장음표시 사용
201쪽
arcus C D. Item ut A F,sinus rectus areus B D,ad A D,sinum totum,ita A C, sinus totus ad A E,secantem arcus CD,qui complementum est eiusdem arcusu D. Quare sinus totus medius proportionalis est inter AF,sinu coplementi arcus C D , & R E, secantem eiusdem arcus C D: Item inter A F, sinum rectum arcus BD,&AE,
secantem complementi eiusdem arcus B D. quod est tertium.
POSTREMO , quia triangula ACE; G B A, aequi angula sunt, quod anguli C , B , sint
recti ; se alterni C A E , BGA, nec non alterni A E C , G A B, aequales: erit ut C E,tangens aroeus C D, ad A C, sinum totum,ita AB, sinus to . tus ad B G, tangentem complementi eiusdem aracus C D. Pari ratione erit, ut B G , tangens arcus
B D , ad A BG, sinum totum , ita AC , cnus totus
ad C E , tangentem complementi eiusdem arcus BD. quod est quartum. Qua ergo proportionem habet sinus complementi areus cuiusuis, occ. Quod erat demonstrandum.
num complementi eiusdem arevi diuidatar: inuenietur Tangens illiin arcu ,cuius μmum complementi accepissi, vel cuiussinum reclum insimum totum multiplicasti. vis lata n arcMgra. 3o.quaerat.r, adiungemus eius sinus recto soooOoo septem ci I ε,'ioc modo. Ooooooooooooo. γ hune numerum per 366o2sq. sinumeo leomenit eiusdem arcus grad. 3 o. partiemur. Nam quotiens numerus 3773 6 3. dubit,isi. ἡ .i 'g ' gra4. 3O.quatenus sinus totus est Ioo-oco. Hinest, tangento con. om. εν 'ς persiam riuisionem inuenari. Nam somnium arcuum sinubus , initio fasti anes tangen pr/ης pio quadrantis, septem cistas apponaν,σ eompositor numeros per sinus comple ... - ψ est rundem arcuum, quemlibet per suum eorrespondentem, diuidas prodiis uni omnιum arcuum tangentes, ut ex demonstratis liquido costat. Quamobrem pero facilιι est confructιo tabula Tangentium.
Qua isti. RUR, VS per eo, quἀ tertio loco in bae propossunt demonstrata,Mat, ut Ita
202쪽
IonooΟoOo o ooo . per sinus eo lementorum omnium a reuum, initio facto a sola diu 'principio Quadrantis, omnium arcuum secantes eruuntur, ut ex demonstratu liq-et. :ἰ 'ia νε xx quofacili a erit constructis tabula secantium . numeri p si
THEOR 1i. PROPOS. I p. ueniuntur.
TA N G E N S cuiusuis arcus, qui semisse qua- ongemis
orantis malor lit, aequalis cli tangenti & Iccanti 11- semisse qua
mul arcus, qui duplus sit excellus, quo datu Sarcus semissem quadrantis superat.
IN quadrante A B C, sit CG, tangens arcus C F , qui semisse quadrantis maior sit,inter iemidia metrum A C, N secantem A G,eiusdem arcus C F,comprehensa. Dico C G,aequalem esse tangenti, & secanti simul arcus,qui duplus sit excessus , quo arcus C F , semissena quadrantis superat. Sumpto enim arcu F D , ipsi F B , aequali, ducatur recta AD , extendaturq; usque ad E. Et quoniam anguli B AF , F A E, ob aequales arcus B F, D F, aequales sunt: Et angulo B A F, aequalis est alternus angulus G ; erit quoq; idem angulus G, angulo G A E, aequalis.Quare rectae E G, E A, aequales sunt: ac propterea,addita communi C E, erit C in tota tangens arcus CF, duabus C E ,&A E, hoc est,tangenti,& secanti a reus C D, simul aequalis. Dico iam arcum CD, duplum esse cxce sus quo arcus CF, propositus semissem quadratis superat. Producto enim ar-eu quadrantis ad partes B, sumptoq; arcu B H, aequali ipsi C D,cum & arcus F B, arcui PD, sit aequalis, erit totus arcus FH,toti arcui CF,aequalis, ac pro inde arcus C H,duplus erit arcus C F.Quoniam vero arcus C H, quadrantem C B,superat arcu B H, hoc est, arcu C D; superabit C F, i emissis a rcus C H , semissem quadrantis C B, misse excessus CD. Arcus igitur CD,duplus est ex cessus,quo datus arcus C F, semissem quadrantis superat. Est au te ostensum, CG, tangentem arcus CF,aequalem esse tangenti C E,N secanti A E ,simul arcus C D. Igitur tangens cuiusuis arcus, qui semisse quadrantis maior sit,aequali est tansenti,& secanti simul arcus, qui duplus sit excessus, quo datus areus semissum quadrantis superat.Quod Ostendendum erat.
