장음표시 사용
161쪽
233 Fiat in eylindro recta AU media proportionalis inter Iatera AB, & ΕΑ, & in cono ipsa DP media proportio. natis inter latus AD, & radium DB , erit superficies cylindrica AF aequalis circulo radii AU , superficies vero coisniea aequalis eirculo radii DF , ergo dictae superficies sunt inter se ut iidem circuli , vel ut quadrata radiorum ΑU ,
3so. Superficies coni recti ex AD circa AC est ad eo ni superficiem ex BD circa BC , ut AD : BD Ag. ρ6.
Nam superficies ex AD aequatur rectangulo ex dimi.
dii AD in circumserentiam circuli, cujus .radius sit CD , &super scies coni ex BD aequatur rectangulo ex dimidia BD in eiusdem circuli circumferentiam , ergo superficies ex AD ad superficiem ex BD est ut primum rectangulum ad se. eundum, scilicet ob basi.n communem ut dimidia AD ad dimidiam BD , vel ut rota AD ad totam BD.
3st. supersicies pyramidis truncatae plano basi paralleIoaequatur dimidio producto ex summa perimetri baseos. §ionis in distanti m perpendicularem basium . Enimvero facies omnes pyramidis abeunt in trapetia a eis qualia , quorum quodlibet cum in duo triangula di .idipbssit , quorum bases sunt sectioniy, et baseos latera , altitudo autem communis est ipsarum basium dissentia perpendi eularis, eumque singulorum triangulorum mensura sit semissis
producti ex singulis basibus in ipsam b sum distantiam, patet superficiem huiusce pyramidis aequari dimidio producto ex summa perimetri baseos, et sectionis in distantiam perpendicularem basium.
162쪽
3ς I. Superficies coni recti plano basi parallelo truncati aequatur dimidio producto ex summa periplieriarum in lon gitudinem sive latus coni truncati in . so. . Quoniam superficies conica DAC est ad superficiem eo. meam FAL ut AD DB: AF H FI. erit convertendo superis ficies eonica DAC ad supersciem trunci conici DFLC ut AD H DA : FD H DB -- FD H FI sive ad FD DA-- FI) ; vel etiam ut AD in perimetrum a radio DB ad PD in perimetros a radiis DB, FI, vel ut rectangulum ex AD in semiperimetrum a radio DB ad rectangulum ex FD in semiperimetros a radiis DB, FI; Aequatur autem primum rectangulum superficiei conicae DAC, ergo securi. dum aequatur superficiei trunci conici. COROLLARIUM.3ο3. Quoniam vero est DB: FI - DA: AF, erIt compo. nendo DB -- FI: FI - DA AF: AF ; sed si bifariam secetur recta FD in II est a ΑΗ DA . AF, ergo DB -- FI: FI α AH: AF; Et est ΑΗ: AF die HG : FI,
si ex puncto H ducatur recta ΗΚ parallela ipsi DC; patet pe rimetrum circuli a radio HG. vel diametro ΗΚ aequari semitaminae perimetrorum a radiis DB, FI, vel a diametris DC , FL, proindeque rectangulum ex FD in perimetrum circuli a
163쪽
3 4. Quadranti OGK eircumscriptum sit quod vIs po'Ygonum regulare quotlibet laterum ΚΗ , Η F, F Ε, ΕΒ . quae eundem tangant in punctis R , I, G, D, quomodocumque acceptis, at extra verticem o, et fiat parallelogiammum CL ejusdem altitudinis eum solido; dico quod fi huiusniodi figurae circa oC revolvantur, eruut super scies a lateribus polygoni descriptae aequales super sciet cylidrieae descriptae a re fla LΚ. n. 92. Expendatur unum ex hisce lateribus ex. gr. EF, et producatur usque ad axem in Α, et iungatur CE. Εἰ quoniam ob sini litudinem triangulorum A NE, AS F, AVG,
circulorum perimetri sunt ut radii , quare rectangulum e VP in in perimetrum radii QS aequa iur rei tingulo ex EF in perimetrum radii GH. Sed primum rectangulum aequatur superficiei genitae eX PQ , et secundum aequatur suis perficiei conteae ab ipsa EF descriptae, et sc de teteris, quare tota superficies polygoni aequalis est toti supei sciet cylindricae. COROLLARIUM.3ys. Et quoniam multiplicato in infinitum numero Iaisterum polygoni , eorumque magnitudine in infinitum pro. inde decrescente polygonum abit in curvam continuam circularem . et it tota superficies hemisphaerea a quadran te descripta aequalis curvae superficiei cy'indricae a cir
164쪽
OF, EF aequalis portioni respondenti superficieῖ cylindricaeaeque altae ON , OS , Ni , adeoque portionis sphaericae super-ficus sunt ut a X s. abscissae.
