장음표시 사용
411쪽
CkF. maior E Ah; horum semichorde sint DRGE,
quae secent proportionaliter diametros C A. Dico semisectores minores DEC, Ch E, item semifectores DYC,CEE,qbibus circumscribantur paralles gramma Itali C. Tales se res,taliaque parallelogramina possunt tripliciter secari. Primo lineis DG, CE; secundo lineis LMN, NOP; tertio lineis QRs, S TV. Si secentur primo modo. Aa a x Ru maiores ΘΚ, EAh, esse magnitudines propo tionaliter analogas iuxtasensum supra explicatum. Ostendetur prius de semifectoribus minoribus
412쪽
371 INFINITII PAR UNI T Quoniam est triangin j a D'EG ,' a pa tot grammum k D, ut trianguIum k E G, ad parallelogrammim k E l quia triangula sunt dimidia parallelogiam morum in parallelovaminum vero h D, est ex hypothesi, ad pa rallelograim 'rs C, ut parallelogrammtina ad parallelograremum LC ; &cx propolit .aHaeced. D Ctest ad portionem DG C, ut E C, ad polationem GEC. ErgI ei: aequali, erit triangulum D EG ad portionem Data Κ, xt trian
gulum kGn ad portionem G E C. GI
Si vero sedentur lineis LMN, PON: Quoniam triangulum P kG, est adserbiportionem iti GC, uth G E, ad G E C; D G C, autem est ad M N C, ut GEC, ad . NOC, ex proposit. anteced. Ergo exaequali, kDG. est ad M N C, vi k ., ad NO C. Cum autem ex superioribus , etigin M N C, sit ad DMNG, ut NCO, ad NOE G. Ergo rursum exaequali, erit KDG, ad DMNG, vi kGE, ad GNOE. Et componendo, Κ D M N, erit ad D M N G, Ne
ad DRSG, ut CSTE, ad G S i E Sed DRSG, est ad R K S, ut G S T E, ad S E T. Ergo sursum ex aequali,
413쪽
Quare probatum est, sectore, minores esse magnitudines proportionaliter analoga; .
Sed etiam semi sectores maiores D A k, E A Κ, possunt secari tribus modis. Possunt enim primo secari scini diametris B K, KF. Quod autem tunc D B L, sit ad B A Κ, vi K EF, ad K A F est manifestunt. Quia cum DC G, sit ad totum segmentum
D B Κ G, ut C G E, ad totum segmentum G k F E ;& pariter cum eadem D C G, sit ad txiangulum D vG , ut C GE, ad triangulum GTE. Ergo &C D G, erit ad reliquiim sectorem D B Κ, ut CG E, ad kFF. Sed etiam DC G, est ad BCk, seu ad B Α Κ, ut C G E, ad Κ C F, sed ad K A F. Ergo conuertendQ,& ex aequali, erit sector DB Κ, ad BA , vi K E F, ad k Α F. Possunt se undo secari lineis QRS, STV. Et tunc Quoniam probatum est, sectorein B D ,, esse ad D C C, vi K E F, ad G E C; & parito com probatumst, D GC, esse ad QDG SH ut GC E, ad
G STE. Ergo concludetur etiam,esse C GD, ad QRD, ut C G E, ad TVE . Quare concludetur ex Duali, esse BD S, ad QR D, ut L FB, ad TUE'. Unde facile concludetur ex dictis , prius componendo, A D , ad x BD, ut A E k, ad kFd: postea exaequali, & diuidendo, esse AQR , ad M. D, ut AVTL, ad T V E. Possunt te: tio secari lineis XZ, di Tunc
414쪽
3 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. Quoniam componendo, probatum est D AK, esse ad BAL, ut , AE, ad Ak F; & BA ,, est ad XAZ, ut v A F, ad ZAY. Ergo exaequali, &diuidendo, erit DXL, , ad X AZ, vi kEYZ, ad A Υ Z. Probatum est ergo praedictos sectores esse quantitates proportionalitcranalogas. Quod&c.
Quae sint figurae proportionaliter analogae in magnitudine, explicatum suit initio huius libri. In praesenti autem explicandae sunt magnitudines proportionaliter analogae in grau itate: pro quibus, sit.
