Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

11쪽

VIII

t Grum tractantur e quo facilius deinceps utriusque Methodi

summus consensus eluceat.

Divisi hoc opus in duos Libros, in quoriam priori, quae

ad meram Analysim pertinent, sum complexus : in posteriori vero , quae ex Geometria sunt scitu necessaria, explicavi. quoniam Analysis infinitorum ita quoque tradi solet, ut simul ejus applicatio ad Geometriam ostendatur. hi utroque autem prima Elementa praetermisi , eaque tantum exponenda duxi. quae alibi, vel omnino non, vel minus commode tractata, vel ex diversis principiis petita reperiuntur. In primo igitur Libro, cum universa Analysis infinitorum circa quantitates variabiles earumque Functiones versetur, hoc argumentum de Functionibus imprimis fusius exposui; atque Functionum tam transsormationem, quam resolutioncm& evolutionem per series infinitas demonstrari. Complures enumeravi Functionum species, quarum in Analysi sublimiori praecipite ratio est habenda. Primum eas distinxi in algebraicas& transcendentes ; quarum illae per operationes in Algebra communi usitatas ex quantitatibus variabilibus formantur , hae vero vel per alias rationes componuntur, vel ex iisdem Ορο- crationssius infinities repetitis essiciuntur. Algebraicarum sun tiomini primaria subdivisio fit in rationales & irrationales , priores docui cum in partes sina pliciores, tum in factores resolvere; quae operatio in Calculo integrali maximum adjumentum assert; posteriores vero, quemadmodum idoneis substitutionibus ad fbrmam rationalem perduci queant ostendi. Evolutio autem per series infinitas ad utrumque genus aeque Pertinet, atque etiam ad Functiones transcendentes summa cum utilitate applicari solet; atquantopere doctrina de serie-hus infinitis Analysin sublimiorem amplificaverit , nemo est qui ignoret. Nonnulla igitur adjunxi Capita , quibus plurium serierum infinitarum proprietatus, atque summas sum scrutatus ἔ quarum qumlam ita sunt comparatae , ut sine subsidio

Analysis infinitorum vix investigari posse videantur. Hujusmodi series

12쪽

x series sunt, quarum summae exprimuntur, vel per Logarithmos vel Arcus circulares: quae quantitates cum sint transcendentcs, dum per quadraturam Hyperbolae & Circuli e Libentur, maximam partem demum in Analysi infinitorumetractari sunt solitae. Postquam autem a potestatibus ad quantitates exponentiales est em progres Ilis , quae nil aliud sunt nisi potestates , quarum exponentes sunt variabiles ; eX earum ConVersione maxime naturalem ac foecundam Logaritia morum ideam sum adeptus : unde non solum amplissimus eorum usus sponte est consecutus, sed etiam ex ea cunctas series infinitas , quibus Vulgo istae quantitates repraesentari solent, elicere licuit: hincque adeo facillimus se prodidit modus Tabulas Logarith- morum construendi. Simili modo in contemplatione Arcuum circularium sum versatus , quod quantitatum genus , etsi a Logarithmis maxime est diversum , tamen tam arcto vinculo est connexum, ut dum alterum imaginarium fieri videtur, in alterum transeat. Repetitis autem ex Geometria quae de inventione Sinuum & Cosinuum Arcuum multiplorum ac sula multiplorum traduntur, ex Sinu vel Cosanu cujusque Arcus expressi Sinum Cos numque Arcus minimi & quasi in anescentis , quo ipso ad series infinitas sum deductus : unde, cum Arcus evanescens Sinui suo sit aequalis , Cosinus vero radio, quem- is Arcum cum suo Sinu & Cosinu ope serierum infinitarum Comparavi. Tum vero tam varias expressiones cum finitas tum 4nfinitas pro hujus generis quantitatibus obtinui , ut ad earum maturam perspiciendam Calculo infinites mali prorsus non amplius esset opus. Atque quemadmodum Logarit limi peculiarem Algorithmum requirunt, cujus in universa Analysi summus extat usus , ita quantitates circulares ad certam quoque Alg Tithmi normam perduxi; ut in calculo atque commode ac

Logarithmi & ipsae quantitates algebraicae tractari possent. Quantum autem hinc utilitatis ad resolutionem dissicillimarum quaestionum redundet, cum nonnulla Capita hujus Libri lucinienter declarant, tum ex Analysi infinitorum pitu ima spe.

