장음표시 사용
311쪽
guli Ac B, duplicatus dabit latus A B, in partibus Ulametri D.
c. Latus autem recto angulo oppositum perpetuo est diameter circuli circumscripti triangulo. quare si semidiameter, sinusve totus duplicetur, gnitum siet ipsum latus. Latus deniq: obtus angulo oppositum habe bitur di Nerq; angulorum acutorum duplicetur, O duplicatorum semisss accipiatur. Na sinus huius semiIsis duplicatus illico latus ostendet notum. Anguli namq; AD B, AD C, dupli sunt acutorum angulorum ACB, AB C: quibus quidem duplis angulis totus arcus B AC, d betur , oec.
I M M o vero si non dentur anguli , sed eorum tantum proportiones , e nascea momo lamus nihιlominus proportiones laterum , si prans ex angulorum proportion/bus datis eorundem magniιωLnes ιnisestigemu1 . Me modo . In primo tria guto priori fora omnia .ri. huiusscholMponatur proportio angulι C, ad angulum B, eadem, qua II. - Ο. er gulota in angula B,aa amisium Α, qua Io. ad 18. qua duae proportiones nota satis sunt, e- εuii cognatiamsi proportio aranti Α, ad amulum C. νgnota sit. Inuentis autem mammu nu. meris c. quν eandem proportιoonem habeant,quam anguis C, B, hoc est , quam numera II. IO. Fhι man amι non sint 3 Item m/mmu s. 7. eanaedem proportionem babentιbus, quam angulι Β, Α, e numeri 2 O. 28. Ramemus tres hosce nismeros detnceps mιnimos 6. 7. 1n proportionibus numerorum m nΦmorum 6. s. Cr s P qui si non essent deinceps min m , ln- su/rendi ebent tres minimι, per ea , qua ab Gelide demo rata sunt Iib. e. Erit finiui. ergo angulus C, t 6. B, t DCr A, vi 7. quos ingradιbus per regulam Societatum sta notos efferem- . Corialis numeris ε. 7. εn nam summam I 8. dιeeminpauream regulam. S I8.dant grad. ID. tot enimIrassibus omnes tres anguli
312쪽
x s. eontinuabimul eas,ponendo 2,ad C, H Io. A IE. γ C, ad A,ut 24.as it. μ.sED demus aliud exemplum ris tertio triangulo eiustem figurae , in quo sit pro portio anguli B, ad angulum C, γt 62. ad I s. er proportio anguli B, ad angulis A, vi 248 ad 2. Quo utam angulus B, bis fuit antecedens , hoe est , proportιones data non sunt contιnuata, eas eontinuabimus duruendo proportionem Α,ad B. t s 2. ad 24s. cr B , ad C, ut 62. ad I s. In neu tu autem minimu numeris I I. 62. eandem proporιι ouem babentibus, qua in anguli Α, Β, siue numeri s 2. 248. erunt dise data proport/σnes eo utinuata 3n his tribus numer3s minimis I 3. 62. I s. ut constat . Colotictis ergo ipsis ιn unam summam 9o. nueniemus per regulam Soctetatum anautis is gradibus, γt hic apparet. o ο
PORRO in triangulo rectangulo satu est si duoris angulorum proportio detur. Sit enim iii sicundo triangulo eiusγem figurae proportio angulι Α, ad angulum B ,re. Ium, ut 8. ad l8. Quoniam ergo re Ius angulus B, est grad.9O. -υememus per re gulam auream angulum Α, esse grad. qa. ut lac Mara. Inuentis Iae ratione angulis, reperientur laterum proportiones, ut primis
lorum aequalium . Nam si in triantulo Isosele ABC, cu tus d3ιol.ιt era A B, A C, aeq.alia sunt, cognita sit prostor tio a nauti B, ad avgulum A, nempe eadem, qMAE ID. ad 16. erit quos proportio anguli C, ad angulism Α, ut Io. ad 16. Quare duae proportiones nota erunt, quas continuabimu ,s dicamur proportionem Α, ad B, esse, ut 16 ad Io. s, ad C, γt Io. ad Io. Ex quιbus inuenietur angulus A, grad. 8Ο. terqς B, C, grad. o. per ea, qua iam de Ura
P a aequi latero triangulo non s. p. od quicquam praecipiamus, cum in eo late ra taleant aquati taι. Proportioncm . . . i.
