장음표시 사용
391쪽
SΙ diametro spiralis tam intra madrantem
descriptae , quam partialis, parallela ducatur tangens ipsam spiralem ; & a puncto contactus sinus spiricus ducatur: is erit omnium sinuum spiricorum maximus.
Diametro spiralis AB. intra Qtradr ptem ABC. dcstriaptae , ducatur recta F G. parallela tang.ns spiralem in D.& ex D. ducatur DI. sinus spiricus. Dico DI, esse omnium sinum spiricorum maximum. Ducantur enim quilibet ali j sinus FE. NO.-supra inis ue sinum DI. secantes Spiralem in E.& O. &tangentem GDH. Κ.M. Cum recta H DG. ex hypothesi tangat spiralem in D. in illo η solo puncto tanget. Cadet igitur illi AN tota GH. extra spiralem. Quare chimedis . punctium K. erit extra spiralem: est autem punctium E.in linea spurali, maior igitur est FΚ. quam FE. totum quam parsa Quoniam autem ex descriptione parallelae sunt DK. IF. ite KF. &DI. parallelogrammum est DIFK. aequales igitur 3 s. Min. sunt KF. DI .sed KF. maior est ostensa quam EF. igitur DI. maior est quam EF. Eodemque prorsus modo ostendetur DI. maior quam No. &quam quilibet alius sinus piricus. Atq; eadem omnino demonstratio succedet,si ABD. ponatur quaelibet pars spiratis,ut euidentissimum est. Igitur si diametro spiralis &c. Quod erat demonstrandum
392쪽
3 8 α Curvi ae recti proportio promota. THEOREM A VII. PROPOS. VII.
Ecta perpendicularis ad sinum maximum a puncto ubi is spiralem Q adrantis , aut partialem secat, eandem spiralem,
Sit Quadrans ABC. Spiralis Quadrantis ADB. quam secet D I. sinus maximus in D. a quoad ipsam DI. ducatur perpendicularis GDH. Dico quod retia GDH. lineam . spiralem tangit in D. si enim non ita sit, secet eam , ac transeat Perpuncta D. E. diducatur EF, ipsi DI. parallula, secans AB. in s. Cum rccti sunt anguli ad I. ex definitione,& D. cx supposita Onetas, parallelae sunt AB G H. id est,t F.& DE. sed & parallelae sunt EF. DI. cx hypothes igitur parallelogrammum est EI ID. aequalia igitur sunt latera EF, DI. non est igitur DI. maior quam EF. ac proinde non est Omnium sinuum spiricorum niaximus: 'dest contra Jhypothesin. Idem manifeste contingit in spirali partiali. Igitur perpendicularis &ς. Quod erat demonstrandum.
THEOR EMAt VIII. PROPOS, . VIII. im
Syjralem in eodem puncto duae re Let nolia
contingunt. Sit linea spiralis ADE. in dualibet circulatione descripta,&contingat ipsam recta H DG. in puncto D. iunga turque A D. ad principium spiralis ; & ccntro quidem A. interuallo AD. circulus describatur CDB. qui sccci priu- s. 39.ro decipi uincirculationis A C. in C. & ducatur AK. ipsi AD. tibi a ehi p p dicularis quae coibit cuin contingente H DG. :n G.
393쪽
Dico non posse duci aliam conting iuem priae rer:HDG. quae spiralem tangat in D. sidia impotest , ducat riit LDK. qtiae corbyt cimi AK. non in ME puncto G. alias duae rccis MDG. I DK., spatium compi hendercnt , sit in puniseio K. quod , vel cadat inter G. & A. . piincti , vel Hira I ita.vi AR. sit vel totum respectu ipsius AG. vel pars. Coni quae deiΠonstrauit Archim .des propositioni b. 18. I9.2o. de lineis spirat ibus , cum contingentes sint Vir i que H DG. L DX. tam rectam AG. qtiam sectam AK. esse aequalem arcui CD aequales igitur pyφη iant A .RK. pars & totum , Quod est absurdum,Non erapo tangent rcetae HG. L . Spiralem in eodem puneta D. Quod erat probandum.
