장음표시 사용
301쪽
303쪽
IN V m , linearum tangentium , oesecantium Uin potissimum in doctrina triam
Omnes enim vironomi in motibus calestibus vel inuestigandis, vel explicam dis explorant in triangulis beneficio sinuum, li
nearum tangentium, cα secantium tum latera ex angulis noti tum etiam angulos ex lateribus
cognitis. Id quod ex Epitoma Dan. Regiom. in magestum ,siue magnam coFructionem Pto
lomai,ex opere Copernici de reuolutionibus c.--
si W, s ex aliorum Astronomo scriptis persime constare potent. Uuam ob rem cum iam tractatione nuum, linearumi tangentium, ac secantium abseluerimus, ordo postulat, ut sietiam hanc triangulorum agoanne Regiom.
linearia tangentium,ae erant umin acictrina triangulis rum poris. smum mu
304쪽
quius libris di se explicatam a Gebro Ins
s alensi Arabe recnon a Nicolao Copernico breuiter quidem sed paulo obscurius tra ditam, o
viriti etiam exponamus, cum incredibitis sit eorum militas cum in rebus omnibus Mathematicis, tum praesertim in calefitibus motibus, sin ijs rebus,qua ex illis pendent ecte inte gendis, vel inuestiadis,ut dictum est, spartim etiam τ' non obscure ex nostra Gnomonica codligi potest,mbi permulta ad horologia pertinentia ex triam gulis a nobis sisnt demonstrata. Exordiemur autem a triangulis rectilineis,tanquam facilio ribus, de quibus ea solum demonstrabimus, qua ad res Apronomicas, ου Geometricaz rectepe
ripiendas necessaria esse iudicamuου : Id quod etiam in stharicis triangulis obseruauimus. Lui plura desiderat, legat Menelaum, s Mauro 0cum de L haricis triari usis, de rectilineis v
ro Ioannem Regiomontanum. me omnia amtem explicandum erit, penes quid angulorum rectilineorum quantitas sumendasit.
PENES QUID ANGvLI rectilinei magnitudo sumaturi
305쪽
quod etiam de rangente, secante intemgatur: quandoquidem artus, angul- Iali in centro insistens eundem habent partι- nismer.m, licet diuersi generu, eum partes are-snt arc- , parses vero amniι set angui : quamuM . partes aranti dres Urant arem , ita ut anguim dieatur habere istara , 3n are. , em ι 6 t, comprehendunt-r . A I Qv A N D O C v N QI E ergo arcin anguiam rectilineum metram est quadras, id est quarta pars isti- eircunferentia, angulias ei ιnsistens in eentro reave er is nempe 'Marta pars quatuor rectorum , quibus spatium , quod cινι uvae centrumcirenti aquatiter omnes partes ei conferentra resererem, aequale es . quando autem arcus idem est quadrante mιnor,angul- quoqa minor er ι recto,nempe acutus: ' .ando domarem est maior quadrante, angulus et ram recto maior errt,n m νμm obtu. . Et contra,quanda angulus est rectis, erit arcus illum metiens quadrans:qua nodo acutu/,quadrante minor e quando deniq; obtusin,maior quadrante. Qua omnι-- lemmate sequentν erisui perspicua .
Angulus raectilineus est tot partad .
duo et aracus erieuli. eui in eeri.
tro insistita Cotoll. 2. I. Plimi
R EC T AE lineae angulum rectum comprehendentes abscindu t Quomodo quadrantem ex circulo, qui ex ipso angulo, Ut centro, ad quodcunq3 . h. iinteruallum describitur: lineae vero rectae angulum acutum conti' uno ad a.
