장음표시 사용
51쪽
PRO post T '. Omnis 3ramis tiralis constat ex radice collaterali tanquam axe, edi ex tot pyramidibus triangulis primi generis pracedentiabus loci, quoisunt latera pyramidis centralis. Qito 3o' huius de pyramide centrali hexagona demonstravit haec presens de omni pyramide centrali concludit. Et demonstratio re inbique est eadem.Itaque in omni pyramide sumenda est radix collatera lis sed in pyramide Δμ sumendum est triplum pyramidis triangulta primi generis praecedentis in quadrata quadruplum, in pentagona quincuplum , in hexagonasi cupium , scut in si . factum est. In heptagona septuplum. In octagona octu plum. Atque ita ex dissin constabit, scuti k0. propositum. Exempli gratia pyramis quadrata ce tralis quinti loci est t. qui numerus constat ex radice quininta, scilicet s.& ex quadruplo pyramidis Δ'' primi generis. scilicet ex So.& smiliter in caeteris locis.
Manifestum est igitur, quod sicut pyramis centralis quadrata supra triangulum pyramidem collateralem: itari pentagona supra quadratam me non hexagona supra pentagonam, ineptagona super hexagonam in octogona super eptagonam semper addidit praecedentem pyrami clem triangulam primi generis . Sicut videlicet basis centralis supra basim collateralem laterum unitate pauciorum,
addit praecedentem primi generis triasulum. PROPO si TI s . Omnis item pyramis centraleticonstat ex tot pyramidibus priami generis ex quo basibus primi generis eius; basis conriare gessa est, O eiusdeo nominis atque loci. Exempli gratiari pyramis
hexagona centralis quinta, scilicet 2 I. constat ex quinta py-amiae hexagona primigeneris, scilicet, 1. ex ' pyramide quadrata primigeneris, scilicet c.quoniam scilicet basis hexagona cetralis quinta, scilicetis i. constat ex hexagono quinto, scilicet 3.&ex quacrato quarto primi generis, scilicet te, .ut in o*.ostensum fuit quod qui di m dc monstratum est in
o huius, quoad exagonam pyramidcm Qq smilitet liae generaliter de omni centrali pyramide ostendetur. Sed in horum exemplum exponemus in tabella pyramides utrasque tam scilicet primigcneris, qui in centralis, in quibus propositionum veritas apparet. Pyramides
52쪽
P Ropo si ci ' 67'. ' omnis columna centralis coagmentatur ex radice collateras, an qvirm axe, ct ex congerie praecedentis triangula columna fuit triangu-ili in primo genere in numerum lateri multiplicata. Qu9d 6 huius, ostendit de columna hexagona cetrali: haec pias de omni centrali columna proponici, Se demonstrario tuc id ea te est. Itaq; in omni columna lum eda est rassi x collateralis sed in column χtriangula, cogeries praecedetis triagulae columnae, suiquei initimogenere, multiplicanda est in ternarium.In coluna quadrata in quaternarium: pro columna pelagona in quinarium, per hexagona in senarium , per heptagona in septenarium , per octogona in octonarium. Atque ita ex vissin. constabit, licut in 6 propositum. Exempli gratia columna centrali quadrata quinti loci, est χχs in conflatur ex radice quinta, scilicet ex congerie praecedentis triangulae columnae suique trianguli in primo genere , scilicet so quadruplicata, hoc est, ex Oo.& similiter in caeteris locis, in cereris columnis. COROLLARIUM. Vnde manifestum est, quod sicut columna centralis quadrata supratriangulam centralem columnam collaterale: ita lentagona supra quadratam Nec non hexagona supra pentagonam, heptagona supra hexagonam in octogona super heptagonam temper addit praecedentem coluintiam triangulam cum suo triangulo primi generis.Hoc idem de pyramidibus ante praemissiae corrollarium inserebat. PROPO-
53쪽
Omnis item columna centralis connat ex tot colamm primi generis,ex auot eiusdem generis basibus eira basis constare ostensa est, ct eiusdem nomitus acque loci Columnis tame praecedentis loci una cu basibus propriis acceptis. Exempli gratia . columna centralis hexagona quinta, scilicet os .conflatur excolumisna hexagona primi generis quinta, scilicet a sic ex cubo quarto 64. Vna cum suo quadrato 6. quoniam, scilicet basis hexagona centralis quinta, scilicet 6 I. constabat ex hexagono quinto scilicet 3. ex quadrato quarto primi generis,scilicet i 6. per o praemittam. Quod quidem in s ius ostensum est, quo ad columnam hexagonam: S demonstratio simili procella,ad omnem centralem columnam extendi potest. Ad verificandum quod hic proponatur PRO Post Tio. 8'.
