장음표시 사용
11쪽
N umeris autem illustratur superior doctrina hunc in modum. Sit aequatio sc 7r Rrgo. Sumatur dimidium numeri 28o, nempe i o, &ab eius qua arato subtrahatur13824, nempe quotiens, qui oritur diuiso 373248, cubo cx 7a,per 27,& remanet S 776, cuius radix quadrata est 75, qua subtracta cx i o, rem anc t 6 , huius radix cubica est , quae seruanda est. Sumatur idem igo, cui addatur 75, nempξ radix illius numeri , 776, ortum ducentis ex illa subtractione; facta autem additione habetur ai6; cuius latus cubicum est 6, cui addatur latus cubicum 4, supcrius seruatum, & fiet io , pro radicet quaesita. Non raro contingit stante aequatione u ' p umq, Seu u pu π: q ; Quadratum dimidij ultimi termini scilicet q, non cllic maius cubo trientis quantitatis cognitae, penultimi termini nempe p; Tunc supponcndus circulus N QP V, cuius semidiameter erit N O, isque . sit p ; siue media proportionalis inter tertiam partem quantitatis notae p , & unitatem. Huic circulo supponatur inscripta N P, quae sit ἰ nempe, ut sit ad alteram datam quantitatem q, ut unitas ad temtiam partem ipsius p; modo Vterque arcus, tam scilicet N QP, quam N VP, diuidatur trifariam; tunc enim N radix erit quaesita quemadmodum N V Itaque istius aequationis radix non alio modo exprimetur, quam dicendo, eise subtendentem illius arcus, qui tertia pars est arcus illius cuius subtendens est , radio siuξ semidiametro existente uno. Vel illa, quae subtendit tertiam partem reliqui arcus &c. Quamobrem si daretur aequatio r c io R 36; procedendum, ut supra. Sed ad generalem nostram construendi rationem accedamus.
Lineae MEDICEAE, quas Auctor adgeneralem Esectionem Problematum
excogitauit , luculenter explicantur. Praetermissis autem Lineis antiquitus excogitatis, de quibus iam supra multa diximus , proximum est, ut quas adinvenimuS, laic subi ciamus, quarum tria sunt genera. Quorum Primum decem continet Lincas.
Primum genus Linearum MEDICEARUM , O ad hoc primum genus' pertinentium
Pro effectione Geometrica, cum AEquatio fuerit ΡRimi generis Linearum . quas Mediceas appello, prima quidem est illa, qu, ad
Geometricam effectionem conducit Problematum eorum, quibus fit satis per aequationem, in qua Quadratum afficitur adiunctione plani sub latere, dataque corificiente, Iongitudine. Idem profecto, quod, dissimulare non licet, Circuli beneficio consequimuri quia tamen nobis propositum, est lineis, quas adinvenimus, Problematibus omnibuς obuiam ire; hanc ob id placuit quoque in medium inuehere, ne ex hac parte desecisici vi
deremur . Sit igitur aquatio a' b a et , ad quam Analysis conduxit, ut ea explicara Geometrica
Essectio,dinante Pori male gomparetur. Resoluta in Analogimum, ut par est; fiet vi a se λ
12쪽
Exposita sit recta A B, quae sit cocm- ciens longitudo, eaque intelligatur ad partes B, in infinitum producta: & in ipsa producta sumantur qualescunque partes
ex punctis B, C, D, E, F, G, H dcc.cri-- gantur perpendiculares,& inter AC, BC, media reperiatur proportionalis; item
inter A D, B D; item inter A E, B E; insuper inter A F, B F; item inter AG, BG, insuper inter AH, B H; & ita deinceps, quibus med ijs proportionalibus fiant et quales CK, DL, EM, FN, GO, H P. Per puncta vero B, Κ, L, M,N, O, P, intelligatur ducta quadam linea, haec illa est. quae ad Eisectionem praedictam conducit; erit enim rectangulum AC B, aequale quadrato C Κ, nec dissimiliter rectangulum A D B, a quale quadrato D L, & sic de reliquis sed rectangulum A C B aequale est quadrato B C, una cum rectangulo A B C: ergo quadratum BC, una cum rectangulo A B C, aequabitur quadrato CK, & quadratum BD, una cum rectangulo A D B aequabitur quadrato D L, dc ita deinceps. Huiusmodi igitur
indolis est linea BKLMNOP, ut si ex quocunque puncto, exempli gratia Z, erigatur quaedam perpendicularis L Υ, quadratum BZ, una cum rectangulo ABZ, aequale sit quadrato Z Y; quamobrem si coelsciens longitudo fuerit AB, & in perpendiculari creeta ex puncto B, secetur B X aequalis rectae, quae possit comparationis homogeneum;&.cκ puncto X agatur X Y parallela ipsi A H ; ex puncto ucro Y, cadat perpendicularis YZi quadratum B L, una cum rectangulo ABZ, aequabitur quadrato Z Y, seu B L. I motea scit igitur ignota quantitas, nempe BZ, utpote illa, cuius quadratum una cum rectangulo A B Z aequatur quadrato B X. Propositae igitur aequationis radix crit B Z, cum eius quadratum, una cum rectangulo sub eadem, dataque coelficiente longitudine A B, ae quale sit quadrato B X dato comparationis homogeneo.
