장음표시 사용
1쪽
2쪽
R actationem istam ad extremum aggredimur,in qua de ri tate,quatenus in Geometria quidem issum habere potest, no- arendum et bis es disserendum. Hanc autem prouinciam nos aliquandὸ fusi turos esse, non semel polliciti stimus . Res ma-gm momenti es; ita nimirum Ut Iacile mihι suaserim, γωνιilii αα Geometram aliunde tam magnas suppetias ad meritatem indagandam desumere non posse; praesertim in concinnηndis demonstrationibus, di mitimarum. ectionum, quas Anal a didicit ab Arte sua.
At mero duo midebantur se , dide quibus erat operae pretium Artificem esse ma- Duo sunt. delere sollicitum . Vnum Geometrica uectio et Alterum eis sim Demonstratiosd quidem; nam tametsi rite fuerit Anal sis ordinata, 6st inis Porisma de- :: 'ductum s nise tameν praesto set modus , quo quidem ad oblati Problematis reso-Liseisi' Gm
tutionem conducente, perficiatur uectio, nihil actum miritur; cum potius anal ' que demoliaticum laborem illum pertulisse , fit oleum, ac operam perdidisse. Erat propterea, ' 'μ' cur suam plurimas Lineas qualiscunque nobis illas dictauerit solertia, perquireremus , mi ijs midelicet opitulantibus, datum nobis foret in arenam descendere,1, Problematum illorum , quorum dissicultas Veterum torsit ingenia , nobis nego-
ty quicquam face fieret es potius ea meditatione persequi , raseluenda s sejere , nullius fere laboris foret ; cum alioquin ijs olim satisfacere, nemini Mo
talium licere , n li consilio quidem Oraculo , crederetur. Alterum , quam maxime , evidebaturin motis , quadam orat Aferendi φφ ratio, qua non fortuito uectionem ipsam, dictante Porismate, demonstraremus, pota illo
,,on Arabum et is salebrosa, ne ardua , sta quidem Euclidis incedentes ysta est ,huod , es citra puluerem fieri posse cuilibet fateri nece e sit, cam scilicet in ipsa: .i e peragenda resolutione, nullus ad solida , s multo minus ad imaginarias quantitatessit ascens s ; quam sepissime tamen exigui laboris non est , comparatam iam , hi Elfectionem Euclideo more demonstrare . aut 'an necessitate quadem adacti Bosras esse partes credidimus, hunc supplere Artis defectum ; mi his nimi, in sic locupletata, Veterum Analystarum neminem posthac nos admirari debeamus a 2 quod
3쪽
quod si fortassis perspectum ijs fuget , non tam avide sua , do industria , per- qi sitionis me stigia , occulta em ; quasi Pcsteris inuidentes hanc Artem indaga
tricem, suis merbis ab Vs extorquere mellent assensum. Antiquis tamen haben- e sunt gratiae non mulgares , quod usque nobis ariscissam illam indagandi rationem suppreferint , ατ coegerint nos ad nouam hanc proprio Adarte parandam: de qua non iniuria praesens aetas gloriari psssit - . , Haec autem Universa, quam prae manibus haumus , Tractatio vicet , qtrat is es' ' ροφ' eat ne per Analostimum omnia Potestatum genera, facto initio a uadrato , Vm- , tatis prie aio, insimplicissimas longitudinos re oluantur . Hunc itaque in monum, nedκm Potestates Us , merum etiam best ijs homogenea tractantur, nonscissae s longitudines forent i mnde demou ratio omnis per longitudines ipsas procedit; ac proinde quamuis Anabsis ad Iolida , quinimmo ad imaginarias quantitates a cenderit, ' per earum aequalitatem procesierit, adhuc tamen nostra hac, quam - .. . subiicimus, Methodo, licet eiusdem Anal eos mestigia repetere , ad demonstratio-xi, ma nes contexendas , tam solidis , quam altioris ordinis quantitatibus neglectis, et . et mi non minus Geometrica uectio, quam eiusdem legitima demonstratio fit obuia.