313쪽
In trians lo rectan Ilo ex uno latere dato, una est an. gulo aeutoteliqua in uestisatur.
se recto an gulo Oppo situ datur, eum aeutoauulo.
DATO uno latere , cum Vno angulo acuto trianguli rech uti, vel cum proportione duorum angulorum quorumcunq; ; reliqua duo latera cognoscere, & quorumlibet duorum laterum pro
sIΤ triangulum A BC, cuius angulus B, rectus, sitq; primo latus A C,
recto angulo opposit si datum Is . palmorum,una cum angulo acuto C, grad. Q. Min. 37. ac proinde & cum angulo acuto A, grad. 67. Min. 2 I. Oportet ex his indagare reliqua latera. Quoniam, per ea , quae in des n. Sinuum tradidimus,posito sinu toto AC,latera A B, BC,sunt sinus oppositorum angulo rum. sun t autem anguli dati;noti erunt sinus dictorum angulorum I A B, quidem 3 36. at BC, 9 23 Io.Per regulam ergo auream dicemus. Si AC, partium Iomm. nempe quatenus sinus totus,
dat II. palmos, quid dabit A B, sinus partium 38 36. &quid sinus BC, partium 923 Iol ut hie vides. Inveniemusque latus A v, palin. s. BC. palm. II. serE.
. ITA QNT Eiquando latus recto angulo oppositum datur cum anguis iso acuto, ae proinde cum altero etiam acuto: Si fiat, ut sinus totus ad latus datum recto angulo oppositum , ita sinus virtusque anguli acuti seorsum ad aliud, reperientur latera eisdem angi dis opposita in partibus mensurae,secundum quam datum est latus angulo recto oppositum.
DEINDE datum sit unum ex lateribus circa angulum rectum', ut B C, o usi Ialmorum 12.cum angulo C, grad. zz. Min. 37. & proinde cum angulo etiam iti . num, prad.67. Min. 23. Oportet ex his reliqua latera inuestigare. Quoniam per esera angaea quae in lineis tangentibus,atque secantibus ad initium ostendimus, posito lum usinu toto B C,latus A B, est tangens anguli C, S latus AC, eiusdem lecans,' ' dabitur tanges A B,partium 4166o. ix secans AC,partium Iosa si .Quare per cuia '' res A C.
314쪽
IT AQU E cum datur unum latus circa angulum rectum n ν an do acuto,ac proinde cum altero etiam acutor Si fat, vi sinus totus ad datum latus circa angulum rectum ta tam tangens lateri adiacentis, quam secans eiusdem anguli, ad aliud, prodibit tam latus , quod fuit tangens, quam latus, quod fuit Rcans, mensura,secundum quam latus circa angulum rectum fuit datum.
Auiet per PER solos autem sinus um datur unum latus circa solos sinus. uno acuto angulo,& proinde etiata cum lxς O'ςWx' - .. his quiremus.Sit rursus datum latus B C, palm. in .3c angulus ac proinde angulus A, grad. 67. Min. 2 3.Quoniam igitur, v n defin. sinuum
diximus,posits sinu toto A C, latus AB, eli sinus anguli C,& B C, sinus an- tuis A' sunt autem anguli dati; noli erunt dicti sinus, v t A B, 38 36. & B C, Iio Per auream ig tur regulam dicemus.Si B C , sinus partium Palm. iv. quid dabit sinus AB , partium 38 s 6.& quid sinus totus Atium Io oo'&c. ut hic apparet. Inuenietur enim latus AB, palm. A C, palm. II. BCa
OV AND O ergo unum latus datur circa angulum reas, ct uniuacutus anetulus,ac proinde oe alter acutus et Si fiat, vi sinus anguli acuti dato lateri circa angulum rectum oppositi ad latus datum, ita tam sinus alterius anguli acuti, quam sinus totus od aliud,prodibit tam latus est rum circa angulum rectum, quam latus recto angulo oppositum, notum in partibus mensurae,secundum quam latus circa angulum rectum fuit catu. Sed expeditior is via per lineas togentes, tus in raula aurea primum locu obtincat, proinde duoso sat facilio rio tando la. QVOD si detur unum latus,vna cum proportione duorum angulorum,n Ia- ita CGoblema absoluemus. Ex proportione angulorum reperiemus acutorum ' Q a noulorum mamitudines,ut in scholio propos. I.ostendimus. Quam ob rem ' minueniemus ex angulis notis reliqua latera ut prius.