omnibus tribus sim planis, siue pyramidibus, siue colum
ni centralibus, collateralibus sub continitato laterum numero, susceptis, aggregatum extremorum est duplum ad medium. Exempli gratia, sumatur quintus triangulus L . quintus quadratus i. quintus Pentagonus II centrales Aio quδd in his aggregatum extremotum, hoc est 3I.&s . est duplum ipsius L. medu Nam, ut constat ex disturi talium formarum, differentia trianguli siquadrati est aequalis differentiae quadrati pentagoni quandoquidem talis disterentia est triangulus quartus primi generis. Quamobrem, per 28 huius, congeries extremotum est duplu medii, quod est demonstrandum. Similiter, si sumantur pyramis triangula quinta 63 pyramis quadrata quinta, scilicet' s. tyramis pentagona quinta Lo . quoniam eodem excessu concinuatur per corollarium: pNemisset, per dictam 28 constabit propositum. Item in columnis tribus centralibus, scilicet triangula quinta II s. quadrata quinta j ob. Pentasona quintari s quarum excessus idem est, per 76 premissae' rollarium: nihilominus, per dictam αἱ verificatur conclusio Nec secus si pro quinto, quotuscunque capiatur in ordine locus per eadem precedet Illogismus ad approbandum propositum . In quorum exemplum , sicut dii dii planos
numeros&puramides ta nunc columnas tam primi gene ris,quam centrales in indice sequenti ex anabimus M in risii i tm.. bic b in fario A. hii ossiumna
54쪽
His adiectoris meliorem in te ligentiam ita descriptos, ad reliqua properabimus. PRO Post Tios 79'. per ΠOmnis colamna mirndtula centralis . . quadrato triagu-
contumacit tripi si est pyramidiscentralis quintaec Quod sic ostencii tui .Columna triangula centrali qum-t per I constat ex tribus primi generis formis,scilicet columna triangula quinta, cubo quarto,&quadrato quarto. σΔlHis appono eiusdemneris quadratu quin tu, qua per I 'Va 1 13let tria ut sq&ea appono uena triangulu abu quantum Atq ita ostedendii erit quod totum limoi aggregatus co Io lumna es s cubo ', quadrato quarto, duobus triangulis quintis ci primi generis simul triplum est pyramissi p. in , di= eri centralis. Sed cum pyramis 'cetralis, per 3 nuius,c5struatur ex obinatione duaru pyramidu primi gene liris scilicet M P quadrati oriri demostradu erit,in si pradict aggregat si triplu est ditae cobinationis. Qu9d sic pater.Vna pars illius aggregati. s.coluna triagula quinta, cu
55쪽
Item que reliqua pars aggregata, scilicet cubus quartus, cum quadrato Δ''quartis, aequalis est, per. 3 huius, triplo pyramidis quadratae quartae, quae suit altera pars combinationis. Itaque, quoniam duae partes aggregati duabus partibua combinationis, singulae singulis triplae iunt: idcirco, per priam a quinti Elementorum, totum aggregatum totius combinationis, triplum eriliqudd fuit demon trandum:& demo, iratio a quinto ad quemvis alium locum transferetur ad
nixis columna quadrata centraliis cum duilo quadrati tolla-
Lj ., pli gratia columna quadrata centralis quinta. s. 2o s.cu duplo quinti quadrati exi' genere, hoc est, cum O. facit 2 3. quod triplu est suae pyramidis, scilicet 8 .'dic cocluditur. Collina quadrata centralis quinta, per γε, constat ex tri Eius rim generis sermis, scilicet cubo 1' cubo 'iquae sunt counae quadratae quadrato η'. His applico quadratu quintu: cla alterum quadratu quin tu,qui, pc I - aequi ualet duos triangulos, quintum, cla quartu: atq ita ostendendu erit,indio tu tale, aggregatu ex cubo quinto cubo quarto quadrato ',quadrato quinto, triangulis 3's ' pii mi cncris, similiter triplum est pyramidis quadratc cc ntralis, liniar. Cun-
pyr. I IVς pyxδ ii , peri 'huius constat cx combinatione duaru pyramidu primi generis, scilicet quadrate quintae,&pyr cita . , qua ir x t quartae Ia demonstrandu erit, v supradictu aggre
