장음표시 사용
401쪽
LIBER βVARTVS. 36ICOE, cum subsesquialtero quadrati CO Dico tertio, quod co n struct is ijsdem, quae supra, erit cylindrus M F, ad segmentum B N P F, vel ut tripla C F, ad duplam CE, Vna cum excessu CE, supra R; vel vi CE , ad C O, cum duabus tertiis partibus O E, & cum tertia parte excessiis O E, supra R. Ratio est, quia ex schol. prim. proposit. I O. lib prim. parallelogrammum E Q, est in parabola quadratica,ad segmentum EO PF, ad diametrum, in praedictis rationibus,
Dico quarto, eundem cylindrum MF, esse ad idem segmentum B N P F, ut triplum quadratum C R. ad duolum quadratum C E, Vna cum rectangulis COE, ECO. Vel subtriplando terminos,
ut quadratum CE, ad subsesqujalterum quadrati Z κ C E,
402쪽
3si DE INFINITIS PARAB IIS ETC.
C E, cum tertia parte rectangulorum C OE, ECO. Ratio est, quia ex schol. ter. cit. propositest parallelogrammum Eia, ad segmentum ad diam pirum E O P F, ut tripla E F, ad duplam E F, cum o P Sed ex schol. proposit. 2 a. lib. prim. huius. Est E F, ad OP, ut quadratum CE, ad rectangula CO E, ECO; unde est ut tripla EF, ad duplam F F, cum OP, sic triplum quadratum CE, ad duplum quadratum C E, cum rectangulis C OE, ECO. Ergo etiam cylindrus M F, erit ad segmentum B NP F, ut triplum quadratum CE, ad duplum quadratum CE, Vna cum rectiingulis C OE, ECO. Quod &c. Dico quinto, segmentum B NPF, aequale esse
tribus conis, circa diametrum O E, quorum duorum sit basis BEF, alterius vero circulus NO P. Patet,
quia cum probatum sit, cylindrum esse ad segmentum ut triplum quadratum BC, ad duplum quadratum EC, una cum rectimgulis COE, ECO: nempe ut triplum quadratum BE, ad duplum quadratum BE, una cum quadrato NO; &cum sit ut triplum quadratum B E, ad duplum quadratum B E, una cum quadrato NO, lic triplus conus, cuiuS basis BEF, axis OE, nempe cylindrus M F, ad duplum conum praedictum, una cum cono, cuius basis N OP, axis OE . Eigo N F, ad illos conos ,& ad
segmentum erit in eadem ratione. Ergo segmentu in erit aequale praedictis conis.
Dico sexto, quod si cylindrus G F, secetur alio
403쪽
R, ad H, & H, ad h. Erit cylindrus M Z, ad sese mentum T N P X, ut tripla C E, ad excessiim ipsius supra R, H, k. Ratio est quia ex schol. pri. proposit. I x. Iib.pri. huius. parallelogrammum V Q, est ad segmentum parabolae VOPX , in praedicta
Dico septimo, praedictum cylindrum, esse ad prς- dictum segmentum, ut quadratum CE, ad rectangula EOC, ECO, EVO, cum subsesquialtero quadrati V O. Patet, quia consideranti schol. c. praecit. proposit. patebit parallelogrammum V Q, esse ad segmentum parabolae O P X V , in praedicta ratione. Quat e & cylindrus ad segmentum. Za a Dico
404쪽
36 DE INFINVIS PARABOLIS ETC. Dico octavo, quod si intelligatur cylindrus D X, circumscribens segmentum intermedium TNPX,& fiat ut C E, ad E V, sic haec ad l; pariter fatvi CE , ad Eo, sic haec ad R; & rursum fiat ut OE, d EV, sic R, ad H, & H, ad h. Erit cylindrus D X, ad praedictum segmentum, ut triplus cxcessus CE, supra R, ad excessum triplae CE, supra R, H, k. Ratio dependet ex schol. proposit. 18, lib. prim. in quo dicitur, parallelogrammum V AEg eskad seg aa en tum o P X V, in ratione assi
Dieo nono, quod si hemisphaeissum, seu hemisphaeroides BCF, intelligatur sectam stan NOP, ipsi B EF, parallelo, & fiat vi CE , ad Eo, sic