I in puncto in quo sinus spiricus unanium maximus spiralem ruadrantis, aut partialem secati recta candem spiralem tangat: ea erit dicto sinui perpendicularis .
In puncto D. in quo Sinus spiricus DI. omnium maXLmus spiralem Quadrantis ADB. secat, recta H DG. Eandem spiralem tangat. Dico rcetam H DG. esse ipsi DI .perpendicularem. Si enim res non ita habeat , sit alia quaepiam LDK. ipf DI. perpendicularis . Quoniam,spiralcm ADB. secat sinus spiricus omnium maximus DI. & a puncto secti
394쪽
3 8 Curui ac recti proportio promota
1. huius. spiralem tanget in D. sed etiam spiralem tangit in D. re. cta GDH. Igitur spiralem in eodem puncto tangunt duae m- rectar H DG.LDH. Riodest absurdum.Nec aliter procedit demonstratio, in spirali partiali quod clarius, quam ut superflua repetitione indigeat .
Inus spirici maximo propriores maiores sunt
Sit Spiralis Quadrantis, aut partialis ADB. cuius λnus spiralis maximus DI.& constituantur primo inter maximum , & principium. lineae spiralis A. duo sinus EF.GΗ. ille vicinior maximo , hic remotior. Dico sinum EF, cist
maiorem sinu GH. Tangat recta P piralem in E. per datum possibile cui parallela sit A M. & ad virum tu
19. t. perpendicularis EN. secans MA. in N. &AB. in K. ipsi Vero ΕΚ.ex puncto G.ducatur parallela GOL.secans MA. in o. perpendiculariter,& AB in L. nranifestum cst A M.' μμ esse dimetientem spiralis partialis A EM. cui cum parallcla ducta sit PE angens spiralem in E.&a puncto conta-dcis. 3. & ctus E. ductus sit sinus spiricus EN. is erit omnium simum: s esui. spiricorum qui inspirali partiali AE M. duci possunt maxim s. ingie maior est quam sinus spiricus UO. eiusdem
395쪽
partialis spirae, sed& maior est NK. quam ΟL. Nam
cum aequiangula sint triangula ANK. AOL. ob rectos ad 3 O. N.& communem ad A.erit vi AN. maior ad AO.min i rem ita NK. maior ad OL. minorem tota igitur ΕΚ.ma- 'ior est , quam tota GL. Rursus cum aequiangula sint tria
gula KEF. LGΗ. nam parallelae fiunt ΕΚ. GL. item EF. GK. ex hypothesi , & anguli ad F. H. recti P erit ut KE. ad EF. ita LG. ad GH. maior autem ostense est KE. quam LG. maior etiam est EF. quam GH. Quod primo exat demonstrandum. ό l . Cadant secundo duo sinus spirici supra sinum spiriculi, maximum DI.& fiant reliqua,ut in prima parte huius propositsonis. Eodem prorsus modo probatur A M. esse dimetientem. EN.omnium sinuum spiricorum partis AEM. maximum; ideo maiorem quam GO. Iam vero in quo differt prima pars a secunda ) minor est K N. quam LO. Nam cum triangula A OL. ANK.ob parallelas LV. KN. habeant angulos ad N. O. item ad K. L. item ad A. aequales , sunt aequiangula ideoque ut A O. ad OL. ita AN. ad NK. & maior est A O. quam AN. ideoque& maior OL. quam NK. si igitur ex maiori EN. detrahatur minor ΚN. & ex minori GO. maior Lo. remanebit EX. maior quam GL. Hinc eodem modo , quo in prima parta probabitur EF. maior quam GH. Quod erat secundo loco demonstrandum .
THEO REMA XI. PROPOS. XI SEcans minimae proportionis transit perpunctum ubi sinus spiralis Quadrantis maximus spirat em secat.
