장음표시 사용
151쪽
eum plana ExΗN, & BCD set parallela , sdictiones EG,
MN sunt pariter rectae BD parallelae , quare BD : EGra ΒΑ t ΑE α BL : LM aer BD r MN , ergo EG α MN se adem ratione ΚΕ Σα ΗM , unde triangula ΚEG , Η MN sunt aequilatera, adeoque inter se aequalia . & hoc semper , unde constat propositum. PROPOsIT Io CXXX v III. so. Prisina triangulare BACFED dividitur in tres py. ramides aequales t n. 81. . Ducantur rectae AE , CE , AF , erisque pyramis BACE aequalis pyramidi AC EF , habent enim aequaleabases BEC, CEF , eandemque altitudinem. Sed & pyramis ACEF aequalis est pyramidi AD EF ob eandem rationem; ergo prisin dividitur in tres pyramides aequales , nempe triplum est pyramidis inscriptae DEFA eandem basim DEEhabentis, & altitudinem EA. COROLLARI Acsso. Quodvis aliud prisma , vel etiam parallelepipeis
dum triplum est pyramidis eandem basim , & altitudinem habentis . Nam basis polygona dividi potest in aliquem tria angulorum numerum . & per consequens prima in totiisdem prismata triangularia , ut & pyramis super eadem basi dividitur in totidem pyramides triangulares , quae sunt pars tertia primatis super eodem triangulo ad eandem altitudinem constit uti. 36t. Quoniam vero prismata aequales bases habent iasunt inter se ut altitudines , pyramides pariter aequalium basium erunt ad invicem ut altitudines , sunt enim inter se ut eorum tripla, scilicet ut prismata. PRO Diuiti Ooste
152쪽
TayPtismata XQ . LΚ sunt in ratione composita aIlla rudinum , & basium s n. go, St. . Fiat prima XU altitudinem habens XS aequalem alii tudinum LG, erit prisma XQ ad prisma LΚ in ratione eom. posita ex ratione primatis Xa: XU , sive altitudinis X prNS , & ex ratione primatis XV: LX, sive baseos 5Tu ad basim LMN . COROLLARIA. 3σι. Ergo & pyramides quippe quae sunt tertiae partes
prismatum erunt in ratione composita ex altitudinibus, Mbasibus.164. Hinc est quod si tum prismata tum pyramides lia.
beant bases a Ititudinibus reciprocas aequabunt or inter se, &s aequentur, bases habent altitudinibus reciprocas, quae e nim ex reciprocis componitur ratio est aequalitatis, & ratib
aequalitatis ex reciprocis componitur.
36s. Unde constat prismata similia, ea nempe in quibus Iongitudines. latitudines & allitudines sunt proportionales, adeoqile bases sunt inter se ut altitudinum quadrata, esse in ratione triplicata laterum homologorum , vel altitudinum sve etiam per metrorum basium . Et quidem in prismatissimilibus XQ . LΚ bases sunt in duplicata ratione late. rum homologorum XZ, LM , sive altitudinum X P, LG;
adeoquθ ratio prismatum smilium utpote composita ex ra. t one basium , de alii iudinum erit triplicata rationis altitudinum X P, LG vel laterum homologorum XZ . LU , vel perimetrorum XYZ, LNM; Atque hoc intelligi debet non modo de pyramidibus smilibus quae sunt tertiae paris R te a Disiligod by Cooste
153쪽
tes pii linatum , sed & de aliis eorporibus similibus tum re gularibus , t iam inregularibus, definitione prismatum simi. lium ad omnia corpora similia adplicata , quandoquidem huiusmodi eorpora dividi possulit in tot pyramides similes , quarum quaelibet est ad aliam sibi respondentem in rati ne iri plicata Iaterum homologorum . 366. Unde si fuerint quatuor rectae eoni nue pro Milonales solidum sub prima descriptum est ad simile soli. dum , quod describitur a secunda ut prima recta ad quaristam , ad quam prima rationem habet triplicaiam primae ad secundam.
367. Solidorum curvilineorum genesim explieare. Si recta sublimis motu tibi semper parallelo eireuliti reum serentiam radat . figura solida hoc motu genita indrus ad pellatur . Quod si recta per aliquod fixum pun.ctum , & sublime traducta , & utrinque indefinite producta ita moveatur , ut circuli perimetrum perpetuo continisgat , utrumque solidum a motu rectae descriptum vocatur νηur , & punctum illud sublime utriusqne coni vertex nuncupatur. Recta per utriusque circuli centrum transiens in cylindro , in cono autem per ipsum verticem , & cen trum baseos dieitur axis , qui quidem si fuerit basi per- pqndicularis , solidum genitum vocatur conus , vel cylin. drus rectus . seeus vero dicitur obliquus. Iam vero si semicirculus ei tea immotam diametrum ducatur in orbem do. nec eo revertatur , unde moveri coepit . solidum inde genitum dicit ut obaera , & f ctor sphaericus vocatur solidum quod generatur a sectore circuli circa suum axem gyrantis.co Disiti rod by Cooste
154쪽
3s8. Si basis prismatis vel pyramidis aucto in infin I.