I INVENTIS autem lateribus,manifestum est,proportionem quorum libet duorum dari in numeris, in quibus inuenta sunt. Erit enim Proportu,
315쪽
t. tris si numeri,d cta latera inuenta sunt. Dat ergo unoda
tere,cum uno angulo acuto trianguli rectanguli, &c. Quod iaciendum erat.
PROBL. Σ. PROPOS. 3; DATIS duobus lateribus trianguli restinguli, duos angulos acutos essicere notos, Vna cum tibis, tibiis. tertio laterc. Item data proportione duorum late νiopis , oh.
rum.& insuper uno latere dato quocunque, duos uiis. angulos acutos, una cum reliquis duobus lateribus cognoscer .
IN triantulo ABC, euius angulus B, rectus, sit primum l/tus A C, resto .... . .
amulo oppositum, re insuper latus A B, circa angulum rectum datum,nem tu. .nsuione AC Oal m. tr.& R B, palm. s. Oportet ex his S angulos A, C,S latus ter- recto opposi
sum BC, explorare. Quoniam Asito sinu toto A Elatus A B,est sinus an- no
II. I Coo . Unt 3846ι. Ex tabula ergo sinuum dabitur anagulus C, grad. 12. Min. 7. ac pro inde reliquus angulus A, grad. or. Nin. 23. Igitur & huius anguli A,
ergo rursum. Si sinus totus A C,partum iee o dat AC, palm. I 3. Vel si sinus Α B, inuentus partium 3846 r. dat Α Β palm. s.quid dabit sinus B C, partium 9 II rcueperiemusque B CH se palm. ai.sermE,ut hic apparet. AC. AC.
cVM ergo datur latus angulo recto oppositum, cum Nnora eundem κlum rectum; Si fiat, ut datum latus recto angulo psitum ad sinum totum alterum latus datum adti angusi i lateri dato circa rectum angulumbo scio burus sinus inuenisi viros angulo acuto ι uerum far, ut sinus
316쪽
rotus at latus recto angulo oppositum; vel ut sinus anguli acuti dato lateri circa rectum angulum o positi ad datum latus circa angulum rectum, ita sino alterius a di acuti ad alιu eo noscetur tertium laι ustu sta libui me assume, ee m Iu n cl ιam duo latera sueti data .
A LlTER. Sit rut 1 A C, palin. t 3. & A B, palm. s. Quia igitur,ut ad initium linearum tangentium,ae secantium ostendimus poli to A B, si mi toto latus A C, lecans est anguli A & B C, tagens eiusdem dicemus. Si A B, palm. s. dat A B, sinum totum partium iocio Oo quid dabit AC, palm. I 3l inueniemusq; secantem A C, partium 26 oo. ut hic patet. AB. AB. AC. AC. . Iooco . I 3l sit 16ocio Ex tabula ergo secantium erit angulus A, grad 67. Min. 13. & proinde reli quus angulus C, grad. 22. Min. 37. Igitur & tangens anduli Α, nempe B C, dabitur partium 2AOos 8.ex tangentium tabula. Quare rursum dicemus. Si sinu τtotus A B. partium iociooo. Sat A B, palm. s. Vel si secans A C, inuenta parotium 26 oo. dat A C, palin. i 3. quid dabit tangens B C, partium 2 qco 3b inueniemusque iterum B C, esse serme palm. I x. ut hic constat. AB A B.
