장음표시 사용
51쪽
o Curvi ac recti proportio promota.
ad D O. Quare eum sit vim ad Μς. ita ad DC. ON . ad N ες Τ' ' minorem babeat rationem quam DC. ad DO. ex aequalitate, minor erit Τ' ratio 2 I ad Μ . quam DF . ad DO. O diuidendo minor ratio a'. aae, j. quam M. ad O D. Quod est absurdum , cum ex 29. huius , maior huiussit ratio ad quam flo. ad OD. In hoc problemate assumpsimus principium Archimedis , chordam e se arcu minorem, tangentem eodem maιorem, quod si ideo minus Geom tricum Uidetur, saltem idem momentum habeat, quod multa Arch medis propositiones ex illo fonte derivata, quibus cum fidem bactenus nemo nisiι αγεα με τρητος abrogarit, neque nostram iisdem natalibus ortam , tanquam spuriam quisquam re)ciet.
THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXII.
noris, maior est ratio, quam secantis maioris arcus ad secantem minoris . lIN Quadrante ABC.cuius centrum A.diameter AB.mai ris arcus BF. sit tangens EB. secans AE. & minoris arcus BG. sit tangens DB.& secans A D. Dico maiorem esse rationem EB. ad DB. quam AE. ad AD.16.L Cum enim in triangulis rectangulis A BD. ABE. maior sit angulus ADB. externus interno huiu, AEB. minor erit ratio BD. ad DA. quam BE. ad EA. & pe mutando , ac conuertcndo, maior erit ratio EB. ad BD. quam AE, ad AD. Quod ostendendum erat.
QV dr ntem ita secare in duos arcus, ut sinus
versi aequalem, minorem , maioremve ra
52쪽
itionem habeant, quam aut secantes eorumdem arcuum, aut sinus recti complementorum, minorem. Vero quam tangentes eorumdem arcuum, si maiores
cum minoribus comparentur. SIT Quadrans ABC. cuius centrum A. diametri inuicem perpendiculares, AB. AC. Sumatur primum recta AH. 3 qualis rectar IC. & ducantur perpendiculares ad AC. rectas ΗD. IE. secantes peripheriam Quadrantis in D. F. erit AH.
sinus rectus arcus.B D.& AI. sinus rectus
arcus. BE. at vero IC. erit sinus versus arcus EC. & ΗC. sinus versus arcus DC. qui duo posteriores arcus priorum sunt complementa. Dico eandem esse rationem sinus versi H C. ad sinum versum IC. quae est sinus complementi IA. ad sinum complementi HA. Cum enim aequales sint AH. IC. addita communi AH. aequales erunt HC. I A. vi igitur sinus versus HC. ad sinum versum I C. ita sinus rectus I A. ad sinum rectum HA. vi vero I A. ad ΗΑ. ita secans arcus DC. ad secantem arcus EC. ut a Clauio demonstratum est. prop. 22. de secantibus. Igitur ut sinus versus H C. arcus DC. ad sinum versum IC. a cus EC. ita secans arcus DC . ad secantem arcus EC. Sit secundo sinus versus CI. maior sinu recto HA. addatur communis IH. Quoniam duabus lincis inaequalibus maioriCI. minori HA. eadem quantitas IH. addita cst,habebit per primam huius HC. ad C Ι. minorem rationem quam IA. adHA. & quam secans arcus DC. ad secantem arcus EC. quam ostendimus modo candem habere rationem quam I A. - ad HA. Sit tertio sinus versus IC. minor sinu recto HA.addita coimmuni H I. codem modo,ex prima huius, demonstratur , maio-rcm csse rationem H C. ad I C. quam IA. ad ΗΑ. aut quam s cantis arcus DC.ad secantem arcus EC.
53쪽
Cau. p. 22. de iurantubus. 3 o. huius. I. I. 33. himri. 3. s.
α Curui ac recti proportio promota.
Deniq; cum maiorem habeat rationem tangens arcus DG- ad tangentem aercus E C. quam secans eius dein arcus DC. actsecantem arcus EC. secantes autem dictorum amium in duobus prioribus casibus aut maiorem,aut aequalem rationcm habeant , quam sinus versi eorumdem arcuum , habebit tangenSarcus DC. ad tangentem arcus EC. maiorem rationem,quam, C. sinus versus arcus DC. ad IC. sinumvcrsum arcus EC-Igitur quadrantem ita siccauimus ut &c.
