장음표시 사용
141쪽
33t. Si duae rectae ad eandem superficiem norma. Iiter vel aequaliter ad eandem plagam inclinentur, sunt inter si parallelae & contra a Si enim rectarum illatum extrema communi recta insuperficie jungantur, duae illae rectae ad superficiem norma. Ies vel aequaliter versus eandem plagam inclinatae erunt pari Ier normales, vel ad eandem plagam aequaliter ine linatae in rectam ipsas coniungentem; est enim in eadem superficie, Proindeque rectae illae erunt inter se parallelae & contra .
, , i. Si duae superficies sibi mutuo inclinentur, easdem habent proprietates, quas rectae ad se invicem ine linatae 6.ὶ . Et quidem eum recta AB tota iaceat in superfiete pIana AD, & recta EII tota iaceat in superficie plana EG, mani festum est quae de lineis Α3, ΕΗ se in puncto I mutuo seia eantibus ostenduntur, de superficiebus planis AD, EG se in , ieem secantibus in recta IK comprobari. Et quidem si ponamus aliquam superficiem EG immobilem, in qua jaceat alia
plana superficies AD, hae duae superficies utpote omni eram ite destitutae in unam coalescent superficiem. Iam vero si superficiem planam AD revolvi intelligamus ei rea rectam ΙΚfixam perpetuo maneatem, patet I. ab ipso motus initio nihil duabus superficiebus planis commune esse praeter rectam IK, circa quam superficies plana AD revolvitur . quae proinde est utriusque plani intersectio. II. planam illam superficiem sngulos pereurrere inelinationis gradus, si landiu converti concipiamus, donec ad oppositam superficiei EG partem perveniat Disilit ooste
142쪽
veniat. III. Superficiem revolventem superficiet immotae perispendicularem fibri, ubi ad eum pervenerit situm, in quo non magis pendeat ex una parte quam ex alia IV. Singulos in. elluationis gradus mensurari arcu circuli, cujus centrum perpetuo manebit in communi superficierum intersectione. Quoniam vero centrum in ipso circuli plano iacet, centrum huiusce arcus sit oportet in linea recta euius revolutione ipsum arcus planum generatur. U. Centrum arcus in quo sumuntur gradus inclinationis superficiei unius ad aliam situm esse in per pendiculari , quae ducitur ex quolibet arcus puncto ad interseo et ionem superficierum , qui re si describatur semicirculus, euius centrum sit in linea duabus superficiebus communi . & cuius planum normale sit ad superficiem immotam, ope graduum huiusce semiei reuli inclinationes omnes superficiei mobilis mensurari poterunt. Unde generatim binae superficies pIanae ad se invicem inclinatae easdem habent proprietates, quae in mutuo linearum inclinatione demonstrantur. Hinc .
COROLLARIA. 333. Si super scies plana alteri superficiei planae oecurrat
vel duos angulos rectos constituit, ve I duobus re stis aequales. 334. In eommuni planarum superficierum sectione aequantur inter se anguli ad vertieem oppositi. 33s. Si quotlibet superficies plan me eandem habuerint communem inters et ionem summa angulorum omnium circa eandem intersectionem est 36 o. grad. 336. Si plana superficies duas alias veI etiam plii res su- pe ficies planas parallelas secuerit, efficiet angulos alternos inter se aequales, aequales itidem externos internis, & binos ad easdem partes internos duobus rectis aequales. PRO Disiligod by Cooste
143쪽
33 . Si dirae vel plures etiam superficies planae alia D. perficie plana seeentur, communes in Iersectiones erunt inter se parallelae. Enim vero eum superficies ipsae simul convenire non possint, nee ipsae communes sectianes simul convenient ;secus enim sbi occurrerent superficies ipsae , quod est contra hypothesim; nam lineae secantes, seu cogimunes intersectio.