HANC propositionem nonnussi ita proponunt.
SE C A N S cuiusuis arcus una cum tangente eiusdem aequalis est tangenti arcus compositi ex dato arcu , ex semille complementi gens eiu D
eiusdem. ciem arcuaeui l genii
NAH in eademfigura H ΑΕ , secans, in Cae , tangens eiusdem artus CD. Secto lex sint. a b autem
203쪽
aistem arcu B D, nempe eomplemento arcus C D , bifariam in F , dueatur ex eεntr. A, per F, recta A G, feeans tangentem C E , productam in G. Erat, C G, tangens arcus C F, eompositi ex dato arcis CD, Cr DF emisse complementi D B. Dicosis cantem ΑΕ, tangenιe CE .simul aequales esse tangenta C G.Quia enim anguIι BAF, Vii' ν A s, aqualos sunt, propter aequales arcus B ν , ν D ; angulo B A F , alternus ''p mi C, ematu est, erit quoque an istus 3dem G, angulo G Α E. aqualis. Quare 4 pximi. aequales sunt recta a A, a G: atque adeo, addita communι E C, dua A E,E Co Mi
THEOR. 11. PROPOS. 1 o. 'iusuis a te' SECANS cuiusuis arcus aequalis est tangen
I N quadrante A B C, sit A D , secans,& C D, tangens arcus C E, cuius complementi E B , semissis sit E F , vel F B , & huic semissi aequalis sit arcus
C G. Ducta autem recta A G, & producta, donee cum D C, protracta coeat in i , erit CH. tangens arcus CG, qui semissis est complementi a reus C E. Dico secantem A D, sectualem esse tangenti CD,&tangenti C H, simul, hoc est,toti lineae DH. Quoniam enim anguli EA F,CAG, aequales sunt , ob aequales arcus EF, CG saddito communi angulo E A C , erunt totianguli F AC, E A H , aequales. Rursus quia in triangulo rectangulo A C H , duo anguli A, H,vni recto,nimiru angulo B A C, aequales sunt; ablatis angulis B AF, C AH, qui propter aequales arcus BF,CG,aequales sunt, erunt reliqui anguli F A C,& H, aequales. Est autem angulus FAC, ostensus aequalis angulo E A H. Igitur Ad angulus H, eidem angulo E A H, aequalis erit: ac proptea .pximi, rea rectae A D,D H, aequales erunt,hoc est,secans A D,tangentibus D C, C H, aequalis erit.quod est propositum. ALITER. Sit rursus A D, secans,&C D,tangens arcus C E.Dico secantem A D, aequalem esse tangenti C D, una cum tangente stmissis complementi areus E C, seu anguli D A C , hoc est, una cum tangente semictis anguli D, qui complementum est anguli DAC,cum ambo in triangulo rectagulo ACD, .ptimi. vnm recto sint aequales. Centro namque D,&interuallo D A, arcus circuli describa tur A H s, secans D C, productam in H, & A C, productam in I, ducanturq; rectae A H, H I. Quia igitur recta DC, ex centro D, circuli A H I,edu- .tertii. cta secans rectam A I , ad angulos rectos, secat eam bifariam ; secabit eadem DC H, & arcum A HI, bifariam, ex lemmate in definitionibus demonstrato. , etiij. Quare anguli C A H, & I, aequales sunt.Quoniam autem, cum anguli D, & I, eindem habeant basim arcum Α Η,& ille sit ad centrum D, hic vero ad ciro
204쪽
eunserentiam, angulus D, anguli I, duplus est; erit quoque idem angulus D, textri anguli C A H, duplus: ac proinde angulus C A H, semissis erit anguli D, qui complementum est anguli D A C. Cum erio C H, tangens sit anguli C A H, sitq; D A , recta reste D H, ex des n. circuli, aequalist liquido constat, secantem A D, arcus CE, aequalem esse tangenti C D, eiusdem arcus,vna cum CH. tangente semissis complementi arcus C E, seu anguli C A D. Quapropter Secans cuiusuis arcus aequalis est tangenti eiusde ,&e. Quod demonstrandu erat.