haec ad R. Erit segmentum B NPF, ad diametrum, ad portionem N CP, ut duplum rectangulum C EO, una cum rectangulo sub OE,ine cessum CE, supra I , ad quadratam Co, una cum rectangulo sub C O, &sub excessu C E, supra Ri, nimirum ad duplum quadratum C O, cum rectangulo sub C O, in excessum O F, supra R. Ex quibus, completa sphaera, & sphaeroide, facile potest deduci ratio maioris portionis, ad minorem. Pro in- intelligentia asserti, inspiciatur schol. proposit. 2 O. lib. primis Uico decimo, quod si compIeta sphaera , &c ut in schem.sequent. ratio Ah, ad EO, continuetur ad duos alios terminos X, Z. Cylindrus M H, erit ad portionem maiorem N BA FP, ut tripla ΑΟ, ad
405쪽
LIBER AEVARTVS. 363 ad duplam A F, cum excessu trium Eo, supra Z; nempe ad duplam AO, cum excessu EO, lupra Z. Ratio petatur ex schob proposit. I 3 . lib. prim. huiuS. Dico undecimo , quod si cylindrus GH, cum sphaera, vel sphaeroide secetur duobus planis M Q, DT, ipsi BF, parallelis, ipsumque intercipientibus, & fiat ut O E, ad E R, sic C E, ad Us, item fiatvt CF, ad OE, sic haec ad X; pariter fiat ut AE, ad F R, sic haec ad Z; tandem fiat ut tripla A E, ad excessu mi psius su pra Z, sic tripla V, ad R. Dico utique esse cylindrum M T, ad segmentum IBNPFS,
406쪽
366 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. Vt tres V, cum tribus C E , a s duas C E , hoc est ad A C, cum CO, & cum excessu O E, supra X, una cum P. Et subtriplando terminos, esse cylindrum praedictum, ad praedictum segmentum , ut V. cum CE, ad CD, cum duabus tertiis partibus O E,& cum tertia parte excessus ipsius supra X, una cum
tertia parte Probat hac schol. pro p. i .lib prim. huius. in quo probatur parallelogrammum R Q, esse ad segmentum parabolis quadraticae o PFSR, in praedictis rationibus. Dico duodecimo, quod si intelligatur cylindrus Y a, secans sphaeram, vel sphaeroides. Cylindrus ΥP, erit ad portionem N CP, ut O A, ad dimi diam AO, cum sexta parte C O. Pariter cylindrus Na, erit ad portionem maiorem N BA FP, ut Co, ad dimidiam C O, cum sexta parte O A. Hoc deducitur ex regula generali tradita in calce schol. proposit. IT. lib. prim quia parallelogramma CP, PA, simi ad portiones parabolae quadraticae CPO, O PFA, in dictis rationibus.
Ex superiori ergo proposit. Iicuit animaduertere, quot notitis deducantur in sphaera, &sphaeroide ex analogia, quae reperitur inter haec solida, interque parabolam quadraticam. Ostensis etenim in lib. pri. quam pluribus veritatibus uniuersaliter in omnibus parabolis, & consequenter in quadratica, manifestatae '
407쪽
statae fuere etiam eaedem veritates in sphaera , vel sphaeroide. At nunc antequam nos expediamus ab hac analogia, opere prirtium duximus notare; quod cum in nostro libello 6o Problematum geometrico rum, soluta fuerint nonnulla problemata in sphaeris, multa horum posse applicari & sph.eroidi, & pDrabolae quadraticae. Imo cum, ut deducitur ex coroll. proposit. q. huius. &ex schol. prim. proposit. 8.huius. etiam excessus cylindri supra duos conos in- uerse positos sibi inscriptos, quorum communiS vertex sit medium punctum diametri cylindri sit magnitudo proportionaliter analoga cum praedictis ;patet haec applicari posse etiam praedicto excessiti. Quae autem haec sint, facile cognoscetur ex eodem libello.
