장음표시 사용
31쪽
I9. Functio multiformis par ipsitis et est, quae etiams pro quo vis valore ipsus Z plures exhibeat valores determinatos , tamen eos dem valores praebet ,sve ponatur Z - - k ,sve Z - - h. Sit Z ejusmodi Futustio multiformis par ipsius r ; quoniam natura Funditonis multi mis exprimitur per aequationem inter Z & r, in qua Z tot habeat dimensiones , quot varios Valores complectatur ; manifestum est Z fore Functionem multiformem parem , si in aequatione naturam ipsius Z exprimente quantitas variabilis ubique pares habeat dimensiones. Sic , si fuerit
Z' - a s Z-bs , erit Z Functio bi .rmis par ipsius r ; sin autem sit Z' - a s Z' b c Z - c ' - o, erit Z Fun tio triformis par ipsius atque generatim, si P , Q, R , S , &c. denotent Functiones uniformes pares ipsius', erit Z Functio hi Armis par ipsius si sit Z' - P Z Q - o. At Z erit Functio triformis par ipsius si sit Z' - P Z' Q Z R- O , & ita porro. ΣΟ. Functio ergo, sive uniformis sve multiformis , par ipsus κerit ejusmodi expresse ex quantitate variabili Z O constantibus consata , in qua ubique numerus dimensonum ipsus Est par. Hujusmodi ergo Functiones , praeter uniformes quarum eX m-pla ante sunt allata , erunt hae expressiones a ri' v bb --
de patet Functiones pares ita definiri posse, ut dicantur esse Functiones ipsus ZZ. Sic enim ponatur y - , fueritque Z Functio quaecunqile ipsius s; restituto ubique, loco y, erit Z ejusmodi Functio ipsius r , in qua i ubique parem habeat dimensioni im numerum. Excipiendi tamen sunt ii casus , quibus in expres sone ipsius , Z occvrunt v y : ac hujusmodi aliae sermae, quae, facto 1 si , signa radicalia amittunt. Quamvis enim sit y - V a y Fulictio ipsius y, tamen posito γ V, eadem expres sio non erit Functio par ipsus i ; cum fiat y ε V ay in s V a. Exclusis ergo his casibus , definitio ultima Functi Diuitiam by GOoste
32쪽
num parium erit bona , atque ad ejusmodi Functiones formam c das idonea. 1 r. Functio impar ipsus 2 es ejusmodi Functio , cujus valor,si loco Z ponatur- Z, si quoque negativus. Hujusmodi Functiones ergo impares erunt omnes potestates ipsius r , quarum exponentes sunt numeri impares, ut ,; &c. item r , r in , ) ; &c. tum vero etiam erit Fundito impar , si ambo numeri, m dc n fuerint numeri impares. Generatim vero omnis expressio ex hujusmodi potestatibus composita erit Funetio impar ipsius r ; cu
b ; &c. Harum autem Functionum natura & inventio ex Functio sibus paribus facilius perspicietur. 21. Si Functio par ipsius 2 multiplicetur per Z vel per ejusdem Functionem imparem quamcunque, productum erit Functio impar ipsius T. Sit P Functio par ipsius t , quae idcirco manet eadem si l co i ponatur - φ ἰ quod si ergo in producto P ponatur
- i loco prodibit - P s; unde P erit Functio impar ipsius i. Sit jam P Functio pax ipsius & Q Functio impar
ipsius ; atque ex Definitione patet si loco i ponatur - , valorcm ipsus P manere eundem , at Valorem ipsius Q abire in sui negativum --; quare productum P Q , posito - loco', abibit in - P Q , hoc est in sui negativum ; eritque ideo P Q Functio impar ipsius Sic cum sit a in v aia -- sunctio par, & is Functio impar ipsius i , erit produc tum af - ' -Hir Functio impar ipsius r ; similiaque modo r κ Functio impar ipsius Ex his vero etiam intelligitur , si duarum Functionum P &U , quarum altera P est par , altera Q , impar , altera per alteram dividatur , quotum fore Functionem imparem i erit erSon itemque Functio impar ipsius r.