iVna pars illius agregati .scubus quadrat', triangulus sint loci, per ,3 , simul faciunt triplu pyramidis quadratae sin-W,quq fuit una pars combinationis. Itemq; reliqua pars a gregati. s. cubus, quadratus, triangulus quarti loci, per eande 63 ,sunu facit triplum pyramidis quadrate quartae, quae suit reliqua pars combinationis quam ob re duae iam partes
aggregati triplae sunt ad duas partes sibinationis, singulae. s. ad singulos. Et ideo, per quinti Elementorum prima, totum aggregatum totius cobinationis triplu erit, qd demonstra dusuit. Et similiter a quinto ad quemvis locu transscretur de-- monstratio proposti Pno post Tio si . Ovrnis columna pentagona centralis cum dupla quadrati collateralis, O cum triangulo praecedente primi generis, triplum facit sua. amidis Exempli gratia columna pentagona centralis quinta II .cum duplo quadrati quinti. s. o. e ca
56쪽
midis pentagonae centralis quinta'. st e I.qc sic demonstr ii s. et Coluna pentagona centralis quinta per costasex tribus primigeneris tormis: videlicet coluna Etagona ue', cubo ' os sub dici .His adiungo dupluta quinti,&triaugulu quartu, f Qq; ita demo strandu erit,quod totum id aggregatum tot' 'lumna pelagona ' cubo ' qua diatm ' duobus quadra in iis quintis, Δ simul triplu sit pyramidis pelagonae ce cirratis quintae.Verurn pyramis limo per es huius costat ex ci ci. ebbinatione duoriim pyramidum primi gcneris spenrago - o. nae quintae, cli trianguia '', dympterea idemsistranda erit Ouod memora ira aggregatim prefatae cobinationis tripluest.Hoc pacto una pars illius a gregati.ccolumna pelagona cum duplo quis ii ii 'lam per linire qua tripliam pyramidis pelagona quatas est, ni iam combinationis It residua pari aggreoti .s.culius I quarti loci, simul aequat, per 63 . triplu pyramid T quar Pr F. tiae,quae rest residua pars combinationis. Sic,quoniam dii 3 partes aggregati ad duas 'artis combinationis , singula ad hPyr.I p hiigulas tripla sunt: ideo per quinti elernentorum primam, O.
totum aggregatum totius cobinationis triplum erit, cla limi- , liter in quocunque alio loco verilicatur propositum. I tu, 'na m in I l in ria mi ici util
Omnis columna heptagona cum hexagono primi generis quadrato collateralibus atque triangulo praecedenti coniuncta, , scit triplum sua p3ramidis Exempli gratiari columna hee ' ρ
scilicet I 3.Qu'd sic demonstro Columna heptagona qui O χta,per corollarium Q huius, constat ex tribus formis, exco- Δ' 'pluma hexagona quinta centrali, excolumna quarta pri Io Ini ντὶ is,atque trjangui quarto. His adrungo exagonum 'p'quintum pIimi genetis,ac otia iratum quin tu,&triagulurn s. 'quartum hN, ira dcmonstradum erit,' totum hocce ag egregatum ex columna anta centrali hexagona, columna tria is gula quarta primi generis, triagulo quarto, hexagonis quinto,
57쪽
quadrato quinto, alio triangulo quart', simul a ciuiualet triplo pyramidis heptagonae quintae.Cunq; per corollarium, Pythepr. I J dudum dictu aggregatu ad dicta mox combinatione triplu Pyr. Δμ 'p' erit, hoc scilicet pacto Vna pars illius aggregati, scilicet colli Q na hexagona centralis quinta cum hexagono primi generis quinto, cu quadrato quinto, simul per corollarium primum 66 triplum facit pyramidis hera nocentralis quinte . que:
para est na comb nationis. Item columna triangula,cu duobus triangulis quarti loci, per so huius, triplum facit pyramidis triangulae quartae P residuum est eombinationis.Quare cum duae parte aggregati, duarum partium c0m qinati9-- - nu, singul e singularum triplae sint Iae per primam quinti Euclidis intuin q; ggregatum totius combinationis triplut erit. In hoc quinto loco ad imiliter in omni alio, quod eli inopositum, ino a ui aio et D s imbii di Liris ' '
Et pro hexagono rhni generis quadrato conterassibus, substituere potes hexagonu centralem in imparem collaterales. Nam, per corollarium 1 66 hexagonus centralis impar simul sumptis , valent hexagonu primi gen exis&quadratucollaterales, hoc est,m qiiinto loco, huius exempli.