E X proximis duobus theorematibus mιr cum bis compendιum supessitatur ad mitis, eum μbu Iam tam Tangentium , quam Secantium construendam. Namsiper ea, qua proo pro costi u. t fi 8. eiusq; sciatio praevimus, tangentes omnium arcuum per singula minuta exo ensorum Uque ad semissem quadrant 1 s,secantes vero omnium arc um totius qua . gentium, edrantu ιnquiramin 3 inueniemus earum beneficio perso Iam additionem tangentes Lecantium. αborum arcuum, usque ad arcum grad 67. Min. 3Ο si nimirum i angentem,cX secans em cuiusq; arcus minoris seni se quadrantιs, quι minuta numero par a contineat,m nam summa toltigamus propterea quod tangens cuiusuis a reus maioru semisse qua drantu aequalis es tangenti, ae secanta arcus, qui duplus sit excelsus, quo datu/ arcus femusem quadrantu superat; quales sunt omnes arcus mιnutoru parιum adgra. 6 s. ut are s Min. 2.11ι n. q. Man. 6. me. Exempli eausa. si desideretur tangens arcus Ara. f. Mm. colligemus in unam summam tangentem s8I8. e secante Io Oo Oo2.αrcus Min. 2 qm duplus est arcu Min. t.quo datus arcus grad. que Mι n. IJem Sem quadranD , hoc est,areis grad. s.superat Numerus enim cofatur loco 382 .dabit ta.
gente propositι arcus grad. s. Min. I. qui semiss/m quadrantis superat semisse arcus
ritu. 2. vrpropos I9. ostensum est. Ide arcus grad. 6s. MI n. l. eoponitur ex arcu Μι n.
gentem disti arcus e positi ex arcu Nan. a. semisse complementi eiusdem. EADEM ratione tangens cuiusuis arcus maioris semisse quadrantis eomponestur ex tangἔte, e secante arcus, quι duplus sit excessus, quo arcus ista semissem qua odrantis superat. Items in unam summa colligantur tangens, secans cuiusuis arseus minoris semisse quadratis, confabitur tuens arcus copositι - 1llo arcu, in semisse eomplement ι eiu em. V t tangens I 43s24sI .arcusgrad. s. F in. 8. composita est ex tangente 3692 scio. secante Io 6 99s I. areus grad. 2o Min. I 6. qm duplus est arcus grad. Io. blin. 8 quo datus arcus grad. 6s Min. 8 quadrantis scinissem superat. Item si tangens 3 9zs . G secans iO6699 I. arcus grad. 2O. Μι n. l ε .m nam summam eo stigantur,conflabιtur tangens I 43 24st .arcusgrad s s. Min. 8. composi ii ex illo arcu grad. 2O. Min. I 6. fernisse complementι eiusdem, nempe ex arcu grad.
