장음표시 사용
321쪽
angulo K E I, aequalis erit. Quia ergo arcus B F D, datus est grad. 13 o. dabi- .pt Im l. tui reliquus DK, de scini circulo grad. o. 3 eius semisi is, id est, an eulus DEs, grad. 23. Rursus quia sinus arcus D F, ad sinum arcus F D ponitur , ut Io. ad s. estque idem sinus arcus K F, qui arcus B F, ut in des n. linuum omniam est: erit quoque sinus arcus K F, ad sinum arcus D F, ut Io. ad s. Cum ereto sit, ut sinu; arcus KF ad siniim arcus D F, ita Κ L,ad D L; erit etiam K L ad D L, vi s.liu us. io. ad s. Posita i itur K L, Io. erit D L,s: ac proinde& reliqua K 6, s. R eius semissis ID, 2- . At quoniam,vt ad initium tansentium S secantiu diximus, rosito sinu toto E I, recta I D, tangens est anguli D E. I, hoc est, grad 2 s. da
itur 1 D, ex tabula tan et otium, partium q663I . Dicemus ergo per auream regulani. Si I D, semissis ὀi fierentiae inter terminos proportionis datae , nemper λ. dat ID, tangentem sc missis disserentiae inter aggregatum datum,& semia circulum, partium 4663 i. quid dabit I L,composita ex semisse disterentiae inter terminos datae proortionis, ex consequente Piusdem proportionis, nimirum ' reperiemus 'ue IL, partium t s 9893. qualium I D, est 4663 r. vel E I, io occo. ut hic vides. ID. ID. I L. I L. 2 l. q6631. 7- l fit r39893. Cum ergo I L , sit tangens anstuli I E L posito sinu toto E I, ut in tractatione
tangentium ac secantium tradidimus; dabitur,ex tangentium tabula, angulus I E F, grad. sq. Min. 26. Ablato ergo angulo D El, grad. Is . nimirum semii sedisserentiae inter datum aggregatum , & semicirculum, reliquus erit angulus F E D,ae propterea& arcus FD,minor,grad. 29. Min. 26. qui lubtractus ex dato aggregato grad. so. relinquet angulum B E F, & proinde & arcum B F, maiorem, grad. I O. Min. 3q. Vt prius.
I G IT V 4 se far, νr Iemisis disserentiae later teminos proportio. Piaxix. nis datae ad tangentem semisis diffrentia inter aggregatum datum, semicirculum, ita Ggrcgatum ex semisse disserentiae inter terminos datae proportionis, ct consequente eiusdem proportionis, ad aliud, inuenietur tangens anguli,4 quo si di matur remisis differentiae inter datum aggregatum, semicirculuυ, reliquus erit angulua seu arcus minor quasitus 'qud detractus ex aggregato dato, relinquet maloi ε angulam siue arcu qussitu.
ALITER adhue per solos sinus sine tangentibus. Iisdem positis, quois Aliter ab niam ut in sinubus declarauimus, posito sinu toto E B, recta BH,est sinus an- que tango. guli B E H, nempe semissis aggregati angulorum, vel arcuu dati,nempe grad. WhR cs. & H E, sinus anguli E B H , grad. x s. utpote complementi anguli B E H; dabitur ex tabula sinuum, B H, partium 9o63 i. at H E, parti u 4 2262. Quo as di eamus. Si B H, semissis aggregati terminorum proportionis datae, nempe γυ- .dat B H, sinum semissis aggregati angulorum,vel arcuum, partiu so6II. quid dabit HG, disserentia inter semissem aggreetati terminorum proportionis datae,& alterutrum terminorum,nimiruin 2 reperiemus H G , partium 3o2 Io.qualium sinus totus E B. est Io oozo. vel E II, q2i62. ut hic patet.
ita vero quadrata rectarum HE, HG, nempe 1786o766qq. 9126MI . 47. prima.
322쪽
quadrato tectae EG,aequatia lunt, si ea in unam summam colligamus,set quadratum reste E G, 26987ror . cuius radix quadrata dabit E G , partium' s I9 9.Cudi autem, posito sinu toto E G, recta HG, sinus sit anguli H E G, ut in sinuum defin. diximus,dicemus rursum. Si E G, inuenta partium 319q9. dat E G, sinum totum partium iooooo. quid dabit HG, inuenta partium 3o: io inveniemusque H G, sinum anguli H EG, parti u 8i r. vi hic vides.