Hoc euiden ter deducitur ex superioribus propositioni bus. Nam parallela tangenti QuadrantiF, aut diametro , . de linea Spiralis quadrantis, ipsarn Spiralem tangit in uno tantum sputilibus.' Ccc puncto: M an i
396쪽
38 6 Cures ac recti proportio promota
3 hμψ puncto at vero per illud punctum transit secans minimam ex caeteris secantibus ad suum arcum proportionem ii hens,& in e em puncto sinus spiriciis omnium in Qua- ius. drante maximus spiralem secat ἐν Igitur secans minimae proportionis transit per punctum ubi sinus spiricus Quadrantis maximus spiralem secat. Quod erat &c.
Si duae secantes, utraque aut ultra aut citrae,
secantem minimae proportionis ducantur: remotior ad situm arcum maiorem habet rationem, quam propinquior In Quadrante ABC. sit secans minimae proportionisAN. occurrens tangenti CN. in N. & ducantur duae aliae secantes A M. propinquior, A L. remotior, utraque citra secante AN. quae secent Quadrantem in punctis O. P. Diato secantem iAL. ad suum arcum PC. maiorem habere rationem quam secantem AM. ad arcum OC. Deseribatur. intra Quadrantem Spiralis ADB. in qua sinus spiricus omnium maximus DI. secans spiralem in D. transibit socans A per punctum D. Igitur secantes AM. A L. spira-lam secabunt citra punctum D. vita punctis G. E.per quae ducantur sinus spirici GH. EF. erit GH. sinus spiricus maximo DI. vicinior maior quam EF. remotior. Quare ducta ΕΚ. ad FE. perpendicularis , aut ipsi AB. seu CN. parallela ipsania. HG. secabit in inter puncta G. &Η. ideoque ipsam GA .inter puncta G. A. videlicet in R. maiorque erit AG. totum quam pars AR. Iam vero cum in triangulo
397쪽
MAL. basi ML. ducta sit parallela ER. erit ut A L. ad AM. ita AE. & ad AR .maior autem est ratio AE. 8. nad AR. quam AE. ad AG. igitur ΤΙ- F. maior est ratio AL. ad AM.quam AE. ad AG. sed ut A F. ad AG. ita ' arcus CP. ad arcum C O. Igitur maior est ratio A L. ad A M. quam arcus CP. ad arcum CO. &per mutando , maior ratio secantis A L. ad suum arcum CP. quam secantis A M. ad arcum C O. Quod primo demonstrandum erat. Idem omnino sequitur,si utraque secans cadat supra AN. vi manifeste patet ex figura. Quare si duae secantes &c. 'Quod erat ostendend um.
THEOREMA XIII. PROPOS. XIII. DAt siccante , quae non sit minimae proportionis , potest duci alia secans quae
eandem habeat rationem ad suum arcum . quam data ad suum. In Quadrante ABC. sit secans
data AE L. Occurrens tangenti CL. in L. quae non sit minimae rationis,cuius
arcus PC. Dico posse in Quadrante duci aliam secantem qua eandem ad suum arcuri rationem habeat, itiam L secans A L. ad arcum PC. Sit in Quadrante descripta spiralis ADB. in qua sinus maximus DI. cui parallelus ducatur sinus spiricus EF. & cx C E. ad FE. perpendicularis , aut ipsis C cc a AB.
398쪽
3 8 8 Curtii ac recti proportio promota.
AB. CM. parallela EG. secans spiralem in G. 3c ducatur
AG. recta oceurrens peripheriae Quadrantis in o. & tangenti in M. erit CM. secans arcus OC. Dico tangentemAM. ad suum arcum OC. eam habere rationem,quam habet secans AL. ad arcum PC. Nam cum in triangulos. & 4. 6. MAL. basi ML. parallela ducta sit EG. erit AM. ad A L. ut 3 hM ad AE.sed ut AG.ad AE. ita arcus OC. ad arcum PC. ergo ut AM. ad AL. ita arcus OC. ad arcum PC. & pe mutando , ut secans AM. ad suum arcum OC. ita secans AL. ad arcum PC. Quod erat demonstrandum . Manifestum autem est quod punctum D. cadit inter puncta G. & E. alias enim si utrumque punctum H G. caderet aut citra, aut ultra punctum D. haberet remotior s c.ns ad suum arcum maiorem rationem, quam propi quior; quod est absurdum, cum ostensa sit utraque eandem habere rationem. Quod etiam inde constat, quia suo. huius. nus spiricus FE. minor est quam DI. ex 6. huius , qua
perpendicularis EG. secabit illam DI. in K. inter puncta , D. I. quare paoducta secabit spiralem in G. supra DI.
