장음표시 사용
22쪽
NANTITAS confans es quantitas determinalia, perpetuo eumdem valorem servans.
Εjusmodi quantitates sunt numeri cujusvis generis, quippe qui eumdem . quem semel obtinuerunt , valorem conflanter conservant : atque si hujusmodi quantitates constantes per characteres indicare convenit, adhibentur litterae Alphabethi nitiales a, b ,c , &c. In Analysi quidem communi, ubi tantum quantitates determinatae considerantur, hae litterae Alphabethi priores quantitates cognitas denotare solent, posteriores vero quantitates incognitas ; at in Analysi sublimiori hoc discrimen non tantopere spectatur , cum hic ad illud quantitatum discrimen praecipue respiciatur, quo aliae constantes , aliae 3 em variabiles statuuntur. - Diuili od by Corale
23쪽
L 13. I. Quantitas variabilis est quantitas indeterminata seu universi sis , qua Omnes Omnino valores determinatos in se complectitur. Cum ergo omnes valores determinati numeris exprimi queant, quantitas variabilis omnes numeros cujus is generis involvit. Quemadmodum scilicet ex ideis individuorum formantur ideae specierum & generum ; ita quantitas variabilis est genus , sub quo omnes quantitates determinatae continentur. Hujusmodi autem quantitates variabiles per litteras Alphabethi postremasi, y, π, &c. repraesentari solent. 3. Quantitas mariabilis determinatur , dum ei valor quicunque determinatus tribuitur. Quantitas ergo variabilis innumerabilibus modis determinari potest , cum omnes Omnino numeros ejus loco substituere liceat. Neque significatus quantitatis variabilis exhauritur, nisi omnes valores determinati ejus loco fuerint substituti. Quantitas ergo variabilis in se compleiritur omnes prorsus numeros, tam ammmativos quam negativos, tam integros quam tactos, tam rationales quam irrationales & transcendentes. Quinetiam cyphra& numeri imaginarii a significatu quantitatis variabilis non e
. Functio quantitatis variabilis , es expressio analytica quom docunque composta ex illa quantitate variabili, O numeris seu quantitatibus constantibus. Omnis ergo expressio analytica, in qua praeter quantitatem variabilem I omnes quantitates illam expressionem componentes
sunt constantes, erit Futurio ipsius r : Sic iar - b v aa -ri ; δ; &c. sunt Functiones ipsius5. Functio ergo quantitatis variabilis ipsa erit quantitas variatilis. Cum enim loco quantitatis variabilis omnes valores determia natos substituere liceat, hinc Fundito innumerahites valores d terminatos induet; neque ullus valor determinatus excipietur, quem Functio induere nequeat, cum quantitas variabilis quoque valores imaginarios involvat. Sic etsi haec Functio v Θ - , numeris realibus loco r substituendis, nunquam valorem tern Disitigod by Gorale
24쪽
tio majorem recipere potest ; tamen ipsi εἴ Valores imaginarios C p. I. tribuendo ut 3 v - I , nullus assignari poterit valor determinatus quin ex sermula V 9-Π elici queat. Occurrunt autem nonnunquam Functiones tantum apparentes, quae , utcunque qua titas variabilis varietur, tamen usque eumdem valorem retinent, II; quae, etsi speciem Functionis mentiuntur, tamen revera sunt quantitates constantes.
