장음표시 사용
191쪽
proportlla iras est luter A c, F C; erit fellantulum sub AC, pC,
ruadrato rectae C D . Cum ergo illud not si sit, ob notas A C, F C;erit S qua ratum ex DC , notum : atq; adeo radix eius quadrata rectam DC, efficie notam. Quare ex data chorda cui utilis arcus chordam semissis illius 4rcus inuenimus. Quod erat taciendum . . I
IT A Q V E, si per propos. 3. in eniatur ehorda arem qui eum arm datae ehordae semieit. eulum eonfieit inuentae autem huius chordae dimidium ex semidiametro detrahatur, dereliquus numerus in diametrum multiplicet ut . dabit radix quadrata huius producti cho dam semissis illius areus .euius eliorda data est. vel si reliqui illius numeri quadraium iungatur quadrato semissis chordae datae, eomponetui numerus, cuius radix quadrata chordam quaesitam exhibebit e-gnitam. rigae quidem operatio facile eolligitur ex figura, Se priori demon s ratione huius Pi OpOL lTEM si per propos. 3. teperiat ut chorda arcus, qui eum arcu datae chordae semicireuis tum connelti inuenta autem haec chorda ex diametro detrahatur . 5c reliqui numeri dimi dium in diametrum multiplicetur, dabit radix quadrata huius producti thoidam semisse
illius a reus . euius eliorda data est. vi perspicuum est ex figura , de posteriori demonstra tione huius propos.
Qua ratio. tione ominniu at euaehordae suppucentur.
CHORDAS omnium arcuum semicirculi sese ordine superantium uno Minuto, in partibus diametri in quotius particulas dis bibulae, suppu-
STATUAMUS, chordas omnium a reuum supputandas esse respectu diametri in partes roooco. distributae. Quod ut fiat accuratius, ponenda erit in supputationibus diameter partium 1 oocoo . Ita enim set,ut abiectis duabus primis figuris ad dexteram ex singulis chordis inuentis, relinquatur chordae magis exquisite respectu diametri partium 2 o coco. quemadmodum ad in lium propos. 9. de Sinubus docuimus, ubi etiam addidimus , quot particularum sinus totus assumi debeat in supputatione, si sinus totus in tabula plurium particularum desideretur. Quod etiam de tota dia inetro hic intelligi debet, statuendo semper diametrum duplo plurium particularum in supput itione, qua in sinum totum ibi constituimus. PRIMUM ergo omnium inuentae sunto propos. I 2. chordae arcuum grad. 36. grad. co. grad. 72. grad. 9O. S grad. o. nempe latera decagoni, ii xagoni, pentagoni, quadrati , & trianguli aequi lateri, partium 6i8o 3 o. Io Coco. II7s 37Os. ΙΑ q2I36. 1732 Oso 8. qualium 2 Cooozo . tota diam c-ter statuitur. Ex chordis autem 618o3qo. II7s 7 s. arcuum grad. 36.S grad. r. inuenientur chordae arcuum reliquorum in semicirculo, ut grad. aqq. Segrad. Io8. partium 19orii Io. Iciso I .'ut in propos. 3. ostendimus. DEINDE per propos. M. eiusq; corollarium reperientur c Eordae omnium arcuum, qui disserentIae sint duorum quorum labe arcuum riuoru chordae sint notae. Vt ex chorda arcus grad. in o. ct ex chorda arcusgra d. i36. inue niemus chordam arcus grad. 84. qui illorum disterentia est . item ex chorda
192쪽
