Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

171쪽

quare conus AF E ab extremorum multiplicatione prove.

Niens aequalis erit cono ex basi aequali superficiei ab ar.eu AD descriptae eum altitudine radii AC, qui aequatur

sectori ab ADC genito. COROLLARIA.

4r s. Hine sectores ab AEC, ADC &e. geniti sunt ut reis elae Ae, AE &e. quae dicuntur sinus versi arcuum Ae,A E &e. qui sunt altitudines conorum ipsis aequalium super eadem basi radii AF ere florum . t . Ilem integra sphaera aequatur cono basi radii AP, & alii tudine diametri ΑΒ, hemisphaerium vero aequatur tono bas eadem altitudine radii A C. 4i8. Excessus hemisphaerii ab A GC supra fictorem ab AdC genitum aequatur solido ex rotatione B C circa AC aequali cono eκ basi circulo radii AF . & a Ititudine eC. Nam hemisphaerium aequatur cono eiusdem basis, S altitudine AC, & sector ab A C aequatur cono super ea. dem basi ad altitudinem Ae, ergo reliquum solidum aequatur cono eiusdem basis, & altitudine reliqua eC. 4r'. Hinc solidum a et ona G iEC ei rea AC rotata genitum aequatur cono, cujus altitudo eC, basis vero ῆς. qualis circulo, euius radii quadratum aequatur quadratis

F A, & de . Nam sectori eoncavo supra descripto, qui aemqu/tur emio basi radii AF, Ne alii tudine e C additur co'nus a tiriangulo d/C genitus , qui eandein habet altitudianem eum basi radii od. 4xo. Quoniam δεqr AGr, sive AF AeBρCAB nemispe in ratione eomposita eκ Aee AC, & eB: ΑΒ. aut hos dimidiando ex e B: AC, dimidiando nimirum Ae in II, Diqiligod by Corale

172쪽

ex triangulo edC, remanebit segmentum ab A de genitum aequale cono sub basi radii ed, & altitudine eΚ cono ex triangulo Κde. 41 r. Hinc solidum ex trilineo eoneauo KOA aequatur anulo ex segmento deo eirca eundem axem rotato a

413. Hine solidum ex EU F ei rea EU rotarum aequactur solido circulari ex BF circa UD revoluto. ut solidum ex rotato EBU aequatur solido anulari ex rotatione UFE, quibus est commune triangulum m xli lineum V FB. 414. Si ad alteram partem fiat CII: CEm DK : VL, erit quoque eonus ex triangulo HKB eirca ΕΗ revoluto

aequalis sectioni sphaericae reliquae ADB, unde duae illi coni

173쪽

eoni ex EBII circa ΕΗ aequantur Inlegrae sphaerae UBDAU. Nam cum sit UD: DΚ CE: CV, & VΚ: UD mCU: CH, ideo provenit VK : DK CE: CH , quae est etiam adducta CII: CE DK: VK, ideo & eonus ABHaequatur sectioni ABD. & EB H revolutus per axem Elcessicit duos conos toti sphaerae AUBD aequales. 4is. Si punctum Κ sit in centro C patet fore hem D phaerium ΑUB n. roo. aequale cono ex re tingulo ABE, cujus axis C E duplus est radii CU. sive aequalis diametro UD. Nam DK r UD DC UD m x et a - CU: CE, ergo CE ra xCv. 16. Hinc hemisphaerium duplum est coni AUB eidem interpositi cum axe aequali radio CV, & basi circulo diametri ΑΒ, ut coniis AEB duplus est eiusdem coni ΑVB, x tota sphaera est quadrupla eiusdem coni ΑUB. 4 φ . Unde conligitur hemisphaerium esse duas tertias cylindri circumscripti, nempe cylindrum ad hemisphaerium esse ut 3: 1. Est enim cylindrus circumscriptus hemispha

tio ad eo num huic inscriptum ut 6: L. conus vero ad hemisphaerium ut 3: 6, ergo ex aequo perturbat cylindrus

ad hemisphaerium, vel cylindrus sphaerae integrae circumscriptus ad sphaeram ut 3: 2. 418. Sphaera aequatur producto eirculi maximi per duis tertias diametri. Nam cylindrus aequatur producto suae bais sis in altitudinem , ergo hemisphaerium , quod aequatur duabus tertiis culindri eandem iratim & alitudinem habentis aequabitur uni ex ei reulis maximis in duas tertias altitu dinis, sive radii. adeoque sphaera, quae dupla est hemisephaerii, aequatur producto ex circulo maximo in quatuor tertias radii. Quid quod alia etiam ratione sphaerae soliditas in .enitur. Concipiatur sphaerae superficies in partes ita exiles divisa ut ad superficiem planam infinite acce.