ITA Q V E proposito arcu quocunque , qui maior si quadrantis dimidio,s .ae eo detrahatur semissis quadrantis, id est, arcus grad. 4s . . reliqui arcus sumatur duplus, component tangens e secans huius dupis arcus sumpti tangentem proposit,
205쪽
is. hului. I 6 Huius enim tangens, m secans component illius tangentem, i demonstratum est. l N V ENTIS autem hoc modo tantentibus arcuum semisse quadrantis maioris Aue ad arcum grad. 67. Min. 3o.inet me; s russo tangentem, oc secantem cut phorum arcuum,qtia minuta numero patia compleentur, quales sunt arcus grad. s. Μ n. 2.σ grad. 43.Mm. . . c. in nam summam colligamus , reper emus tange utes maiorum adhuc arcuum, nempe grad. 67. M n. II .m grad. 67. Min. 32. Ge. sque darcngra. 78.wn.que. inelusive. Nam huιus arcus grad. 3 I. MI 3. 4 . quo arcμβ grad.
78. ΗΠ s semissem qua arantis excedit , duplus est arcus grad. 67. min. IO. euatuI tangens vltimo loco iuuenta fuit. Item ex his tangent bus arcuum malorum ,
quam grad. 67. Min. 3o. Aue ad arcum grad. 78. min. s. inclusiue inuentis 3 sr UM tangentim, secantem cur I; illorum, qui mιncta numero paria compresbendat, in unam colligamus summa, rnuensemus tuentes maiorum adhuc arcuum,
ut modi sunt arcus grad. 78. Min. 4 6. . grad. 78. Mι n. 67.cre. Uque ad arcum grad. 8q. M n. 22 inclusive . Nam huius arcus grad. 39. Min. 22. quo arcus grad. 84. Mili. 22smisiam quadrantis superat,duplus est arcus grad. 78. Μ-.qq. qui maxiomus est eorum qui minuta numero parta babent, . quorum tangentes tam inuenta funt. Sic etiam ex his te uentis reperaemus tangentes maiorum adhuc arcuum, quam
grad. 8q. Min. 22. Aue ad arcum grad. D. Min. I. Quia huius arcusgrad 42. Alin. ii quo a reus grad 87 min. II. dimissium quadrontis excedit, duplus est arcus grad.
24. Miu. 22. cuius tangens γltimo loco ι inuenta . Ex his vero repertis constemmea gentes sequem Dum arcuum, sque ad arcum grad. 88. Mi13. .propterea quod hus η, arcus grad. I Min. 3 s. quo arcus grad. 88. Min. 3 . quadratu dimidic excedit is
p us est arcus gra. 87. Miu. ro. qui maximus es eo et si, qui minuta habent numero parra, . quorum ι angentes proxime inuent ae sunt. Per has quoque reperiemus altorum aris Mum tangentes, Uiue ad arcumgrad. 89. Μ m. I p. incin et cum huius arcus grad. qq. Min. I p. quo arcus grad. 89. min. I 7. dimidiatum quadrantem exeedit, duplus sit arcu grad. 88. Mι n. 3 q. utpote maximus eorum, qui minuta nismero par a cont/nent, in quorum ram tangentes sunt cognιta . Ben dicio deinde harum tangentium in uenatarum eliciemus tangentes aliorum arcu.m, A ead arcum grad. 89. din. 38. tu
cIone; eo quod huius arcus grad. qq. Min 8. quo arcus Ir i. 89. 31m. 38 semissem quadrantis supεrat, duplus est arcus grad.89. Miu. I 6.qui maximus est eorum, qui minuta numero habent paria, σ quem tangentes iam sat a sisnt notae; Hine aliorum arcua tuentes inquiremus, At ad arcu gra 8ς. Μ u. 9. quippe quis perri quadratu dimidii. areugrad. q. Min. 49 cuius duplus est arcusgrad. 89.M: n. 38. adque tro. xime peruenimus. Λt ex his inuestigabimus tangentes sequentium arcuum xsq; aa aroc mgrad. 89. Min sqqMippe qui quiaranti, medietate superet arcis grad. q. Min. s 4. cuius duplus est arcus grad. 89. diu. 48. qui maximus est eorum, fur minuta hasbent numero paria , m quorum tangentes iam sunt inuenta. Eadῆ ratione ex his in. ueniemus tangentes sequentium arcuum Vsq; ad arcum grad. 29. min. 7 Quia huaius arcus grad. q. Μ m. p. quo arcus grad. 89. Min s 7 . quadrantis dimidium superat, duplus est arcur grad. 89.Mm. q. Wd quem proxime peruentum fuit. Denique ex tangante, secante arcus gra/.89. Fim. 6. consciemus tangentem arcus grad. 89. Nin. 8. Et hine tangentem explorabimus arcus grad. 89. Nin. 9. Atet, ita, ut vides, ex tangentibus arcuum Uque ad grad. 4 s. m ex seeantibus omnium arcuum quasdrantis perficitur integra tabula tangentium.
