Supplementi Francisci Vietae, ac geometriae totius instauratio. Authore A.S.L

71쪽

metra Diuisio accidat; nihilominus nostra hac Methodo efficietur. Hinc prorsus reiecta adparet sententiaPap pi, sialiorum asserentiu Analogicam diuisionem Anguli Plani, ad Lineare spectasse Genus, S: Trisectione ad Solida. Quod omninb talium ipsa manifestat Constructio.

ADNOTATIO PRIMA.

I nouus Arcus circa AB describeretur Centro facto inter Hinis, neque in , aut inis, Angulus minueretur, vel augeretur nihilominus ex eadem HI, auferretur, tam ex nouo Arcu, quam ex ADB imperata Pars. Quare ante totius Anguli determinationem videtur Pars auferri posse rinperata. Q iod ad Paradoxi naturam accedit.

AT NOTATIO SECUNDA.

PRaeceptis Arithmetices instructi, quovis Artificio Logistices dum ad condendos Canones Sinuum se conferunt, Prςcisionem ob tmere nequeunt, Asymmetria id prohibente, quae quidem Geometriae non ossicit Ideo Lineas exhibebunt deinceps Geometrae bene accuratas. Trisectione, innitive Sectione qua te, nec ulierius necesse erit progredi. Quantum postea ad usum spectat, Arithmeticen Geometriae praestare libenter concedimus. Quod quidem hac etiam Methodo exequi hccbit, ut aiebat Vieta, i. Ex Sectione Hypothetici Lateris, Media, ac Extrema Ratione, dabitur Perpendiculum Partium xvii; . i. Et ex eo per Quintu sectionis opus, Perpendiculum inuenietur Partium ii . xxxvj 3. Ex opere Trisectionis, habebitur Perpendiculiam

Partium xx'.

72쪽

16 SuppLEMENTI VI EΤAE, C . Et hinc iterum risecando , Perpendiculum Partium vj'. L 3. Deinde per Bisectionis opus , Perpendiculum Partium iis xx 6. Ex Disserentia Perpendiculorum Partium ij'. xxxvj '. Partium β'. xx dabitur Perpendiculum vj ' . Et ex repetita inde Bisectione habebuntur e pendicula pro Minutis Primis, 8 . 4 . I. Et si placet, ulterius ijsdem opportunis Effectionibus, ad inutiora progredi poteris ostendisse suffciat, Geometrice, ad omnimodam Praecisionem Canonem extrui posse. Quod hactenus erat ignoratum.

PROPOSUI VIGESIM PRIMA

PROBLEMA DECIMUM SEPTIMUM. Duas Media liner Extremas Lineas, in serie V tuo Proportionalium , Geometrice reperire. ANtiqui Sapientes ad hoc Problema referebant,4 meri id, illud amo sum de Cubi Duplicatione;

quod quidem a nemine hactenus Geometrice absol tum fuerat, quanquam per genera diuersa: Quae omnia, ut a legibus exorbitantia Facultatis, non admiserunt symceriores Geometrae Et nos simul cum Vietaeo Postulato reiecimus, ostensuri per germana Principia,&facile perfici posse , ut sequitur. Sint itaque Extremae Datae , α Lineae, inter quas oporteat Medias inuenire in Analogia Continua. Ex emisse V tanquam Semidiametro, Circulus sit BCL, in quo possit BC, Equalis, Minori expositae, &Duplicetur in DC ita ut BD, Dupla sit BC. Deinde per

Centrum.

73쪽

GEOMETRI E INsTAVRATIO. 7 Centrum ex Diuncto, ducatur cui iuncto B, fiat Parallela AC. Vsque adhuc constructio Vietae; cuius est eadem Propositio .Supplementi Herigonius in Al-brae Supplemento Prop. P. etiam transfert illam;&alij alibi, qui inconstructione bene se habent deinde Me chanice procedunt, cum in A Puncto, fixam ponunt regulam, ut Pars eiusdem inter BG, CB, eductam, collirigatur PO, AEqualis Semidiametro AB. Quae quidem Esse bio rejicienda prorsus est. At nostra intra Geometricos

consistit fines; Nimirum. Altincto B,perCentrum A,altera ducaturDiameter B AF, cui ex Eiuncto, AEqui distans fiat EG, Occurrens BG, lnPuncto C. Postea exa, per iunctum,altera agaturLinea FGH, conueiens cum CBeducta in H Puncto quod con

uenire sit necesse, facile probari potest it tandem ecnPuncto, per CentrumCirculi A,agatur HAL,secans BC, in I,&Circulum in Κ, Punctis. Dic quis 'HI, erit aqua