6. Praecipvum Functionum discrimen in modo compositionis, quo ex quantitate variabili O quantitatibus constantibus formantur, Postum es. Pendet ergo ab Operationibus quibus quantitates inter se componi & permisceri possimi : quae Operationes sunt Additio &Subtractio ; Multiplicatio & Divisio Evectio ad Potestates &Badicum Extracto; quo etiam Resolutio AEquationum est res renda. Praeter has operationes , quae algebraicae vocari solent, dantur complures aliae transcendentes, ut Exponentiales, Logariti imicae, atque innumerabiles aliae, quas Calculus integralis suppeditat. Interim species quaedam Funmonum notari possitnt; ut mul
e '; δα. quae, uti ex unica operatione sunt desumtae , ita expressiones quae ex operationibus quibuscunque nascuntur , Functionum nomine insigniuntur. . Functiones dividuntur in Algebrescas O Transcendentes e illa sunt , qua componuntur per Operationes algebraeicas solas ;ha vero , in quibus operationes transscendentes insunt. Sunt ergo multiplae ac Potestates ipsius r Funetiones algebrai-Cae; atque omnes omnino eXpressiones, quae per operationes algebraicas ante memoratas formantur, cujusmodi esto in Quinetiam Functiones algebraicae saepenumero nequidem explicite exhiberi possunt , cujusmodi
Functio ipsius t est Z, si definiatur per hujusmodi aequationem ;Z'-ati Z -bi Z'Φeic Z - I. Quanquam enim haec
25쪽
Li s. I. aequatio resolvi nequit; tamen constat Z aequari expressiom cuia piam ex variabili & constantibus compositae ; ac propterea fore Z Functionem quamdam ipsius Caeterum de Functionibus transcendentibus notandum est, eas demum fore transcendentes , si operatio transcendens non solum ingrediatur, sed etiam quantitatem variabilem afficiat. Si enim operationes transcendentes tantum ad quantitates constantes pertineant, Functio
nihilominus algebralaa est censenda : uti si e denotet circum urentiam Circuli, cujus radius sit - I , erit utique c quantitas transcendens , verumtamen hae eXpressiones c Φ ; cs'; ψύ&α erunt Funmones algebraicae ipsius Parvi quidem est momenti dubium quod a quibusdam movetur, utrum ejusmodi expressiones Funissionibus algebraicis annumerari jurh possint, ne ne ; quinetiam Potestates ipsius i , quarum exponentes sint numeri irrationales, uti r , nonnulli maluerunt Functiones inte scendentes quam algebraicas appellare. 8. Fianctiones; algebraicae siubdividuntur in Rationales O bratim natis : illae sunt, si quantitas variabilis in nulla irrationalitate involvitur ; hae vero , in quibus signa radicalia quantitatem vari bilem assciunt. In Functionibus ergo rationalibus aliae operationes praeter Ataditionem . Subtractionem , Multiplicationem , Divisionem , &Evectionem ad Potestates, quarum exponentes sint numeri i tegri , non insunt : erunt adeo a Φῆί a - ,
ar'-bi ; &c. Functiones rationales ipsius r. At hujusmodi expressiones s. aa --ἰ a - is : e erunt Functiones inationales ipsius r. Hae commode disinguntur in Expliestas O Implicitas.
Explicitae sunt, quae per signa radicalia sunt evolutae, cujusmodi exempla modo sunt data. Implicitae vero Functiones irrationales sunt quae ex resolutione aequationum ortum habent.
Sic Z erit Functio irrationalis implicita ipsius r, si per hujusmodi
26쪽
.xplicitum pro Z , admissis etiam signis radicalibus, exhibere C A p.
non licet; propterea quod Algebra communis nondum ad hunc persectionis gradum est media. s. Functiones rationales denuo subdividuntur in Integras O
In illis neque t usquam habet exponentes negati Vos, nequo expressiones continent fractiones, in quarum denominatores Pantitas variabilis r ingrediatur : unde intelligitur Functiones metas esse , in quibus denominatores Gontinentes , Vel EXP nentes negativi ipsius r occurrant. Functionum integrarum
haec ergo erit Formula generalis : a Φ Φ cr' - - dr' ερ &c. nulla enim Functio ipsius r integra excogitari
potest, quae non in hac expressione contineatur. Functiones.
autem fractae omnes, quia plures fiataones in unam cogi pota sunt , continebuntur in hac Formula :ubi notan sum est quantitates constantes a , b, c , d, &c. α, g, γ, &c. sive sint assirmativae, sive negativae, sive integrae sive fractae, rationales sive irrationales, sive etiam
n scendentes, naturam Functionum non mutare.