φή μ ' Opus quidem hactenus inaccesium, magnopere tamen exoptatum; non enim Artisci parum erat dedecori , hinc non demonstrationem , sed uectionem ipsam attendere. Euantum porro Veteres Anal in peccassent in Arte , non erit operosum intelligere ex ijs, quae proprio Marte, haud aduss inuitis, adinvenimus. Pristim igitur de Geometricis uectionibus agendum: postmodum autem de i n. ' contexendit demonstrationibus Vnitatis praesidio disputandum : deinde haec eadem 69 dς Exemptis illustranda sunt ; Tandem Appendicem de Maximis , di Minimis
bi ut in ad sui, lemus, in qua niuersalem ,generalemiud nemo tranaιIormam, perquiprio' τ aitu,' IInisque modum asseremus; auamuis enim Veteres, non sine magno mistulissplen- 'μ ' dore, nominisque celebritate, hae de re Lucubrationes ediderint,tamen nusta id lege fa- .
ctum ab st sis iure dixeris; quicquid en sunt, de Masias, δ' Minimis tractantes, mimiait uti, casu potius , quam Artificiosa disserendi ratione praestitisse, uidentur.
i N M lentiores contra ad praecepta industriose admodum omnia redigentes, Artem re- indagandis solutricem, non sine magno Reipublieae Litterariae commodo, at utilitate auxerunt.
is .citis' Hac igitur huius Tractationissumma esto. Superes, ut hὶc Lectorem certiorem Daciamus, nobis in animo quidem se , hac methodo beneficio Vnitatis absoluta ', generalem quandam resoluendi, componendique normam tradere, atque docere; non
quasi innumera Problemata , alijs Methodis, resolui non posse existimemus quo non fuit prorsus abs re animaduertisse sed quia eo saltem nomine Me ceteris p Vmi 'μ ferenda uidetur, qηod ad infinita, eaque di ilima resoluenda Problemata conducit i ''' , musta suauis res uarum vitulationς obusem ita προ sic t.
4쪽
Ffectio Naturae ordine demonstrationem praecedit; quamobrem primum hic de ipsa disserendum. Est autem Effectio in Analyticis operatio a Porismate proscri- epta; cum enim in omni Probicinare sit aliquid nobis operan ' ''. dum, & quid operandum sit Porisma praescribat: hoc ipsum . mi est quod cffectionem appellant. Cum a uicin dicimus, in quouis Problemate aliquid nobis operandum csse, ac illud a Porismate praescribi, sano id modo intclligendum, ut suo loco monuimus; nam re vera nihil cst, quod operamur, sed per hunc loquendi modum significamus ortum, seu gencsin, vel alicu-
ius diuisiora , additionis, vel alicuius figurae, vel alicuius pro
portionis &c. nihil cst, inquam, quos operamur; haud enim concessum cst nobis lineam ducere, figuras describere &c. nisi intellectu, ac imaginatione; At si id, quod nobis imaginari licet, aliquid a nobis operabile dicendum erit, tunc dicemur aliquid operari, cum aliquid, quod in re non est, imaginatione cringimus. Num vero id rite sit dictum , Penes te iudicium esto. Superius enim aduertimus, nec Arithmeticam, nec Geometriam cic. csse de re operabili, si res operabilis accipiatur iuxta communcin usum loquendi; Maquod si sumatur pro omni eo, quod nos operari valeamus, etsi tantummodo actibus intellectus, sic coni de re operabili; unde lineam ducere , circulum describere, caeteraque perficere, quae in huiusmodi Disciplinis locum habent, hoc sensu crit operari; ac ob id co- -- Ου--gnitio,quae de his est, si circa haec ipsa versetur operabili modo, praescribendo scilicet prae- ρο- cepta, ac regulas, quibus nos actibus mentis lineam imaginatione descriptam, hoc , vel illo modo diuidere valeamus, & alia consimilia conficere possimus, practica dicctur; at quae in sola veritatis indagatione sistit, nec nobys inseruire potest ad hoc, vel illud, nee etiam actibus mentis operandum,in magnitudinibus,numeris&c.c5tcplativa nucupabitur.
EEctio igitur, de qua loquimur, eo sensu est usurpanda, quo in his, & consimilibus esse quid a nobis erici dici potest.