74쪽

SvPPLEMENTI VIETAE, Clis semidiametro KA, quod Proportionales erunt KL Hi πις, C. Constructio itaque hq prorsus Euclidea est. Demostratio sic procedit. Ducatur BM, Parallela HI,&a Puncto x altera x Parallela DA Deinde a Puncto p, adhuc pocissiquidistans HL. Facta hac preparatione,Trian uia, IMPOD, sunt in te se. tot Triangulo AD AEqIianstula' Similia, ex vi Parallelarum, quod facile uinci potest' Si vero iungatu KM, fiet quidistans Dis,4 iterum Tri anguliam AKM, tribus illis iam dictis Simile fiet. Sed in

Parallelogrammo DMΚP, Latera ex aduerso aequalia sunt paritero in altero Parallelogrammo B ἘH. Igitur Latusias, quale evadit Lateri DP utrumque enim Lateri M

HB, D, ΚΜ Ergo&reliqua Homologa erunt qualia Latera, id est HI, PO, TA. Sed SA, est Semidiameter Cir,

75쪽

GEOMETRIA INsTAvRATDo culi Erg Hi ipsi Semidiametro KA, vel BA AEqualis. Quare a Puncto A, ex traducta est Line AH,&Pars eius HI, intercepta a duabus Lineis BC, H, AEquatur Semidiametro Et lao Geometrice instauratum erat Demonstrandum: Quod Vieta Herigonius, de ali per Postulatum, siue Mechanice deducebant. Et insequentibus pro Complemento assumptae Propositionis, Authorcs illi secundum Geometri e Regulas procedunt dicunturProportionales esse continue KL, B H, NH, BC quarum Extremae KL, BC, fuerant Datae, reliqui duς inuentς, quidem Geometrice B H HK. Quoniam enim DA, BG, Paralleli sunt conitruct .ae, ideo est Hi, ad HB. ita AI, ad DB Ellautem Hl, ad XL sicut BC, ad BD, Simpli ad Duplum. Quare est ut KL, ad HB ita Ai,ad BC. Ipsi autem AI, addaturis, S auferatur, A, quas squales csse Demostrauimus. Igitur a Puncto H, extra Circulum sumpto, sunt duae Recte ipsum secantes, S quod sub Exterioribus e rumdem Partibus videlicet, B, 5 HK, fili AEquale est ei Rectangulo quod fit sub Interioribus artibus, , S: BC. Ergo Exteriores Partes permutatim accepi sunt continue Proportionales, nimirum KL, B, ΗΚ, Datis igitur Duabus Extremis Lineis et , , Duos ant sedi in Analogia Continua inuentς. Quod crat , ciendum.

DNOTATIO.

A comprehensionem prςmisset completam neces.farium it Propositionem IV. Supplementi Viet subnectere, quam non assumpsit in suo Algebr Supplemento Herigonius,5 sit.

76쪽

LEMMA TERTIUM. Si D, Line Recta a Puncto extra Circulum eductaei u cent quodautem sitsub Parti Exterioribus eductarum , qualeste quod fit sub Interioribus , Exteriores Partes permutat fi mpta sunt Proportionales continue inter Partes Interiores. SV QCentro descriptum Circulum secent duae Linea Rectae a Puncto B, una quidem in Punctis CD, altera in F, unde Exteriores Partes secantium sint BC, E. Q i' autem fit sub BC, E, quale sit ei quod fit sub DC, Ε, Interioribus Partibus. Dico

inter DC, OE, Proportionales esse continue BC, BE, assumendo eas permutatim, ut videlicet Interiorem Partem primae secantis, Pars sequatur Exterior secantis fecundae, vel Interiorem Partem secundae Pars Exterior primae, nempe esse, ut DC ad Baucita AE , ad BC ita

Quoniam enim id quod fit sub CD, EF,AEquale est,ex Hypothesi, ei quod fit sub BC iE ideo est ut CD, ad BE:

77쪽

GEOMETRIAE INsTAVRATIO.' rita BC,adi , per synaeresin, ut CD, ad BE: ita BD, ad BF. Sed ex ratione constructionis est BE ad BG sicut BD , ad BF. Ergo est ut CD, ad BE: ita BE, ad BC: consequentervc, ad EF. Quod erat Demonstrandum.