I9q9. IOO O. 3otiol st. ssis 3. Ex sinuum ergo tabula dabitur angulus H E G,siue arcus A F, grad. 33. Min. 3 . qui additus semissi A B, grad. 6 s. exhibebit maiorem a reum B F, ideoque S angulum B E F, grad. ioci. Min. 34. ablatus vero ex semisse AD, reliquum faciet arcum minorem F D, atque adeo & angulum F E D, grad. 29. Min. 26. ut prius.
Px-xu, O c I RCA , quando aggregatum duorum arcuum, vel angulo
rum minus est, quam grad. i So. Si fat, ut semisss aggregati terminorum proportionis data ad senum semissis aggregati arcusm, angulorumν ita disserentia inter semissem aggregati terminorhm data proportionis,
alterutrum terminorum, ad aliud, inuenietur numerus; cuius quadratumst adiungatur quadrato sinus complementi semisses aggregati arcuum, seu angulorum; hi tandem fiat, νt co positi huius ntimeri radix quaarata ad suum totum,ita numerus per auream regklam nuper innetus ad aliud, producetur mus anguli, siue arcus, po uters angulus,arcus Ne qua situs ab eorundem aggregati semisse Osfert. Additus ergo arius, siue anulus huius sinus inuenti adsemissem aggregati dati,dabit maiorem arcum, vel anulum; ablatus vero ex eadem semisse relinquet minorem arcum, siue angulum. Sed priores duae via longe sunt exsteditiores;vt Πενθlaum s
hi do at. DE TVR deinde aggregatum arcuum B C, CD, quorum singuli semicis g Iu culo quoq; sint minores, vel angulorum B E C, C E D, at aggregatum tam .esbiam, arcuum, qu/Π ngulorum superet grad. I 8o. nempe detur grad. 23o. Det ut tui est. qua item pro Portio sinus arcus B C, vel anguli B E C,ad sinum arcus C D, vel an fraLigo. guli C E D, eadem,quae Io. ad s. Oportet ex his utrumq; arcum BC,C D,vel utrumq; angulum B E C, C E D, elicere. Ducta diametro C F, &detracto da oto aggregato ex integro circulo, hoc est,ex grad. 36α reliquum crit aggrega tum arcuum B F, F D, vel angulorum B E F, FED, grad. Is . minus, quam. grad. I 8o. Et quoniam arcus B C, B F, eundem sinuum habent, necnon&arcus C D, F D, ut in desin. sinuum diximus, data quoq; erit proportio sinuum arcuum B F, F D, vel angulorum B E F, F E D, eadem , quae io. ad s. Quamobrem , ut iam demonstratum est, inueniemus arcus B F , F D, vel angulos' B E F, F E D, grad. I . Nin. 34. S grad. 29. Min. 26.qui ex semicirculo,hoc est,ex grad. I 8o. sublati relinquent arcus B C,C D,vel angulos B E C,C E D, grad. 79. Min. 26. & grad. Iso. Min. 34.
'talia. N D O ergo aggregatum duorum arcuum, seu angulorum maius est , quam grad. ido. Si illud ex grad. 36o. auferainus, τι manebit aggregatum alιorum duorum arcuum, vel angulorum minus, quam grad,
323쪽
I 8o. Quaresi, 't uim demonstratum est, beneficio huius aggregati mino-
ω, ct proportionis data, utrum I arcum, Hi anguluUinquiramus, o Vtrum 7, i uentum sigillatim ex grad. i8o. demamus, noti relinquentur arcus, νel anguli quaesti.
OF O D si quando proportio sinuum data sit proportio aequalitatis, hoe Qη 'doli' Ixi 'u nt aequales , erunt quoq; tam duo arcus , quam duo anstuli aequa- 'μ les,ut in defin. cnuum ostendimus. Quapropter semissis dati aggregati dabit ines odior
Vtrumq, arcum, siue angulum cognitum . Dato igitur aggregato duorum aru tio aequalicuum , quorum singuli semicirculo sint minores, vel duorum angulorum re- x- i Milineorum ,&c. utrumq; illorum sigillatim exhibuimus notum . Quod faciendum erat.