areus prid. o.&e2 ehorda arcus grad. 6o. cognoscemus ehordam preus grad. 3 s. quo duo illi inter se di sierunt. Eodemq; modo plurimorum arcuum cnordas in uestigabimus.. RVI SVS per ea, quae propos. 14. eiusq; corollario demonstrauimus,
reperiemus chordam cuiusq; arcus compositi ex duobus,quorum chordae notae sint. Vt ex chorda arcus grad. 6o. & ex chorda arcus grad. 9O. nota reddetur chorda arcus grad. i so. ex illis duobus compositi . Sic ctiam ex chorda a re us grad. 9o. Sex choata arcus graΔ ῖα cognoscetur chorda arcus
PR AET ERE A per doctrinam propos. is. eius*coroll. cognita chorda cuiusui arcus,cognoicemus & chordam dimidiati arcus. Ut ex chorda ar-Cus grad. fio. notam es sciemus ςhordam arcus grad. 3o. Ex hac chordam arcus grad. Is . Ex hac vero chordam arcus grad. 7. Min. xo. & ex hac chordam arcus grad. I. Min. qs. Item ex chorda arcus grad. 72. cxplorabimus chordamai cus grad. 36. Et ex hac chorda arcus grad. 18. Et ex hac chorda arcus grad. 9. Et ex hac chorda arcus grad. q. Min. Io. Et ex hac chordam arcus grad. 2. Min. 13. Sic etiam , quoniam per propos. 13. eiusq; coroll. ex chordis arcuum grad. 36. & grad. 48. cognoscitur chorda arcus grad. i 2. quo illi duo inter sedisserunt,cognoscemus ex chorda arcus grad. I 2. chordam arcus grad. 6. Et ex hac chordam arcus grad. 3. Ex hac chordam arcus grad. I. Min. IC. Et ex hac chordam areus grassi c. Min. s. Deinde si per ea , quae demonstrata sunt, arcuum caeterorum chordas dilige ter ex inuentis inquiramus, inueniemus chordas omnium arcuum,qui se ordine continuo superant Minutis ψ s. ita ut primus arcus contineat grad. O. Min. s. secundus grad. l. Min. Io. tertius grad. 2. Min. I s. vltimus deniq; sit totus semicirculus grad. is . Immo vero , si , ut proxime docuimus .inventa suerit chorda arcus grad. o. Min. que . inueniemus ex hae, per doctrinam pro C i q. eiusq; coroll. chordas omnium arcuum sest contiaue Minutis 4s. superantium , si primo in uestigemus chordam arcus grad. I. Min. So. ex duobus arcubus Min. s.& Min.qs.compositi: Deinde vero chordam arcus grad. 2. Min. I . qui ex duobus arcubus grad. i. Min. 3 o. &Plin. 43. componitur: Et postea chordam arcus grad. 3. qui componitur ex arcu grad. 2. Min. I s. & ex arcu Min. 4s. atq; ita deinceps, apponendo semper
areul antecedenti arcum Min. s.
POSTREMO aliorum arcuum chordas in uestigabimus hae arte. Sit inseret ei reulo A BC D E , chorda A B , arcus Min. s. Se A D, chorda arcus grad. i. Min 3o. at A C,
chorda arcus grad. I. quae in uestiganda proponatur.Quoniam igitur maior est proportio arcus
AC, ad arcum A B, qua in chordae A C, ad chorda m A B: Habet autem arcus A C,ad arcum A B, proportione sesquitertiam; habebit chorda A C, ad ehordam A B, proportionem minorem , ouam sesquitertiam . Cum ergo chorda A B,arcus Min. 4s. ex praecedentibus inuenta sit tartium iere is o899. erit chorda AC, arcus grad. I quae nimirum ad chordam A B, hoc est, ad iso 899. minorem proaportionem habet, quam sesquitertiam. minor, quam i que 32. cum hic numerus ad illum proportionem ha beat sesquitertiam. Rursus quia maior est pro
portio arcus A D, ad arcum A C, quam chordae A D, ad chordam A C : Habet
choidae ar. eua grad. I. l . huius.