QV dx tricem in Quadrante deseribere, &
extra Quadrantem producere, atque toti circulo accommodare. Sit circulus BCDE. cuius centrum A. per quod tra seant duae perpendiculares BD. CE. secantes circulum inquatuor Quadrantes, in quorum uno ABC. sit basis AB.& latus erectum AC. Conuertatur AB. circa A. centrum, tanquam verticem, ita ut punctum B. perueniat in N. eodem tempore linea recta coincidens cum AB. moueatur ex A. in F. in toto motu perpendicularis ad latus erectum
AC. aut parallela basi Quadrantis AB. ita ut quae propo tio est CB. ad BN. arcum quem percurrit punctum B. e
399쪽
: fit lateris erecti CA. ad partem AF. quam percurrit pun- ctum A. & in illo motu concurrant duae rectae AN. & per-
pendicularis FG. in puncto G. concurrent autem cum 3- pDn angulus GFA. sit rectus&GAF. acutus describet punctum concursus lineam curvam MGC. quam esse Quadratricem Dinostrati constat ex Pappo lib. q.prop. I-Clauio ad ultimam proposit. 6. element. Quod vero ea tota sit in Quadrante,ita demonstrabimus. Sit quodlibet punctum Quadratricis modo descriptae G. a quo perpendicularis intermedia secet larus erectum AC. in F. & diameter Quadrantis per illud idem punctum G. ducta secet Quadrantis peripheriam in N. puncto, a quo ducatur sinus rectus NO. arcus NC. Quoniam, ex descriptione, est ut peripheria Quadrantis BC. ad arcum BN. ita latus erectum A C. ad partem AE. erit per sonuersionem rationia,
400쪽
3so Curvi ac rem proportio promota.
ut BC. ad CN. ita AC. ad CF., Cum vero Co. sit sinus Lemma tui versus arcus NC. maior erit ratio AC. ad Co. quam BC. ius. ad CN. Quare maior erit ratio AC. ad CO.quam AC.ad F p 'Π S minor igitur est CO. quam CF. Quare maior AO. 34. r. quam AF. Vt autem AO. ad AF. ita AN. ad AG. aequiangula enim sunt triangula OAN. FAG. Ob commvncm . angulum ad A. dc rectos ad F. o. igitur AN. maior est quam AG. ideoque cum punctum N. cadat in peripheria Quadrantis , cadet punctum G. intra Quadrantem ; atque idem demonstrabitur in quolibet alio puncto partis Quadrantis MGC. Producetur autem hoc modo Quadratrix. Moueatur punctum B. per C. usquq in P. & punctum A. per C. Vsque in H. ita ut quae proportio BC. ad BP. ea semper si AC.ad AH. &ducta AP. semidiamcter per P. in I. & perpendic
laris HI. concurrant in I. concurrunt autem quia angulus ad H. rectias , & HAI. acutus atque eadem ratione punctum concursus relinquens sui vestigium describat lineam curuam C I in eam vocamus Quadratricem conti nuatam , quod eodem modo describatur quo ea quae continetur Quadrance . Quod vero ea cadat extra circulumia, . i. patet, sumatur enim quodlibet punctum I. Quoniam maior est A I. subtendens angulum rectum ad H. quam AIq. defin. 3s. & maior AH. quam AC. totum parte, & AC. aequalis ipsi AP. maior erit AI. quam AP. sed punctum P. cadet in peripheriam circuli, ergo punctum I. cadet extra. Idemque
ostendetur in quolibet alio pulicto Quadrati icis produ ctae; eritque tota Quadratrix MCi Quadratrix semicirculi BCD. Quod si in inferiori semicirculo alia describatur NE R. eo modo quo in superiori cxissct totius circu