nes sunt in iisdem planis superficiebus. PROPOSITIO CXXIX. 338. Si recta PC perpendicularis fuerit duabus rectῖs AB,
DE in subiecta superficie plana iacentibus, erit pariter perpendicularis singillis rectis, quae in eadem superficie duci possunt, ae proinde ipsimet superficiei A. r. Fiat CD m CE, CA CB . iunctisque AD, EB agatur per punctum C recta FCG , & dueantur PA, PF. PD, PE, PG, PB . Et quoniam est AC - CD α CB --. CE,& anguli verti eaIes ad puncium C sunt inter se aequales, erit AD 22 EB &e. Praeterea cum sit angulus ACF α BCG,& angulus DAC m EBC, & Iaius AC m CB erit FC eae CG &e. Item quoniam AC -- CP BC - . CP , & anguininus A CP α BCP, erit AP PB &e. Eadem ratione erit PD m PE. Quoniam vero PA AF GB -- PB , Mangulus PAF PBG, erit PF π: PG . Demum quoniam FC -- CP α GC -- CP, & PF PG , erit angulus FCΡτα GCP, ae proinde uterque rectus . Hoe ipsum ostenditur de aliis lineis , quae in eadem superficie duci possunt, ergo patet propositum.
144쪽
3 ρ. Quoniam angulus PCF est rectus, adeoque . angulus PFC acutus, erit PC PF, & hoc semper, unde recta, quae ab adsumto extra planam superficiem puncto ea dit insuperficiem ipsam perpendicularis, est minima rectarum , quae ab eodem illo puncto cadunt in eandem superficiem ,3 o. Ex puncto sublimi P demitti poterit, recta PC subiectae super fietei planae perpendicularis si ducta in eadem superficie qualibet recta AD agatur recta PF ipsi FD perispendiculatis, & ex puncto F ducta FC normali ad AD deis mittatur ex puncto P recta PC normalis ad eandem FC , quae erit subiectae superficiei planae perpendicularis. Cum enim FD rectos angulos constituat cum ipsis PF, FC, normalis erit superficiei PFC , & ducta CH ipsi AD parallela , erit patiter eidem superfieiei PFC perpendicularIs, unde anguli PCH . PCP erunt recti , adeoque PC erit subiectae superfi.
ciei FCH perpendicularis. 3 t. Poterit ergo ex pundo O in superfiete plana a d. sumto exeitari normalis ad eandem, si ex puncto sublimi P demissa ad planum norma It PC, huic ex puncto o excite tur parallela OR, quae normalis erit datae superficiei planae. 34x. Ab uno eodemque puncto tum in superfiete planaaecepto tum extra ipsam adsumto duei non possunt duae rectae eidem superficiei perpendiculares . Cum enim huius. modi rectae esse debeant parallelae non possunt in aliqu puncto convenirε,
145쪽
CAPUT I. De Genesi, ct proprietatibus solidorum.
343. i. 1 olidorum rectit neorum genesim explicare 31. Si figura rectilinea ACB quotlibet laterum supra rectam immotam ΑD feratur motu sibi semper parallato, solidum ACBEFD inde genitum voratur prima , quod rectum dici tur, si recta AD fuerit describenti plano perpendicularis. sn minus, adpellatur obliquum. Si planum describens fuerit parallelogrammum, solidum inde genitum vocatur parallelepipedum a si vero planam describens fuerit quadratum, solidum vocatur cubus. Quod si rectae lineae e singulis polygonae basis angulis extra superficiem planam adsurgentes,& rectilineam solidi faciem terminantes non snt parallelae, sed coeant in punctum, solidum dicitur Dramir, punctum aurem illud dicitur vertex pyramidis. CRROLLARIA. 344. Prismatis opposita latera ACB, DFE aequalia sunt . similia, & parallela, quandoquidem ACB ssuendo per AD motu sibi semper parallelo tandem congruit cum DFE. In super dum plana supelficies ACB motu sibi semper parallelo destriis Diuitig Corale
146쪽
lo de se tibit prisma ABCEFD, latera AC, CB , BA motui iidem sibi semper parallelo describunt parallelogramma AD FC , CFEB, AUEB, adeoque piis a tot parallelogrammis circumsci ibitur quot sunt latera planae superficiei deseribentis. 3 s. Para telepipedum sex parallelogrammis, cubus autem sex quadratis aequalibus circumscribitur, Nam praeter quatuor acies parallelo laterum motu descriptas habentur etiam in ea rallelepipedo duae iacies parallelo. baseos motu genitae.