193쪽
Cotoll. I h uius. o. quinti. o. huius. o. quinti. supputatiochordaria a teuum per
antem alcu A D, ad areum AC, proportionem sesquialteram; habebit eho :
da A D, ad chordam BC, minorem proportionem, quam sesquialteram. Cum ergo chorda A D, arcus grad. l. Min. 3 o. ex praecedentibus inue ta sit partium fore 26I792. erit chorda A C, arcus grad. I. ad quam nimirum chorda A D,
hoc est, numerus 261 792. minorem proportionem habet,quam sesquialtera. maior,quam II s 28. cum ad hunc numerum numerus 26I792. proporti nem sesquialteram habeat. Constat igitur, chordam arcus grad. I. ponsistere inter duos hos n umeros, II 6 32. I7qs18. cum ille maior sit, hic vero minor. Statuamus ergo eam esse i74s 3 o. inter numeros illos omnino mediam. Ita enim sensibiliter non differet a vera chorda arcus grad. i. NON putes autem, eadem hac arte in uestigari posse chordam arcus misi usuis plurium graduum ex duabus chordis notis duorum arcuum circunstantium. Nam cum in maioribus arcubus magna sit differentia inter arcus chordas,aegre iudicari poterit, quinam numerus ex intermedijs inter duos in uetos constitui debeat cnorda arcus propositi. Quod hoc exemplo faciemus peripi. cuum. Sint cognitae chordae arcuum grad. 39. Min. 46. & grad. 6o. Min. 3 Partium 996 712.& ioo7sq8o. Si quis igitur ex his eruere vellet chordam arincus grad. 6o. ita esset ei progrediendum. Quoniam minor est proportio arcuς grad. 39. Min. 46. ad arcum grad. 6o. quam chordae ad chordam: Habet autem 99647 12. chorda arcus grad. s9. Min. 46. ad Iooo 36I - . proporti nem eandem,quam arcus grad. 39. Min. q6. ad arcum grad. 6o. erit chorda a cus grad. 6O. minor, quam ioo 36 Issa si--ο - . utpote ad quam chordat 996 712. maiorem proportionem habeat,quam ad Iooo 36i -3 . Item quia maior est proportio arcus grad. 6O. Min. 3o.ad arcum grad. . Quam chorciae ad chordam : Habet autem Ioor s48o. chorda arcus grad. 6o. Min. Io. ad 99922 M- a -. eandem proportionem , quam arcus grad. 6o. Min. 3 o. ad arcum grad. 6o. erit chorda arcus grad. 6Ο. maior,quam 99922ll-τουν. vl- pote ad quam chorda io sqSo. proportionem habeat minorem, quam ad 99912M V, . Constituenda igitur emet chorda arcus grad. 6o. inter hos
duos numeros io 36i PI :- . 99922ir . qui cum vatae inter se
disterant est enim eorum disterentia ferme II o I.) ambiguum erit, quanta ea sit assumenda . Quae ambiguitas in per uestigatione chordae arcus grad. I. l cum non habet,cum in tam paruis arcubus chordet paru ab arcubus differant.. IAM vero inuenta chorda arcus grad. I. reperiemus quoque, per propos. I s. eiusq; coroll. chordam arcus Min. 3o. Et ex hac chordam arcus Min. I s. Sed hanc postremam etiam inueniemus per propos. II. eiusq; coroll. cum arcus Mim is . sit disterentia inter arcum grad. l. Rarcum Min. s.quoru chordae iam sunt cognitae. Per Chorda autem arcus Min. l . cognoscemus per propos I . eiusq; coroll. chorda arcus Min. 3o. qui ex arcu Min. s.&ex arcu Min. t s. componitur. Item chordam arcus Min. 4s. ex arcubus Min. IS.& Min. I s.compositi. Item chordam arcus grad. I. ex arcubus Min. Q. & Min. Is . conflati. Et chordam arcus grad. i. Min. I s. Et chordam arcus grad. I. Min. N. quaminuis omnes hae chorciae iam factae sint alia ra tione notae. Deniq; hac via reperiemus e hordas omnium arcuuin sese ordine Minutis I s. superantium : quamuis multas illarum alijs rationibus in uestigare possimus, ut ex propos. 13. q. 13. earumq; corollarijs manifestum est.
J O D si sta tuantur ordine omnes arcus sese Minutis i . superantes, una cum eorum chordis i & ad dexteram cuiusvis chorda ascribat ut disteren-- tia.