tum numero laterum , eorumque magnitudine in infinitum proinde imminuta abeat in curvam continuam , patet prisma abire in cylindrum , & quidem rectum , si eius lateras ni basi perpendicularia , pyramidem vero abire in eonum , & quidem rectum , si baseos latera sint aequalia &aequales distantiae a vertice , ut proinde ea omnia de cν. lindris , & conis comprobentur , quae de prismatis &pyramidibus demonstrata sint Et I. quidem id eonis & cylindris sectiones basi parallelae sunt circulares Ut autem haec veritas magis elucescat ducatur axis AL ; & secetur conus plano triangulari ABC per axem traducto tri. ρ. erit ΗΚ paralleIa ipsi BC. Sematur autem quodvis punctum G ia perimetro sectionis , & iun. gatur AG , quae producatur ad perimetrum baseos in E & agatur LE , erit ob similitudinem triangulorum OG .LE α Αο : AL , ergo OG habet ad circuli radium LE' datam rationem ipsus Ao: AL quae proinde erit datae ma. gnitudinis, unde sectio HGK est circulus. In cylindro res patet ex ipsius genesi ; Unde eonligi potest centra omnium
circulorum basi parallelorum tam in cono quam in ' cylinis dro esse in diametro utriusque, sive in recta a vertice conivel a centro et rculi superioris in cylindro ad centrum bi 'stos ducta . Quod autem in cono planum per axem traductum sit triangulum patet ex genesi eiusdem coni ; ubi enim recta genitrix pertinget ad puncta B , C , congruet cum ipsis BA , AC sectione genitis , cum iacere debeat in superficie coni , & illa per puncta A , B , haec vero per Α , C transire Atqui sectio BC est Iinea recta ,
155쪽
tudinem liabentes sunt inter se ut bases , S: si aequales habeant bases , sunt inter . se ut altitudines, unde aequantur inter se cylindri, itemque eoni , si bases habeant aequales,& aequales itidem altitudines. III. Cylindros itemque eo. nos elle in ratione composita ex ratione altitudinum , &basium , unde si bases fuerint altitudinibus reciprocae , aequales sunt inter se cylindri, itemque aequales coni, proin dique sim des cylindros , similesque conos esse in ratione triplicata laterum homologorum, vel altitudinum, sive axium. IV. Cylindrum esse triplum colit .
46s. Si sphaera secetur quolibet plano BED , sectio erit circulus siue S S. Nam ex tentio C ejusdem sphae. rae demissa C E plano si eanti perpe adiculati , duistisque ad perimetrum fictionis rectis EB, EO, ED, ut & radiis CB, CD, CD, quoniam est CPq α CPq - - E Pq; COg CLq- Eoq; CDq CE' -- EDq, & est CBq ra Cor CDq,
erit C Eq - - EBq CEg-- EOq CEq -- EDq, ablato communi C Eq, erit EBq α LOq α EDq , unde EB α Eo- ED, quare sectio BOD erit circulus, cujus centrum E. si centrum sphaerae si simul in plano secante , res palet. 3ro. Unde constat idem esse centrum sphaerae , & eir
culi in cuius plano centrum sphaerae reperitur , normalem vero ductam a sphaerae centro ad planum quod non transit pen sphaerae centrum eadere in centrum cireuli sphaeram secantis.
3 t. Circuli quorum plana per sphaerae centrum transe uni sunt inter se aequales . Illorum enim radii aequantur radio sphaerae. proindeque omnium hujusmodi circulorum radii aequales sunt later se , & per consequens ipsi mei circuli aequales. 3 1. In sphera cῖrculus qui per centrum transi est omnium maximus , aliorum huic proprior est major rem ii ore , duo vero sunt aequales utrinque a diametro distantea Diuitigod by Corale
156쪽
per centrum non transeat , alius transeat , is ergo maior erit circulo AH contra hypothesim . Insuper ob CK - ,
sumta circulus maximus traduci potest. Si enim data duo puncti inter se & cum centro conjugantur, constituetur triangulum , quod in eodem plano totum iacebit , quo si sphiera secetur . habebitur circulus maximus qui per duo illa puncta transib:t,
3 4. Spherae centrum invenire. Seeetur sphaera quocumque plano Bo D per eeatrum ipsius non transeunte , & ex invento centro E circuli secantis erigatur EC ad planum ipsum normalis . quae 'utrinque producatur usque ad superficiem sphaerae N . M , sectaque NM bifariam in C , erit hoe sphaerae eentrum quaesitum . Cum enim recta NM si normalis euilibet
BD , eadem erit diameter , cujus punctum bisectionis Cerit centrum , quod quaerebatur, po
157쪽
I34 COROLLARIUM.3r s. Unde constat sphaerae datae centrum Inven ri in normali NM per centrum E minoris circuli transeunte.