PROPOSITIO VIGESIMA-SECUNDAE

PROBLEM DECIMUM OCTAVUM Cubum Duplicare aut in alia quaetis Data Ratione

exhibere. DEnturDue Extrem Lineae A, B, in Dupla Ratione,&ex praemittis Dii Media in Analogia continua reperiantur C, D, cum ex Elementis habeatur, quae ratio EX tremarum Quatuor Proportionalium in Geometrica Analogia eadem est Solidi super Primam adsimile Solidum super Secundam. Si igitur A, S: B, Extremae sint in Dupla, aut alia quacunque ratione etiam ubias super Primam, ad Cubum super Secundam fit in eadem ratione Dupla,vel in alia Data Cubi namq; sunt prorsus Similes Solidi. Igitur factum erit quod oportuit: de si Extrema:

78쪽

suPPLEMENT L VIETAE, AC in diuessa exponantur Ratione, pariter Solida super Pri-naam , ac Secundam in eademni et resultabunt.

ADNOTATIO.

PRoblema hoc illud est toties a multis decantatum, vel pro Glauci Sepulchro,vel pro Ara,Regis,aut Deliaci oraculi iussit Duplicandis Propositum: ambo enim erant Figura: Cubicae, cilla eadem seruata nesciuerant Artifices Duplum exhibere A Geometria namque inuentio uarum Mediarum petenda erat, quidem Geometrice. Quod ante nos ra haec pauca, a nemine praestitum fuerat. Hisce itaque expositis perfecimus ea,quae initio eramus polliciti, ut patet. Interim unum, vel alterum subnectemus Problema emendatum , deinceps qui nos rofruuntur otio, maiorem ad plura emendanda facilitatem consequantun

PROPOSITIO VIGESIMA TERTIA.

PROBLEM DECIMUM NONUM. Dato Parallelogrammo Rectangulo ABCD, s Externa Linea G, oporteat ex Angulo A, Regium ducere Dneam in oppositum Latus DC, is productae occumrens BC, aeterna Portio ' , fiat qualis G Data.

Es pappi Libro iv.Collectionum, Propositione xxj

DVcatur Diamete AC, Angulus CB,seceturTrifariam Linea C, Vt Pars Tertia fiat ACM,&a Puncto M ducatur Mis,AEqui distans AD, sues C, in producta AD,iumatur DR,Dat Line. AEqualis: Facto deindeCentro D, interuallo G,Portio Circuli HK, scribatur occurrens

79쪽

GEOME TRIAE INsTAVRATIO. 63Lineae,33, in Puncto, in ab eodem ducatur FHN Parallela Lateribus AH,DC, quam cum BC producta,conuenire manifestum est: concursus sit in Puncto, ci iuncta p, secans DC in . Dico quod EF, AEqualis est C, essicit Problema. Compleatur Figura ABFN, cuius Diameter AF, AEqualis illi altera BN,Triangula C EF, DLH, sunt Equiangula: iro quidem ratione Parallelarum facile probas itur. At in Quadrilatero D FH, Duo Latera DE, H F, C qualia sunt sicut&in altero C FHL, Duo FH, L. Igitur DB, CL AEqualia erunt. Ideoque in jsdemmet Triangulis EF LDH, Latera erunt omnia sibi inuicem respondentia, aequalia δ EF, ipsi G, aequalis fiet. Quod erat Demonstrandum.

ADNOTATIO.

PRaemissa Demonstratio alijs medij possct institui: At

nos breuitati studentes omittimus. Caeterum Pu cherrimum laoc Problema per Solida, scilicet Conicas Sectiones, Pappus demonstrauit a de ut in D Puncto, Vertex Hyperboles describendae fieret, cuius Asymptoti B: BC, Et per Σ' ' Libri Secundi Apollonij, complementorum AL, F, probat Equalitatem. At vere in Plano

80쪽

Conicae Sectiones describi Geometrice simpliciter non conceduntur Nostra autem constructio omnem rejicit scrupulum, ut patet .ex hac Propositione, Vietaei Postulati Geometrica ostendetur Essectio, ut sequitur.

PROPOSITIO VIGESIMA-ί CARTA

PROBLEM VIGESIMUM. Datis Duabus Lineis Rectis Angulum quemcunque facientibus spositione Puncto extra, Data etiam Linea Magnitudinem ili, hanc interData Lisneas a uncto Geometrice aptare. SInt Lineae ABG AC, Angulum BAC essicientes, Punctum extram, positione a quo ducenda Linea sit, cuius Pars inter illas sic aptari opus sit, Vt opponens Angulo AC, Pars assiquetur Datae Lineae G.

Ducantur a puncto D, Parallelae DB, DE, ipsis AC, AN ducatur etiam DA. Et Angulus D ME, diuidatur Trifariam, ut supra abunde Demonstratum est. Et Pars Te tia