Ad hanc igitur Essectionem quod attinet, reuocandum cst in memoriam . quod suo lo- ois,. eo non semel a nobis inculcatum fuit, nimirum omnia linearum genera adhiberi poste 'mcum omnino a veritate alienum arbitraremur, Geometram tantummodo circulo, linea- Σ isque recta uti posse; id enim intollerabile duximus; quamobrcm liberum existimamus Geo Nisi. Instrae quodcunque lineae genus assumere, cuius natura ad oblati Problematis cffectionem conducit. Non solum igitur lineam circularum, cum linea rcctat, sid omnes sectiones conicas, nimirum lineas, Parabolicam, Hyperbolicam, o Ellipticam; praeterea Concoideam,Cycloi- ,. deam &c. de quibus intitio multa diximus; adhiberi posse consemus. His autem ad ijcimus Arai illas, quas Mediceas dicebamus. Solertia igitur Ai tisicis crit Oblati Problematis naturam I 'ρο introspicere, ac diligenter attendere , quod nam sit lineae genus, ad optatam Effectione ni conducens; nam quaecunque illa extiterit, ea est adhibenda; in quo tantum illud cst obseruandum, ut si plures lineae proposito satisfaciant, ca seligatur, quae minus composita cst: unde si Problemati satisfacerc licet praesidio inacae cireularis cum linea rccta, cauendum a lineis magis compositis, ut a parabolica, hyperbolica, &c. Sed ut in arenam descendamus; primum occurrit considerandus modus, quo alij Pi o- ν, - - .Q; hiemata, quae solida dicuntur , construere consueuerunt; omnia enim problemata, quorum Effectio lineam magis compositam, quam circularcm rcquirit, solida nunc ut arunt; iSed nos antiqua retenta partitionc Problematum, in Plana, Solida, & Linearia, procedi I ' ' i' vmus, contendentes, ijs Problematibus, quorum constructio, siue Essectio, nequc per cir- rmii. culum, neque per conicas sectiones haberi potest, per alias lincas, tum antiquas, tum a nobis excogitataS, quae tamen, Vtpote communis bimae, omnibus Problematibus tuleruiunt,plenh , ac plane satisfacere. Erat autem subsequens moduS, quo Cartesiua utebatur, ad construcada Problemata solida. 'o-
5쪽
Problemata foIda ad aequationes trium, vel quatuor dimensionum reuocara rufus, ad eum qui sequitur modum, construxit.
Conicae sectiones praecipue vero ea, quae Parabole dicitur, suppeditat nobis viam ad construenda Problemata solida, quae ad aequationem trium, vel quatuor dimensi
Id autem, ut asscquamur, iuuabit secundum arquationis terminum de medio tollere, unimirum adiit obseruatis praeceptis iam supra traditis; atque adeo oportebit aequationem ad hanc sormam redigere u' τα b p u; b' q,quando nimirum incognita quantitas tres ta tumnio id dimensiones habeat. Vel ad hanc reducetur u b p u'; b' q u; byri, si videlicet ignorata quantitas quatuor dimensiones habuerit; cumque b, sumi possit unitatis loco, proindξ prior illa reducetur ad hanc it p ii, q ; Secunda vero vero ad istam v p u', q u, r. Supponamus Parabolen FAG, iam esseo ob descriptam utimur demonstratione Carte', recte concludentest eius autem axis sit AC DKL. Sit autem recta iuxta quam possunt o dinatim applicatae, siue latus rectum B quid autem sit latus rectum Paraboles patet eX APpollonio : illud vero statuendum est b, vel I ast porro dimidium ipsius A C. Punctum a tem C sit intra Parabolen , cuius vertex sit A. Oportet autem facere CD m 4 p, quae sumenda est in recta A C, continuata versus C , quando nimirum in aequatione habeatur,F p, vcrsus tamen alteram partem, si adsit -- p. E puncto autem D, vel ex puncto C, cum non habetur quantitas p , crigatur a axem perpendicularis DE, aequalis et qa deinde centro E, dcscribatur circulus F G, c ius semidiameter sit A E, non intercedentes quantitate r. Quod si haec intercesserit utrinque si tamen signo Φ, assciatur producatur - - A multerius, & in hac linea A E, hoc pacto utrinque producta sumatur ex una parte A R-Kcx altera vero A S, quae sit aequalis lateri recto Paraboles ; quod quidem supponimu* vise 1 . Describat ur vero circulus, cuius diameter R S, & erigatur A H, perpendicularis ad AL , occurrens huic circulo in H, puncto per κquod circulus alter F H G, transire debet . At in