nentes auferunt arcum quadrante minorem: lineae deniq; rςςtς con id is ιν ii, stituentes angulum obtutum intercipiunt in eodem circulo arcum maiorem quadrante. Et contra, rect e lineae ex centro circuli egre' es utilia dientes, quadrantemq; intercipientes constituunt angulum rectum: lineae vero arcum quadrante minorem abscindentes angulum acu tum continente rectae deniq; lineae auferentes arcum maiorem qu drante obtusum angulum comprehendunt. a
I E C TAE linea A Rc B, angulum rectum contineant A BC, ct ex B, circulus describatur AC D E. Dico
arcum A C, quadrantem esse, c. Quoniam enim est,ut angulus A B C,in cintro ad qua tuor rectos, ita arcus A C,ad totam circ-Drentium est autem angulus A B C,cum re ctus si, quarta pars quatuor rectorum: erit quoq; arcus A C, totius circunferentia quari a pars, id est, quadrans. Quoniam vero re m linea constituem cum recta A B, in puncto B, angulum acvrvm cadit in arcum A Grecta vero linea cum eadem A B, constituens angulum obtusum in pom
B. cadit in arcum c Diliquido constat, rectra lineata angulum acutum in
306쪽
centro P, estnθItuentes intercipere arcum quadrante A c, Gnorem, linneas vero rectas contingtes angulum obtusum abscindere arcum quadrante M C, maiorem. SED auferant iam recta B M , B c , ex centro B, egredientes qua drantem A C. Dico angulum A B c, esse rectum. c. Quoniam enim est, vi arcuso C, ad totam circunferentiam, ita angulus A BC, in cen tro ad qutuor rectos; est autem arcus A c, quadrans, id est,quarta pars circunferentia totius: erit quoq; angulus ABC, quarta pars quatuor rectorum. atq; adeo rectus. Quia vero recta ex centro B, e 1se, atq e cum qmrdrante A C, minorem auferentes angulum constituunt m rem a vlo recto ABC, auferentes νero arcum quadrante A C, mi rem constituunt angulum recto angulo ABC, maiorem; perspicuum est, rectas lineas arcum quadrante M C, minorem intercipientes constituere in centro B,angulum acutum, lineas vero recto arcum quadrante A C,
maiorem includentes continere in centro B, angulum obtusum. Quod ea propositum. LITER. continiant rursum recta AB, CB, angulum rectum BC, et ex B, circulus describatur AC DE. Dico arcum A C, esse quadrantem, in Productis enim rectis A B, C B, ad D, E, erunt anguli A BE, C B D, cum sint amgulo B c, deinceps, recti, ex definitiones necno angulus D B E,qu)d angulo ABC, sit ad verticem aequalis, rectu . Quare cum omnes quatuor anguli ad B, centrum sint recti, id est, aequales, aequales quoq; eruut qua tuor arcus AC, C D, D E, EA; atq; adcoquilibet eorum quadrans erit. Reliqua demonstrabuntur, Ni pri . V E R U M recta B A, B C, ex centro B, emissa auferant iam quadrantem A c. Dico angulum ABC, rectum esse, c. Pro tactis enim rectis AE B, c B, ad D, E, ctim angulus D B E, angulo A BC, ad vertiae sit aequalis erit o arcus D E, arcui A C, aquatis,'proinde quadrans . Semicirculum ergo eonficiunt duo quadrantes AC, D E; atquei adeo reliqui duo urcus A E, D c, alterum semicirculum constituent. Cum ergo duo arcus iar E, D C, aquales sint, quod angati A B E, C B D, adverticem pira aequales; erit νterq; eorum quadrans : ac propterea qua tuor arcua Ac , C D, D E, E A, cum sint quadrantes, AEquales erunt . Quatu F ergo a uti ad centrum B,aequales quoq; erunt; atq; adeo eorum
307쪽
ria in se Arculo E, reliquus arcus A E, quam in semicirculo
C D , reliquM arcus C D, quadrans r Eodemi modo in femicirculo M E D. vel C D F, reliquus arcus D F, quadrans erit; θ' proinde qua μtuor anguli ad B, quatuor quadrantibus aqualibus insisten es erunt aequa lo,strecti. Reliqua, ut prius, ostendentur.
guli rnei sunt s. nubus an puto in opapostolum proportionalia a
I N omni triangulo rectilineo latera Quae uis Latera iris
cuo candem proportionem habent, quam linus angulorum illis opposito ruri .