Haec igitur est genesis primae lineae ex ijs quas adinveni, quasque Mediceas appello. Ad primum genus pertinentium Linearum MEDICEARUM
Pro Essectione Geometrica, cum AEquatio fuerit
SEcunda linearum medicearum est, quae facit ad effectionem Geometricam Problema tum , quibus sit satis per aequationem, in qua cubus assicitur adiunctione solidi sub
latcre , datoque coessiciente plano. Sit igitur aequatio at Φ-b d, adgram Analysis conduxit, ut ea explicata Geome-ιrica essectio. dictante Porismate comparetur. Res sta in analog/ num, ut par est, sit via r l. ad bi, ita d ad a.
Exposita sit recita A B, cuius quadratum sit coeffciens planum sublaterale, ca-que intelligatur ad partes B in infinitum . protracta ; sumantur qualescunque partes BC, BD, BE, BF, BG, B H,&c. & expunctis B, C, D, E, F, G, H, &c. erigantur perpendiculares. Fiat autem ut quadratum AB ad aggregatum quadratorum
AB , BC, ita BC ad segmentum in CK;& ut quadratum A B ad aggregatum quadratorum AB, B D, ita B D ad segmentum in D L; ut quadratum A B ad aggre-KLMNO Pgatum
13쪽
gatum quadratorum AB, BE, ita BE, ad segmentum in EM; ut quadratum AB, ad aggregatum quadratorum AB, BF, ita BF, ad segmentum in F N; ut quadratum . A B ad aggregatum quadratorum A B, B G, ita BG, ad segmentum in GO; ut quadratum AB, ad aggregatum quadratorum AB , B H, ita B H, ad segmentum in H P;& ita deincePs. Per puncta vcro extrema praedictorum tigmentorum, quorum initio serit B, D, E, &c. intelligatur ducta quaedam linea; haecilia est, quae ad praedictam essectionem conducit; Cum enim sit, ut quadratum AB, ad aggregatum quadratorum A B, BC, ita BC, ad segmentum in C Κ, crit conuertendo ut aggregatum
quadratorum A B, BC, ad quadratum A B, ita praedictum segmentum in C Κ, ad B C; quamobrem solidum sub B C, in aggregatum quadratorum A B, B C, hoc est cubus ex B C, una cum solido sub B C, & quadrato A B, aequabitur solido abs segmento in C Κ in quadratum A B; & cubus ex B D, una cum solido ab eadem B D in quadratum A B,aequabitur solido abs segmento in D L in quadratum A B; α ita dcinccps. Huiuia modi igitur indolis est linea praedicta, ut si ex quocunque puncto,ek. gr. Z, erigatur quae dam perpendicularis Z Y, occurrens praedictae lineae in puncto Y, quadratum B Z, una' Cum quadrato A B, ad quadratum A B, rationem habeat, ut Z Y, ad B Z; atque adeo solidum factum abs B Z in planum, quod constat duobus quadratis rectarum A A, B Z, aequabitur solido facto abs Z Y in quadratum A g, & sic de reliquis. Quamobrem si coci ,
siciens planum fuerit quadratum rectae AB, & in perpendiculari crecta ex puncto B, i cctur B X aequalis rectar, quae ducta in quadratum A B facit comparationis homogeneum; n. . . & ex puncto X agatur X Y parallela ipsi A H, ex puncto vero Y cadat perpendicularis Vithhi' hi ii. Z, solidum factum abs B Z in planum, quod constat duobus quadratis rectarum A B, A Z. V tela intelli- hoc cit cubus B Z, una cum solido abs eadem B Z in quadratum A B , aequabitur solido gitur occur abs Z Y in quadratum A B. Innotescit igitur ignota quantitas , nempe B Z, utpoth illata φῆς imς cuius cubus,una cum solido ab eadem B Z, in quadratum A B, aequalis est solido abs Z Υ diibi, q' in quadratum AB. Propositae igitur aequationis radixerit BZ, cum eius cubus una cum
ruti f6 Y ' solido ab cadem in quadratum A B aequalis sit solido abs Z Y , hoc est B X, in quadratum
eiusdem A B dato comparationis homogeneo.
Hac igitur est genesis secundae Lineae ex ijs, quas ad inueni, quasque Mediccas a' pcllo .
Adprimumgenus pertinentium Linearum MEDICEARUM.