306. superficies segmenti sphaer ci BRG aequatur areae circuli radium habentis chordam Ria et integra sphaerae superficies aequatur areae circuli ra tum habentis ipsam sphaerae diametrum si . 97. Quoniam est RE, vel OT: RG π: RG: RQ , hoc est ut dimidia perimeler radii RG ad dimidiam perime- Irum radii Rin, sive ad perimetrum radii CG, vel IET, erit rectanguluin ex OT in peti metriam radii ET, micet superficies ex in driea DTSL, sive super fi .ies figmentisphnerici BRG aequale rectangulo ex RG in dimidiam perimetrum radii RG , videlicet areae circuli radium habentis ipsam RG. ac proinde conveniente punitio G cum 'un. Elo Q , et ipsa RG diametrum adaequante , superficies totius sphaerae aequatur areae circuli radium habentis dia. metrum ejuSdem sphaerae.
3. . Ergo tota sphaerae superficies quadrupla est areaecticuli radium habentis radium sphaerae, videlicet quadruispia est areae ctrculi maximi iosius sphaerae . 3 8. Curva cylindri superficies sphaerae e reum scripti una cum basibus est se riplicata. vel sesquialtera superficiei in seriptae sphaerae ; scilieet est ad hane ut 6 e 4. Nam curva cylindri stipe acies sine basibus eum sit aequalis supe fi ciet si haericae, sive quatuor et rculis eiusdem maximis. ad .
ectis binis circulis baseos, erit' tota superficies eylindri
165쪽
una cum basibus aequalis sex eῖrculis sphaerae maxἰmἰς unde superficies cylindri erit ad supersiciem sphaerae ut
3 s. Super scies coni aequi lateri, et cylindri sphaerae circumscriptorum cum superficie ejusdem sphaerae sunt in continua ratione sesquialtera, videlicet sutu inter se ut Ps. 4. Cnm enim t D. 93. in angulus BG C semissis an
ergo et circulus radii BG triplus est circuli radii BC , scilicet est ille ad hunc ut 3: t. Sed superficies contea GDHdupla est et rculi suae baseos, ergo superficies conica una cum circula suae baseos tripla est circuli radii BG , sciliacet est ad hunc circulum ut 9: 3., quare tota superficies conica una eum basi erit ad circulum radii CB ut ς: 1. Sed tota cylindri supersietes sphaerae eircumscripti 'ad eis undem eirculum radii CB est se et , ergo super scies coisnica ad cylindricam est ut V: 6 ; sed haec ad moerficiem sphaericam inscriptam est 6 r 4 , ergo funerficies conica, cylindrica, et sphaerica sunt in continua ratione sesquiis
Oct. Contea suderficies LAM est media proportionalis inier cohaeri eam superficiem LAM, et eireulum radii L N. Superseies sphaeri eae portionis L AH aequatur eirculo radii A L. ergo ad eirculum radii LN est ut ALq: LNq ,sve in duplicata ipsarum ratione. Sed conica superficies IAM ad eundem circulum radii LN est ut AL: LN, sue in subduplicata ratione sphaericae portionis LAM ad circulum suae baseos, ergo eadem conica ruper scies est
166쪽
I43 media proportionalis inter sphaericam superficiem, et di.