vero si quantitas r, assiceretur signo opor- . ltcret in alio circulo , cuius diameter A Et oporteret,inquam, inscribere AI, aequalem inuentae AH, & per punctum inuentum I. primus ille circulus FIG, transire debet, primus, inquam, circulus quaesitus. Oportet autem animaduertere ab hoc circu
lo secari, vel tangi posse Parabolen in uno, vel duobus, tribus, vel quatuor punctis, a quibus nimirum, si ad axem demittantur lineae per- .pendiculares, habebuntur omnes aequationis
6쪽
radices tam verae , mr3m salsae . Itaque si uastitas , quae ponebatur q , affecta sit signo H. , radices verae erunt illae ex his perpen dicit laribus, quae nimirum ex eadem parti Paraboles, qua est E, circuli centrum , reperientur, quemadmodum FL, reliquae auate in, ut G ς; Aisae erunt. Contra vero si quai titas q, praedicia affecta fuerit signo - , illae quidem verae erunt, quae ex altera sunt parte, falsae autem, quae ex parte illa, ubi centrum E. reperitur. Quod si eueniat ut circulus hic, neque secet, neque tangat parabolen in aliquo puncto, id plane argumento crit aequationem, nullam radicem admittere , neque veram, neque salsam, sed tantum imaginarias. Supponamus autem GK, inuenistam esse, radicem quaesitam ii; A Κ , erit u i siquidem G K in Parabolae , , ς medio loco proportionalis est inter A K, & latus rectum: cumque latus rectum sit et , sequitur A Κ, esse u . Si verb ab A Κ, auseratur A C, quae est et, cum sit dimidium lateris recti, ut, & C D, quae est et p, remanebit DK, siue EM; u et p--et, huius autem quadratum est v, - p u uerat autem DE, siue Κ M; V q; Quamobrem tota G
M , erit u δε ξ ct i cuius quadratum est v φq u ε -- q duobus autem additis hisce quadratis , defiet u -- p u' Fquq q Φ , pro quadrato ipsius rectae GE, quae nimirum est basis trianguli rectanguli E M G. Cum autem haec eadem linea GE, sit circuli F G, semidiameter, erit etiam alijs modis e plicabilis . Si igitur E D suerit et q, & A D, et P γῆ et , certe E A, erit, πιξ q'Φ p peo quia triangulum illud fit rectangulum, cuius rectus angulus cst A DE. Cunia autem A H, sit media proportionalis, inter rectam A S, positam aequalem lateri recto , quod esse et, dicebamus, dc rectam AR, quae est r proinde A H erit ' r, quia vero anguis lus E ' H rectus est e quadratum ex E H, siue
Et pcr Antithesin in v p u q u q. rHuius igitur aequationis radix erit G Κ,quae
7쪽
Praesidio huIus parabolicae sectionIs Inter duas datas rectas lineas haud est dissicile duas
alias medio loco proportionales ad inuenire . Supponamus itaque datas esse rectas b,q, inter uas operae pretium sit reperire duas rectas meio loco propoationales in proportione continua . Dicamus unam ese u , crit autem ut b,
ad v, ita u, ad Τ , S ut 0, ad F, ita P ad Ei
quamobrem aequatio fiet huiusmodi m q, nempe u)m ' b' qi modo vero describatur Parabole F A G, & ex cius axe sumatur segmentum A C ι quod aequale sit dimidio lateris recti eiusdem Paraboles, quod cum diceremus
csse i , praedictum segmentum erit - . Erigatur ex puncto C perpendicularis C E, quae aequalis sat dimidio iam datae que & centro E, per A, descripto circulo A F, innotescent F L, L A , mediae quaesitae.