o D si secantem tu sunq; arcur subducas ex ta Vente alterius arcus, qui ex priore illo ,σc se se compleminit ei dem componi ιur , reliquam facies tangen.
206쪽
tem εἰ lem prioris illius arcus, euiusserantem subduxisti. Itemsi tangentem euioribet arcus ex eiu em secante detrahas , remanebit tangens semissis complementi arcus eiu em . Primum constat ex scholio propos ly. vbι osensum est, secantem, σνangentem tm uis arcus ut aeqvcles esse tangenti a reus compo ιι ex illo , m ex sev isse complementi eius em. H ne enim sit,ut secans ex evo set a bae tangente ablata
reti liquot alteram illa tangentem. Secundum vero liquet ex propos hse i . bi deo monstrauimur,s ea n tem cutis suis arcus aequalem esse tangent/ muse n, ua c. tam- ,
I nte semissis complementi arcus eiuslem. Quare huius semifrs tangens reliqua fetpost subtramonem alterius illius tangentis ex seeunte. V g . s secantem arcus grώd. o. quae est Io 64i 777. detrabamus ex Iq28lq8o . tangente arem grad. mpositi ex arcu grad. ro . . sem se complementi eiusdem , reliπquetur tange es 36397os. arcus eiu em grad. to . item si 424 748 . tari utem arcus grad . 23. 4x o86Iso; secante eiusdem a reus subducam-s, remanebιt tangens 66 i 88s s. aror i grai 33. Miti. 3 o. hoc est,sem fra complement ι data arcus grad. 23. Rurs ssi iis roo . f eantem arcus grad. yo. ex iratos o 8. tangente arcus grad. fio. qui ex arcu graὰ 3 o. c semisse complementi et Iem compourtur', auferamus, reling eiur tangens s 773so . arcus grad. Io. Et si I 76 3268. tangentem a rem grad. Io. demamus ex Io Is 2sq. secante ei issem arcusgra. Io. remanetit tanges s *9O996.
urcus grad. o. quisem fis est complementi dicti arcus grad. io. I A M vero si per ea , quae propos i 8 . eiusq: scholio tradidimus, tangentes omonium arcuum quaIrantis ter sinania Minuta extensorum musteums ι reperiemus earum beneficio per solam additionem secantes omnium arcuum per bina minuta prosgre lentium , si nimirum ι angentem cuiusuis arcus minuta numero paria haben ιννaddamus ad tangentem senissis compi metiti arcus et Iem : propterea quod Sedansem uis arcus aequalis es tangenti et Iem , vi in eum tangente semisis complementi x huius.
eiusdem l constat autem omnium arcuum minuta numero paria habentium compleomenta semisses habere. Exempli causas desideretur secans arcus m n. 2.addemus eius tangentem s8I8.a2999 18a . tangentem arcus grad. qq. Nin. 9.qui semissis est eomplementi arcus dati Min. 2. Numerus enim compositus te modo2. erit secans arcita Nin. t. sic etiam si quaeratur feeans arcus grad. 89. Min. 8. addemus eius tangenti mari 38o 33689. ad 29z9 tangentem arcu. Μ in. I. qui semissis es complem ut 3 arcus dati grad. 89. Min. 8. Na numerus consatus l7I88οῖ ε 3 98.erit secans a rem grad. 89 Μι n. 18. Hae ratione conscietur dimidiata pars tabula Tangentiumrat Tangenates arcuum minuta numera imparia habentium,quoniam eorum complementa semisses non habent, nis ad Secunda venire velimus, inuestiganta erunt, t prolos. IS..i , scholio praecepimus.