194쪽
tla, qua a praecedenti chorda differt , inueniemus per regulam proportionum V f
chordas aliorum arcuum intermediorum per quina minuta extentorum tiuia exi in his chordas omnium arcuum per lingula minuta progredientium; quemadmo iunia dum iupra de inuetione sinuum diximus. Quod ut Deilius intelligatur, proponemus noc unum exemplum. Sit inquirenda chorda arcus Min. 2 o. Quoniam igitur disterentia inter 3632. chordam Min. is.& 87ιε . chordam Min I est 43632. Dic. Si Min. is. quibus arcus Min. t s. ab arcu Min. Io. differt re quirunt differentiam 43 632. ad ij ciendam ad chordam arcus Min. Is . Vt natchorda arcus Min. 3 o. quanta postulant differentiam Minuta s. quibus arcus Nin. I s. ab arcu Min .io.differ t. ddendam ad eandem chordam arcus Min. I . Vt componatur chorda arcus Min. io' Inuenies enim requiri distri rentiam 14sqq. quae addita ad 43632. chordam arcus Min. Is . constituet s8176.chor. dam arcus Mim2o. Eademq; ratio est de caeteris.
SED magnum eo miliam nobis in hae re asseret proposito sexta . Nam eτ ea Compen. F.rimas ebordas ex aliis iuuentis per solam additionem. btramonem ne esseι emus. dium miriti namqν chordam cuiusuu arcus, qui maior non sit . quam grad .6O .addamu chord is hi 'r'AErcu3, quem aremgrad. Iam sumpto illo arcu superat, componem bortam urin , νlut imita ut eodem in areis assumpto arcum grad. mo. excedit: propterea quod digerentia chorda id . Onter chordas duorum horum arcuum maiorum aequalis est chorda arcus i ius assum pti, qui maior non ponitur, quam grad. 6o. ut ibi ostendi ι. Vt s 347 29M. Aor dam arcus grad. 2 o. ad eramu ad Is 32o 89O.cboryam areus grad. i Oo. quem aro grad. I 2 superat AElo arcu grad. 2o eoponemus i 879ssq.chorda arcus grad. M. Mi arcum grad. o eodem arcu grad. xo. excedit. Ita quoque I I OOc Oo . choroam arcu. grad. εο .addamm chordae Ioooocio O. arcu. Crad. 6o. quem arcus grad. 12 o. dicto illo areu grad. ε . superat, conferemus voci oco. chordam arcus grad. Iso. qui arcum grad. Ito. eodem ι Eo arcu grad. 6o. superat. ITEM Achordam cuiuslibet arcus, qui arcu gra . 6'. maior non sit, subtrahasmus ex eborὸa areus, qui arcumgra Lino sumpto illo arcu superat,relιnquetis r chor arcus, quem a reus grad I 2 o. eod.m 3sio arcu assumpto exeedit . Vth 347 296q. rhordam arcus grad. Eo. detrahamus ex I87 38sq. chorda arcus grad. IqO. qui arri um S rad. I 2Os.'erat arcu illo sumpto grad. xo. remanebit is 32o89o Aborda arcue grad. I o. qus eodem in areugrad. 2 o. ab arcu grad. ro. superatur. RURSUS si ex eborda cuiusua arcus,cui maior si arcu grad. O subducatur chorda arcu , qui tanto minor sit arcu grad. Iao.quanto ille maior est, reliqua eritriaria arcus, quo uteruis a Porum ab arcu grad. 32α disseri . Vis ex i87938s chorda arcus grad. I o. auferamus I s 32 CS9Ο. chordam arcus grad. i. relinq--r 3 729 64. chorda a reus grad. Io. quo uterq, 3Porum ab arcu grad. 12 . dissert. omnia ex dicta propos. 6 eolliguntur. AT is ergo est,ut ter regulam proportionum inuestigentur chordae omnium ar sum a principio semieιrculi disque ad areum grad. 6o. Si emm ex his referianturciard arcuum , qui eum illis semicirculum eo elant, ex his repertis subducantur triores ι Pae inuenta,remanebunt eborda omnium arcuum inter arcum grad. so. arcum grad. mo. Item si notae essent chorda omnium arcuum ab arcu grad. 6c. 123Mfoc emicirculi, o chorda omnium arcuu, qui minores sint arcu grad. mo. σμ A a ferrens
195쪽
ferrentur ex eba dis Emnium arcuis malo qi mgrad. I 2'. reliquκ ferent chortamnium arentim a principio semicirculi usque ad arcum graὸ.εo. Deniq; si chordae om.... u. ., mum arcuum a principio sem/circuli siue ad arcumgr.ι d. I 2 o. inuentae essent , O ehorda omnium arcuum minorum, quam εο. grad. chordi omnιum arcuum maloium qu grad. 6O. adiicerentur , componerentur chorda omnium arcuum malorum, quam grad. I 2 . . t
sh'' . tim P o R. R o si chordae omnium arcuum semicirculi in tabulam redigantur choraicuum ea dae omnium arcuum, qui se continue hinnutu 2. excedunt secentur bifarιam, misenticho dis erunt ιιι omnium arcuum per singula Minuta progredientiu , t ex desin. I. consat. 'R V Il l N C t. at, sertim fecisse recentiores,qui uum tabula confecer i quam Recti' saee Piclemaeum cr , teνs , qui ι hordas in tabulam redegerunt Pro snubus enim satu est, ς ς0 ι si Ou drisiis circuli p-ν sitiaula Minuta extendatur : at pro chordis necesse est totum eos ruunt' curum Ier Miruta singula extendere: ita ut ehordarum tabula sit duplo maior quam oui quam tabulas unum. Taceo, multo expeditiorem, breviorem,sa lio remet: sesinuum, hordax a. Uum in rebui Amonomicu, Cr Geometricis,quam chordarum'. ut ῆι est man sum, qui me in hui in edi usu ex rcuerunt aliquando.