Io. Deinde potissimum tenenda es Functionum divisio in Uni
formes ac Multiformes. Funetio autem uniformis est, quae si quantitati variabili valor determinatus quicunque tribuatur, ipsa quoque unicum valorem determinatum obtineat. Functio autem Multiformis est, quae , pro unoquoque Valore determinato in locum variabilis r substituto , plures valores determinatos exhibet. Sunt igitur omnes Functiones rationales, sive integrae sive fractae Fit mones uniformes; quoniam ejusmodi expressiones , quicun-.que valor quantitati variabili tribuatur , non nisi unicum valorem Praebent. Functiones autem irrationales omnes sunt multiformes; propterea quod signa radicalia sunt ambigua, & geminum valorem involvimi. Dantur autem quoque inter Funetiones transcende ites,& uniformes multiformes : quinetiam habentur Func-
27쪽
L in. I. tiones infinitissimes ; cujusmodi est Arcra Circuli Sinui r rem pondens ἔ dantur enim Arcus circulares innumerabiles qui omnes eumdem habeant Sinum. Denotent autem lue litterae
P , Q, R , S , T &c. singulae Functiones uniformes ipsi II. Functio biformis ipsius 2 es ejusmodi Functio , quae pro
quovis ipsius 2 valore determinato , geminum valorem praebeat. Hujusmodi Functiones radices quadratae exhibent, ut
in : quicunque enim valor pro statuatur expressio v -- duplicem habet significatum , vel affirmativum vel
negativum. Generatim vero Z erit Funirio biformis ipsius , si determinetur per aequationem quadraticam Z' - PZ
patet cuique valori determinato ipsius r duplicem valorem d terminatum ipsius Z respondere. Hic autem notandum est, vel utrumque valorem Functionis Z esse realem , vel utrumque imaginarium. Tum vero erit semper , uti constat ex natura aequationum, hinorum valorum ipsius Z summa P, ac productum Q. I 2. Functio triformis ipsius E es, quae pro quovis ipsus a viatore, tres valores determinatos exhibet. Hujusmodi Functiones ex resolutione aequationum cubicarum originem trahunt. Si enim fuerint P, Q, 8c R Functionesunnrmes, sitque Z' - PZ' Φ QZ. - R - o, erit TFunctio triformis ipsius quia pro quolibet valore determi-- nato ipsius r triplicem valorem obtinet. Tres isti ipsius Z val res unicuique valori ipsius r respondentes, Vel erunt omnes reales , vel unicus erit realis , dum lani reliqui sunt imaginarii. Caeterum constat horum trium valorum summam perpetuo esse - P; summam iactorum ex binis esse Q,&productum. ex omnibus tribus esse - R.
13. Functio quadriformis ipsius et es, quae pro quovis ipsus a
valore quatuor valores determinatos exhibet. Hujusmodi Functiones ex resolutione aequationum biquadraticarum Disit irod by COOste
28쪽
ticarum nascuntur. Quod si enim P, Q, R, dc S denotent C p. I. Functiones uni se mes ipsius r , fueritque Z' - PZ -QZ' -- RZ-S - o , erit Z Functio quadriformis ipsius r p eo quod cuique valori ipsius quadruplex valor ipsius Z respondet. Quatuor horum valorum ergo , vel omnes erunt reales , vel duo reales duoque imaginarii , Vel omnes quatuor erunt imaginarii. Ceterum perpetuo summa horum quatuor valorum
ipsius Z est P , summa sectorum ex binis Q , summa
factorum ex ternis R , ac productum omnium S. Si mili autem modo comparata est ratio Functionum quinqueformium & sequentium.1 . Erit ergo Z Functio multiformis ipsus et , quα, pro quovis valore laseus 2, tot exhibet valores quot numerus D continet unitares ; si Z definiatur per hane aequationem Z' - PZ' FQgn RZn 3 H- SE' 'ε - Oc. - o. Ubi quidem notandum est n esse oportere numeriim integrum ἔ atque perpetuo, ut dijudicari possit quam multiformis sit Functio Z ipsius , aequatio, per quam Z definitur , reduci debet ad rationalitat m ; quo facto exponens maximae potestatis ipsius Z indicabit quaesitum valorum numerum cuique ipsius r valori respondentium. Deinde quoque tenendum est litteras P, Q, R, S, &c. denotare debere Functiones uniformes ipsius : si enim aliqua earum jam esset Funetio multiformis , tum Functio Z multo plures praebitura esset valores unicuique valori ipsius r respondentes , quam quidem numerus dimensionum ipsius Z indicaret. Semper autem, si qui valores ipsius Zfuerint imaginarii, eorum numerus erit par ; unde intelligitur , si fuerit n numerus impar, perpetuo unum ad minimum Valorem ipsius Z fore realem : contra autem fieri posse , si numerus nsuerit par , ut nullus prorsus valor ipsius Z sit realis.1s.-Z eis odi fuerit Functio multiformis ipsus Z ut perpetuo nonnis unicum valorem exhibeat realem p tum Z Functionem uniformem ipsus Z mentietur, ac plerumque loco Functionis uniformis Hurpari poterit. Euteri Introduci, in Anal. ion. parv. BDiuitigod by Cooste
29쪽
LI R. I. Εjiismodi Functiones erunt P , v P P, &c. quippe quae
perpetuo nonnisi unicum valorem reale in praebent, reliquis omnibus existentibus imaginariis, dummodo P fuerit Functio uni
formis ipsius Hanc ob rem hujusmodi expressio P ' , qu tius n fuerit numerus impar , Functionibus uni Armibus annumerari poterit; sive m hierit numerus par sive impar. Quod si
autem n fuerit numerus par , tum P' vel nullum habebit Valorem realem , vel duos ; ex quo ejusmodi expressiones
P', existente n numero pari, eodem jure Punctionib9s hi Gmibus accenseri poterunt : siquidem fractio ad minores terminos non fit crit reducibilis.