Cum autem Cartesius omiserit demonstrationem, qua scilicet ostendatur quambr luneas b, L F, L A, & q, continue proportionatos esse ; proinde non crit abs re, id quam
Rit Parabole A C, cuius axis sit A B, Vertex autem A , latus rectum sit b, cuius dimidio fiat aequa te segmentum A D, ex quo puncto agatur D E, quae sit dimidia datae rectae inter quam & b,
oporteat reperire duaS medias proportionales a Deinde centro E, interuallo vero E A , describatur circulus secans axem A B in K. , & sectionem ipsam in C; modo protracta D E, ulterius usque ad peri phoriam circuli , &per punctum C, ducatur recta parallela ipsi D E, quae sit c H, at vero fiat E F, aequalis ipsi E D, cadat ex puncto F, recta FG, ad rcctos angulos cum F D, ac proindd parallela rectae DB, occurren* lineae CH, protractae in G; haec
vero cx alia parte protrahatur occurrens rectae AB, in 1. Dico CI, IA, duas medias esse proportiona . -- - r Lles inter b, & q . Quoniam enim CI, est semiordinatim applicata, erit rectangu Ium lubb.& AI, aequale quadrato e CI, constat ex Apollonio 1. lib. Coni. vi igitur b, ad c Itita L. I, ad IA ; at vero GI , aequalis est F D, & F D, aequalis est q , ex constructione, e so rectan ovium comprehensum sub GI, & IC, idem ςrit quod sub q, & CI: sed rectantulum GI C, siue sub GI, & I C, aequale est quadrato ex I A, ergo rectangulum sub CL& q , aequabitur quadrato eX IA; quamobrem erit, ut C I, ad IA, ita I A ad q, itaque quatuor proportionaleb erunt b, CI, IA, q. . Quod autem rectangulum GIC, aequale sit quadrato ex IA, demonstraturi quadratum enim ex IA, aequale est a rectangulo AI K , plus rectangulo I A Κ, sed rectangulum' A I k, aequale est rectangulo HIC, ergo quadratum ex IA, aequabitur rectangulo HIC, plus rectangulo I A v, sed rectangulum I A h, aequale est quadrato cx CI, ob naturam Paraboles: siquidem A K, arquatur b, lateri yccto eiusdem, ergo quadratum ex I ri , ae Quale erit rectangulo HIC, plus quadrato ex CI, hos est ex G H, sed rectangulum HIC, plus quadrato ex G H, aequale est rectangulo GIC, ergo rectangulum GI , aequat Ρcrit quadrato ex AI, recte igitur dicebamus esse continue proportionales b, CI, IA, Ocs; Quod ostendere oportebat
8쪽
esint liuet illud idem, quo lib. 2. de Resolutione, O Compositione ostendimus see.
HIc enim nitaIiud colligitur, quam qu9d superiori demonstratione consecuti sumus licet in ipsa demonstrandi forma discrimen aliquod tyroni videri posset.
Dicebamus enim. Quoniam rectangulum
FCG aequale est rectangulo ACB; utrinquo addito quadrato G C; ergo rectangulum F C G, plus quadrato G C, hoc est rectangulum E C G, aquabitur rectangulo ACB, plus quadrato G C; sed quadrato G C aequale cst rectangulum C A B, ob parabolen; est enim A B aequalis AK lateri recto 2 ergo rectangulum E C G, aequabitur re tangulo ACB, plus rectangulo C A B: sed rectangulum ACB, plus rectangulo C A B, est aequale quadrato A C; ergo rectangulum . E C G, aequabitur quadrato A C; ergo ut E C, ad AC, ita AC, ad CG; sed ut AC, ad CG, ita C G, ad A B, ob parabolen, cum rectangulum B A C, hoc est sub A K Iatcre recto, & ax A C, aequale sit quadrato C G; crgo ut E C, ad A C, ita A C, ad C G, & ut A C, ad C G, ita C G, ad A B; ergo inter duas E C, A B, duae quidem A C, C G mediae continuὶ proportionales inuentae sunt. At verb E C est ex constructione aequalis Ζ, & A B aequalis Υ; ergo inter duas datas Z, Y, duas adinveni, mus medias proportionales A C, C G, in continua ratione. Quod facere propositum erat. Vides igitur hanc demonstrationem a superiori verbis
HInc etiam patebit anguli rectilinei trisectio.
Sit igitur angulus rectilineus N O P: diuiadendus trifariam, siue arcus N QT P, diuidendus sit in tres partes aequales; Sumatur NO, aequalis I, pro radio circuli, & NP, aequalis q, pro subtensa dati arcus, atque N aequalis v, pro subtensa trientis eiusdem arcus, crit ut N O,
ducta nimirum QS, parallela ipsi TU; ductis autem N Q, O Q, & O T,de cum O N,idem quod 1, & N in supponatur u , in , eritu',&RS,
Et quia RS, seu u' impedit quominus N P, sit tripla ipsius lineae N in quae nimirum est u; consurget aequatio proinde huiusmodi, qza 3 u
NQ, QR, R S, patet; nam triangulum O N in simile est triangulo NQR; siquidem angulus ad Q. communis est; & angulus QN R. hoc est P,est insistens arcui QP,cui insistit P,cuius dimidium Q o T, seu N O Q; quare No in aequabitur QN R; ac proinde triangula erunt similia, ergo ut O N, ad Noe ita N id O: & quia triangulum QR S, simile est triangulo N i angulus enim ad R, est communis;anguli, O T, seu QO N,hoc est QN R, & S sunt inter se aequales , ergo, & reliquus QS R aequabitur reliquo N O; quare triangula erunt aequiangula, atque adeo similia; scit. triangulum S R Q, simile erit triangulo N QR; proinde, ut
N in ad Q R, ita QR, ad R S; sunt igitur proportionales O N, N , O, R S; Quod
9쪽
dui,nempe sumatur q' Φ π p) : ex hoc autem latere subtrahatur q, ita ut fiat - 4 q R : q' Φ π p' , huius porro resid ut latus cubicum crit 3y c et q- q' ξ p' sactaque subtractione, ut dictum est, sutura est radix, ut hic vides .