13쪽

mina proferri possent, nisi jam satis essent cognita & in dies

magis multiplicarentur. Maximum autem haec investigatio a tulit adjumentum ad Functiones fractas in factores reales re iaVendas; quod argumentum, cum in Calculo integrali sit pro sus necessarium , diligentius enucleavi. Suries postmodum infinitas , quae ex hujusmodi Functionum evolutione nascuntur& quae recurrentium nomine innotuerunt, examini subjeci; ubi earum tam summas quam terminos generales , aliasque

insignes proprietates exhibui: & quoniam ad haec resolutio in factores mantiduxit, ita vici Ilim , quemadmodum producta ex pluribus , imo etiam infinitis, factoribus conflata permultiplicationem in series explicentur , perpendi. Quod negotium non solum ad cognitionem innumerabilium serierum viam aperuit, sed quia hoc modo series in producta ex infinitis factoribus constantia resolvere licebat, satis commodas invenieXpressi mes numericas , quarum ope Logarithmi Sinuum, Cosinuum & Tangentium facillime supputari possunt. Pr terea quoque ex eodem sonte solutiones plurium quaestionum, quae circa partitionem numerorum proponi possimi, derivavi ;cujtisivo ii qtristiones sine hoc subsidio vires Analyseos sup

Tare videantur. Haec tanta maturiarum diversitas in plura

volumina sacile excrescere potuisset ; sed omnia , quantum fieri potuit, tam succincte proposui, iat ubique fundamentu m clarissime quidem eXplicaretur , uberior vero amplificatio industriae Lectorum relinqueretur ; quo habeant , quibus vires suas exerceant, sinesque Analyseos ulterius promoveant. Neque enim vereor profiteri , in hoc Lihro non solum multa plane nova contineri; sed etiam 1 ontes esse dc- tectos, unde plurima linsignia inventa adhuc hauriri qtaeant. Eo dcm instituto sum ustis in altero Libro, ubi. quae Vulg ad c eometriam sublimiorem reserri solent, pertracta Vi. Antequam autem de Sectionibus Conicis , quae alias fere solae hunc locum occupant, agerem; Theoriam Linearum Cur arum in genere ita proposui, ut ad scrutation. I natura Di jtigoo by Coosl

14쪽

quarumvis Linearum Curvarum cum utilitate adhiberi posset. Ad hoc nullum aliud subsidium affero , praeter aequationem , qua cujusque Lineae Curvae natura eX primitur ;CX eaque cum figuram , tum primarias proprietates deducere doceo: id quod potissim uni in Sed ionibus Conicis

praestitisse mihi sum visus; quae antehac vel secundum solam Geometriam vel per Analysin quidem , sed nimis imperfecte ac minus naturaliter , tractari sunt solitae. Ex aequatione scilicet generali pro Lin is secundi ordinis primum earum proprietates generales explicavi, tum eas in genera seu species subdivisit; respiciendo utrum habeant ramos in infinitum excurrentes, an vero tota Curva finito spatio includatur. Priori autem casu insuper dispiciendum erat , quot sint rami in infinitum excurrentes, & cujus naturae sint singuli ; an habeant Lineas rectas asym totas , an minus. Sicque obtinui tres consuetas Sectionum Conicarum species ;quarum prima est Ellipsis , tota in spatio finito contenta ἔsecunda autem Hyperbola , quae quatuor habet ramos in Gnitos ad duas rectas asymptotas convergentes; tertia ἰ vero species prodiit Parahola duos hahens ramos infinitos asym- totis destitutos. Simili porro ratione Lineas tertii orὸinissum persecutus, quas, post expositas earum proprietates generales , divisi in sedecim genera ; ad eaque omnes sei tuagenta duas species N E U T O N I revocavi. Ipsam eromethodum ita clare descripsi , ut pro quovis Linearum ordine sequente divisio in genera facillime in stitui queat ;cujus negotii periculum quoque feci in Lincis quarti ordinis. His deinde, quae ad ordines Linearum pertinent , expeditis , reversus sum ad generales omnium Linearum aD sectiones eruendas. Explicavi itaque methodum deliniendi

tangentes curi arum, earum normales, atque etiam ipsam

Curvaturam, quae per radium osculi estimari solet: quae etsi nunc quidem plerumque Calculo differentiali absolvuntur, tamen idem per solam communem Algebram luck8 2Diuitigoo by Cooste

15쪽

ptaestiti , ut deinceps transitus ab Analysi finitorum ad

Attalysin infinitorum eo facilior reddatur. Perpendi etiam curvarum ptincta flexus contrarii, cuspides, puncta duplicia , ac multiplicia; modumque exposui haec omnia exaequationibus sine ulla dissicultate definiendi. Interim tamen non nego, has quaestiones multo facilius Calculi dissere rialis ope enodari polle. Attigi quoque controversiam de cuspide secundi ordinis , ubi ambo arcus in cuspidem coeuntes cur aturam in eandum partem vertunt; cumque ita

