장음표시 사용
41쪽
LIB. I. 33. Si Functio integra Z , posito χ - a , induat valarem A . 'O posto g - h , induat valorem B ; tum , loco Z valares medios inter a O h ponendo, Eunctio Z qvoseis valores medios inter Α O B accipere potes. Cum enim Z sit Funebo uniformis ipsius r , quicunque valor realis ipsi r tribuatur , Funetio quoque Z hinc xalorem realem obtinebit. Cum igitur Z, priore casu a, nanciscatur valorem A ; posteriore casu s - b, autem , valorem B p Aad B transre non poterit, nisi per omnes valores medios tra
seundo. Quod si ergo aequatio Z - A o habeat radicem realem, simulque Z - B --radicem realem suppeditet; tum aequatio quoque Z - C - o radicem habebit realism ; si qui dem C intra valoreς A dc B contineatur. Hinc si expressioneς Z - A 8c Z - B habeant Factorem simplicem realem, tum expressio quaecunque Z - C Factorem simplicem habebit re lem , dummodo C intra valores A dc B contineatur.3 . Si in Functione integra Z exponens maximae ipsus Z potestatis fuerit numerus impar 2 11 - - I , tum ea Functio Z unicum ad minimum habebit Factorem smplicem realem. Habebit scilicet Z hujusnodi formam ε --
quia valores singulorum terminorum prae primo evanescunt, fiet
eem habebit realem nempe r - - . Sin autem ponatur
hit Z -Hoo Factorem simplicem realem m. Cum igitur tam Z-eo , quam Z - - habeat Factorem simplicem realem ;sequitur etiam ZH-C habiturum esse Factorem simplicem re , lem , siquidem C contineatur intra limites H- ω & - ω ; hoc est si C fuerit numerus realis quicunque , sive affrmativus , sive negativus. Hanc ob rem , facto C - o , habebit quoque ipsa Fundito Z Factorem simplicem realem - c ,' atque quantitaS GDiuitiaod by Gorale
42쪽
eontinebitur intra limites in m & - ω , eritque idcirco vel c p. II. quantitas assirmativa , vel negativa , vel nihil. Functio igitur integra Z , in qua exponens maxima potesetatis ipsius 2 est numerus impar , vel unum habebit Factorem simplicem realem , vel tres , vel quinque, vel septem , Oc. Cuni enim demonstratum sit Functionem Z certo unum hahere Factorem simplicem realem -ci ponamus eam praeterea unum Factorem habere r- d, atque dividatur Functio Z, in
qua maxima ipsius f potestas sit, ', per0-c -d ,
erit quoti maxima potestas - , cuius eXponens ,
cum sit numerus impar , indicat denuo ipsius Z dari Factorem smplicem realem. Si ergo Z plures uno habeat Factores sim plices reales , habebit vel tres, Vel quoniam eodem modo
progredi licet quinque , vel septem , &c. Erit scilicet numerus Factorum simplicium realium impar , & quia numerus omnium Factorum simplicium est ram an - I , erit numerus Fa torum imaginariorum Par. 36. Functio integra Z , in qua exponens maximae potestatis Vsius et es numerus par et n , vel duos habebit Factores simplices realis, vel quatuor , vel sex , vel M. Ponamus ipsius Z constare Factorum simplicium realium nrumerum imparem 2m - - I ; si ergo per horum omnium produorum dividatur Functio Z , quoti maxima potestas erit --μ λ , ejusque ideo exponens numerus impar ; habebit ergo Functio Z praeterea unum certo Factorem simplicem realem , eX quo numerus omnium Factorum simplicium realium ad minimum erit - χm ε 2 ι ideoque par ; ac numerus Fact
rum imaginariorum pariter par. Omnis ergo Functionis integrae Factores simplices imaginarii sunt numero pares ; quemadmodum quidem jam ante statuimus. 37. Si in Functione integra Z exponens maximae potestatis ksius 2 fuerit numerus par, alue terminus ab latus , seu cons tans , ΑΠΟ - assectus, tum Punctio Z ad minimum duos habet Tactores smplices realis. Disjtiros by Cooste
43쪽
Lia. I. Functio ergo Z, de qua hic sermo est , hujusmodi formam'