ntem ita secare in duos arcus, ut tam se
cans maioris ad secantem minoris,qua in sumis rectus complementi minoris, ad sinum' rectum complementi maioris, maiorem habeant rationem, quam arcus maior ad minorem. Fiant omnia qua in duobus pri nis casibus prscedentis propositionis. Dico maiorem esse rationem IA. ad ΗΑ. item si cantis arcus DC. ad secantem arcus EC. quam arcus DC. ad arcum EC. Cum enim, in primo casu, sit ut IA. ad AH. id est ut secans arcus DC. ad secantem arcus EC. ita H C. smus versus arcus DC.ad IC.sinu versum arcus EC.maior autem sit ratio HC. ad ΙC. quam DC. ad M. etiam IA. ad HA-& secans arcus DC. ad secantem arcus EC. maiorcm Eabebunt rati nem, quam arcus DC. ad arcum EC. Eadem,ac validiori ratione n secundo casu : cum maior sit ratio IA. avfHA. item secantis arcus DC. ad secantem arcus EC.quam F C.ad IC.& ΗC. ad IC. maior quam arcuS DC. ad arcum EC. maior erit ratio IA. ad F A. & secantis arcus DC. ad secantem arcus EC. quam ipsius arcus DC. ad arcum
54쪽
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXV. SInus recti duorum arcuum, quorum aut uterque
minor est tertia parte Quadrantis, aut at ter tertiae parti Quadrantis aequalis, alter minori ma
iorem habent rationem,quam arcus complemento rum, si maiores cum minoribus comparentur. I. DHSit Quadrans ABC. cuius latera AB. AC. ccntrum A. in eo sumantur duo arcus inaequales BD. minor DE.maiorisitq; BD. minor tertia parte Quadrantis, & BE. aut aequalis tertiae parti Quadrantis aut minor: & ducantur ad oppositum latus Quadrantis perpendi- Bculares DFq. EI. erit AH. sinus rectus arcus BD. & AI. sinus rectus arcus BE. Item erit arcus DC. complementum arcus minoris BD. & EC. complementum arcus maioris BE. arcuumque DE. EC.
sinus versi H C. IC. Dico maiorem esse Arationem I A. ad ΑΗ. quam arcus DC. ad arcum EC. Nam si BE.st lcrtia pars Quadrantis , erit AI. aequalis ipsi IC. Si vero BE.sit minor tertia parte Quadrantis erit AI. minor quam IC. ac proinde AIq. pars ipsius A I. ciit multo minor quam IC. Quoniam igitur IC. maior est, quam AH.& addita cst utrique quantitas aequalis, imo cadem ΗΙ. maior est ratio Cl. ad AIq. quam CIq. ad AI. & permutando inaior ratio CI.ad CH. quam AH.ad AI.ideoque maior AI.ad AH.quam CH.ad CI.at CH. sinus versus arcus DC. M IC.s-numvcrsum arcus EC. maiorem habet rationem quam arcus DC. ad arcum CE. Igitur AI. ad AH. maiorem habet rati nem quam arcus DC. ad arcum CE. Qu9d erat demonstratiadum.
55쪽
Curui ac recti proportio promota.
THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXVI. SEcantes duorum arcuum inaequalium , quorur
aut uterque sit maior duabus tertijs Quadrantis, aut alter maior, alienaequalis ; maiorem habent rationem, quam arcus ad arcum : si maiores cum minoribus conferantur iaIn figura superioris propositionis sint singuli arcus EC.DC. maiores duabus tertijs Quadrantis, erunt tam EB. quam DB.minores una tenta. Vel sit. EC.duae tertiar erit CD. maior una tertia, ac EB.Vna tertia, BD. minor una tertia. Dico maiorem esse rationem secantis DC. adsecantem EC. quam a cus DC. ad arcum EC. Nam superiori propositione ostensum i ii est maiorem esse rationem IA. ad AH. quam DC. ad EC. sed de secanti vi I A. ad AIq. ita secans arcus DC. ad secantem arcus EC. y Igitur maior est ratio secantis arcus DC. ad siccantem arcus EC. quam arcus DC. ad arcum EC. Quod fuit probandum.
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXVII. Uorum arcuum inaequalium, quorum Vtem . que sit minor Quadrante, aut alter minori differentia Quadrantem excedat, quam alter ab eodem deficit; sinus versus maioris, ad sinum Versum minoris maiorem habet rationem , quam tan--
gens dimidi j maioris ad tangentem dimidij minoris & chorda maioris, ad chordam minoris malo rem habet rationem, quam secans dimidi j maioris ad secantem dimidij minoris. Quod si desectusne rit aequalis, aequalis erit proportio, si excessus defe-
56쪽
ctum caperet, aut uterque arcus fuerit maior Qua drante, minor erit proportio eorumdem sinuum vetasorum inter se, quam tangentium i & chordarum inquam secantium.
