis, ad similem 'testatem H D; nempe ut A E, ad M. Ergo exaequam
Ii, erit ABCD, ad HBh, ut L, ad M. Sed ut L , ad M, sic Α E. ad tertiam proportionalem, ipsarum AE, H D; & ut A B, ad talem te tiam , sic quadratum A E, ad quadratum H D. Ergo & ut quadratum A E, ad quadratum H D 3 nempe ut basis ad basim, sic ABCD, ad HBhώQuod M. pin
430쪽
centrum gνauitatis cuiuslibet conisi , sic diuidit eius axis , mi pars ad merticem sit ad reliquam, mi duplus nume
rus conici initate auctus,ad unitatem.
grauitatis 'EG o B E, esse ad E D, ut duruptus numerus nici Φnitate auctetis, adivnitatis . in inprim, eonico, scilicte in cono', ut 3. adet. In sic. ut 1. ad I. In tertio vi 7. ad I. &si chirinfiniatum. Supponamus, A BD, esse etiam trilineum, cuius exponens sit duplus numeri conici. Quoniam ex proposit. q. huius,conicus ABC, & trilineum ABD,