Pn OPOSITIO CLIII..4dit. Portionis sphaericae superficies LAM est ad superficiem inscripti eo ni aequilateri L AH ut ΛL: LN, sculicet ipsius dupla. Est enim superficies sphaerica L AM aequalis circulo radii AL, et sumta Lo media proportionali inter latus eo ni AL, et rad. um LN, supersicies conica L AM aequatur circulo radii Lo, ergo sphaerica superficies LAM est ad con cam LAM , ut A Lq: LNq, vel AL: LN scilicet ipsus dupla. PROPOSITIO C LIV. 432. Portionis sphaericae superficies LAM est ad e rculum LM in quadrupla ratione . Est enim sphaerica illa super seles ad circulum, ut ΑLq: LNq, nempe in ratione quadrupla, nam est ALdupla ipsius LN. P.R OPOSITIO CL U.
os. Sphaerica superficies LAMB est ad totam superoficiem eoni aequi lateri comprehensa basi, scilicet ad ALNII ut I6: 9. Quoniam supelficies sphaer ea LAM est ad super fietem inscripti coni aequi lateri LAM in ratione dupla, scilice ivt 8r 4, et & ad circulum LM in ratione quadrupla, nempe ut gr x . erit ea em ad totam superficiem eo ni aequi lateri comprehensa basi , ut 8: 6, vel xx: s, ad superficiem vero sphaericam LBM, ut NA; NB quartam diametri Diuiligod by Corale
167쪽
14 metri partem, nempe tripla, scillaei v.' ra. 4, quare to
COROLLARIUM.4o4. Aequi lateri toni sphaerae eircumscripti tota super. scies quadrupla est superficiei totius coni eidem sphaerae inscripti. Nam aequi lateri coni sphaerae cit eum scripti l o. ta sit per scies est ad sphaerae super sciem ut 9: 4, et sphaerae superficies est ad totam superficiem coni aequila leti
inscripti ut r6r o . ergo ex aequo perturbate circumscripti aequi lateri coni tota superficies est ad totam superficiem ae.
qui lateri inscripti ut 16: 4 , sive ut 4: I. PROPOSITIO CLUI.
os Esto eo nus XDU sphaerieae pori Ioni eireumscriptus& similis inscripto, erit layerficies conica XDU ac super ficiem sphaericam LAM ut circulus XV ad superficiem conicam LAU.
Est conica superficies X DU ad cireulum XV ul DU rUN. sive ut rectangulum D UN: UNq, & ei reuius XV rLM α NUq: NMq, eirculus vero LM ad superficiem sphaericam LAM ut Nuq: MAq. ergo ex aequo superficies conica XDU ad superficiem sphaerae inseriptam est ut remn.gulum D UN: MA' , seu rationem compostam habet e κDU: AM, vel UN: NU, & UN : MA, sive ut UN ONMA, vel composta ex UNq: NM q, & NM : NMA, aut circuli UM: NM, & NH ad superficiem conicam AML , ergo superficies conica XDU ad superficiem sphaericam LAMut circulus XV ad superficiem conicam LAM. PRO Di iligod by Corale
168쪽
4os. Esto quaelibet figura curvilinea , vel rectilinea OvXC, cujus axis OC , ejusque eomplementum ad parat. Ielogrammum circumscriptam ΟXΚC sit OV KX. revolva istur autem OUΚC circa OC. & Κ UOX circa KN , erit utraque superficies eurva utriusque solidi aequalis curvae superficiei cylindri, euius radius CK, altitudo vero aequa- Iis eurvae Kvo n. 9α. Ducatur ubilibet recta NUP basi CΚ para Ilela, et in telligatur in superseie solidi ei rea OC peripheria deserio pta radio NU,& in superficie solidi. eirca X K peripheria descripta radio P U. Quoniam ergo periphetiae sunt ut ra. dii a quibus .describuntur, erit viraque peripheria a radio NU & a radio Pu deseripta aequalis peripheriae