R. VRSVS secantem sui is arcus inueniemus , si eius tangentem d/rnamin extangente arcus compositi exareu semisse complementi ei lem arcus. Nam csi, ut demonstrauimus .seca is cuiusuis arcus, a cum tangente eiusdem equalis sitan - Ωhoxi senti arcus composti ex dato arcu, er semisse eamplementi eiu imi icitur, ut tan h iv gens dati arcus ex tang nte arcus ex eo, e semisse complement ι compositi ablata reotin quat secantem eiusdem dati arcus. Vis cupiamus pecantem arcus Min. 2 .aus reo mur s8i8. tangentem ipsius'ex Io Os 82 . tangente arcus grad. s . Min. I. cepulti ex arcu Min. 2. υ ex areis grad. qq. Min. s 9. qui se sis est complements arcus dati Nin. et Rebmιs namque numerus iocoeto erit secans arcus dati Min.i. Ita quel: si velimus habere secantem arcus grad .6o.subiacemus I 732 Oso8. eius tangentem ex 3732os i qua Vente arcuJ grad. 7 .compesti ex dato arcu grad. . . ex arcu
207쪽
grad. s. qui semistis est eomplementi dati arcus grad. 6o. Raemanebit enim numerus 2 oooΟΟo6.pro secante dati a reus grad. 6o. ΠΩε HAEC, qua hoc scholio tradita a nobis sunt, vera sunt Isnus exquisite inven tu isse .e is erint sed quia non omnes sinus accurate sunt cognitν ,maxime sinos arcus grad. eurata . per I .er ali, ex hoc d pendentes, quales sunt sinus arcuum per singula minuta exιenso sinu inue rumi fit ut nes tangentes,nesseeantes inueta per hosce sinus sent admodis accuratAE..tati Qv resi ex inMentu qui fiam alia per solam additionem , subtra Iιonemve inqiaris subit actio ramur ut hoc scholio docuimus, non parum disserent ab eisdem, si per sinus inusiga
neue . ut in rentur. Nam tangentes e seantes per sinus inuenta ex uno solo principio non omo uigia Esti ex p te ero, empe ex sinu bu= gignuntur zat eadem per solam aditionem, subtra. monemve procreata oriuntur ex plurιbus falsis principdis,nim ιrum ex sinubus pomum,dern de vero etta ex tangentιbus, er secat1bus per sinus inuentis,qua accurata esse non possiat, i diximus. Magis exquisite ergo cognoscentur huiusmodi lineae pestsuM3. t propos. 18.eι Us scholio traditum est. Hac ratione er tabulam Tangent umer tabulam Seean ιι .m breu supputabιmus. Non paruos en m errores ιn altorum ta. buli. deprehendimus sis tuto ιssu fidere non posramus ;propterea quod multas tangen res, secates vel per partem proportionalem, velper solam additronem aut subtra- monem inuestigarunt, non autem omnes per sinus. Subiungemus tamen paulo 1 r salιorum tabulas , donec per tempus nouas construere licebis.
Tangente duorum arcud quotu. libet sui reciproce .p portionales ea tangen
TANGENS cuiusuis arcus est ad tangentem. alterius arcus cuiuslibet, Ut tangens complementi posterioris arcus ad tangetem complementi prioris.