IN circulo ABG. cuius centrum E. diameter AE. secans circulum in A. sit arcus maior AC. minor AB. illius choidata AC. huius AB. illius sinus rectus CH. huius BD. secantes di metrum AE. in punctis ΗD. erit HA. sinus versus maioris amcus AC. & DA . sinus versus arcus minoris AB. sitque primum
utervis arcus minor quadrante. Dico maiorem esse rationcm
HA. ad AD. quam tangentis dimidij arcus CA .ad tangentem dimidij AB. & maiorem AC. chordae ad AB chordam, quam secantis dimidij arcus AC. secantem dimidij arcus AB. Pr ducatur DB. quantum libct, & accipiatur DF. aequalis sin iii
H C. qui cum sit maior quam DB. cadet punctum F. vltra B.cXtra circulum, & connectatur AF. crit angulus ACH. dimidius anguli AEC. id est arcus A C. productis enim rectis BD. CH. in circumfercntis puncta Κ A. angulus ACI. in sistit arcui AI. qui arcui AC. cst aequalis, & Angulus ABD. arcui AK. a quali ipsi AB. & angulus ABD. dimidius anguli AFB.seu arcus AB atque in triangulis 1 cet..ngulis c HA. FDA. posito
sinu toto CH. aut FD. illi aequali, crit HA. tangens anguli UCA. id est, medictatis arcus A C. & eius secans CA. It nata DA . tangens anguli DFA. & F A. cius sccans. Iam veto, quae proportio HA. sinus versi arcus AC. ad DA . sinum volum a cus AB. eadem est HA. tangentis anguli HCA. ad DA. tangent manguli DFA. nam utrobique est proportio aequalitatis : sed angulus AF D. minor cst angulo ABD. minor est igitur tangens anguli AFD. tangente anguli ABD. Igitur maior est proportio HA. ingentis anguli HCA. ad DA. tangentem anguli DF A.' quam
57쪽
4 6 Curui ac recti proportio promota.
quam ad tangentem anguli DBA. sed vi HA. tangens anguli HCA. id est dimidij arcus AC. ad DA. tangentem anguli DFA. ita ostensus est HA. sinus versus arcus AC. ad DA. sianum versum arcus AB. Igitur maior est proportio I . sinus versi arcus AC. ad DA. unum versum arcus AB. quam H tangentis anguli HCA. seu medij arcus Ata ad tangentem anguli DBA. seu medij arcus AB. Sed sit arcus AC.maior quadrante, & ducta EG. perpendiaculari ad diametrum AE. minor sit arcus CG. quo quadrantem superat ; quam arcus BG. quo arcus AB. differt a Quadrante. Rursus cum sinus I C.sit maior qua DB.cadet punctu F. vltra punctum B. extra circulum; eodem prorsus modo quo prima parte huius, ostendemus P A. sinum versum Arcus AC. ad AD. sinum versum arcus AB. maiorem habere rationem , quam HA. tangentem medij arcus AC. ad tangentem in
Sit secundo arcus GC. arcui GB. aequalis, ideoque rectar DB. ΗC. a quales, cadatque punctium F. in linstina C. Dico eamdem esse rationem HA. sinus versi arcus AC. ad DA . sinum versum arcus DA . quae tangentis anguli HCA. id est medij arcus AC. ad tangentem anguli DBA. seu medij arcus AB. Non cum in triangulis rectangulis aequales sint sinus toti ΗC. DB. erit HA. tangens anguli ΗCA seu Adimidij arcus A C. & CA. eiusden
secans: item DA. erit tangen Sanguli DBA. seu medij arcus AB. & AB. eiusdem secans. Vt igitur HA. sinus
vcrsus arcus AC. ad DA . sinum versum arcus AB. ita HA. tangens dimidij, ad DA. tangentem dimidij. In super sit arcus GC. quo ma- -
58쪽
ior arcus quadrantem superat , maior arcu GB. quo minora Quadrame superatur : erit FIC. magis distans a diametro , minor quam DB. quae minus distat. Igitur silmpta DF. aequali ipsi HC. cadet punctum F. inter D. &B. critrursus HA. tangens anguli HCA.&DA. tangens anguli DFA. qui cunia sit maior, quam angulus DBA. minor erit ratio tangentis HA. anstuli HCA. ad tangentem anguli DFA. quam ad tangentem anguli DBA sed vi HA. tangens Anguli HCA. ad tangentem anguli DFA. ita ΗΑ. sinus versus arcus AC. ad DA . sinum versum arcus AB. Igitur HA.tangens anguli ΗCA. id est dimidij arcus AC. ad tangentem anguli DBA. seu medij arcus AB. maiorem habet rationem, quam dictus sinus versus I .ad sinum versum DA. Denique sint arcus AB. AC. vlcrque maior Quadrante: AB.minor & AC. maior: erit recta DB. vicinior diametro maior quam HC. sumpta igitur DF. a quali ipsi I C. quae cadat inter puncta D. B eodem rursus modo quo proxima parte, ostendemus maiorcm eL se proportionem tangentis dimidij arcus maioris, ad tangentem dimidij minoris, quam sinus versi arcus maioris ad sinum versum minoris. Iam vero, quoniam in primo casu maior est angulus ABD. angulo AFD.maior erit secans anguli ABD. recta AF. secante anguli AFD. Rursus, cum acutus sit angulus ABD. quia ADB. rectus sobtusus erit ABF, idemque AF. maior quam AB. maiorem igitur rationem habebit chorda CA. arcus AC. ad chordam BA. arcus AB. quam se
cans AC. anguli ACH. id est dimidij arcus AC. ad 1ecantem
anguli ABD. seu dimidij arcus AB.