3 s. R cta ex sphaerae centro C ad centrum E circuliseeantis BOD demissa est plano illi perpendicularis. Cum enim CE cadat in centrum E circuli Bo D , erit BE ED , quare cum recia BD bifariam secetura recta CE secabitur ad rectos angulos ; idem ostenditur de aliis eiusdem diametris , unde recta CE est plano BOD normalis.
quatur recta naulo ex alii tudine RS eiusdem pris. malis in perimetrum baseos AZΗGΚP n. 83. Prismatis superficies ex totidem constat parallelogram. mis , quot sunt latera in ejus perimetro , quoniam ergaborum quodlibet aequitur rectangulo ex altitudine in latus baseos . erit tota prismatis superficies aequalis rectan. gula ex altitud ne in totam perimetrum baseos. Quod si huie producto addatur dupla superficies baseos, habebitur tota prismatis snperficies. Coa Diqiligod by Corale
158쪽
COROLLARI Ar 3 s . 3 8. Quoniam sex quadratis aequalibus term natur euisbus , habebitur tota cubi superficies , si quadrati unius suis pefficies sexies adsumatur. Cum autem parallelepipedum sexterminetur superficiebus, quarum duae quaelibet oppositae sunt aequales , inveniantur tres inaequales superficies , earumque summa bis accipiatur, & se habcbitur tota parallelepipedi superficies. 3r . Quoniam vero muItiplicato in infinitum numero laterum , eorumque magni ludine in infinitum proinde deis escente basis prisinatis abit in ei reulum , & prisma insolidum cylindrieum , huius pariter supelficies curva aequabitur reelangulo eX altitudine in perimetrum baseos. 38o. Ergo si superficies prismatis , vel cylindri se ee. tur quotcumque planis parallelis , portiones superficiei iis. dem planis interceptae erunt ut altitudines .
num regulare est ad basim ut altitudo RS ad Su semiuein normalis ad polygoni latus ductae. Cum enim prismatis superficies aequetur rectangulo ex altitudine RS in perimetrum biseos. basis vero aequeis tur rostangulo ex semissi normalis SV in eandem peti meistrum , erit superficies prismaris ad basim ut primum reis ci angulum ad Secundum , hoc est ob communem basimul RS : SU vel ut duplum ipsius RS : ST.
159쪽
s81. Ergo & superficies cylindrica est ad circulum baoseos ut altitudo ad dimidium radii baseos circularis , sive ut rectangulum ex altitudine in diametrum baseos ad quadratum radii. 333. Hinc invenῖri poterit circulus aequalis supersiciei dati cylindri , si sumatur GH media proportionalis inter altitudinem FB sit. 8ρ. st , & diametrum baseos AB , &radio GH describatur circulus , qui erit aequalis superfi, ciet cylindri dati EFB A.
384. superficies pyramidis , cuius latera omnia sunt aequalia , & aequalia pariter latera baseos , cuiusmodi est BCDA demta basi aequatur rectangulo eκ perimetro BCD in semissem rectae A E euelae a vertice normaliter ad quod. vis latus DC perimetri n. ss. Superficies huiusmodi pyramidis componitur ex latiisdem triangulis isoscelibus aequalibus , quot sunt latera perimetri baseos , quorum quodlibet aequatur rectangulo ex Ialere perimetri, cui insilit, in semissem normalis AEdume a vertice normaliter ad idem latus , ergo tota suis perficies pyramidis dempta basi aequatur remngulo ex
integra perimetro in semigem dictae perpendicularis AE . COROLLARIA.
38 Quoniam autem aucto in infinitum numero Iate. rum , eorumque proinde magnitudine in infinitum immiruta , hasis pyramidis abit in curvam circularem , & pyramis Disiti su by Corale
160쪽
ramis in conum , huius pauter superficies curva aequalis est rectangulo ex perimetro suae baseos in seinissem rostae, quae sit latus ejusdem coni. 386. Cum autem rectangulum ex dimidio radii in perimetrum circuli aequetur eidem circulo, erit superficies eontea ad ei reulum suae baseos ut rectangulum ex huius perimetio in semissem lateris eoni ad rectangu Ium ex dimiaior adii in perimetrum dictae baseos circularis, sci I cet ut se. missis lateris eoni ad semissem radii, vel ut illius latus ad
radium , ob basim nempe communem .
38 . Inveniri ergo poterit circulus aequalis superficiei conicae si sumta GP media proportionali inter latus coni AC, & radium baseos BC c n. so. describatur radio PG circulus HG2 , qui aequalis erit superficiei conicae ADEC A. Est enim AC: BC PGq: BCq, velut ut cir cuius ΗGQ ad circulum D EC; sed ut ΑC: BC , ita suber ficies conica ad eundem circulum D EC; quare ut circu 'us HGd ad circulum DEC, ita superficies conica ad ipsum circulum DEC , proindeque circulus HGα, & superficies
man ur rectae DX , ἀκ mediae proportionales inter Iatera,& radios conorum, quoniam superficies conica DR C aequa. tur circulo radii DX : & superficies conica dae aequatur ciriseulo radii μ. superficies conichae erunt inter se ut iidem circuli, vel ut qu drata radioru)n DX , 6, vel ut rectanis