IGITUR quando latus retio angulo oppositum datur, em Nno latere circa angulum rectum; Si fiat, ut datum latus circa angulum rectum ad sinum totum, ita datum latus angulo recto πρositum ad aliud, prodibit siccans angulι acuti sub datis lateribus comprehensi. I mento ergo, benificio huius Iecantis repertae, utroque angulo acuto, tangente acuti anguli sub datis lateribus comprehensi, x targentisi tabula; bi Iterum fiat, H sinus totus ad datum latus circa angulum rια=n; vel ut secans acuti angulis, b datis lateribus compr hens ad latus datum recto angulo op ositum, ita tangens acuti anguli sub lateribus datu tomprobense ad aliud, ns m siet tertium latus in partibus mensura, secundis m quam sunt data duo latera. Verum satius est per solos sinus operari, cum tangentcs lineae. atque Iecantes nihil l ompendu afferant, sintqMe per sinus inu ntae.
ADHUC aliter. Ponatur rursum A C. palm. II.& A B, palm. . Ou nia ergo quadratum rectae A C, duobus qua diatis rectatum A B, BC, aequalee',3 auferatur quadratum lateris A B, quod est 1s. x quadrato lateris A C. ouod est i Uelinquetur quadratu lateras BC, nempe sqq. cuius radix qua drata i2.dabri latus BC, palm .ir. Et quia, posito AC, sinu toto, latera A B, D ,suntriinus angutarum oppositorum x indis n. sinu uu explicauimus: Mi at, ut latus A C , angulo recto oppositum p a linorum is . ad A C , sinum re tum partium loc ocio. ita alterutrum laterum circa angulum rectunt,nerni en V, palm. I 2. ad aliud, prodibit sinus anguli acuti A, sumpto lateri oppoliti partium 923o8. Exsinuum ergo tabula dabitur angulus A, grad. 67. Mira. 2I.
317쪽
atque adeo reliquus C, grad. 22. Min. 37. Hoc modo primo loco Inuenitur tertium latus,deinde vero anguli: cu alijs vij sinuenti sint prius anguli, quam tertium latus. SINT. iam duo latera A B, BC, circa rectum angulum data,vi A B, palm. v& B C, palin. I 2. Oportet ex his tertium latus AC, & acutos angulos in. uenire. Quoniam, ex demonstiatis in principio linearum tangentium , secanatiumque, posito A B, sinu toto,iatus B C, tangens eli anguli A,& latus AC, eiusdem lecans; dicemus. Si R B, palm. s. dat AB, sinum totum partium Icoo . quid dabit BC, palm. It treperiemusque tangentem BC, partium 2qco . ut hic mani sestum est. AB. AB. BC. BC. s. IOOOCO. I 2l fit. 2qomo. Ex tabula ergo tangentium dabitur angulus A, grad. 67. Min. 23. ac proinde reliquus angulus C, grad. 22. Min. 37. Igitur &AC, secans anguli A, dabitur ex tabula te cantium, partium 26 Is. Rursus ergo dicemus. Si A B, sinus totus partium ioco . dat A B, palin. s. Vel,sit an agens B C , inuenta partium 1 oocio. dat B C, palin. I r. quid dabit A C,secans partium 26cos s linueniemusque A C, palm. I S. scic ut hic vides. Quanda
duo inieraeirea angulum recta data sunt.
I TA QS E si dentur duo latera circa angulum reorsim : Si fiat, H Praxit. alterutram datorum ti eram ad sinum totum , ita alterum latus datum ad aliud, proveniet tanges acuti anguli huic alteri dato lateri oppositi. Imuento ergo, brescio huius tangentis inurnis, utroq; angulo acuto,iis tabula tari mim ; ex tabula se tiam, secante anuli acuti, qui alteri huic dato lat rι opponitur: Si rursum fiat, ut simus totus ad primam latus datum; vel ut tangens inuema adfechndum latus datum, ita secans accepta ex tabula secantium ad alιud, notum siet latus tertium recto angulo oppositum in Ulim partibura, in quibus duo latera circa angulum rectum data sunt.