SIT primum triangulum rectangulum ABC, euius angulus rectus B . D eo esse A B, ad A C , ut est sinus anguli C,.ad sinum anguli L . Itcs A B, a s B C , ut est sinus anguli C , ad sinum angua Π li A, dcc. Quoniam enim, ut in definitionibus sinuum ostendimus , si A C, ponatur sinus totus , latus A B, est sinus anguli C; & B C sinus anguli A r liquido constat,ita esse latus A B ad latus A C,ut est A B, inusanstuli c. ad A C, sinum totum anguli tecti Br Vel ita esse latus A C, ad latus A B, ut est A C, sinus totus reo πω anguli B, ad A B, sinum anguli C I eum ipsa latera sint sinus angulorum oppositorum , ac proinde viro biq; sit identitatis proportio. Eadem ratione erit, ut latu Α C ad latus B C, ita A C, sinus totus a nauli recti B,ad B C. sinum anguli A r Vel ut latus B C, ad latus A C, ita B C, sinus anguli Α, ad A C, sinum totum recti anguli B. Item ut latus A B, ad la tus B c, ita A B, sinus anguli C , ad B C , sinum anguli A r vel ut latus B C, ad latus A B, ita B C, sinus anguli Α, ad A B, sis
SIT, deinde triangulum AB C. non rectangulum . Dico rursus esse latus A B, ad latus: Λ C, ut est sinus anguli C, ad sinum anguli B, Scitui emin latera assumpta, A B , A C , aequalia sunt, aut inaequalia . Si aequa. a .erun quoq; angu i C, B, aequales ; asi proinde, ut in definitionibus si- e. primi. nuum docuimus , eorum sinus equales . Quare erit, ut latus A B, ad latus A inii a sinus amuli C, ad linum anguli B: Vel ut latus A C, ad latus A B,ita unus anguli B, ad unum aoguli C.; cum semper sit proportio aequalitatis . Si
308쪽
vero latera AB, A C, sunt inaequalia, sit AC, maius,ex quo a b in datur M. cta C E, minori lateri A B, aequalis,& ex A, B, ad tertium latus B C, perpendiculares demittantur A D, EF,quarum utraq; cadet intra triangulum,quando annulus B,maiori lateri AC, oppositus acutus est. Erit enim& tunc angulus quoque C, acutus , cum minor st, quam B . Quare perpendicularis A D, intra triangulum cadet, ac proinde N perpendicularis E p. Quando vero angulus B, obtusus est, cadet quidem A D. semper extra triangulum, at E F,cadere potest vel extra etiam, vel in punctum B, vel intra triangulum. Quomodocunq; autem cadant dictae perpendiculares,semper ea.dem erit demonstratio. Nam cum A D, EF, sine
parallelae , erunt triangula C E F, C A D, similia. Quamobrem erit, ut C E, ad E F, ita C A, ad A D. Cum ergo ex ijs, quae in definitionibus sinuum tradidimus, posito sinu toto C E, recta EI , sit sinus anguli C; posito item sinu toto A B, recta A D, sit sinus anguli A BD , sintq; sinus toti C E, A B, respectu quorum illi sunt sinus, aequales 3 liquet esse, ut C'E, hoc est, latus A B, ad T. F, sinum anguli C, ita latus C A, ad A D, sinum anguli A B D: Et permutando, ut latus A B, ad latus AC, ita E F, sinum anguli C, ad A D, sinum anguli A B D, hoc est, in posteriori triangulo, ad
sinum a neuti A BC, cum duo anguli ad B, aequales sint duobus rectis,& proinde eundem sinum habeant, ut in definitionibus sinuum docuimus. Ex quo eonstat,ita esse minus latus A B, ad maius A C, ut est E F, sinus anguli C,minori lateri oppositi ad A D, sinum anguli ABC, maiori lateri orpositi: Et conuertendo, ita esse maius latus A C, ad minus A B, ut est A D, linus anguli A BC, maiori lateri oppositi ad EF, sinum anguli C, minori lateri oppositi. Non aliter ostendemus esse, ut latus A B , ad latus B C, ita sinum anguli C, ad sinum anguli A : Uel vi latus BC, ad latus A B,ita sinum anguli Α, ad sinum anguli C.&c. dummodo ex puncto, ubi conueniunt latera assiimpta inaequalia , si forte aequalia non sunt ducas ad latus oppositum lineam perpendicularem , & minori lateri ex maiore rectam aequalem abscindas , initiosacto ab altero puncto extremo maioris lateris,ubi cum tertio latere coniungitur , ut a nobis factum est, Sc. Α LI T E R. . sa rursus triangulum non rectangulum A B C t de rectangulo enim ita principio huius demonstrationis iam est deis monstratum. Dico csse,ut latus A B, ad latus AC, ita sinum anguli C, ad sinum anguli B: Vel vi latus A C, ad latus A B,ita sinum anguli B, ad sinum anguli C,&c. Ducta enim ex
A,ubi duo late. ra assumpta coeunt , ad tertiulatus BC, per i pediculari AD
quae vel ii tra triangulum cad , vvl ς ra, Prout anguli P, & C, acuti sue-
309쪽
rint, vel alter eorsi obtusu terit in triangulo rectangulo A B D,ut latus A B, d latus A D, ita sinus anguli recti D, ad sinum anguli B, ut supra est d monos tum : item in triangulo tectangulo A D C,ut satus A D. ad l tu, A C, tas nus anguli C , ad sinum anguli recta D . Ex aequalitate ergo . N percurbata proportione erit,ut latus A n. ad latus A C, ita sinus anguit C. Habet enim duo anguli ad C, in obtusangulo triangulo eundem sinum , vi in tractatione si uiam Ostcndimus. ad sinum anguli B. ut in formula supra potita apparet: Et iconuertendo quoq; , ut latus A C, ad latus A B, ita sinus anguli B,ad linum anguli C. Eodem modo concludemus esse. vi latus AB, ad la tus BC, ita ii num anguli C, ad sinum anguli B A C : Vel vi latus B C, ad latus A B, ita ii num anguli B A C, ad linum anguli C,Sec. Quocirca in o inni triangulo rectilineo latera quae uis duo eandem proportionem habent, quam sinus angulorum illis oppositorum . Quod ei at dcmon strandum .