Dimin; UWE M A D M O DUM autem 'tiu differentiae sensim decrescunt a principio
chorda id a quadrantis usque ad elu, fnem 1 ita ut pe*ιs pluribiu arcubus aequa Ii tersese exe. ορο η ς iψ dbntit m, minorum sinus habeant maiores dιsserentias,quam se a maiorum, i in coroll.propos. I Ueridimus: ita quoque chordarum differentiae paulatim decrescunt Afine sensim princi profmicirculi ad esu finem Hq. Nampositu pluribus arcubus , quorum aequod ς ςunx: Io sint diser enti ,minosum chorda maiorεs habent differenti ad , quam chordae ma- torum. quod ιι a demons rabimus . Sint in semicirculo Α Β C D E, arcus A B, Α C, AD , quorum differentia in C, C D, aequales sint, chordae autem eorundem A B, A C, Α D : absinta. Murqt refla Λ F, ehorda Α Β, aequalisum recta A G, eborda A C, aequalis. Dico F C, diserentiam interebordas A B, A C , maiorem esse, quam G, D , disserentiam inter chordas A C, A D . Abscissa enim reo .cta A H, aequali ipsi A F, vel ipsiA B.iundisque reis Au B C, C D, C G, C H: quo tuam latera B A, A C, lateribus Η Α , A C, aequ-tia seunt, angulosi: cono tinent equales ad A, propter aequales arcus BC, CDi eruni bases B C, C D; aequaules. Est autem recta B C, rectae C D, aequatis, ob aequales arcus eosdem B C, C D. Isiatur . recta C H, ecta C D, qualis erit. Angult ergo C H D, C D H, aequales quoaque erunt qui cum sint ductas re tis minorest er/t terqμe eorum acutus. Eodem pa-Clo erit uterque angulorum AC G, AG C , acutu : propterea quod inter se etiam aeq. les sunt, ob aequales ref I.M A C , A G. Quia igitur in triangulo C G H , anguli ad G, H, aruti sunt; fit, ut C l, dueta ad D H, perpendιcularis cadat intra trianguis tum in νε Clam G H, vitii s boli o propos. I. lib. 2. Eucl. demons rauimus .ltaque quia duo ar uti C H l, C l H. trianguli C H I , duobus angulis C D I , C ID , aequa Iessunt, sintq; duo latera C H , C D , aequalibus rectu angulis opposita αqualia , vel cera 'e latus C l, commune si erunt quoque latera I H, I D, aequalia. Cum ergo I D, maior sit . quam GD, erit quoq; H i, tar a fortiora HG, maior, quam G D. Fflauatem H G, ipsi F C, aequalμ,propterea quod cir rella A C, Α G, inter se, er rectae A NAH, inter se aequales suu t. Igitur F C, differentia chordarum A B , Α C , maior erit,quam G D, disserentia chordar Λ C, A D. Quod spreto itum.