D ATA differentia duorum arcuum, quorum singuli semicirculo sint minores, vel duorum an gulorum rectilineorum, Una cum proportione, quam eorum sinus habent: utrumq; illorum sigil
IN eirculo A. B C D, euius eentrum E , superet arcus BF, semicirculo minor areum D F, arcu B D, vel angu-Iu, B E F , angulum D E F , angulo B E D, sitque disserentia haec, nempe arcus B D, vel angulus B E D , data graa. 6o. Proportio quoque sinus maioris arcus BF, vel anguli B E F . ad sinum arcus minoris D F, vel anguli D E F , sit primo maioris inaequalitatis data , eadem , quae II. ad s. quod quidem contingit quando duo arcus B F , D F. semi. circulo sunt minores simul sumpti. Oportet ex his utrumque arcum B F, D F,siue utrumque angulum B E F,D E F,cognitum sacere. Ducta chorda BD,&diametro C F, conu
entia data duorum recud.quora quilibet se m ieireulci minor vel duota angulotil. na ed proportione qua eorum sinua h . bent, terqὲ crineseisi
tis malori arcus, vel anguli ad ianum mi. noris habet proportione maioris in qua litatu
324쪽
I E, datu angulis omnibus, cum vno latere; Si fiat, risi- praxitima anguli lateri dato oppositi ad sinum utriusvis reliquortim angulorum, ita latus datum ad aliud, inuenietur latius angulo illi, cuius simus accζ-ptra est, oppositum : Et si rursus fiat, ut sinus anguli lateri dato ore sti ad sinum tertii anguli, ita datum latus ad aliud, reperietur latus ter itio angulo oppositum, oec.
QV OD si triangulum fuerit Iso sceles,& dentur anguli: Vel si merit sic lenum, & duo dentur latera eum angulis, unius tantum lateris inuentione qui lateia tDpus est, v t patet. In aequilatero autem triangulo,si detur unum latus,erunt ut eu doti reliqua data, utpote illi aequalia. d fit ut duct IAM vero si datae sint proportiones angulorum , cum vno latere, inue lileia eum situndae erunt ex illis proportionibus magnitudines angulorum,ut in scho- angulis.lio propos. I. demonstrauimus: Deinde vero reliqua latera exploranda , ut hic ostensum est . t onm an . INVENTIS autem lateribus, liquido constat, eorum proportionς, sutorin. ea esse notas in numeris,in quibus ipsa copnita sunt. Datis ergo Omnibus angu uno latet e. lis trianguli non tectanguli, &c. Qund erat iaciendum.
DATIS omnibus trianguli non rς unguli ξ E
lateribus . vel eorum proportionibus, Omnes an εχ eoia νεο
IN triangulo priori A B C, sint data omnia latera ; A B, i 3. A C, 2 o. Sc B C, M. Oportet ex his inuestigare angulos. In maximum latus BC, ex opposito angulo A, dueatur perpendicularis A D, ut necessario intra triangulum cadet.Cum enim latus BC, sit maximum,erit S angulus A, ipsi oppositus, maximus: ac propterea uterq; B, C, acutus. Ex quo fit,perpendicularem A D, inaetra triangulum cadere. Primum itaq; inquirantur rectae B D, C D. Inuenietur BD, CD, 26. Qui3 ergo, posito snu toto A B, recta B D, sinus est anguli B AD, ut in tractatione sinuum Ostendimus,dicemus per auream regulam. si A B,
notis. angali inuentia. ι . primi. 17. primi. scholium 3. secundi. .huiu .
325쪽
13. dat ΑΒ. sinum totum. partium to eo. quid dabit B D, si inueniemusq; sinum B D, 38 6 i. ut hic vides. AB. B D. B D. Io m. si sit. 38 6 r. Ex tabula ergo sinuum dabitur angulus B A D.