33쪽
I9. Functio multiformis par ipsus 2 es, quae etiams pro quovis valore ipsus E plures exhibeat valores determinatos , tamen eosdem valores praebet ,sve ponatur Z - Φ k ,sve Z - - h. Sit Z ejiismodi Funetio multiformis par ipsius i ; quoniam natura Functionis multisomis exprimitur per aequationum inter Z & j, in qua Z tot habeat dimensiones , quot varios valores complectatur ; manifestum est Z fore Functionem multiformem parem , si in aequatione naturam ipsius Z exprimente quantitas
variabilis r ubique pares habeat dimensiones. Sic , si fuerit Z' - af Z--bs, erit Z Functio bi rmis par ipsius r ; sin autem sit Z' - a s Z' in b, Z - - o , erit Z Fun tio triformis par ipsius r; atque generatim , si P, Q, R,S , &c. denotent Functiones uniformes pares ipsius erit Z Functio
- o , & ita porro. χo. Functio ergo, sive uniformis sve multiformis, par ipsus gerit ejusmodi expressio ex quantitate variabili Z O constantibus conflata , in qua ubique numerus dimensorium ipsus Zsu pari Hujusmodi ergo Functiones , praeter uniformes quarum eXEmpla ante sunt allata , erunt hae exprestiones a- - bb -
de patet Functiones pares ita definiri posse , ut dicantur esse Functiones ipsus ZZ. Sic enim ponatur y - , fueritque Z Functio quaecunque ipsius l; restituto ubique is loco y, erit Z ejusmodi Functio ipsius t , in qua ubique parem habeat dimensionum numerum. Excipiendi tamen sunt ii casus , quibus in expres sone ipsius, Z occvrunt f y : ac hujusmodi aliae formae, quae, facto 1 si , signa radicalia amittunt. Quamvis enim sit y - V a y Functio ipsius y , tamen posito y - , eadem expres sio non erit Functio par ipsius y ; cum sat y - - V n y -- - V Exclusis ergo his casibus , definitio ultima Functi Disiligod by Cooste
34쪽
num paclum etit bona, atque ad ejusmodi Functiones formam C Ap. I. das idonea. m1 r. Princtio impar ipsus et es ejusmodi Funclio , cujus valor,si O Z ponatur- Z, si quoque negativuS. Hujusmodi Functiones ergo impares erunt omnes potestates ipsius r , quarum eXponentes sunt numeri impares, ut ,
etiam erit Functio impar , si ambo numeri, ni de n fuerint numeri impares. Generatim vero omnis expressio ex hujusmodi potestatibus composita erit Functio impar ipsius r ; cujusmodi sunt, : ar a r ; item ε Φb ; &c. Harum autem Functionum natura & inventio eκ Functionibus patibus facilius perspicietur. Σ1. Si Functio par ipsus Z multiplicetur per Z vel per ejusdem Functionem imparem quamcunque , productam erit Functio impar ipsius T. Sit se Functio par ipsius , quae idcirco manet eadem si l co i ponatur quod si ergo in producto P ponatur
- i loco prodibit - P unde P s erit Functio impar ipsius Sit jam P Functio par ipsius & Q Functio impar
ipsius ; atque ex Definitione patet si loco ponatur - , valorcm ipsius P manere eundem , at valorem ipsius Q abire
in sui negativum - Q ; quare productum P Q , posito - loco r, abibit in - P Q , hoc est in sui negativum ; eritque ideo P Q Functio impar ipsius Sic cum sit a in v aa- functio par , & φ' Functio impar ipsius , erit productum a. - ' V -- tr Functio impar ipsius'; similique modo i m impar ipsius
r. Ex his vero etiam intelligitur , si duarum Functionum P &Q , quarum altera P est par , altera Q , impar , altera per auteram dividatur , quotum sere Functionem imparem ; erit ergo
J itemque Functio impar ipsius
35쪽
Lin. I. 23. Si Func EO impar per Functionem imparem vel mestiplice T. tur , vel dividatur ; quod resultat erit Functio par.
picuum est tam productum Q S , quam quotum eundem
valorem retinere , etiamsi pro ponatur - r ; ideoque esse utrumque Funistionem parem ipsius Maniscitum itaque porro est cujusque Functionis imparis quadratum este Functionem parem ; cubum vero Functionem imparem; hiquadratum iterum Functionem parem , atque ita Porro.
24. Si fuerit y Functio impar ipsus 2 ; erit vicissm 2 Gactio impar imius y. Cum enim sit y Functio impar ipsius r ; si ponatur Ioco r, abibit y in - y. Quod si ergo i per y definiatur , n cesse est ut posito - y loco y , quoque s abeat in ; eri que ideo Functio impar ipsius y. Sic quia, posito y - , est y Functio impar ipsius r ; erit quoque , ex aequatione ζ -yseu r - y' , r Functio impar ipsius y. Et quia si fuerit γ- as - - bs , est y Functio impar ipsius r , erit vicissim , exaequatione bi - - a y, Vatur ipsius r per y expressus Fun tio impar ipsius y.