- A. Si jam in natur oo , fiet, uti supra vidimus. Z - ; atque , si ponatur o , fiet Z - - A. Habebit ergo Z- Factorem realem - - , & Z ε A Fad orem ἔ - o : unde cum o contineatur intra limites - ω & ε . 1 equitur Z Φ o habere Factorem simplicem realem - c , ita ut c contineatur intra limites o & m. Deinde , cum positor - - oo , fiat Z oo , ideoque Z - Factorem habeat s ε oo , &Z ε A Factorem r Φ Q , sequitur quoque Z-μ o Factorem simplicem realem habere r d . ita ut d intra
limites o & oo contineatur ; unde constat propositum. Ex
his igitur perspicitur si Z talis fuerit Functio , qualis hic est descripta , aequationem Z o , duas ad minimum habere debere Tadices reales, alteram affirmativam, alteram negativam. Sic aequatio haec in ε εγῖ - aa - o, duas habet radices reales, alteram affirmativam, alteram negativam. 38. Si in Functione fracta, quantitas variabilis x tot velplures habeat dimensiones in numeratore , quam in denominatore ς tum Ula Functio regolvi poterit in duas partes , quarum altera est Functio integra , altera fracta in cujus numeratore quantitas variabilis Esauciores habeat dimensiones quam in denominatore. Si enim exponens maximae potestatis ipsius t minor fuerit in denominatore quam in numeratore ἔ tum numerator per de nominatorem dividatur more solito , donec in quom ad exponentes negativos ipsius r perveniatur; hoc ergo loco abrupta divisionis operatione quotus constabit m parte integra atque fractione , in cujus numeratore minor erit dimensionum num
rus ipsius r quam in denominatore ; hic autem quotus Functioni propositae est aequalis. Sic , si haec proposita fuerit Functio fiacta 'mi , , ea per divisionem ita resoli etur :
44쪽
fractae , in quibus quantitas variabi is r tot vel plures habet dimensiones in numeratore quam in denominatore , ad simili tudinem Arithmeticae vocari possunt fractiones spuriae, vel Fun tiones fractae spuriae, quo distinguantur a Functionibus fractis genuinis , in quarum numeratore quantitas variabilis r pauciores habet dimensiones quam in denominatore. Functio itaque fracta spuria resolvi poterit in Functionem integram , & Functionem fractam genuinam ; haecque resolutio per vulgarem divisionis
39. Si denominator Funcrionis fracta duos habeat Factores inter se primos tum tria Functio fracta resolvetur in duas fractiones ,
quarum denominatoressnt illis binis Factoribus respectime aequales.. Quanquam haec resolutio ad Functiones fractas spurias aeque pertinet atque ad genuinas, tamen eam ad genuinas potissimum accommodabimus. Resoluto autem denominatore hujusmodi Functionis fractae in duos Factores inter se prunos, ipsa Functio re fietur in duas alias Functiones Dactas genuinas , quarum denominatores sint illis binis Factoribus respective aequales ; haecque resolutio , si quidem Dactiones sint genuinae , unico modo fieri potest ; cujus rei veritas ex exemplo clarius quam per ratiocinium perspicietur. Sit ergo proposita haec Functio Bacta- , cujus denominator I Φψ cum sit aequalis huic producto Φ- 1 - 2 r Φ au , stactio proposita in duas seactiones resolvetur , quarum alterius denominator erit I H- alterius I - Σ - 2: ad quas inveniendas, quia sunt genuinae , statuantur numeratores illius - α H--, hujus - γ H- δ, eritque per hypothesin Diuitiaco by Cooste
45쪽
Cum ergo denominator aequalis sit denominatori stactionis pro-POsitae , numeratores quoque aequales reddi debent: quod , ob tot litteras incognitas α , c, γ , δ, quut sunt termini aequalesessiciendi , utique fieri , idque unico modo poterit : nancisci mur scilicet has quatuor aequationes
proposita 1z , transformatur in has duas; Simili autem modo facile periapicietur resolutionem semper succedere debere: quoniam semper tot litterae incognitae introducuntur , quot opus est ad numer torem propositum eliciendum. Ex doctrina vero fiataonum communi intelligitur hanc resolutionem succedere non posse , nisi isti denominatoris Factores fuerint inter se primi.