TErtia Medicearum linearum est, quae facit ad effectionem Geometricam Problem, tum , quibus fit satis per aequationem, in qua cubus assicitur adiunctione solidi subquadrato, dataque cocssiciente longitudine. Sit igitur aequatio a FFb a -- b d , ad quam analysis conduxit , ut ea expticita, Geometrica essectio, iactante Porismate, comparetur. RVoluia in analogismum, ut par in ,
Eesposita sit recta A B,'cocssiciens Iongitudo sub quadratica, eaque intelligatur ad partes B, protracta in infinitum, & in ipsa in infinitum, protracta sumantur qualescunque partes BC, BD, BE, BF, B G, B H , &c. & ex punctis B, C, D, E, F, G, H, erigantur perpendiculares, fiat autem ut quadratum A B, ad aggregatum
ex quadrato B C , & rectangulo ABC, hoc est ad rectangulum A C B, ita n C ad segmentum in C Κ, deinde ut quadratum K L M N O P
14쪽
AB, ad rectangulum A D B, ita B D , ad segmentum in D L, & ut quadratum A Bad rectangulum A E B, ita B E ad segmentum in E Ma& ut quadratum A B ad rectangu- Iuni A F B, ita B F ad segmentum in F N; praeterea ut quadratum A B ad rectangulum . A G B, ita B G ad segmentum in G O, & ut quadratum A B ad rectangulum A H B, ita
B H ad kgmcntum in H P,& ita deinceps. Per puncta vero extrema pra dictorum segmentorum , quorum initia sunt B, C, D, &c. intelligatur ducta quaedam linea; haec illa est, quae ad praedictam effectionem conducit. Cum enim sit, ut quadratum AB, ad rectangulum A C B, ita B C ad segmentum in C Κ; erit conuertendo, ut rectangulum AC B, ad quadratum A B, ita segmentum in C Κ ad B C; quamobrem solidum abs B C in rectangulum A C B, hoc est in quadratum B C, una cum rectangulo ABC, hoc est cubus ipsius B C, una cum solido sub A B in quadratum eiusdem B C, aequabitur solido abs segmento in C Κ, in o uadratum eiusdem L B; & cubus ex B D, una cum solido ex A Bin quadratum B D, aequabitur solido abs segmento DL in quadratum AB, & ita deinceps. Huiusmodi igitur indolis est linea praedicta visi ex quocunque puncto ex. gr. Z, crigatur quaedam perpendicularis et Y, occurrens lineae praedictae in puncto Y, erit quad. BZ,una cum rectang.ABZ,hoc est rectangulum A Z B,ad quad.AB ut Z Y ad B Z;atq;adeo solidum factum abs BZ in rectangulum AZB,seu in planum,quod constat quadrato B Z,&rectangulo A B Z , aequabitur solido facto abs Z Y, in quadratum A B; & sic de reliquis. Quamobrem si coeffciens longitudo sub quadratica fierit recta AB, & in perpendiculari erecta ex puncto B , secetur B X, aequalis rectae, quae ducta in quadratum A B,facit comparationis homogeneum, & ex puncto X agatur X Υ, parallela ipsi A H, ex puncto Huiusmodi vero Y cadat perpendicularis Y Z, solidum factum abs B Z in rectangulum A Z B, seu in linea paral- planum, quod constat quadrato B Z, & rectangulo A B Z, hoc est cubus B Z una cum H tela irKςlix lido ab eiusdem B Z quadrato in longitudinem A B, aequabitur solido abs Z Y in quadratum AB. Innotescit igitur ignota quantitas, nempe BZ, Vtpote illa, cuius cubuS, Vna mixtae cla-
cum solido ab eiusdem B Z quadrato in longitudinem A B, aequalis est solido abs Z Y, in ictio, in quadratum A B. Propositae igitur aequationis radix erit B Z ; cum eius cubus, una cum pu Ταψ . solido a quadrato eiusdem in longitudinem A B, a qualis sit solido abs Z Υ, seu B X, in quadratum eiusdem A B dato comparationis homogeneo. Haec igitur est genesis tertiae lineae ex ijs, quas ad inueni, quasque Mediccas appello.
Ad primum genus pertinentium Linearum MLDICEARUM.
Pro Effectione Geometrica, cum AEquatio fuerit
matum , quibus fit satis per aequationem, in qua Quadrato-quadratum assicituria adiunctione plano-plani sub latere, datoque coeffciente solido. sit igitur aequatio a' 'Fb b d, ad quam anausis conduxit, ut ea explicata, Ceolae, ea essectio, dictante Pori σις, comparetur. Resoluta in analogismum, ut pares, situsis, dia bs adbs , ita d, ad a.