tes habeant dissetentias quam chordae arcuumn aiorin domodo arc habe It di . fer en ti 2I aequales. 17. tertii. a s tetiit. l. primi. 7 Ptiam. primi. sitimi. certe i
196쪽
NEC vero praetereundum est,scosita diametro partium iro chordas arcuum inquι ramus an pari ιbus,Mι nutu, Cr Secundis, i Ptolemaeus fecit, ehordas arcuum ramorum,quam grad. 6O. habere plures Partes, In ta, ac Secunda r quam arcus , quorum sunt chorda : at vero chordas arcuum maiorum, quam grad 6o esse pau cιorum Partium, Minutorum, ae Secundorum, quam ar cus idis respondentes . Vt in tabula Ne apposita manife pum est,quam ex Ptolemaei tabula exereeptam huc trans puti . In qua eernis chordas arcuum minorum , quam grad. 6O. maiores esse , quoad numerum paratum , M3nutorum , γ' secundorum , quam arcus respondentes, quoad gradus , ac Minutat chorda vero arcuum mam orum , quam grad. ε . esse minores arcubus responden utibus , quoad eosdem numeros . Cuius quidem rei haec estimonstratio . I N semicirculo A B C D E, sit arcus Α C, grad.6O.er A B, m/nor,nempe grad. s.at A D, maior luta grad. 8O. Min. 3Ο.ducanturque chorda Α B, A C, A D. Duo chordam A B, maiorem esse, quam Par. s. at chordam A D,minorem,quam Partiis So. Min. 3o.Cum enim maior*proportio arcus Α C, 'to hule, σd arcum A B,quam chordae AC, ad chordam A se Tyautem proportio arcus A C,ad arcum A B,eadem, qua . adM. erit proportio ebordae A C,ad chordam AB, minor , quam 6Ο. ad 4s. Quare eum chorda A C die Partium 6o. utpote quaesemidiametro aequalis est,per coroll. propos. I s. lib. q. Eucl. erit chorda A B, ma/or, quam Partium qs. propterea quod so. ad numerum, qui maiorsit , quam misnor proportionem habet,quam ad 4s. Atq; ita in tabella superiora vides chordam s. uim arcusgrad. qs. esse Partium 4s. Min. s. See. is. Rursos quia maior estproportio arcus a D, Marcum A C, quam eborda Α D, ad chordam A C : Est a tem proportio io hui . arcus Α D, ad arcum A C, eadem quae rad. 8o. Mis. 3 o. ad 6O. erit chorda A D, M chordam A C, minor proportio, quam Par. 8o. Min. 3 o. ad 6O. Cum ergo chorda A C, it Partium εα erit thorda AD, minor, quam Par. 8o. Min. 3 o. propterea quod numerus,qui minor sit,quam Par. 8o. Min. Io. ad 6o. minorem proportione habet, Lquin tu quam Par. 8o. Min. 3o.ad eundem numerum 6o. Atque ita ternis insuperiori tabεlla chorda arcus grad. 8αMin. 3o. eotine repartes duntaxat 77. Min. 3ι. Sec. 6. Eademq;
197쪽
atque SecanteS. ζ' si V A UU o pronomi omnia sua problemata, atque theoremata per As '
nus explicare poni , ut communiter ab omnis
buffieri siet, quia tamen multa facilius,ac bre
mus expediuntur, si una cum ubus linea tangentes, secantesque adhibeantur , ut ex doctriana triangulorum erit manifenum ; quas quidem lineas utili sane consilio Recentiores excogitarunt, atque in tabulas redegerunt: usument has etiam lineas paucis exponere, ut Albiana nostrorum triangulorum perfectior euadie. ' i,, Vniuersa siquidem triangulorum doctrina iu
taξ tribus hisice linearum generibus, nempe in sinu-bus, lineis tangentibus , s secantibus, potiss-
mum consipere quidetur. Primum autem expli
candum est, quidsit linea tangens, s quid F-
cani propositi cuiusuis arcus.