Hoc est Rc I 28 - Rc8 Hoc est i a - a , Hoc est ro ,&ita ro exit radix propositae aequationis Huius autem methodi demonstratio sic se habet. Supponamus A B, aequari u , est autem u, radix supe- A B Crioris aequationis, quae quidem supponitur valere 1 o adeo I
atque triplum productum recta- q Differentia cuborum supradictoruorum A C, B C, A B, simul aequantur cidem differentiar q; quandoquidem cubus ex AB; plus cubo, ex B C, plus triplo producto rectarum AC, B C, AB, simul aequatur cubo lineae A C. Vt enim q, est differentia inter illos duos cubos ψ q R : q - p' &- q- q'πp' ita cubus ex A B, plus triplo producto rectarum AC, B C, AB, simul; proinde cubus ex A B, plus triplo producto, rectarum AC, BC, AB, aequabitur q. Proinde u', nempe cubus CX A B, una cum triplo producto linearum A C, BC. A B, aequabitur q. Illud autem triplum productum comparabitur si multiplicemus bino-mium'c q F R et q' -b ξ p'P aequale rectae A C, per residuum iv c - ῆ q' se q'-n pu aequale rectar B C. At vero instituta multiplicatione, ut vides cx si1 et q' in p' in certe et q ' ξ pUnsuper ex t et q,in - q,sit q': si igitur ad istud ' seip', addatur q', fit summa i ,p'; Etenim Hi, ct in additione subtrahuntur Producta
10쪽
Producta vero facta ex ' - q, & q in Radicem illam nimirum
a quoniam Unum euadit affectum signo i, alterum v ro signo-; proinde se mutuo dc- struunt;quamo ire si ducatur P c
Icu p' radix cubica ipsius 4 p'; fit autem illud productum D c - pl); quoniam radices cubicae ligatae fuerunt multiplicate; proinde etiam productu debet esse tale, nempe radix ligata M. triplum autem productum erat enim inaequatione plus triplo producto rectarum AC,BC, AB ,erit quidem p,hoc autem si multiplicetur per u ; quoniam productum ex AC, in BC, fuit ductum in A B; proindE siet p ui quainobrem u' p p u, aequabitur q, vel ii', qua
bitur-- p uΦq, Veldemum u' uel pu qm O. Superius a nobis assumptum fuit,
a labai Φb aquod verisimum est nempe. Si suerit recta A C utcunque in B, diuisa, cubum lineae A B, plus cubo lineae BC, atque triplo producto linearum A C, B C, A B, simul aequari cubo lineae AC. Supponamus A
C, a quabitur a bb; erit autem
productum linearum AC, BC, AB, idem quod b a' -F b' a, huius tripluest a b a Φ 3 b' a, huic autem si ad- a' se a b a' t a b a se bdantur cubi linearum A B, B C, fiet a' a b a' Ψε 3 b' a 3F b'; haec autem summa, a qua- . lis est cubo ex recta A C, nam haec erat a , b b,cuius cubus constat opere multiplicationis. Vidimus hactenus methodum explicadi primum arquationis genus nunc ad secundum. Sit igitur arquatio u' τα ' Τ p u t q, siue quod idem est ii' p u zz q; huius arquationis
Summa cuborum, utriusque linear ,'erit q. .
tur q. Triplum enim productum, rinarum AB, BQ & AC, seu ii, plus cubis rectaru AB, B aequatur cubo ex AC,seu ex tr;quare si a cubo ex A seu Mnempe ab u',auscramuS triplum productum,ex AB, BC, S u, remanebunt cubi linearum
brem eius radix cubica p, crit quoque productum; huius autem triplum est Π, Quo ducto in ii, sit p u, aequale triplo producto linearum A B, B C, A C a & quia u', minus huiusmodi triplo producto aequabatur cubis ex A B, B C, qui aequales erant q; proinde u Pu, aequabitur q. . 'ΓΩ - ' B a Numeris