ALITER . Sit rursum A B, palm. s. Se BC, palm. I 2. Et quoniam quadrata laterum A B, B C, simul aequalia sunt quadrato lateris A C ; erit quadratum lateris A C, palm. 369. cuius radix quadrata dabit latus A C , palm. IS. Quia vero, ut in defin .snuum traditum est, posito A C, sinu toto, latera Ay, B C, sunt sinus oppos torum angui orum: Si fiat, ut latus A C, quod angulo recto opponitur, inuetum palin. II. ad A C,sinum totum parti u ICCCC o. ita alterutrum laterum circa angulum rectum, nempe A B, palm. s. ad aliud, reperietur sinus anguli acuti C, qui accepto lateri opponitur, parti u 3846 i. Ex tabula ergo sinuum dabitur angulus C, grad. 22. Min. 37. ac propter re liquus A, grad. 67. Min. 23. Hae via primo loco reperitur tertium latus, deinde vero duo anguli: cum tamen alio modo anguli prius inuenti sint,quam tertium latus.
318쪽
in m proportionemnahe t duo segnen in Calusque chordae.
IAM vero si detur duorum lateru quorumlibet proportio,& unum latu . quodcuque illud sit,sumemus numeros proportionis notae,ac si e sent partes alicuius mensur ,in quibus duo illa latera dentur; atq; eia his,ut demonstrauimus in hac propos angulos inueniemus, ac tertium latus in eisdε partibus. Deinde, si fiat,ut numerus illius lateris,quod datum est,ad ipsum latus datu . ita numeri aliorum laterum sigillatim ad aliud, reperientur alia latera in partibus mensurae,secundum quam illud alterum latus est datum. Ut si pro pomtio A B, ad A C, sit,ut is . ad 39. S latus BC, palm. m. reperietur, ex demonae stratis,angulus A, grad. 7. Min. 23.& anetulus C, grad. 22. Min. 37. latus ver B C, partium 36. qualium A B, est is . & A C, 3ς. Quare si fiat, ut latus B C, inuentum partium s6. ad idem B C, datum palm. r. ita tam A B, partium is. quam A C, partium 30. ad aliud. inuenietur A B, palm. s.&AC, palm. II. Datis ergo duobus lateribus trianguli rectanguli,duos angulos acutos esse cimus notos,&c. Quod erat faciendum.
ABSO LVTVS iam est rectangulorum triangulorum calculus , sequitur de triangutis non res nautis. S-d prius quaedam ad hane rem necessarra di monstranda sunι,quorum nonnulla plurιmum eιιam ιν rangulis sphaericis conducent.
THEOR. Σ. PROPOS. q. S i diameter circuli chordam quamlibet,eiusq; arcum secet in duas partes; habebunt segmenta chordae eandem proportionem , quam sinus seg
I N ei reulo ABC D, diameter A C, secet chordam BD, in E ,eiusque ar- eum B A D , in A , uel B C D, in Cr ducanturq ue B F , D G , ad diametrum AC, perpendiculares; quarum B F. sinus est arcus B A , uel B C : N DG, sinus arcus A D, uel C D. Dico ita esse B E , ad E D, ut B F, ad D G. Quoniam enim in triangulis B E F, D E G, anguli F, G, aequales sunt, utpote recti: Ite anguli E , ad uerticem aequales I aequi angula erunt triangula B E F, D E G. Quare erit, ut B E, ad B F, ita E D, ad D G r Et permutando, ut B E , ad E D, ita B F, ad D G. Si ergo diameter cireuli e hordam zuamlibet, eiusq; arcum secet in duas partes, Scit uod erat demonstrandum.
SI in circulo chorda cuiuslibet arcus ad unam partem producatur, conueniatq; cum diametro
319쪽
qua uis ad eandem partem pio ducta; erit eadem proportio totius chordae producta ad segmetum
exterius, quae sinus arcus inter punctu, per quod segmεium diameter producta est, & remotius punctum extremum dicta chordae, ad sinum arcus inter idem
punctum diametri, & propinquius punctum extremum eiusdem choriis.
IN ei reulo A B C D, ehorda A D, a reus A D, ad partes D producta eoninueniat cum diametro B C, ad easdem partes producta in puncto E;demittanturque A F, D G, ad diametrum B C, perpendiculares;quatum Α F, sinus est arcus A C:& D G,sinus arcus C D. Dico ita esse A E, ad D E,ut A F,ad D G. Quoniam enim A F, D G, parallelae sunt ob angulos rectos F, G, similia erunt triangula A E F, D E G. Quare erit,ut A E, ad A F, ita D E,ad D G: Et peris mutando, ut A E, ad D E, ita A F , ad D G. Si
igitur in circulo chorda cuiuslibet arcus ad unam partem producatur, conueniatque eum diametro qua uis,&c. Quod Ostendendum erat.