198쪽
ducta rena A D, circulum tangat,recta autem C D, eirorumseret, eenueniens cum Α D, in D, conueniet enim necessario , propterea quod duo anguli C AD , D C A, duobus resti sunt minores; cum ille rectus sit,bte autem recto minor,propter arcum A B,quadrante minorem. Heetur Α D,Tangens arcus A B, at C D, Secans eiusde arcus. Tangentem dioeant nonnuἱb Adscriptam, quod circulo quod amodo adscribat .ra secantem vero,HIpooten im, propterea quod in triangulo rectagulo Α CD, angulu3 enim Α, apud contactum rectus est angulum rectumsubtendit: Semidiametrumdemque AC , ses num totum, dicunt basem erusem trianguli. U EMADMODUM aist.m in omni triangulod rectangulos latus recto angulo oppositum ponatur μοι
Lino ad scripta. 8e Hypoteri Hia quid. 3.tertii. si in triam is
totus, reIι qua duo latera sunt mus resti reliquorum angulorum acutorum , quibus . tum lai A copponuntur 3 Item trumuu reliquorum laterum est sinus complementi anguli sibi rum citca adiacentis, ut in definitionibω nuum traditum est : ita quoques alterutrum late. rum eirca angulum resum statuatur sinus totus,er i alterum latus circa angulum sin isto νect m Tangem angula acuti sibi oppositi. latus vero angulo recto oppositum Secans ius, erit l- eis sem anguli. Vt in triangulo reflangulo A C in latus C Α, est sinus totus, nempe inum i Hra AP semidiameter circuli A B: at A D, tangens anguli C, vel arcus Α-C D,eiu emfeans. Eodem pacto,s D Α, statuatur μου t. - . erit Λ Cl , tangens a gQι D, . tangens an D C. eiusllem secans . Auli aetati si ETSI autem diximus, tangentem , in secantem sumi respectis arcus quadrante c riminori , tamen eadem tangens, o secans referri solet ad arcum etiam, qvi cum illa intuta semicirculum complet: adeo ut duo arcus semicirculum conficientes , vel duo angisti opposivum duobus rectra alisales, nam eandemq; tangentem,atq; secantem habeant: quemadis et uidςm is modum σ esndem sinum ria iam habent, ut in tra iaNonesnuum traditimus 'ades , ...ut si quaeratur tangens . secans alicuiu1 arcis3 quadrante maioris semenda st tan lein totis. gens, er secans arcns quadrante minoris,qui cum illo semieirculum complet. id eoste etePORRo qua ratione Tangentes , cr Secantes omnium arcuum quadrantis reddantur cognita in partibus us tot us ac pro nile qua ta tabula Taraenitum, ite 'i aequa tabula item Seeantium componenda sit ,sequentibuspropositionibus , qua ad linea. lea habent Tangore inc Secantes Dedunt,planum ferri eande ian. e
TANGENS dimidij quadrantis sinui toti . .
aequalis est Tangens autem arcus maioris dimidi id sinis io.
quadrantis maior est sinu toto: Et Tangens minOris arcus minor est. Secans denique dimidi j quadrantis dupla est sinus recti eiusdem dimidij
199쪽
C F, minoi . Ducta autem recta CH , ad AC, perpendiculari, qua ei reulam tanget in G, ducantur rectae A G, A H, A I, per puncta D, E, F. Item D K, ad A c, perpcndicularis. Eritq; C G, tangens arcus C D; & C H , tansens arcus C E;& C l, tangens arcus C F . at D K, sinus rectus arcus C D,& A G,eiusdem secans. Dico CG,aequa. lem esse Iinui toti A C; at C H, maiorem,& c I, mi. norem. Item A G, duplam sinus D K. moniam enim anguli C A G, G A B, aequales sunt, ob arcus aequales C D, D B; estq; angulus B A C, rectus, erit uterv illorum semirectus. Quare & reliquus angulus CGA, in triangulo A C G, semirectus erit; propterea quod angulus C, rectus est . Igitur recta C G, tangens arcus C D, qui semissis est quadrantis , sinui toti A C , aequalis erit. Ex quo sequitur, C H, tangentem arcus C E, qui semisse quadrantis maior est , sinu toto A C, maiorem uise; & CI, tangentem arcus C F , qui semisse quadrantis minor est,minorem: cum punctum H , necessario cadat supra G , & punctum L
V o D tamen seorsum ita quoq;ostendi potest,nulla habita ratione langentis CG , cuius arcus est semit sis quadrantis. Quoniam arcus C E , semisse quadrantis maior est, erit arcus B E,semisse quadrantis minor. Igitur angulus sabet. 7.1- C A H, angulo H A B, maior est, ae proinde maior semirecto. Cum ergo an-3 a. primi. gulus C, rectus sit,erit reliquus A H C,in triangulo A C H, semirecto minor. is pium. Quare recta C H, tangens arcus CE, qui semisse quadrantis maior est , maior est sinu toto A C. R U RS V S quia arcus C F, semisse quadrantis minor est, ae proinde B F, Schol. 1 . I. maior,erit angulus C A I, angulo I A B, minor; atque adeo minor semirecto. 31. primi. Cum ergo angulus C, sit rectus, erit reliquus A I C, in triangulo ACI, maior semirecto : ac propterea recta CI, tangens arcus C F , qui quadrantis semisse 13.ptimi. minor est,minor erit sinu toto A C.