Si qui in primo casu basis illa est parallelogramma , in seiscundo vero quadrata, ergo palet propositim.
346, In pyramide si sing*la baseos latera sint inter se aequalia & latera rectilinea ipsius pyramidis pariter aequam lia, iacies omnes erunt triangula isoscelia aequalia. PROPOSIΤΙΟ CXXXI. 34 . Rectae AB, EF eidem rectae CD parallelae non leomen in eodem cum illa plano existent es sunt inter se paralis telae in. 78. In plano parallelarum AB, CD ducatur GK normal Is ipsi CD, itemque in plano parallelarum EF, CD ducatur ΗΚ eidem CD perpendieularis, & iungatur GΗ ; Est igitur CK normalis plano GKH: quare cum A G, FH sint parallelae ipsi CK, erunt AG , EH normales plano G ΚΗ, ac proinde AG, ΕΗ sunt inter se parallelae. PROPOSITI o CXXXII. 3 8. Si rectae EG, GK in puncto G eo euntes sint reis elis LM; LN in L coeuntibus parallelae at non in eadem superficie plana, anguli HGΚ , ML N erunt aequales,& plana per ipsas traducta inter se parallela s.fe. 8r . Fiat G Κ π LN , & GH α LU, iuncta IG. Hu, SN erunt aequales, & parallelae, it qne aequales erunt ge' Q 1 . pὸra
147쪽
PROPOSIΤIO CXXXIII. 340. Si quaelibet pyramis ABDEC seeetur plano IIFGx basi BDEC parallelo, sectio , sive figura H FGK similis erit ipsi BDEC in. 79.
Cum enim plana H FGK , BDEC sint parallela , parauIeIae erunt & eorum sectiones eum planis pyramidis . scilicet rectae H F. FG, GK erunt parallelae rectis BD, DE. EC , erit ergo ΒΑ : AH α DA: AF α EA r AG α CΑ r AK . proindeque erit BD: DE - ΗF: FG; DE: EC di FG a GK; EC: CB α GKr ΚΗ. sunt autem anguli BDEI II FG. aequales, ut et alii conrespondentes, quare sectio HFGR similis est basi BDEC. COROLLARIUM.3so. Quoniam vero opposita parallelogrammorum Ialerat prisma vel parallelepipedum continentia sunt aequalia, sectiones paralleIae in duobus histe solidis non modo sunt similes sed etiam aequales a
arunt inter se ut altitudines, nemoe ut rectae a quolibet puncto plani superioris mora oppositum planum normaliter
demissae sive ut latera TS, SP, t n. so
148쪽
D steatur enim ex quolib. t puncto vel ana illo Z recta Σοnormalis lateri opposito XY, de per quodlibet punctum reiusdem normalis traducatur moea opposito plano NYQP parallelum , erunt sectiones inn, D, inter se parallelae, itemque parallelae sectiones ma, no erit ergo parallelogram. mum mnes ad parallelogrammum fera ut latus Wr D sive XS : SP , atque ita semper; ergo omnia parallelogramma prismatis XEU ad omnia parallelogramma ptismatis ST 3stitieet prisma XZU ad prisma STQ erit ut altitudo X S ad alii iudinem SP.PRopos ITIO CXX TU.331. Prismata aequales altitudines habentia sunt Inter se ut bases is g. go , 83 3.