DATO aggregato duorum arcuum, quo rum singuli semicirculo sint minores, vel duorum angulorum rectilineorum, siue minus illud sit, siue maius, quam grad. i SO. Vna cum proportione,
quam eorum sinus habent: utrumque illorum sigillatim exhibere notum.
data duoia a re tu ,quia um quilio hei semicie eulo minoe fit vel duo tum angu lotum, unaeu propctrint Cne. qu 1
, IN eirculo A BC D, euius centrum E . datum sit primo aegretatum ar- Quado ageuum B F, F D, quorum singuli sint semicirculo minores,uel inguloru BEF, s V si F E D,&aggregatum tam arcuum,quam angulorum minus,quam grad. I 8 . nimirum datum sit grad. 33o. Data quoque sit proportio sinus arcus BF, vel initiis,' isi. anguli B E F, ad sinum arcus F D, uel anguli F E D, eade,quae Io. ad 3. Opor- qua grad. ut ex his utrumque arcum B F , F D , uel utrumque angulum B EF , F E D, 0. notum efficere.Ducta chorda B D, ducatur ex puncto F, ubi dati arcus coniunguntur,diameter FC, secans chordam B D, in G. Diuiso quoque toto ar-αq λ cu
320쪽
cu B A D, bifariam in A, secabit semidiameter ducta E A, chordam B D, bI-iariam in II, ex lemmate ad defin. sinuum demonstrato; atque adeo & ad ano gulos rectos. Quoniam vero proportio sinus arcu BF, ad sinum arcus FD,ponitur, ut Io. ad s. estque vi sinus arcus B F , ad sinum ar-eusF D, ita BG , ad GD ; erit quoque BG, ad G D, ut ro. ad s. Posita igitur recta BG, I . erit G D , s. ac proinde tota B D re. utraque ver semissis B H, H D, denique H G, disterentia inter semissem B H,& maius legmentum B G, vel inter semissem H D, S minus scgmentum G D, erit 1-L. Rursus quia totus arcus BAD, ponitur grad. I 3 o. erit utraque semissis B A , AD, grad. A E in is 6 --ς proinde & uterque angulus B EA. lue' Ex quoniam cx ij , quae ad initium taneentium
H G, tangens anguli H E G: dabitur,ex tangentium tabula, tan-hi- 'ς pq o H,p xi Vm xi Dr-Q2are,ut tangentem anstuli AEF. mirum id Gonueniamus,diccmus per auream regulam. Si B H, semissis aegregati terminorum proportionis datae, nempe 7 L.dat B H , tangentem se- i, is aggreeati an autorum B E F, F E D,vel arcuu BF, FD, partium Maa i
P onis, ta utrumlibet terminorum eiusdem proportioni ,nimirum 2I-tin-
I L H UU E, quamdo duo arcus simul mιuores sunt, quam Iem uim culus,vel duo anguli simul duobus rectis minores: Si fiat, vi semissis a gregati terminorum proportionis data ad tangentem semissis aggregati arcuum, vel angulorum quirendo tangentcm per partem proportionalemr Pondentem 1 o. secundis , si forte aggregatum bifariam diuidi nequeat Iine Secundis. in ita disserentia inter semissem aggregati terminorum data
proportIonis, alterutrum terminorum, ad aliud, reperietur tangens arcυ,νel augus, quo Herque arcus,angulusve quasitus a semisse aegrequieorundem vi fert. Additus igitur arcus, vel angulus bulus inuenta tangent ιs ad semissem dabit maiorem arcum, vel angulum ablatus vero ex rem femisse retioquet arcum, vel angulum me rem
A I. IT E R. Producta semidiametro B E, ad K, & diametro CF, produoeta donec in L,conueniat cum recta K DI., ex K, per D,ducta,agatur fi I, ad H, perpendicularis, quae ipsam D K, bifariam secabit;ac proinde eum lat