PR AET E R E A quoniam angulus K,rectus est,& D A K, semirectus, ut ε. primi. ostensum est; erit & A D k, semirectus; ac proinde A K, sinui D K, aequalis 4.sexti. erit. Quia vero triangula G AC, D A K,aequi angula sunt, erit ut A G,aa AC, ita A D, hoc est, R C , ad A K; ac proinde tres rectae G A, secans; A C , sinus totus, & A K, sinus dimidi j quadrantis, continue proportionales erunt. Ita Corol. 2. 6 ergo erit quadratum ex A G, ad quadratum ex A C , ut recta A G, ad rectam A K. Est autem quadratum ex Α G,quadrati ex AC,duplum propterea quod 7 p imi aequale est quadratis ex A C , C G, aequalibus. Igitur & AG , secans dimidii quadratis dupla est sinus A Κ,vel D K, eiusdem dimidi j. Quocirca tangens di- ubi, citi. mi dij qu dr utis sinui toti aequalis est,&c. Quἰod demon lirandum erat.
iis , di qui E X hacpropos aperte eausa eorgitur, eur in tabula Tangentiam omnet tang.
maior ra. tes arcuum mnorum,quamgrad. M .minores sint finis toto: Tangens vero a reus gra. Ite eur se suus toti equalis: Tangentes denique omuer arcuum maiorum , quam grad. .
200쪽
V A M proportionem habet sinus comple
menti arcus cuiusuis ad sinum rectum eiusdem arcus, eam habet sinu, totus ad tangentem eiusdem arcus: Item quam proportionem habet sinus rectus cuiuslibet arcus ad sinum complementi eiusdem arcus, eam habet sinus totus ad tangentem eiusdem complementi. Sinus autem totus medio loco proportionalis est inter sinum complementi cuiusuis arcus, de secantem eiusdem aicus: Item inter sinum rectum cuiuslibet arcus, de secantem complementi eiusdem arcus. Sinus denique idem totus medius proportionalis est inter tangentem arcus cuiusuis, & tangentem complementi eius
IN quadrante A B C, sit D F, sinus arcus CD;&CE, eiusdem tangens inter semidiametrum A C, & seeantem A E: Item B G, tangens a reus B D qui complementum est arcus C D. Dico ita esse sinum complementi arcus C D,ad sinum rectum eiusde arcus, ut est sinus totus A C, ad tangentem C E, &c. Quoniam enim,ut in expositione definitionum dictum est, A F , aequalis Best sinui complementi arcus C D, cum sit aequalis sinui recto arcus BD, qui complementum est arcus C D; suntq; triangula A F D, A C E,aequiangula, ob rectos angulos F, C , ct communem angulum A: erit ut A F , sinus complementi arcus C D , ad F D, sinum rectum eiusdem arcus CD, ita AC,si,nus totus ad C E, tangentem eiusdem arcus. quod est primum D EIN DE eadem ratione erit, ut A F, sinus rectus arcus B D, ad F D, sinu complementi eiusdem arcus B D, ita A C, sinus totus ad C E,tangentem eiusdem eomplementi arcus BD.quod est secundum. TERTIO in eisdem triangulis erit, ut A F, sinus complementi arcus CD, ad AD, sinum totum, ita A C, sinus totus ad A E, secantem eiusdem