Iad. 22. Min. 37. atq; adeo eius complementum, grad. 67. Min. 23.qui est unus angulorum qu storum. Rursus,quia posito A C,sinu toto,C D, sinus est anguli C A D, dicemus iterum per regu lam auream. S4 to. dat A C, i Coozo. sinum
totum, quid dabit C D, I 6l Inveniemusq; sinum C D, 8occo. V t hic patet. AC. AC. CD. Cin
Qui sinus in tabula sinuum monstrat angulum. C A DCrad. s3. Min. 8. ac proinde eius complementum C , erit grad. 36. Min. sa. qui est v qua etiam angulorum quaestorum. Qudd si duo anguli duorum sinuum inuentorum , nempe ςrad. 22. Mi J7. 5 grad. s s. Min.. 8. simul componantur, fiet tertius angulus B A C,grad. 7s. Min. s. Vel certe si summa duorum angulorum B, C, inuentorum ex grad. Lao. auferatur iareliquus fixi tprtius angulus B AC, grad. 7s. Min. 43.
I TA QV F, ut totam praaim c mplectamur) si fiatiis maximum latus in quod perpendicularis ducta es) ad summam aliorum duorum,
ita disserentia eorundem duorum ad aliud, reperietur numeraa, qui ια maximo latere subductua relinquet numerum, cuius semissis dabit minus rimentum basis , hoc autem ex basi detractum relinquet maius se me tum, ut constat ex secunda praxi propos s. Quὸd si rursum fiat, ut munimum latus ad sinum totum, ita segmentum basis miura ad aliud: inuenietur sinres, cuius arcra complementum dabit angulum supra basim me. dio lateri oppositum. Deinde si rursim fiat, ut medium latus ad sinum totum, ita maius 'mentum basis ad aliud, reperietur sinus, cuius M. cos complementum dabit angulum supra ba minimo lateri oppositum. Tertius vero angulus maximo lateri op Usitus constabitur ex duobus iletis arcubus duorum sinuam inuentortim r vel certe' relinquerar post d
tractionem duorum ingulorum inuentorum ex duobus rectis. RURSUS in posteriori tria gulo datum sit latus AB, tr. AC, II.&BC, xo. Demisia in maximum latus BC, perpendiculari AD, inuenietur segmentum B D, 8 τ . at C D, ii ut hic aporet.secundum praxim poste riorem propoc R. BC. AB. ACQ Differ. inter AB, A Q. 2O. 2 q. 2 t fit 1 - .Ηie numerus ex base 2 o. ablatus relinquit I7-h. cuius semissis 3τ-. dat sePipent m minuὴ B D. Ergo maius C D, erit II-N. Hinc inuenietur angulus.
328쪽
329쪽
triangulorum rectilineorum sientiam, qua ex angulis no
tis latera,se vicissis ex notis
lateribus anguli cognosutur, necessaria esse duximus , relis quum est, ut L haricorum etiam triangulorum
doctrinam,qua arcus ex cognitis angulis, et contra, anguli ex arcubus notis inquiruntur , t damm . siuamuis enim Menelaus, qui etiam
Mileus, nobilis scriptor, qui temporibu Traiani Imperatoris floruit, ut auctor est Ptolemain, acutissimos tres libros de triagulis stharicis composeueris,non tamen eius ordinem nos in hise nostris L haricis triangulis sequemur; propterea quodis plurimas eius proposition&,licet iucundissimasint, miras eruditione reserta, taquam
330쪽
non necessari, reiecimus es alias non paucas
ab eo omeri ex Gebro Hispalensi, Ioanne P e
oom. Francisco e aurolyco, ex alys adierimus, quas omnino nece rias esse iudicauimus ad res a ronomico intestigenias . Fl runs etiam nouas demo bation , east breuiores, ac sciliores adhibuimus,nonnulgi item eodem modo demo auimm, quo eadem de au'
gulis,'triangulis recti lineis demo bat uni ab Euchis, utplanior fieret earum demous rior ex quarum numerosium propos T. O. . y.s p. Non parum tamen opera in eo posuimus, mi omneu propositioncs triangulorum spheris rum ita in ordinem redigeremus, utposterior; ex prioribus penderet quemadmodum res Asa thematica postulant, res in omnibus elementiae Veometricissieri confiseuit. Sed iam ad rem et niamus, exordio sumpto a definitionibus.
. ANGULUS sphaericus est, quem in sphaeri