Plana, vel solida proportionaliter analoga in grauitate dicentur, in quibus ductis lineis, vel planis lineae, vel plano pro regula inseruiente parallelis, &lineam quandam, quae sit, vel altitudo, vel veluti altitudo proportionali tir secantibus, semper secabunt plana, vel solida proportionaliter ingrauitate, seu in partes proportionaliter graueS. . Uerum, ut etiam haec definitio clarius explicetur Dentur duo plana, vel solida, vel unum planum, ait rum solidum ACB, DFE, quorum altitudines, seu veluti altitudines AB, DE, siue aquales, siue inaequales, secentur proportionaliter in quibuslibet
Punctis L, k, P, R, lineis, vel planis I. M, PS; N, RV,
415쪽
LIBER AEUARTUS. 373 RV, parallelis BC, EF, adeo ut sit ut BA, ad A sic E D, ad DP, vel ut B A, ad Ak, sic E D, ad
D R. Si quam proportionem habet grauitas segmenti LM CB, adgrauitatem segmenti AM L, hanc eandem habeat grauitas segmenti PssE, adgrauitatem segmenti DSPr vel grauitas segmenti kNC B, sit ad grauitatem segmenti ANk, Ut grauitas segmenti REFU, ad grauitalcm segmenti DUR, &sic semper ubicunque plana, Vel solida ducta fuerint. Plana, vel solida ABC, DEF,
dicentur proportionaliter analoga in grauitate. Sed antequam ad ulteriora progrediamur, animaduertere debemus veritatem quandam, quae ab aliquibus supponitur tamquam principium, ab aliquibus vero,praecipue, quorum meminimus, a Mari
416쪽
ps,c DE INFINITIS PARABOLIS ETC. no Chetaldo in principio Archimedis promoti, in
sciidis,& a Caualerioin proposit. primi exerc. . vnia uersaliter demonstratur. Haec autem est . Quod si duo grauia sint eiusdem gradus grauitatis, erit ut mcies unius ad molem alterius, ita grauitas unihs adgrauitatem alterius. V. g. si moles ABC, DEF, sint eiusdem gradus grauitatis, erit ut magnitud F BAC, ad magnitudinem UgF, sic grauitas BAC, ad grauitatem EDF. His explicatis, se . '
magnitudines proportioualiter analogae secundum sensism. aefinitio is primae huius libri sunt'F'n-alter
Sint duae magnitudines ABC, DEF, pr0portio
naliter analogae in in agnitudine,&c. adeo ut se- g. KN, RV, modo explicato, sit magnitudo BKNC, ad magnitudinem KAN, ut magnitudo ERVF, ad magnitudinem DRU. Dico etiam grauitatem magnitudinis BKNC, esse ad grauitatem magnitudinis. ΚAN ut grauitas magnitudinis ERVF, ad grauitalcm magnitudinis RDV. Q niam enim cx supposito principio , est ut molis BKNC, ad molem KAN , sic graui raS anteced cntis ad gia uitatem consequentis ;&ex hyp ulli si beli ut molis BKNC, ad mol m KAN, sic si ol. RUF, ad molem RDV;&vi molis REFV, acin 'i mRDV,
417쪽
RDV, sic grauitas ad grauitatem. Ergo & ut grauitas molis Bh NC, ad grauitatem molis E A N, sic grauitas molis E RUF, ad grauitatem molis
Patet ergo, omnes magnitudines probatas supra proportionaliter analogas in magnitudine, esse etiam proportionaliter analogas in grauitate. Verum ut ad ulteriora progrediamur,est stipponenda alia veritas, quae a multis ostenditur, sed praecipue a Caualerio proposit. 6.cit. exercit. nimirum momenta grauium appensorum componi ex ratione
418쪽
3 8 DE INFINITIS PARABOL S ETC. magnitudinum, & distantiarum a fulcro. v. g. si I, sit fulcrum librae ΑΒ, in qua in punctis L,k, sint appensae magnitudines AIO, IBCO; momentum molis Aio, ad momentum molis IB C O, componetur ex ratione molis ad molem, & ex ratione LI, ad
Si duo quaecumque grauia fuerint propntionaliter analoga in grauiute,eorum centrurauitatis aberuvi proportio nautis ab homologis terminis ipsorum. V ,
Sint duo quaecumque grauia ABC, DFE, pro
portionaliter analoga in grauitate iuxta sensum definitionis a. sintque haec vel ambo plana, Vel ambo solida, vel unum planum, alterum solidum parum enim refert, cum propositio omnia comprehendat in & quodlibet illorum sit vel inter duas lineas, vel inter duo plana parallela, & horizonti perpendicularia, AD, BC; DG, EF; & horum grauium altitudines, seu veluti altitudines, sint AB, DE; puncta vero A, D, sint extremitates altitudinum homologae. Dico in his centra grauitatis abesse proportionaliter a piriactis A, D. Supponatur ABC, quantitas , cuiuscumque sit generis , appensa a puncto I, a quo descendat horizonti per
pendicularis IO; QT, vero secet D E, in parteSDQ, in , proportionales ipsis Al, I B; sitque Ι,
419쪽
centrum aequilibrij magnitudinis ABC. Dico quod Q, erit etiam centrum aequilibrij magnitudinis E D F. intelligantur enim segmenta AOI, IBCO, appensa aequilibraliter a. puntiis L, K; sintque ipsis Ll, l Κ, proportionales ipsae PQ, QR. Partes etiam DTQ, TQ EF, appensae intelligantur a
punctis P, R. Momentum magnitudinis COIB, ad momentum magnitudinis O AI, habet rati nem compositam ex ratione grauitatis magnitudinis COIB, adgrauitatem magnitudinis O AI, & ex 'ratione distantiae ΚI, ad distantiam IL, ex principio supposito. At ut grauitas magnitudinis Io CB, adgrauitatem magnitudinis OAl, sic grauitas mo
420쪽
Ergo momentum molis BIO C, ad momentum . molis IR O , 'componetur quoque ex rationibus
grauitatis molis EQ TF, ad grauitatem molis QDT,S R , ad M'. Sed ex eodem principio, etiam
momentum magnitudinis TQ EF, ad momentum magnitudinis DTO, componitur ex ijsdem proportionibus o Ergo vi momentum magnitudinis BIOC, ad momentum magnitudinis .l AO,l sic momentum molis E TF, ad momentum mplis T. Sed momenta molium AIOC, I AO, si inta qualia, a q& momenta molium E QTF, in T, aequalia erunt. Ergo crit centrum aequilibrij molis D E F. Vnde tam in Io, quam in QT, erunt centra grauitatis ipsarum magnitudinum. Ergo ipsarum centra grauitatis aberunt proportionaliter a punctis A, D. Quod erat probandum. Quam vero faecunda st presens propositio . ex infer ius dicendis statim costabit. Quam plurium enim magnitudinum centra grauitatis, ex supra in alijs r pe itis, postlint ad inueniri. Sit ergo.
Putrum grauitatis cuiuslbet conoidis parabolici, cuius exponeus sit numerus par, sic diuidit eius axim, Utpars adverticem sit .ι reliquam, it dimidium numera covoidisrυnitate auctum, addimi tum numeri conoidis.
F Sto concides parabolicum quodcumque ABC, cuius exponens sit numerus par sitque eius