Omnis tolumna octogona, cum hexagona primi generis, ael CQ quadrato conteralibus, duploi tria uti praecedentis coniunt, Col. s facit triplum sua pyramidis Exempli gratia, columna octan- os Col. 'i' gula quinta o 1 cum hexagono primi generis tum qua o. drato quinto, hoc est, cu 1 e cum a s .duploque trianguli hi quarti scilicet cum o conficit 91 quod aio triplum ciIe' pyramidis octangula quintae , scilicet i cs in Ie ostendo. Columna o clangula quinta, per corollarium 76 consti- tuitur ex duabus columnis, septangula quinta triangula '
i ' primi generis, triangulo quarto. His ergo affocio hexago-O nil primi generis, quadratum quin tu nec non duo trian gulos quartos. quo facto, demonstrandum erit, quod totum με, P istud aggregatum scilicet ex columna septangula quinta,em P lumna triangula quarta primi generis, triangulo quarto, lic ' λ xagono quinto, quadrato quinto, duploque trianguli quarti, limul triplum consummabit pyramidis octangulae quin-
58쪽
M. Cumq; per corollarium huius, talis pyramis quinta pyr. 8 'ci' conficiature pyramidis septangulae ciuinta , 5 MJramidis EF ut si triangulae quarta combinarione iam ostendendu erit,quod S se δdictu aggregatu dictae combinationis triplia erit .hoc videli licet pacto.Una pars illius aggregati, scilicet coluna septan Col. gula quinta cum hexagono primi generis quinto quadrato s s. quinto, quadrato ' simul em cit, per praecedente pro si Col. 8μ is bibo . tione, reipli pyramicissis septangulta quintπν quae par est na o. o iocobinationis. Ite residunt aggregati, scilicet columna cietu U ,hoo primis 'neris,cu duplo trianglili quarti per o huius, tripi Dcit pyiamselis trianguli quartae qui est residuu co 'hmationis. Itaque, cum duae partes aggregati duaru partum combinationis lingulae singularum ti pia sint,ia te pri ma quinti Euclidis totu agglegatu toti'cobinationis tripluerit. In hoc quinto loco i&similiter alibi. dest propontu.