dan , & eκ quolibet punisto perimetri earundem ducantur

rectae Di iligod by GO Ie

174쪽

rectae ad centrum sphaerae, palet totidem pyramides haberi, quarum bases erunt minimae particulae superficiei

sphaericae, earum vero eommunis altitudo erit sphaerae radius, quare eorundem aggregatum aequale erit pyramidi

vel cono basi in habenti aequalem toti illi superficiei spha

ricae, & eandem altitudinem. Sed sphaerae superficies quadrupla est circuli ejusdem sphaerae maximi, conus vero est pars tertia producti ex basi in altitudinem, erit ergo sphae. rae soliditas aequalis tertiae parti producti ex quadruplo circuli max mi, & radii, vel aequalis tertiae parti producti ex diametro in eundem cite ulum, scilicet duabus te rotiis producti ex circulo illo in diametrum. 429. Sphaeratum ratio est triplicata rationis diametro . tum earundem sphaerarum; quippe proportione respondent cylindris circumscriptis, qui eum sint inter se similes, sunt in ratione triplicata' diametrorum; Idem etiam patet ex sphaerarum s militudine. Cum enim sphaerarum soliditates per circuli maximi superficiem determinentur, circuli verosnt figurae similes, patet sphaeras esse solida similia, ae proinde in ratione tripli eat a diametrorum . Idem etiam sic ostenditur. Sphaerarum solidi tales sunt inter se ut circuli maximi superficies in radium ducta; sed eirculorum superficies sunt in ratione duplicata semidiametrorum , ergo sphaerae sunt in ratione triplicata semidia trorum , vel

3o. Si sector CBD rotetur circa axem AC. generabit solidum DCII EB aequale duabus tertiis cylindri EΚLB eis andem altitudinem habentis in. Ioi. Superficies sphaerie a sectoris CHAD ad totam supersi.

eiem hemisphaeticam est ut AM; AC, proindeque solidum illud

175쪽

illud est ad hemisphaer Ium, ut super scies sphaerica illi

congruens ad lolam superficiem hemisphaericam , videlicet ut altitudo MC ad altitudinem radii AC, ergo est ut cylindrus ΕΚLB ad cylindrum EFGB hemisphaerio circumscriptum . Sed hemisphaerium aequatur duabus tertiis cylindri EFG B, ergo & solidum DCHEB aequatur duabus terin

43t. Conus aequi laterus ad inscriptam sibi sphaeram eam rationem habet quam 9: 4. 93. Conus LAM ad conum S A in rationem habet eompositam ex NA: AC, scilicet 3: x, & circulo NL: CS, sive 3: 4, scilicet ex ': s. & c: 8, est igitur ad ipsum ut 9: 8, & eonus A SQ ad sphaeram 'sui quadrupiam est ut s: 31, ergo eonns L LM ad sphaeram L UB est ut 9: 3x. Sed sphaera LAMB est ad sphaeram NPR ut 31δ 4, ergo conus BAE ad inscriptam sphaeram est ut νοῦ 4. COROLLARIUM.431. Cum itaque conus aequi laterus sphaerae eircumis scriptus si al sphaeram ut se , sphaera vero fit ad tyis lindrum circumscriptum ut 1: 3. vel q: σ, erit ergo idem conus ad cylindrum ut se 6, unde conus, cylindrus. sphaera sunt inter se ut numeri s. 6, 4, scilicet rationem sesquialteram eontinuant, ut hinc proinde eonstet errata se D. Stone, qui in prae aiione ad calculum integralem ait cylindrum, sphaeram, & eonum esse in ratione numerorum 3, γ, 1.

FINIS.