Κ L M N Ο ΡΕΜposita sit recta A B, cuius tubus sit coeffciens solidum sublaterale; eaque intelligatur ad partes B, protracta in infinitum , & in ipsa protracta sumantur qualescumque partes BC, BD, BE, BF, BG, B H ,&c.&expunctiS B, C, D, E, F, G, H, crigatur perpendiculares; fiat autem
15쪽
segmentum in D IL, & ut cubus A B, ad solidum constans cubo B E, & cubo A P, ita B E , ad segmentum in E M; & ut cubus A B ad selidum constans cubo B F , & cubo Ap, ita B F ad segmentum in F N, & ut cubus A B, ad Elidum constans cubo B G, & cubo A B, ita B G ad segmentum in G O ; praeterea ut cubus A B ad selidum constans cnbo B H& cubo A B, ita B H, ad segmentum in H P, & ita deinceps. Per puncta vero extrema praedictorum segmentorum, quorum initia sunt B, C, D, &c. intelligatur ducta quaedam linea, haec illa est, quae ad praedictam effectionem conducit. Cum enim sit, ut cubus AP, ad selidum constans cubo B C, & cubo A B ita B C, ad segmentum in C x ; erit conue tendo, ut selidum constans cubo B C, & cubo A B, ad cubum A B, ita segmentum in Ch, ad B C ; quapropter plan planum lactum abs B C, in selidum constans cubo B C, & cubo A B, hoc est quadrat quadratum ipsius B C, una cum planin plano abs B C in cubum A B, aequabitur plan plano abs segmento in C Κ in cubum AB,&quadrato-quadratum' ex B D, Una cum plano-plano ab eadem B D, in cubum A B, aequabitur plano-plano abs segmento in D L, in cubum A B; & ita deinceps. Huiusnodi igitur indolis est linea praedicta, Vt s CX quocumque puncto ex. gr. Z, crigatur quaedam perpendiculariS Z Υ, O currens praedictae lineae in puncto Y, erit ut cubus B Z, una cum cubo A B, ad cubum AB, ita Z Υ, ad B Z, atque adeo quadrato-quadratum B Z, una cum plano-plano abs B Z, in cubum A B, aequale erit plano plano abs Z Y, in cubum AB, & sic de reliquis. in mobre si coeffciens selidum sublaterale fuerit cubus AB, & in perpcdiculari, emcta expuncto B, secetur B X, aequalis rectae, quae ducta in cubum A B, lacit comparationis homogeneum, & cx puncto X agatur X Y, parallata ipsi A H, ex puncto vero Y, cadat vhes hi ii perpCndiculari4 Υ Ζ, plano planum iactum abs B Z, in solidum constans cubo B Z , &uli hielli. cubo A B, hoc est quadrato- quadratum ipsus B Z , una cum plano-plano abs B Z. in cu-gitur occur bum A B, aequabitur plano-plano abs Z Y, boc est BX, in cubum A B. Innotescit igitur rexς l ignota quantitas, nempe B Z, utpoth illa, cuius quadrato quadratum una cum Plan ἴ ta. iii plano ab eadem B Z, in cubum A B, aequale est plan plano abs Z Y, hoc cst BX, in cum . bum A B. Propositae igitur arquationis radix est B Z, cum eius quadrat quadratum,una cum plano-plano ab eadem in cubum A B, aequale sit planO-plano abs Z Υ, seu BX, i cubum eiusdem A B, dato comparationis homogeneo.
Hac is itur est Genesis quartae lineae ex ijs, quas adinveni, quasque Mediceas appello. Ad primum genus pertinentium Linearum MEDICEARvM.
Vinta Medicearum Linearum est, quae facit ad effectionem Geomet: icam Proble matum, quibus fit satis per aequationem, in qua Quadrato- quadratum assicitur adiunctione plano-plani sub cubo, dataque coeffciente longitudine.
Sit i itur aequatio a' 'Fba bt d, ad quam Anal asis conduxit, ut ea explicata Geome trica essectio, dictante Porismate, comparetur. Resoluta in analogismum, ut par essit, viasai adbs, ita d ad a.