2 s. Si natura Functionis y per ejusmodi aequationem definiatur, in cujus sngulis terminis numerus Amensionum , quas y O Z Occupant conjunctim ,su vel par ubique, vel impar; tum erit y Functio impar ipsus Z. Quod si enim in ejusmodi aequatione ubique loco r scribatur - ; simulque - y loco y ; omnes aequationis termini vel
manebunt iidem , vel fient negativi, utroque vero casu aequatio manebit eadem. Unde patet - y eodem modo Per - sdeterminatum iri , quo H- y per in determinatur ; & hanc ob rem , si loco ponatur r, valor ipsius y abibit in - y , seu y erit Functio impar ipsius Sic si fiterit vel Π ayr
u traque miliatione y erit Functio impar ipsius i. Diuitiaco by Cooste
36쪽
que Y eodem modo desciatur per variabilem yqconstantes, quo Z donitur per variabilem et O constantes p tum lue Functiones Y et Z vocantur Functionessmiles ipsarum y O 2.
Si scilicet fuerit Z Φbis ci , & Y a Φby- - cy', erunt Z & YFunctiones similes ipsarum s & y, similique modo in multiformibus, si fiterit Z' - a s Zb dc 1 ' - ary b ; erunt Z de Y Functiones similes ipsarum,& y. Hinc sequitur , si V de Z fuerint hujusmodi Functiones similes ipsarum Y & et , tum
si loco et scribatury, Functionem Z abituram esse in Functionem Y. Solet haec similitudo etiam hoc modo verbis exptimi, ut Y talis Functio dicatur ipsius y , qualis Functio sit Z ipsius Nae locutiones perinde occurrent, sive quantitates variabiles r& y a se invicem pendeant, sive secus : sic qualis Functio estay in by' ipsius I, talis Functio erit a y in nὶ Φ b y n 'ipsius y Φ n , existente scilicet y Φ n : tum qualis Functio est G t ipsius ν , talis Functio erit ipsius i , postQ y - T. Atque ex his luculenter perspicitur ratio similitudinis Functionum , cujus per universam Analysi ii sublimiorem uberrimus est usus. Ceterum haec in genere de natura Functionum unius variabilis sum cere possunt ; cum plenior expositio in applicatione sequente tradatur.
De transformatione Functionum. 27. FUNcTIONES in avas formas transmutantur , veI Leo quantitatis variabilis aliam introducendo, vel eandem quantita tem variabilem retinendo.
Quod si eadem quantitas variabilis servatur, Functio pro ptie mutari non potest. Sed omnis transformatio consistit in Disiti eo by Corale
37쪽
alio modo eandem Functionem exprimendi, quemadmodum ex Algebra constat eandem quantitatem per plures diversas formas exprimi posse. Hujusmodi transformationes sunt, si loco hujus
a aa - V iευὶ quae expressiones , etsi forma dinerunt, tamen revera congruunt. Saepe numero autem ha m plurium formarum idem sigiaifican tium una aptior est ad propositum efficiendum quam reliquae,& hanc ob rem formam commodissimam eligi oportet. Alter transformationis modus, quo loco quantitatis variabilis alia quantitas variabilis I introducitur, quae quidem ad s datam teneat relationem, per substitutionees fieri dicitur; hocqile modo ita uti convenit, ut Funmo proposita succinctius & commodius exprimatur, uti si ista proposita fuerit ipsius Functio, a - α' 6 aa , si loco a - ponatur y , Pr dibit ista multo simplicior ipsius y Functio γ' : & , si habeatur
haec Functio irrationalis v -- ipsiust, si ponatur r
--Functio per y expressa fiet rationalis IIunc autem transformationis modum in sequens Caput differam , hoc Capite illum, qui sine substitutione procedit , expositurus. 29. Functio integra ipsus 2 sepenumero eommode in suos se tores resolvitur, scque in productum transformatur. Quando Functio integra hoc pacto in factores resolvitur, ejus natura multo facilius perspicitur ; casus enim statim innotescunt, quibus Functionis valor fit - o. Sic haec ipsius Functio
6 - 7 transformatur in hoc productum 1 - Σ- 3 - ex quo statim liquet Functionem propositam
tribus casibus fieri o ; scilicet si, I , & r - α , &- - 3 , quae proprietates ex forma 6 - 7 r Φ r' tam sacile intelliguntur. Istiusmodi factores , in quibus vatiabilis rnulla Diuitigod by Cooste
38쪽
nulla occiir it potestas quadrata vel altior, vocantur Factores sim- C p. II. plices, ut distinguantur a Factoribus compositis, in quibus ipsius r inest quadratum vel cubus , vel alia potestas altior. Erit ergo in generes in se a Factorum simplicium,f-μgr forma
Factorum duplicium , f - gs ε ε in forma Factorum