quae describitur a radio CR . & hoe semper , quare omnes pe ripher ae in superficie solidi OVΚC una cum omnibus peis ripheriis in superficie solidi R VOX aequantur totidem peti. pheriis a radio CX semper aequali in alicuius cyl ndri sua perficie destriplus, cuius altitudo aequetur ipsi XU , ad euius magnitudinem aestimanda est multitudo ueripheriarum in utraque superficie ipsi immediate ordinatim adplicatarum. COROLLARIA. - . Cum autem hoc sem Ver obtineat de quat Ibet huάjusmodi superficierum portione , etiam pars super se ei a portione NUEC eum superficie a portione ΚVP aequalis erit superficiei cylindrieae cuius altitudo UΚ. o 8. Unde superficies utriusque solidi ad superficiei portionem in pari altitudine ex utraque sectam est ut tota curva genitrix OVK ad portionem superficiei adsumtae ΚV. T PRO-
169쪽
4os. Prismatis solἰditatem metiri. Multiplicetur polygonum , quod est basis prismatis per ipsam prismatis a Ilitudinem , et habebitur soliditas prismatis, ut pater ex genes ejusdem solidi, producitur enim mo. tu baseos parallelo, proindeque basis, scilicet polygoni superficies per altitudinem multiplicari debet. COROLLARIA io. Cubi soliditas habetur , si facies quadrata baseos per ipsum quadrati latus multiplicetur, soliditas vero parallelepipedi habetur per multiplicationem parallelogrammi
in alii iudinem. G. Quoniam vero eylindrus tanquam prisma infinitia laterum considerari potest, invenietur cylindri soliditas, si circulus baseos ducatur in alii tudinem ipsius cylindri.
. ix. pyramidis soliditatem invenire. QIoniam prisma eandem cum pyramide basim & altitudinem habens triplum est ejusdem pyramidis , sumtamen ta prismalis eiusdem tertia pras accipiatur, quae erit
ipsius pyramidis solidi ias. COROLLARIUM.
170쪽
t . Quilibet sector sphaericus genitus per revolutionem sectoris eircularis D AC circa axem AB aequalis est cono gentiato per revolutionem trianguli FAC, cuius altitudo radjus AC, basis vero recta AF aequalis chordae AD sit. 94. Per quodvis punctum I ducatur in triangulo recta Ioparallela ipsi AF, & deseribatur semicirculus I MN, patet rectas AD, IM parallelas esse, ac proinde DA: MI αΑC: CI AF: Io, quare circulus radii DA ad circuisium radii MI erit ut ei reuius radii AF ad circulum radii Io, et permulando & invertendo circulus radii AF in cono erit ad ei reulum radii DA , vel ad superstitem sphae. ricam ab arcu AD ut circulus radii Io in eo no at et t. eulum radii MI ve I ad superficiem sphaericam ab arcu IM. Sed circulus radii AF aequatur circulo radii A D. vel superficiei sphaericae arcus AD, quare & circulus radii Io aequatur in perficiei sphaericae arcus IM, atque ita semper quilibet eirculus in cono aequatur superficet sphae ricae ab arcu respondea te in secto , ergo conus aequatur sectori . PROPOSITIO CLXI. Esto elreuli quadrans AG C, eiusque ehordae AG
ponatur aequalis AF diametro ΑΒ normalis, i psi vero Apparallela dueatur DE, & iung ntur AD , DC, FE; revolvantur autem triangulum FAE , nec non sector AD circa AC, .orietur conus AF E aequalis sectori sphaerieoADC . Cum enim sphaeriea superficies ex rotatione arcus AD si aequalis cireulo . cuius radius est chorda AD, et prae