Exposita sit recta A B, coeficiens Iongitudo , eaque intelligatur ad partes B, producta in infinitum, & in ipsa protracta sumantur qualescumque partes BC,
BD, BE, BF, BG, B H,&c. & expunctis B, C, D, E, F, G, H, &c. erigantur perpendiculares; Fiat autem ut cubus AB,
ad Blidum constans cubo B C, & Llido aquadrato eiusdem B C, in longitudinem A B, ita B C, ad segmentum in C Κ, & ut cubus AB, ad selidum constans cubo
BD, di solido a quadrato BDi in longi-
16쪽
tudinem AB, ita BD, ad laginentum in D L, & ut cubus A B, ad solidum constans cubo B E, , cum solido a quadrato v E, in longitudinciri AB, ita BE, ad segmentum in EM; & ut cubus A B, ad solidum constans cubo BF, & solido a quadrato BF, ad longitudinem A B, ita B F ad segmentum in F N, & ut cubus A L, ad solidum constans cubon G, una cum solido a quadrato B G, in longitudincm AB, ita B G ad segmentum in GC; praeterea ut cubus A B ad solidum constans cubo AH, cum lolido a quadrato B H, in Iongitudinem A B, ita B H, ad segmentum in H P, & ita deinceps. PG puncta vero cxtrema praedictorum segmentorum, quorum initia sunt B, C, D, dcc. intclligatur ducta . quaedam linea : Haec illa est, quae ad praedictam effectionem conducit; Cum enim sit, ut cubus A B, ad solidum constans cubo B C, & solido a quadrato fi C, in longitudinem AB, ita BC, ad segmentum in C x; erit conuertendo ut cubus Γ C, una cum solido a quadrato B C, in longitudinem A B, ad cubum A B, ita segmentum in C h, ad B CQuapropter plano-planum factum abs BC, in solidum constans cubo B C,Jc solido a quadrato B C. inllongitudinem AB, hoc est quadrat quadratum ipsus BC, una cum plano- plano ii cubo eiusdem B C, in longitudinem A B, aequabitur plano-plano abs segmento in C Κ, incubum A B, & quadrat quadratum ex B D, una cum plano-plano 2 cubo B D, in longi , tudinem A B, aequabitur plano-plano abs segmento ipsius DL, incubum A B;&ita deinceps . Huiusmodi igitur indolis est linea iam dicta. ut si ex quocumque puncto ex. gr. Z, crigatur quaedam perpendicularis Z Y, occurrens lineae praedictae in puncto Y, erit ut cu-hus B Z, una cum solido a quadrato eiusdem B Z, in longitudinem A B, ad cubum A B, ita Z Y, ad B Z, atque adco quadrat quadratum B Z , una cum plano-plano a cubo B Z, in longitudinem A B, aequale erit plan plano abs Z Y, in cubum A B, & sic de reliquis. Quamobrem si coessiciens longitudo subcubica suerit A B, & in perpendiculari, crecta ex Duncto B, secetur B X, aequalis rectae, quae ducta in cubum A B, sacit comparationis homogeneum, & ex puncto X agatur X Υ, parallata ipsi A H, CX puncto vero Y, cadat Aulus M perpendicularis YZ, plano-planum factum abs AZ, intolidum constans cubo BZ, ct linea parat lalido a quadrato eiusdem AZ, in longitudinem A B, hoc est quadrato quadratum ipsius 'u intelli B Z , una cum plano.plano a cubo eiusdem B L , in . longitudinem AB, aequabitur plano-πplano abs ZY, hoc est B X, incubum AB. Innotescit igitur ignota quantitas, nempe Bui tae Z, utpoth illa, cuius quadrato quadratum, una cum plano-plano a cubo ciuidem BZ, criptae. iii in longitudinem A B, aequale est plan plano abs Z Y, hoc cst B X, in cubum A B. Pr pa in La .positae igitur aequationis radix erit BZ, cum eius quadrato- quadratum, una cum plano- plano a cubo eiusdem in longitudinem A B, aequale si plano-plano abs Z Y, seu B X, incubum eiusdem A B, dato comparationis homogeneo. Haec igitur est Genesis quintae lineae cx ijs, quas adinveni, quasque Mediccas appello.
Ad primum genus pertinentium Linearum MEDICEARVM
SExta Medicearum Linearum est, quae facit ad effectionem Geometricam Problema
O tum, quibus fit satis per aequationem, in qua Quadrato-quadratum assicitur adiui Elione plano-plani sub latere, datoque coefficiente solido. Sit igitur aequatio a m bi d, ad quam Anasto conduxit, et ι ea explicata Geome uica esseerio, dictante Porismate, comparetur. Resoluta in analogismum, ut par es sit, vi a Eadbi , ita dad .
17쪽
E Yposita sit recta A B, cuius quadratum est coefficierri planum subquadraticum, eaque intelligatur ad partes B, producta in infinitum, & in ipsa producta sumantur qualescumque partes BC, BD, BE, BF, BG, B H,&c. & expunctis B, C, D, E, F G, H, &c. erigantur perpendicularcs; Fiat autem ut cubus AB, ad soliduin constans cubo B C, & solido ab eadem B C, in quadratum AB, ita B C, ad segmentum ipsius C Κ, & rursus ut cubus AB, ad solidum constans cubo BD,