triplicium , & ita porro. Perspicuum autem es Factorem duplicem duos completi valores Iamplices, Factorem triplicem tres simplices, & ita porro. Hinc Functio ipsius r integra , in qua exponens summae potestatis ipsius est n , continebit n Fa tores simplices; ex quo simul, si qui Factores fuerint vel duplices vel triplices , &c. numerus Factorum cognoscetur. 29. Factores smplices Functionis cujuscunque integrae Z ipsus et reperiuntur, s Functio Z nihilo aequalis ponatur, atque ex hac requatione Omnes ipsus a radices investgentur: snguis enim ipsus 2 radices dabunt totidem Factores smplices Funstionis Z. Quod si enim ex aequatione Z - o , fuerit quaepiam radix
y - f, erit φ - f divisor , ac proinde Factor Funetionis Z , sic
1gitur investigandis omnibus radicibus aequationis Z o , quae sint 7 f, 7 s , h ; &c., Functio Z resolvetur in suos Factores simplices, atque transformabitur in productum Z
et j r - g r - h &c.: ubi quidem notandum est si lummae potestatis ipsius r in Z non fuerit coefliciens --μ I, tum productum - -g &c. insuper per illum coemcientem multiplicari debere. Sic si fuerit Z
in &c. atque aequationis Z o radices s repertae sint; f; g; h. i ;&c. erit Z-A I - , Ι -- his autem vicissim Antelligitur, si Functionis Z Factor fuerit r-, seu I-; tum valorem Functionis in nihilum abire , si locor ponatur f Facto enim r-s, unus Factor r-s, seu 1 - = Functionis Z, ideoque ipsa Functio Z evanescere debet. Euteri Introduci. in Anal. in n. C
39쪽
LIB. I. 3o. Factores smplices ergo erunt vel reales, vel imaginariἱ O, si Functio Z habeat Factores imaginarios , eorum numerus semper erit Par. Cum enim Factores simplices nascantur ex radicibus aequa. tionis Z o , radices reales praebebunt Factores reales , &imaginariae imaginarios; in omni autem aequatione numerus rad,
cum imaginariarum semper est par : quamobrem Functo Z , vel nullos habebit Factores imaginarios, vel duos, Vel quatuor, vel sex , &c. Quod si Funmo Z duos tantum habeat Factores imaginarios, eorum productum erit reale, ideoque praebebit Factorem duplicem realem. Sit enim P producto ex omnibus Factoribus realibus , erit productum duorum Factorum immginariorum F ; hincque reale. Simili modo si Functio Thabeat quatuor , vel sex , vel octo , &c. Factores imaginario ;erit eorum productum semper reale : nempe aequale quoto , qui oritur , si Functio Z dividatur per productum omnium Factorum irealium.
3I. Si fuerit produc Tum reale ex quatuor Factoribus simpliacibus imaginariis tum idem hoc productum Q resilui poterit in
duos Faciores duplices realeS..
labebit enim Q ejusmodi formam ζ ε Ad Φ Ff
D ; quae si negetur in duos Factores duplices reales resolvi, posse , resolubilis erit statuenda in duos Factores duplices imaginarios, qui hujusmodi formam habebunt--Σ---i
40쪽
in q y-αι av rari' uu)que est reale. Simili autem modo productum ex Factoribus secundo & quarto erit reale nempe - 2p - - v χt avit'- uti π qq--pvαρεχέ re uu) - - V - ιι ι .in qu-at av et Futi Quocirca productum propositum Q, quod in duos Factores duplices reales resolvi posse negabatur, nihilo minus actu in duos Factores duplices reales est re1blutum. sa. Si Functio integra Z ipsius et quotcunque habeat Factores smpliora imaginarios , bini semper ita conjungi possunt , ut eorum productum sat reale. Quoniam numerus radicum imaginariarum semper est par,su is - χn; ac primo quidem patet productum harum radicum imaginarium omnium esse reale. Quod si ergo duae tantum radices imaginariae habeantur, erit earum productum utique rea te ; sim autem quatuor habeantur Factores imaginarii, tum , uti Vidimus, eorum productum resolvi potest in duos Factores duplices reales sermae fret in g Φ h. Quanquam autem eundem demonstrandi modum ad altiores potestates extendere non licet, tamen extra dubium videtur esse positum eandem proprietatem in quotcumque Factores ima narios competere ; ita ut semper loco Σn Fatiorum simplicium imaginariorum induci queant nFactores duplices reales. Hinc omnis Functio integra ipsius et resolvi poterit in Factores reales vel simplices vel duplices. Quod quam is non summo rigore sit demonstratum , tamen ejus verutas in sequentibus magis corroborabitur, ubi hujus generis Func