st proportio lateris A B . ad latus A C . qua sinus anguli C , ad suum anguli B isne autem sinuis angulor si
ad q3837. in A C, ad n C, ut 8 29os. ad 43 837. I -υ E νt facile pro ortio ies laterum babeantur, atta est,si L - Praxit. lcri bus sinus angulorum oppositorum ascribantur: propterea cliad late' ra ean m proportioni m babent, quam oppositorum angulorum sua , νοῦ demonstratum ess .
QV O D si L. tantum anguli eaniti sint , erit reliquus tertius quoq; notus.
Quare, ut praus, Latera proportiones cognoscentur .
310쪽
eoroll. 3. tin ei reuius, euIus eentrum D,quod eadet vel intra triangulum, ei in unum latus, veI extra triangulum, prout tyrangulum fuerit vela tangulum, vel rectangulis, aut obtusangui .m. Ductis deinde ex centro Dind omnes angulos rectis D A,D B, D C.
in rectangulo triangulo satu est,si ducatur D A, quod D B, DC, partes sint latearis B C. seeentur Fingula I atera, . arcus, quos Dbtendunt, bifariam in punctis F,
Π,K, WE,G,l .lνι rectangulo tamen triangulo a reus B C,cui rectus angulus insistit, non est diuidendos bifar a: In obtus angulo autem secadus est Loriam arcus B AC, in euo existi oblusur anulus, nos autem arcus B C, cui Fnsistit. Erunt autεm me.
Aetates laterum sinus recti medietatum areuum , ex desin. sinus rem. Daert quo. viam tam angulus A D B, anguIι Α C B, quam angulus Α D C, anguti A B C, er im ij. triangulo acutangula etiam angulus B D C, anguli B A C, duplus es : ponuntur
autem anguli triangulorum nom erunt quoqν eorum dupli in eentro cogniti. Quare er eorsi arcus Α B, A C,necnon π arcus B C,in primo circulo noti erunt1ae proin
de in semisses eorundem. Igitur,ex tabula sinuum,dabuntursinus baram semissium Me est .semiges Iatarum Α Β, Α C, o in triangulo acutangulos missis quoq3 Iateria B C; proptereas er tota latera A B, A C, una cum latere B C, in ινιangulo acua tangulo .eognitasent in partibur nus totius A D. In triangulo porro rectavulsiatus B C νιcto angulo oppositum duplum estμμι totius,ac proinde notum in ei Dempartibus sinus totius A D : In triangulo vero obtusangulo latus B C, angulo obtusa oppositum ita dabitur . Quoniam arcus AB, AC, dati sunt, datus erram erit totus arcus a A C , ex ipsis eo Iatus. Igitur er mur semissis B E, 'proinde cir huius femissis sinus rectus B F, dabitur; propterea si Cr totum latus B C . Cognita erga erunt hae ratione omnia latera in partibus semidiametra circuli triangulo circuna scripti er proinde eorum proportiones nota.
ITA autem sine longa circuitione latera eunosces in partibus ditiae semidiametri. Sinus rectus cuiusuis anguli acuti duplicetur, ct habebitur latus tyi anguis oppositum in partibus dicta semidiametri. quod facile ex domonstratis intelligi potest. Nam quilibet angulus acutus con rinet tot gradus,quot sunt in semisse arcus,cui insistit; Vt angulus ACB. continet tot gradus, quot siunt in arcu A G, semisse arcus B, cui iusistit, propterea quod angulus ADB, chi totus arcus A D, debetur, d . .. x xii, plus est anguli A C B. Quare cum A H, Iemissis lateris A B, fit sinus arcuu A G, eris eadem A N, Duo auuli Ac B: ais, adeo sinus an-