COROLLARIUM.n pro hexagono primi generis aradrato conteralibus Dbnituere potes exagonamincentralem imparem collaterales. Nam per corollarium χμs6 hexagonus centralis impar
simul sumpti, valent hexagonum primi generis quadrati ikia hi collaterales, hoc est, in quinto loco, per assumpto exemplo. Pκo post Tici 4 Pyr.Δ p
slaut columna triangula centralis cum quadratiis trianguli eQaterestu primi generi aggregato coniuncta, triplum conficit suae Dramidis Ita etiam sequentium columnaru oentralium 1 'ta Quadrata cu dicto aggregat, uno triangsto praece nri a i l
Ssito coaumnae cetrales collaterales a quide triagula ipsema quadrata, ipse .pentagona, ipsa d. hexagona, ipse . plangu Eatemplum proloeos' la, ipsas octangula. Item g quadratusis h. triangulus Oi Pyr.e
eiusdem loci, hoc est, collate lesipiarum columnaru si l
ipso genere. Ite per riagulus inlde generis praecedetis locit ex alia parte sunt pyramides centrales columnis dictis collaterales apsa quidem i. triangula, ipsa m. quadrata, ipsan. pelagona, ipsa e hexagona, ipsas septangula ipsaque'. octangula . quibus dispositis,olteiledu est,quod sicut, per ς' huius aggregatu ex xili triplum est ipsius l.itain aggregata o. o. ex Cotta Pyr.Δ. '
59쪽
ARITHM. ET ICO VM exbgb. V K. triplum: erit ipsius m. hec non ag is Saturn exi cili duploque ipsust triplum ipsius, itemq; gregatsi Col. ita Δ. Δ pyr exdgh triploque ipsus k iuplum ipsius o. adhuc aggregati tum exegit.&quadruplato k Iriplum ad p.& tandent ag- si es gregatum exsili. quincuplato k triplia ad ipsum q. hoch x x i, pacto sit coluna triangularii mi generis pr.ecedens, hoc nihesbia Ἐκκ 6 colla toralis ipsi Etriangulo signat per . pyramis aut e cen- si x xxx tralis praece n , bocsi colliteratis solumna n. in triangu-
bin.&k triplum est ipsius m. Nam per corollarium M
Et quoniam c. addit aperi iplam r.&alium R. per corol
., larium 76 huius, S n. super in addit rius s. ipsam per co rollarium Similiter penitus eodem procella ostenda qubdaggregatum cili cum duplo ipsis h. triplum est ipsius n. Nec non, quod aggregatum d in cum triplo ipsius h. triplum stipsius o. Adhuc quod aggregatum e ih.cum quadruplo ipsius h. triplum est ipsus p.&demum,quod aggregatum fgh cum quincuplo ipsius'. triplum est ipsiuxq. ccut demonstrandum proponitur.
Et eodem cremento procederemus, si ultra octangulam columnam ac pyramidem confingeremus sermas sequentes scilicet enneagonam, decagonam, reliquas deinceps. Sed ne curiositas modum excedat, satis sit nobis hucusque progressi , protinus de regularibus solidis disserere incipiamus , ne quid in hac speculatione intactum rere
60쪽
Omnis par tu paribus omnium praccdentium locorum coriiunctus, ct sicit collatetalem parte altera longiorem . Exem, i gratia, par quinii loci scilicet s.contu fictus cum mirimis praecedentibus . . i. o. con fiat c. parte altera longiorem qui tum Nam per huius quatuor dictorum parium aggregatum duplum est ad Ugrcgatum totidem a dicum ab unitate continuatarum, hoc est, ad triangulum primige gnerisqliartum. Item ad eundem triangulum quartum duplus est parte alier longior quintus, scilite ac . per Octauam huius Aequalis .cio te igitur est parte altera lonpior quintus dicto quatuor patium numero rum aggregato. Quod uitiac monstrandum. Et demonstratio ad alium quemvis locum transferetur, constas positum.
Si numerorum imparium ab Uitate per ordinem continuatoriem sanIortim guli uadrupli post istam i 'onantμr, ex eorum successiua ag , Iregatione Urunis auadrati numeri a paribus collaterilibus in se mula . tiplicatis producti Exempli gratia,quo tuis ab unitate impares, ut Pu F. II. . in quatuor i. 3.1.7. singuli quadruplicentur, S post Zistam dispona 2- ψ tur sic C. 4. I 2.2O. 23. aio, quod horum quadruplorum omnium gregatum est numerus quadratus, qui fit a num et psi quinti loci in . se ducto, hoc est,ab octonario. Nam, per is huius in aggregatione dictorum quatuor imparium si quadratus quarte radicis. Qtiare quadrupli eorumde imparium conficient quadruplum dicti quadrati, hoc est, quadrivum, qui si ex duplodus Tadicis in seducto hoc est ex octonario in se multiplicato. Nam latera, quorum quadrata sunt in quadrupla ratione, te iant ad inuicem rationem duplam SL militer per locis alijs constat propositum.