composuit se mihi videor , ut nullum dubium amplius superesse pollit. Donique adjunxi aliquot Capita, in quibus Lineas Curvas , quae datis proprietatibus gaudeant, invenire docui ; pluraque tandem Problemata circa singulares Circuli sectiones soluta dedi. Qilae cum suit ea ex Geometria, quae ad Analysin infinitorum addiscendam maximum adminiculum asterre videntur, Appendicis loco ex Stercometria Theoriam solidorum eorumque superficierum per Cauculum proposui & quemadmodum cujusque superficiei natura per aequationem inter tres variabiles EX poni queat , ostendi. Hinc, superfici chus inflar linearum in ordines digestis , secundum dimensitonum quas variabitus in aequatione constituunt numerum, in primo ordine solam superficiem planam contineri ostendi. Superficies vero secundi ordinis , ratione habita partium in infinitum expansarum, in sex genera divisia ; similique modo pro ceteris ordinibus divisio iniati tui poterit. Contemplatus stim quoque ii Mursectiones duarum supersici ursim; quae cum plerumque sint curvae non in eodem Plano sitae, quemadmodum aequationibus comprehendi queant , monstra i. Tandem etiam positionem Planorum tangentium , atque res arum, quae ad superficies sint normales,

determina i. De C tero, cum non paucae res hic Occurrant ab aliis jam tractam, Veniam rogare me oportet, quod non ubi-

16쪽

genere elaborarunt, secerim. Cum enim mihi propositum esset omnia quam h revissime pertractare , Historia cujusque Problematis magnitudinem operis non mediocriter auxisset. Interim tamen pleraeque questiones , quae alibi quoque solutae reperiuntur, hic solutiones ex aliis principiis sunt nactae; ita ut non exiguam partem mihi vindicare possem. Spero autem cum ista , tum ea potissimum , quae prorsus no a lsic proseruntur, plerisque, qui hoc studio delectat tur, non ingrata esse futura. Disjtiros by Oste

17쪽

INDEX CAPITUM

TOMI PRIMI.

okp. L De Funmonibus in genere, Pag. αCAP. H. De transformatione Functionum , is

CAP. III. De transformatione Functionum per substitutionem, CAP. IV. De explicatione Functionum per series infinitas, UCAP. V. De Functionibus duarum pluriumve variabilium , fici CAP. VI. De Quantitatibus exponentialibus ac Logarithmis , DCAP. VII. De quantitatum exponentialium ac Logarithmorum per series explicatione , 8sC P. VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis, CAP. IX. De investigatione Factorum trinomialium, IN CAP. X. De usu Factorum inventorum in definiendis summis Seri rum infinitarum, IallCAP. XL De aliis Arcuum atque Sinuum expressionibus infinitis , 3 sCAP. XII. De reali Functionum fractarum evolutione, I ICAP. XIII. De Seriebus recurrentibus, In CAP. XIV. De multiplicatione ac divisione Angulorum, in CAP. XV. De Seriebus ex evolutione Factorum ortis, a ICAp. XVI. De Partitione numerorum, CAP. XVII. De usu scri enim recurrentium in radicibus aequationum indagandis, in

XVIII. De stactionibus coatiauis, 29t

18쪽

l xv I

Ap. I. De lineis curvis in genere, Ion 3 CAP. II. De Coordinatarum permutatione, IACAP. III. De Linearum curvarum algebraicarum in ordines diviasione, MCAp. IV. De Linearum cuiusque ordinis praecipuis proprietatibus , 32 CAP. U. De Lineis secundi Ordinis, 4rCAp. VI. De Linearum secundi ordinis subdivisione in genera , CAP. VII. De ramorum in infinitum cxcurrentium investiga

tione ν

CΑp. VIII. De Lineis Asi mptotis, isCAp. IX. De Linearum tertii ordinis subdivisione in species, i is

CAP. X. De praecipuis Linearum tertii ordinis proprietatibus , CAP. X . De Lincis quarti ordinis, CAP. XII. De investigatione figurae Lincarum Cumarum, IsoCAp. XIII. De Astactionibus Lancarum Curvarum CAP. XIV. De curvatura Lincarum Curvarum , infiCAP. XU. Dc Curvis una pluribusve Diametris praeditis, IDCAp. XV L De inventione Curvarum ex datis Applicatarum pr

CAP. XV ll. De inventione Curvarum ex aliis proprietatibus , MaCAp. XVIlI. De Similitudine & Affinitate Linearum curvarum, C p. X lX De intersectione Curvarum, asCAP. XX. Du Constructione aequationilm , 26 CAp. XXL De Lineis curvis transccndentibuS, 28 CAP. XXiI. Solatio nonnullorum Problematum ad Circulum pertinentium , NaDisitizod by Gorale

19쪽

C p. I. De Superficiebus Corporum in genere, Pag. 323CAp. II. Du Sectionibus Superficierum a planis quibuscunque factis, 337 CAP. III. De Sectionibus Cylindri, Coni & Globi, 3 SCAP. IV. De Immutatione Coordinatarum, 36ς CAP. V. De Superscichiis secundi ordinis, 37δCAP. VI. De Superficierum intersectione mutua, 383

20쪽

INTRODUCTIO

CONTINENS Explicationem de Functionibus quantitatum variabilium ; earum resolutione m Factores , atque evolutione per Series infiniatas : una cum doctrina de Logarithmis , Arcubus circul ribus , eorumque Sinubus & Tangentibus ; pluribusque aliis rebus , quibus Malysis infinitorum non mediocriter adju

vatur.

Euleti Introducr. in Anes. in n. A