I 6. Si fuerit y Funclio quacunque ipsus 2 ; tum vicissim Z erit Functio ipsius y. Cum enim y sit Functio ipsius t , sive uniformis sive multiformis ; dabitur aequatio , qua y per i & constantes quantitates desinitur. Ex eadem vero aequatione vicisIim per y & con flantes definiri poterit; unde quoniam y est quantitas variabilis, aequabitur exprestioni cX y & ccn' antibus compositae , erit que adeo Functio ipsius y. Hinc quoque patebit quam multi mis Functio futura sit i ipsius y : fierique potest ut , etiamsi y fuerit Functio uniformis ipsius r, tamen i futura sit Functio multiformis ipsius y. Sic si y ex nac aequatione per definiatur ; y' ayr - bis; erit utique y Functio triso mis ipsius r , contra vero 3 Functio tantum hi formis ipsius y. 17. Si fuerint y ο κ Functiones ipsius Z , erit quoque y Fun tio ipsius x , O vicissim x FuncZio ipsus y. Cum enim si ty Functio ipsius r, erit quoque t Functio ipsius y: similique modo erit etiam i Functio ipsius x. Hanc ob rem Functio ipsius y aequalis erit Functioni ipsius x; ex qua aequati ne & y per x & vice veris x per y definiri poterit: quocirca manifestum est essey Functionem ipsus x, atque x Functionem Diuili do by Cooste
30쪽
IN GENERE. II ipsius y. Saepissime quidem has Funmones explicite exhibere C Α p. I
non licet ob desectum Algebrae; interim tamen nihilo minus , quasi omnes aequationes resolvi possent, haec Funditonum recia procatio perspicitur. Ceterum per methodum in Algebra traditam , ex datis binis aequationibus , quarum altera continet y& γ , altera Vero x i , per eliminationem quantitatis r sommabitur una aequatio relationem inter x & y exprimens. I 8. Species denique quadam Funclion peculiaressunt notanda; - sic Functio par ipsius Z es, quae eundem dat valorem ,sve pro Eponatur valor determinatus - ksve - k.
Hujusmodi ergo Functio par ipsius erit E; sive enim p natur I k , sive i - - k, eundem valorem praebebit EXpressio , nempe H- . Simili modo Functiones pares ipsius r erunt hae ipsius r potestates r', ', ',& ge
neratim omnis potestas r , si fuerit m numerus par , sive
amrmativus sive negativus. Quin etiam cum mentiatur Functionem ipsius r uniformem , si ri sit numerus impar, peria picuum est sore Functionem parem ipsius', si m fuerit numerus par , n Nero numerus impar. Hanc ob rem , expretasiones ex hujusmodi potestatibus utcunque compositae praebebunt
Functiones pares ipsius r ; sic Z erit Fundito par ipsius si fuerit Z - a ε b ' - - &c. item si fuerit Z OLEI ; Similique modo exponentes fractos ipsius r introducendo , erit Z Functio par ipsius t si fuerit Z - a - - - - cap Η- de &c. vel Z - aε b in e -- Φ &c. vel Z
a 1 haec. Cujusmodi expressiones , cum Om
nes sint Functiones uniformes ipsius ἔ, appellari poterunt Func tiones pares uniformes ipsius B χ