Sumantur in altitudinibu vel perpendicularibus aequat bus Eo, XΡ portiones aequales ZL. X8, & per puncta L,& S traducantur plana LOMNX , STU ba fibus parallela , eruntque plana illa sive sectiones suis basibus aeolis es, erit
ergo quaelibet sectio LO UNX ad basim ZApΚGΗ ut sectio STV ad basim XZY. & permutando sectio LOMNIX: SΤv- ZApΚGΗ : XZY, atque ita semper; ergo sectiones omanes unius prima iis ad sectiones omnes alterius prismaris sciolieet unum prima ad aliud erit ut illius basis ad huius basim . COROLLARIUM.
149쪽
116s C NOLI ONo i3s . Hie autem observasse iuverit, quod eum dieἰmugprismata aequalium basium altitudiniim aequari inter se, non intelligimus tantum de ptismatis ad basim normaliter ero. et is, sed & de prismatis quomodocumque obliquis, at inter eadem plana parallela existentibus. Enimvero sint duo piis mata ABFIGI, OHGIPs 8 . super' eadem basi GHI, &inter eadem plana paratisΣ ΗGI , R AP, quae secentarplanis basi parallelis, erunt plana DEF, MKL inter se aequalia, sunt enim rectae o P, HI inter se aequales. & pa. rallelae , & aequales pariter & parallelae rectae ΕΗ , CI, nee non ΟΗ, PI. Sed EF α ΚI., utraque enim aequatur parallelae III, quare L I, ω ΚΙ sunt parallelogramma o ae proinde EF α HI α ΚL. Eadem ratione est D E m MK.& triangula EDF , Κ ML sunt aequi latera , ac proinde inter se aequalia, & hoc seinper, unde constat propositum.
33s. Prismata Xa , LΚ aequales bases habentia sunt in. ter se ut altitudines scilicet ut PX . GL. la. So. 81. γEx pri sinate majore Xa abscindatur prisma XU, quod eandem habeat altitudinem cum prismate ΓΚ, & ex puncto vel angulo T demittatur recta TN normalis lateri opp6sito SU , & per normalis illius punctum aliquod I traducatur planum maen opposito plano PQYX parallelum. Et quoniam parallelngrammum mnes ad parallelogrammum sta est ut N: fa za XS; SP, atque ita semper, erunt omnia paralis delogramma primatis X Q ad omnia parallelogramma prisma istis XV, scilicet prisma X ad prismi XV ut X Pr XS . sed prisma XV aequitur prasinati LU . ergo prisma XQ ad prima Lx erit ut altitudo XP: XS, vel LG . Diuitiaco by Cooste
150쪽
P Rop OSITIO CXXXVII. Pyramides eandem habentes altitudinem sunt inter se ut bases g. 8s. 86. . misis ex pyramidum verticibus Α, F rectis AR , FG normalibus in subj cta plana agantur per puncta V , X ae que di stantia a verticibus A F plana No R. XLM bas buse 3 undem pyramidum parallela, er tque sectio No P similis basi BCDE; sectio Vero KLM similis basi EHI, ac proindebatis CBED ad sectionem OD'N RAq; AU , vel CF FXq , vel ut basis E HI ad fictionem KL I, & permutando sectio Oae N ad sectionem KLM ut basis CBED ad basim EHI, atque ila semper, ergo sectiones omnes pyramidum sive pyramides ipsae sunt ut bases CBED, EI I. COROLLARIUM.
3s . Si ergo pyramides eandem, vel aequales altitudines habuerint, easdemque bises erunt inter se aequalis, & si fuerint aequales, & habeant aequales altitudines, aequales lia. bebunt & bases, intelligendo nomine altitudinum rectas quae ab illarum verticibus normaliter caduat in planum oppostuma
338. Ne eui vero haereat aqua circa aequalitatem pyramidum super eadem basi , & inter eadem plana parallela constitutarum , sunto binae pyra des BCDA, CBDLtsi . 8 . super eadem basi BCD , & inter plana parallela BCD , & AH . qnae secentur planis b fi parallelis, e tum plana ipsa EG Κ , Η MN inter se aequalia . Nam