S solido ab eadem B D, in quadratum A B, ita B D. ad segmentum ipsius D L; & vi cu bus A B, ad solidum constans cubo B E, & solido ab eadcin B E, in quadratum A B, ita B E, ad segmentum ipsus E M; & vi cubus A B, ad solidum constans cubo B F, & solido ab eadem B F; in quadratum A B, ita B F, ad segmentum ipsius F N; & ut cubus A B, ad solidum constans cubo B G, & solido ab eadem B G, in quadratum A B , ita B G, ad seg-
praedictorum segmentorum, quorum
Eincta quaedam linea: Haec illa est, quae ad praedictam effectionem conducit; Cum cnim sit, ut cubus A B, ad solidum constans cubo B C, & solido ab eadem S C, in quadratum A B, ita B C, ad segmentum ipsius C Κ, crit convcrtendo, ut solidum constans cubo Sisi, & solido ab eadem BC, in quadratum AB, ad cubum A B, hoc est cubus B C, unii , cum solido ab eadem S C, in quadratum A B, ad cubum A B, ita segmentum ipsius C K, cid B C, &c. quapropter plano-planum factum abs B C, in solidum constans cubo B C, solido ab eadem BC, in quadratum AE, hoc est quadrato-quadratum ipsius B C, uni cum plano- plano a quadrato ipsius B C, in quadratum A B, aequabitur plano. plano abs segmento ipsius CK, in cubum A B; & quadrato-quadratum ex BD, una cum plan plano a quadrato eiusdem B D, in quadratum A B, aequabitur plan plano abs segmento. ipsius D L, in cubum A B, dc ita deinceps. Huiusinodi igitur indolis est linea iam dicta , ut si ex quocumque puncto ex. gr. Z, erigatur quaedam perpendicularis Z Y , Occurrens lineae praedictae in punisto Y, erit ut cubus B Z, una cum solido ab eadem B Z, in quadratum A B, ad cubum AB, ita ZY, ad B Z; atque adeo quadrato. quadratum ΓΖ, una cum plano- plano a quadrato eiusdem A Z, in quadratum A Γ, aequabitur plano plano .abs LY, incubum AB, &sic de reliquis. Quamobrem si subquadraticum coesnciens Huiusmodi planum suerit quadratum ipsius A B, & in perpendiculari ex punicto secetur B X, ar-lme p- δ qualis rediar, quae ducta in cubum A B, lacit comparationis homogeneum, &ex punisto
'' . q. X agatur X Υ, parallela ipsi A H, Mi punino vero Υ, cadat perpendicularis Y Zo Plano- ' planum factum abs E Z, in solidum constans cubo eiusdem BZ,&solido ab ipsa B Z, i
mixtae de- quadratum A B, hoc est quadrato-quadratum B Z,una cum plano plano a quadrato ciuia scrip V, i R dem B L, in quadratum A B, aequabitur plano-plano abs Z Y, hoc est B X, in cubum AR Pin μ' Υ Innotescit igitur ignota quantitas nempe B Z, utpoth illa , cuius quadrato-quadratum , una cum plan plano a quadrato eiusdem A Z, in quadratum A B, aequale est plano-pla- no abs Z Y, hoc est B X, in cubum A B. Propositae igitur arquationis radix crit B Z, cum eius quadrato-quadratum, una cum plano-plano a quadrato eiusdem in quadratum AB. aequale sit plan plano abs Z Y, seu EX, in cubum eiusdem A B, dato comparationis
Haec igitur est Genesis sextae Lineae ex ijs, quas adinveni, quasque Medicea. appello
18쪽
Ad primum genus pertinentium Linearum MEDICEARUM.
Pro uectione Geometrica , cum T quatio fuerit
matum, quibus fit satis per aequationem, in qua Quadrato-cubus asscitur adium Urione plano-lalidi sub latere, datoq ue coeffciente plano-plano.
Sit intur aequatio as Φb ara b d, ad quam Anal is conduxit, ut ea explicata, Geola trica e petiyio , dictante Porismate, comparetur. Resoluta in analogismum, ut par es, H G
. . EXposita sit recta A B, cuius quadrat quadratum sit coeficiens plan planum sublaterale;eaque intelligatur ad partes B, protracta in infinitum , & in ipsa Protracta sumantur qualescumque partes BC, BD, BE, BF, BG, B H, &c.&cXPunctis B, C, D, E, F, G,H,&c.erigantur Perpendiculares; fiat autem resolutio quadrato quadratorum in simplices longitudines, ut suo loco tradidimus, secundum positam quantitatem. Quadrat quadra- ῆtum A B, resolutum sit in longitudinem α,& quadrato-quadratum ex B C, resolutum sit in Iongitudinem β, & quadrato-quadratum B D, relatutum sit in longitudinem γ, quadrato, quadratum B E, in longitudinem δ, quadrato. quadratum B F, in longitudinem ε quadrato-quadratum BG, in longitudinem , quadrato-quadratum n H,in longitudinem η, & sic deinceps. Dein id ex his duabusti, defiat α, mox vero fiat, ut α, ad α, ita B C, ad segmentum ipsius C h, & ita deinceps. Per puncta ver5 extrema priaedictorum