o. Functio igitur fac D in tot fractiones simplices formae
resolvi poterit, quot Factores plices habet denominator inter se in quoles. Repraesentat Diuitiam by Cooste
46쪽
Repraesentat hic fra Ho - Furghionem quamcunque fractam genuinam , ita ut & N sint Functiones integrae ipsius 7, atque summa potestas ipsius r in es minor sit quam in N. Quod si ergo denominator Nin suos Factores simplices resolvatur, hique inter se fuerint inaequales , expressio tot fraetiones resolvetur , quot Factores simplices in denominatore N continentur ἔ propterea quod quisque Factor ahit in denominatorem Dacitionis partialis. Si ergo p --fuerit Factor ipsius N, is erit denominator Dactionis cujusdam partialis , & , cum in numeratore hujus fiamonis numerus dimensionum ipsius r minor esse debeat quam in denominatore ρ - qs , numerator necessario erit quantitas constans. Hinc ex unoquoque Factore simplici p - qt denominatoris N nascetur fiactio simplex ---; ita ut summa omnium harum stactionum sit aequalisfiactioni propositae
Sit , exempli causa, proposita haec Functis stacta :
quia Factores simplices denominatoris sunt r , I , &I H- s, ista Functio resolvetur has tres Dactiones simplices
A, B, & C definire oportet. Reducantur hae seactiones ad communem denominatorem , qui erit r ἔ atque numeratorum summa aequari debebit ipsi I H--, unde ista aequatio
47쪽
LIB. I. quae totidem comparationes praebet, quot sunt litterae laco nitae A, B, C ; erit scilicet,
II'. B in C - O. IIIQ. - Γ-C- I pHinc sit B - C - Σ ; & porro A r ; B-i de C - - I. Functio ergo proposita ' - resolvitur in hanc se mam - ---- . Simili autem modo intelligitur L. quotcunque habuerit denominator N Factores simplices inter se inaequales , semper fractionem - in totidem frae nes simplices resolvi. Sin autem aliquot Factores fiterint aequales inter se, tum alio modo post xplicando resolutio lassitui debet.
I. Cum igitur quilibet Factor smplex de nominatoris N si peditet fractionem Iimplicem pro resiolatione Functionis propositae ; osendendum es quomodo ex Factore simplice denominatoris N cognito , fractio simplex respondens reperiatur. Sit p- ρr Factor simplex ipsius N, ita ut sit Saatque S Functio integra ipsus r ; ponatur stactio ex Factore
nominatoris S oriunda - I , ita ut, secundum 39. , fiaturum:
hinc erit fractiones cum congruere debeant, necesse
est ut m-AS sit divisibile per p - qt ; quoniam Functio integra P ipsi . quoto aequatur. Quando vero p --Divisor existit ipsius M-AS , haec expressio posito evaneiacit. Ponatur ergo ubique loco hic valor constans in MDiuitiaco by Cooste
48쪽
& S , e it M-- AS o , ex quo fiet A - ; hocque ergo modo reperitur numerator A fractionis quaesitae , atque si ex singulis denominatoris N Factoribus simplicibus , dummodo snt inter se inaequales , hujusmodi fractiones simplices formen tur , harum fractionum simplicium omnium summa erit aequalis Functioni propositae
Sic , si in Exemplo praecedente , vhi est δε- I , dc N r - , sumatur r pro Factore simplice , erit S t --, atque seiationis simplicis - hinc ortae erit numerator I posito ἔ o , quem valorem obtinet si ipse hic Factor simplex r nihilo aequalis ponatur. Simili modo si pro denominatoris Factore sumatur 1 - r , ut sit S - Φ trefit A - , secto I - - ὀ , unde erit A - I , &ex Factore 1 - nascitur fractio i - '---γ Tertius denique Faci
- o , seu r - - 1 , dabit A - - I , & fractionem sini-plicem ct . Quare per hanc regulam repetitur
49쪽
Quoniam maxima potestas ipsius r in P minor est quam. , erit , ideoque P hujusmodi habebit formam:
existente terminorum numero n , cui aequari debet numerator summae omnium fractionum partialium , postquam singulae ad. eundem denominatorem p - qr ' fuerint perductae : qui
litterae incognitae A, B , C , . Κ , quarum numeriis est n , quot sunt termini congruentes reddendi. Quaminhrem litterae constantes A, B , C, &c. ita definiri poterunt, ut fiat Functio fracta genuinae P
M. Ipsa autem horum numeratorum inventio mox. P qq. Vfacilis aperietur.
43. Si Functionis fractae denominator N Factorem tabeae p-qet ' .sequenti modo fracliones partiales ex hoc Factore
Cujusmodi fractiones partiales ex singulis Factoribus deno-minatoris simplicibus , qui alios sibi aequales non habeant, orian tur , ante est ostensum : nunc igitur ponamus duos Factores rater se esse aequales, seu, iis conjunctis, denominatoris N Factorem esse p - ρ '. Ex hoc ergo Factore per praeced. duae nascentur fractiones partiales hae Sit a-
50쪽
tem N p - qt 'S, eritque -- ----- ε , denotante - omnes fractiones simplices junctim sumptas ex denominatoris Factore S ortas. Hinc erit
visibile sit per p- qt , hanc divisionem prius institui debere , quam loco substituatur -. Vel ponatur-- T,