Recra Meulum circumsicriptum semicirculo , e i adibum, tutrectangulum cireumscriptum semiellipsi dipsam, tam semcuuaeum totum, quam secundum partes sibi correspondentes, quarum diametri sint partes proportionales totarum
E tu semiellipsis ABC, cum sibi circumscripto
parallelogrammo DA, & semicirculus A FC, cui pariter sit circumscriptum parallelogrammum ΑG, sitque diameter AC, eadem, siue sint diue sae. Dico prim. DA, esse ad ABC, ut A G, ad AF C.
408쪽
368 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. A FC. Si probetur hoc in quadrantibus, idem etiam
verificabitur in totis. EC, ergo dividantur proportionaliter in quotcumque punctis H, k, &c. ad
euitandam autem confusionem secabuntur tantum
in duobus in& per ipsa ducantur H M, EO, HR, ES,
ipsis BE, EF, parallelae: item ducantur MT, ORRX, S Z, C A parallelae. Quoniam ex Apoll. pri.
coni. proposit. a I. in ellipsi est quadratum B E. ad quadratum O h, ut rectangulum A E C, ad rectangulum Ah C; &vtreetim gulum AEC, in ellipsi, ad rectangulum AK C, sic ex hypothesi, in circulo rectim gulum AEC, ad rectangulum Ah C;& pariter in circulo, ut rcctangulum AEC, adiectangulum A EC, sic quadratum E F, ad quadratum k S. Ergo ut quadratum B d, ad quadratum OK, seu UE, sic quadratum FE, ad quadratum k S, seu E Z. Ergo & ut B Z, ad E V, nempe ut parallelograminum Bh, ad parallelograminum V Κ, sic FE, ad EZ; nempe parallelogrammum E Q, ad parallelogrammum E S. Eodem modo probabitur, esse parallelogrammum I. Κ, ad ME, ut ΚΡ, ad kR ; idemque probaretur de omnibus alijs, si semidiametri CE , supponerentur stet x in pluribu Spui ctis. Cuin autem etiam parallelogramma BE, EL, S alia si adessent, lint proportionalia parallelogrammis E Q, Q H, Sc. Patot ad modum superiorum . concludi polle, L E, & DE, csse ad omnia parallelogiam ma in cilipsis quadrante inscripta,ut EP .E au Omnia parallelogramma in quadrante circuli in-
409쪽
scripta. Ex quibus elidim facile viris Archimedeis patebit, esse DE, ad ellipsis quadrantem, Ut EG, ad cirsuti quadrantem. Nam per continuatam bisectionem semidiametrorum CE, patet in illis quadrantibus possie inscribi figuras ex parallelogrammis sibi superimpositis constantes , deficientes ab ipsis quadrantibus magnitudine quacumque databed dico lyciindo, par, ii hi si V. et D in 'esse ad poctionem 'senis stibis ad '
410쪽
37o DE INFINITIS PARABOLII Erc. CHR: idemque intelligendum esse de omnibus pamtibus proportionalibus. Imo si portionibus M CH, CH R, intelligerentur circumscripta parallelogramma, haec essent ad portiones in eadem ratione, tam secundum totum, quam secundum partes pr portionales . Quod cum probandum sit supradicto modo, & cum in ijssimilibus exempla saepe re petita sint, ideo haec omittuntur, Patet ergo pro
Ex dictis ergo,& ex superioribus manifeste prutet, circulum , & ellipsilia, esse quantitates propo tionaliter analogas iuxta sensum definitionis supra expositae, quotiescunaque diametri secentura lineis ipsas iuxta exigentiam secantibus Eroporti naliter. Haec patent ex dictis .
Sectorei circusii , est sit, siue maiores, flue minor , qu rum choria secent proportionabier diametros, sunt ma-gmtudinespropor unaliter anagogae iuxta sensium explia