59쪽
Curui ac recti proportio promota. In secundo vero casu cum CA. sit & secans anguli ACH. Mchorda arcus AC. item BA secans anguli ABD. & chorda a cus AB. Eandem habebit rationem CA. secans Anguli ACH id est dimidij arcus AC. ad BA. secantem Anguli ABD. scudimidij arcus AB. quam CA. chorda arcus AC. ad BA. cho dam arcus AB. In ultimis casibus Qiboniam maior est angulus AFD. angulo ABD. minor erit secans anguli ABD. id est dimidij arcus AB. quam AF. secans anguli AFD; & quia angulus AFD. cutus est, erit AFB. obtusus, ideoque maior AB. quam AF-Igitur minor est ratio CA. chordae arcus AC.' ad B A. chordam arctis AB. quam CA. secantis anguli ACH. seu dimidij arcus
duorum arcuum inaequalium &c. Quod erat demonstrandum.
Ex probatis colligitis , s pnus rectus cum secante eiu emarcus comparetur , quoad maiorem vel minorem proportionem idem de eo dicendum , quod de chorda dupli arcus , ac in priora casu maiorem e rationem sinus recti arcus maioris ad num rectum minoris, quam si cantis maioris a cantem minoris: in secundo aequalem .di in tertio minorem; Nam , ut chorda arcus
maioris , ad chordam minoris , Da snus re s dimidi, maioris , ad uu rectum dimidi, minoris. Cum medietas chordae nihil aliuaest, quam Mas dimidi' arcus r sd in priori casu , chorda circus maioris , ad chordam minoris, maiorem habet rationem , quam secans dimidij maioris ad sicantem dimidia, minoris : Igitur usdimidi, arcus maioris ad num dimidi, minoris , maiorem haberrationen, quam secans dimidi, maioris , id es ei dem arcus , adsiccientem dimidi, minoris. In scundo vero casu, os renditur esse vr num maioris arcus ad num minoris , ita scantem maioris
ad secantem minoris . In tertio mInorem esse rationem nus amcus maioris , ad num minoris , quam secantis maioris , ad secatior tem minoris.
60쪽
'THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXVIII. DVorum arcuum inaequalium, quorum uterq;
sit minor semiquadrante, aut alter aequali , vel minori disserentia semiquadrantem e cedat,quam alter a semiquadrante deficit; secans ma-.ioris ad secantem minoris minorem habet rationem, quam arcus maior ad minorem.
IN propositione 37. huius, tribus primis figuris , sit arcus AC. maior arcu AB. ita ut uterq; sit minor quadrante , aut AC. maior AB.minor, ita ut excessus AC. supra quadrantem sit aut minor,aut aequalis desectui arcus AB.a quadrante.Dico secantem dimidij arcus AC. ad secatem dimidi j arcus AB.mianorem habere rationem,quam arcum AC.ad arcum AB.Nam propositione 37.huius constat, minorem, aut aequalem esse rationem secantis dimidij arcus AC.ad secantem dimidij a cas AB. quam chordae AC. ad chordam AB. sed chorda AC. ad chordam AB. minorem habet rationem quam arcus AC. o. ad arcum AB. id est quam dimidius AC. ad dimidium AB. ergo secans dimidij arcus AC. ad secantem dimidij arcus AB. minorem habet rationem, quam medius arcus AC. ad medium arcum AB. qui arcus secantibus respondent. Igitur duorum arcuum &c. quod erat &c.
OVM Gerq; arcuisii mis resimi quadrante, secans maioris
ad minorem, non tantum minorem habebis rationem, quam arcus maior ad minorem, sedetiam quam complementum arcus -- noris , ad c omplementam maioris. Nam in quadrante ABC. δε- mantur duo areus BE. M. Gem; minor smiquadrante , qu