IN quadrante ABC, a reus C D, tangens sit C E, & secans A E: Item ameus C F, tangens sit C G, & secans A G: Ducta autem recta B H, circulum tangente,& utrique secanti Α Ε, Α G, occurrente in I, H; erit BI, tangens complementi arcus CD;S B H, tangens complementi arcus CF . Dico ita esseC E , tangentem arcus C D, ad C G, tangentem arcus C F, ut est
ΒΗ, tangens complementi posterioris arcus C F, ad B I, tangentem complementi arcus prioris CD. Cum enim sinus totus sit medius proportionalis tam inter C E,tangente arcus CD, SBI, tangentem complementi arcus eiusdem
C D, quam inter C G, tangentem arcus C F. &B H , tangentem complementi arcus eiusdem C F;erit tam rectangulum sub C E, BI,quam rectangulum sub C G, B H , quadrato sinus totius aequalc:ac proinde rectangulum sub C E, B I, rectangulo sub C G, B H, sequale erit. Quare erit, ut C E, prima ad C G, secundam, ita B H, tertia ad BI,quartam; nempe ut C E, tan-- gens
208쪽
gens a reus CD,ad C G, tangentem arcus C F, ita B H , tangens eomplemenisti arcus posterioris C F , ad B I, tangentem complementi prioris arcus C D. Tangens igitur cuiuiuis arcus est ad tangentem alterius, &c. Quod ostenden
THEOR. 14. PROPOS. 22. SECANS cuiusuis arcus est ad Secantem alterius arcus cuiuslibet, ut sinus complementi posterioris arcus ad sinum complementi prioris.
IN quadrante A BC,sit AD, secans arcus CE,&AF,secans arcus CG:&E H, sinus complementi arcus C E, at GI ,sinus complementi arcus C G. Di coita esse secantem A D, arcus C E, ad AF, secantem arcus CG, ut est GI, sinus complementi posterioris arcus C G, ad E H, sinum complementi arcus prioris C E. Quoniam enim sinus totus est medius proportionalis ta inter secantem A D, arcus C E ,& E H,sinum complementi eiusdem arcus C E, quam inter A F, secantem arcus C G,& GI,sinum complementi eiusdem arcus C G ; erit tam rectangusum sub A D, E H , quam rectangulum sub A F , G I , quadrato sinus totius aequale:ac proinde rectangulum illud huic aequale.Quare erit ut A D, prima ad A F, secundam,ita G I, tertia ad E H, quartam 3 hoc est, ut A D, secans arcus C E, ad A F, secantem arcus C G, ita GI,sinus complementi arcus posterioris C G, ad E H, sinum complementi arcus prioris C E. Seeans igitur cuiuiuis arcus est ad secantem alterius arcus, &αQuod demon
THEOR. iue. PROPOS. 23. SI plures sint arcus aequali excessu progi edientes, habebunt tam tangentes, quam Secantes ma torum arcuum maiorem differentiam, quam mi is do norum: ita ut in tabula differentiae tam tangentiu , ' 'quam secantium semper crescant usque ad finem a quadrantis.
IN quadrante A B C, sint arcus C D, C B, C F, quorum differentiae D E, E F,aequales sint, & eorumdem tangentes sint C G, CH, CI; secantes autem
Me tes duora armum quot ut ibet ut recipro. o P porticinales eu si is nubus complemεio ta
209쪽
AG. Α H, A I. Et quia in trian*ulo A C PI,angulus C, rectus est ; erit AH
recto minor, eum ambo sint duobus rectis minores. Cum ergo duo anguli ad H, snt duobus rectis aequales, erit A H I, maior recto , ac proinde angulus I, in triangulo A H I, recto minor. Quare maior erit secans A I, secante A H. Ea de ratione maior erit quam A G: ItemA H, maior,qua A G. Abscindatur ergo. AK,ipsi A H,& A L, ipsi AG, aequalis. Dico 1 H, di fleretia tangentiu C I,C H,arcuu nisi ioru C F,C E, maiorem essu disterentia H G,ta genti iim C H, C G , minorum arcuum C E, C D : Item KI, disterentiam secantium AI, A H , arcuum maiorum C F,C E, maiorem esse disterentia L H, secantium A H , A G, minorum arcuum CE, C D. Cum enim arcus DE, E F, aequales sint, erunt & anguli D A E , E A F,aequales: ac proinde angulus I A G, sectus erit bifariam per rectam A bl . Igitur erit, ut I A, ad A G, ita I H, ad H G: Est autem AI, maior , quam A G, ut ostensum est. Recta ergo I H, maior quoque erit, quam H G. quod est primum.