segmentorum, quorum initia sunt B, C, D, &c. intelligatur d ucta quaedam linea; Haec illacst, quae ad praedictam effectionem conducit; Clan enim sit, ut B C, ad segmentum ipsius C Κ, ita α, ad-; ergo conuertendo erit ut mad α, ita segmentum ipsius C Κ, ad B C, quapropter plano-λlidum factum abs β seu B C, in plano planum constans α seu quadrato-quadrato AB, & β seu quadrato-quadrato B Choc est quadrat cubus ipsius BC, una cum plano-Mlido ab cadem BC, in quadrato- quadratum ipsius A B, aequabitur plano- solido abs seginento ipsius C Κ, in quadrat quadratum eiusdem A B; & quadrato-cubus ex B D, una cum plano-selido ab ea lenia B D, in quadrat quadratum ipsius A B, aequabitur plano-solido abs segmento ipsius DL in quadrato-quadratum eiusdem A B, ct ita deinceps. Huiusmodi igitur indolis est ii nea praedicta visi ex quocunque puncto ex. gr. Z, erigatur quaeda m perpendicularis et Y, occurrens lineae iam dictae in puncto Y, erit ut quadrato, quadratum BZ, una cum quadrato-quadrato A B, ad quadrato- quadratum A B, ita Z Y ad B Z; atque adeo quadrato- cubus B Z, una cum plano. selido ab eadem B Z, in quadrato- quadratum A B, aequabitur plano-selido abs Z Y, in quadrato- quadratum A B; & sic de reliquis: Quamobrem sicoessiciens plan planum sublatcrate fuerit quadrato quadratum ipsius AB, & in perpendiculari crecta ex puncto B,secetur BX,aequalis rectar, quae ducta in quadrato-quadr Hiliusnanditum ipsius A B, facit comparationis homogeneum, & ex puncto X, agatur X Y, parallelat, ς' N ' ipsi A H, cx puncto Y, cadat perpendicularis Y Z,plano-iblidum factum abs B Z, in plano ' 'l'
planum constans quadrato- quadrato ipsitus B Z, & quadrato-quadrato ipsius A B, hoc est fere quadrato-cubus ipsius B Z,una cum plano-solido ab eadem B L, in quadrato-quadratum . mixtae de AB, aequabitur plano-solido abs Z Y, hoc est B X, in quadrato-quadratum AB. Inno- ς ip virescit iSitur iSnota quantitas, nempe BZ, ytpote illa, cuius quadrato cubus, una cum tμ' ' Υ C a plano-
19쪽
plano-ΕΓ lo ab eadem in quadrato-quadratum A B, aequatur plano-solido abs Z Y, hoe est B X, in quadrato-quadratum A B. Propositae igitur aequationis radix erit B Z i cum cius quadrato-cubus, una cum plano solido ab eadem in quadrato-quadratum A B, a qualis sit plan solido abs Z Y, seu B X, in quadrato. quadratum eiusdem A B dato comparationis homogeneo.
Naec igitur est genesis Septimae lip x ijs, quas ad inueni , quasque Mediceas appello .m primum genui pertinentium Linearum MLDICEARVM .
O Ctava Medicearum Linearum est, quae facit ad essectionem Ceometricam Proble- ibatum, quibus fit satis per aequationem, in qua Quadrat cubus allicitur adiunctione plano-solidi sub quadrato, datoque coeffciente solido.
Sit igitur aequatio a F q. bs a b3 d,ad quam Anacisis conduxit, ut ea explicata Geom trica E sectio, dictante Pori mare, comparetur. Resoluta in Analogimum, vitares; stis υνι , ad bi, i a d ada L.
Exposita sit recta A B, cuius cubus sit coeffciens solidum sub quadraticum; ca-que intelligatur ad partes B, protracta in infinitum; & in ipsa protracta sumantur qualescumque partes BC, BD, BE, BF, BG, B H, Sc. & ex punctis B, C I , E, F, G, H, &c. erigantur perpendicularcs ; Fiat autem ut cubus A B, ad solidum constans cubo BC &cubo AB, ita quadratum BC, ad quadratum segmenti ipsius C K ; & ut cubus A B, ad solidum constans cubo BD, & cubo AB, it. a quadratum B D, ad quadratum segmenti ipsius D L; & ut cubus A B , ad solidum constans cubo B E, & cubo A B, ita quadratum B E, ad quadratum segmenti ipsius E M; de ut cubus AB, ad solidum constans cubo BF, & cubo AB, ita quadratum n F, ad quadratum sc ginciati ipsius F N; & ut cubus A B, ad solidum constans cubo B G, & cubo AB, ita quadratum B G, ad quadratum segmenti ipsius G O ; & ut cubus A B , ad solidui is conitans cubo i H, & cubo A B, ita quadratum B H, ad quadratum segmςnti ipsius Is P .