9 VCTIS iam F M, E N, D O, ad A C , perpendicularibus, nempe si-
nubus rectis arcuum C F, C E, C D; erit A M, sinus complementi arcus C Fi& A Nainus complements arcus C E;& A O , sinus complementi arcus C D, ut in expositione definitionum dictum est. Quoniam vero recta M N, maior est,quam N O; maior erit proportio A N, ad N O, quam ad M N: Est autem adhuc maior proportio A O, ad N O, quam A N , ad eandem N O . Igitur multo maior erit proportio A O, ad N O, quam A N, ad M N. Et perconuersionem rationis, minor proportio A O, ad A N, quam A N, ad A M: hoc est, maior proportio A N, ad A M , quam A O , ad A N. Cum erilo sit, ut
A N, ad A M, ita A I, ad A H; Et ut A O, ad Λ N , ita A PI, ad A G: maior quoque erit proportio A I , ad A H , hoc est, ad A K , quam A H, ad AG, , , L Viuidendo ergo maior etiam proportio erit I K,ad A K, hoc
eli, ad A H, quam H L, ad A L: Et conuertendo minor erit proportio A H , i, L m/ios proportio erit A L, ad L H,quam AH,ad K LQua re cum maior adhuc sit proportio A H, ad L id, quam AL, b H : multo maior proportio erit A H, ad L H , quam eiusdem
A H, ad K ac propterea recta L H, minor erit, quam h I. quod est secundum. Ex quo fit,disserentias tam tangentium,quam secantium in tabula semper augeri ad finem usq; quadrantis: cuius quidem contrarium in sinu bus acacidit, ut supra demonstratum est. Quamobrem si plures sint arcus aeuuali excessu porgredientes, &c. Quod demonstrandum erat.
s E et V IT V R. hine, si quotlibet a reuum tangemes aequaliter sese extetan . est ea tum ma qualiter sese excedere , exeessusqi maiorum arcuum esse em serantium segmenta extra quadrantem esse inaequalis .m norante Lilla , quae principio quadrantis sunt propinquiora . Quoniam enim 'positis at cubo. o p
210쪽
Um E F. tqiadeo abscindere Meum minorem ateu D E.nempe pariem arem 1 F.galem O
R v R s v s quia demonstratum est, serantem A C. minorem esse . quam ΑΡ ὲ M. Oablatis semidiameit qualibus A D. R E. sesmentum D G . reliquum minua ui segmen in ieliquo fi H, dic .
THEOR. 16. PROPOS. 24. TANGENS arcus maioris ad tangentem
minoris arcus maiore proportionem habet, qualecans maioris eiusdem arcus ad lecantem eiulde minoris.
REPET AT UR figura pNeedentis propos.
Dico maiorem esse proportionem tagentisia is notii.
ad tangentem C H,quam secantis A I , ad secantem A H. Qgoniam enim est . ut A F, ad F M, 4. sexti. ita AI , ad I C: Item , t Α Ε, ad EN , ita A H, ad H C. Est autem minor proportio semidia- quinti. metri A F, ad F M, quim semidiametri A E ad, E N ; quod sinus F M, maioris arcus CF, maior sit sinu EN, minoris at eus CE, ut in expositione definitionum dictum est. igitur minor quoq; orti proportio A I, ad lC, quam AH, ad H C r Et permutando, minor etiam propor sthol. v. s. tio AI, ad AH,quim l C, ad H C; hoc est,tangens C l, ad tangentem C H, habebit maiorem proportionem, quam secans A I, ad secantem A H. Quocirca Tangens arcus maioris ad tangentem minoris arcus , Sc. Quod demonistrandum erat.