& ita deinceps .Per puncta vero cxtrema praedictorum segmentorum quorum initia sunt B, C, D,&c.intelligatur ducta quaedam linea,Haec illa est,quae ad praedicitam essectionem conducit Cum enim sit, ut cubus A B, ad solidum constans cubo B C, dc cubo A B, ita quadratum BC, ad quadratum segmenti ipsius C Κ; erit conuertendo, ut solidum constans cubo B C, & cubo A B, hoc est cubus B C, una cum cubo A B, ad cubum A B, ita quadratum segmenti ipsus C Κ, ad quadratum B C: Quapropter plan solidum factu in ca quadrato 1 C, in solidum constans cubo B C, & cubo A B ; hoc cli quadrato cubus ipsius lue C, una cum plano-solido a quadrato eiusdem B C, in cubum A B, aequabitur plano. sci- lido a quadrato segmenti ipsius C Κ, in cubum ciusdem A B: & quadrato-cubus ex B D . una cum plan solido a quadrato eiusdem BD, incubum A B, aequabitur plano-solido abs quadrato segmenti ipsius DL, in cubum AB, & ita deinceps. Huiusmodi igituo indolis est linea praedicta; ut si ex quocumque puncto, excin pli gratia Z, erigatur quaedam perpendicularis Z Y, occurrens iam dictae lineae in puncto Y, erit ut cubus B Z, via cum cubo A B, ad cubum A B, ita quadratum Z Y, ad quadratum B Z; atque adco quadrato-cubus B Z, una cum plano-solido a quadrato eiusdem n Z , in cubum A B, aequabi-: pr plano-solido abs quadrato Z Υ , in cubum AB, & sic de reliquis , Quainobrein si lub-
20쪽
quadraticηm coefficiens. solidum fuerit cubus ipsius AB, dc in perpendiculari ex punicton, secetur B X aequalis rectae cuius quadratum ductum in cubum A B, facit comparationis homogeneum, & ex puncto X agatur X Υ, parallela ipsi A H . ex puncto vero Y, cadat perpendicularis YZ, plano-solidum factum abs quadrato BZ, in solidum constans cubo B Z, & cubo A B, hoc est quadrato-cubus ipsius η Z, una cum plano solido a quadrato eiusdem BZ, in cubum Ad, aequabitur plan solido abs quadrato Z Y, hoc est quadrato B X, in cubum A B; Innotcscit igitur ignota quantitas, iacmpe B Z, utpote illa, cuius quadrato-cubus, una cum plano-solido a quadrato eiusdern B Z, in cubum A B, arquatur plata solido abs quadrato Z Y, hoc est quadrato B X, in cubum A B. Propositae igitur arquationis radix crit B Z, cum eius quadratincubus, una cum plano-solido a quadrato eiusdem in cubum A B, aequalis sit plano-solido aba quadrato Z Y, seu quadrato BΣ , in cubum ciusdem A B, dato comparationis homogeneo. Haec igitur est Genesis Octauae Lineae ex ijs, quas adinveni, quasque Mediccas appello.
Ad primum genus pertinentium Linearum MEDICEARUM,
Pro essectione Geometrica, cum AEquati uerit bid . K L M N O PNona Medicearum Linea ad Geometricam effectionem conducit Problematum . qui.
bus fit satis per aequationem, in qua Quadrato-cubus afficitur adiunctione plano solidi sub cubo , datoque coefficiente plano.
Sit igitur aequatio at Φb τ' at zz b d , ad quam Analy se conduxit, ut ea explicata Geometrica essectio dictante Porismate comparetur. Resoluta in anaogismum , ut pis es, sit ut a i ib. a, adb , ita d adai.
Exposita sit recta A B, cuius quadratum sit coeffciens planum, subcubicuniacaque intelligatur ad partcs B ; in infinitum protracta , & in ipsa producta sumantur qualescumque partes B C, BD, BE, AF, B G, B H , dic. & cx punctis B, C, D,
E, F, G, H, &c. erigantur perpendicularcs : Fiat autem ut cubus AB, ad solidum constans cubo B C, & solido abs B C, in quadratum A B , ita quadratum B C, ad quadratum segmcnti ipsius C Κ; & ut cubus A B, ad solidum constans cubo B D,& solido abs B D, in quadratum A B, ita quadratum B D, ad quadratum segmenti ipsius D L; Deinde ut cubus B E, ad solidum constans cubo B E, & solido abs B E, in quadratum AB, ita quadratum d E, ad quadratum scgmenti ipsius EM; &ut cubus AB. ad solidum constans cubo B R& solido abs B F, in quadratum A B, iti quadratum B F, ad quadratum segmenti ipsus F NI & ut cubus A B, ad solidum constans cubo A G, & sol ido abs B G , in quadratum A 8, ita quadratum B G, ad quadratum segmenti ipsius G O,& ut cubus A B , ad solidum constans cubo B H, & solido abs B H, in quadratum A B, ita quadratum B H, ad quadratum segmenti ipsius ΗP; &ita deinceps. Per puncta vero extrema piaedictorum tegmentorum, quorum initia sunt B, C, D, &c. intelligatur ducta quaedam linea, haec illa est, quae ad essectionem praedictam conducit; Cum enim sit ut cubus A B, ad solidum constans cubo a C, & solido abs B C, in quadratum A B, ita quadratum B C,ad quad.segmenti ipsius C Κ;erit conuertendo,ut solidum constans cubo B C, α solido abs B C, in quadratum A B, ad cubum AB, ita quadratum segmenti ipsius CF , ad quadratum s C; quamobrem plano-solidum abs B C,quadrato in solidum constanscbbo b C, dc solid Gs B C, in quadratum A B, hoc est quadrato-cubus ipsius B C, una
Huiusmodi linea parallela intelli