장음표시 사용
41쪽
CAROLI RENALDINII DEFINITIONES.
Posita auantitas, mi initio quoque definita fuit, est illa, quae ad libitum sumi
tur ad communem mensiuram eiusdem generis, best quae ab mnitate denominatur.
Sisat, mi Posita ad quadrati latus , ita hac ad aliud , quae prouenit longitudo, solutum Quadratum, dicatur .
Si fat , mi Posita ad latus rectanguli, itά latus alterum ad aliud, quae prouenit longitudo, Resolutum Rectangulum mestetur. IV: Sisat, mi Posita ad quadrati latus, ita quadratum resolutum ad aliud, quae prouenit longitudo Resolutus Cubus nuncupetur.
Sisat, mi Posita ad mnius rectanguli latus, ita resolutum rectangulum ad aliud, quae prouenit longitudo Resolutum Solidum, iocetur. V LSi fat, mi Posita ad quadratum resolutum, ita hoc ad aliud , quae prouenit longi tudo Quadrato-quadratum Resolutum, dicatur. v I I. Si fat, mi Posita ad ressitangulum resolutum , ita hoc ad aliud, quae prouenit A gitudo Plano- planum Resolutum, appelletur.
R solutio Planorum in longitudines, Prima Resolutio, dicitur.
Plano-planorum, Tertia ; 9 sic deinceps ἰ
Longitudines, in quas facta sunt commemoratae resolutiones, inquipollentes Magnitudines, dicantur. xi auae inter Plana, mel intersolida , mel inter Planoetiana dic. Fit comparatio oris inaria dicatur Ratio.
42쪽
tuae inter Plaua, mel inter solida, mel inter Planosiana δ=c. modo iam dicto resoluta , t comparatio, aequipollens Ratio , vocetur.
cumper Anal eos mestigia regredimur,solidis, si in ea lextiterunt, ad thesin , nonnistresolutis adscitis, est Regressus per aequipollentia.
Analogimus omnis, quo in resoluendo timur , Analyticus , dicatur.
In omni quidem Anablico Analogismo ad aequalitatem reuocato facto Parabolifimo, cum opus fuerit, in explicanda aequatione quantitas, ad qua acta est omnium plicatio, non amplius adhibetur; naec proinde, quae alioquin Metiens dicebatur, qu que adsinthesin adsciscitur , Reassumpta, vocetur.
Transitur, quem facit Analysta, a resolutis Planis ad resoluta solida, Plano-plana orc. longitudinibus constanter inhaeresceni , Transistentias nuncupetur.
Cum MDero ex aequalitate longitudinum inquiritur in Ddem longitudinibus aequi- pollens proportio et,quae initio inquirenda sumebatur, his Ratio symbolica, iocetur , sic de aequalitate C rc.
Cum autem ex proportione longitudinum per Reassumptam, fit gradatio ad eam, de qua quaeritur, proportio, huiusmodigradatio, Redintegratio, nuncupetur. Sic de aequalitate.
Et Proportio illa de qua quaerebatur, quaeque tandem adinventa si Redintegratavpellatur.
anti reserat unitatem in Geometriam inuexisse, facile cuilibet crit depraehendere, Unitatis xsus si non nihil aduerterit dissicultatem infinitorum propemodum in hac Arte Probitaia nutuml, unitatis usu nullam reddi posse; Cum enim quispiam instituta Analysi, 44,.synthesin aggreditur, si illa ad solida, vel plano-plana, &c. ascenderit, haud exiguis dis. ficultatibus laborabit, quod etiam superius innuimus. Sibi tamen stratam reddi viam ad componendum per regressum Analyseos conspiciet, dum unitatis beneficio, plana, solida, plano-plana, &c. in simplices longitudines transmutauerit; sic enim sibi licebit Analyseos vestigia repetere, ac propterea demonstrationem contexere; adeo ut non minus ei, quidem sutura sit obuia Synthesis,quam Analysis. a vero Arie haec sit instituenda Resolutio, raucis explicabimus.
43쪽
uo pacto planum unitatis praesdio insimplicem longitudinem transimuletur
Propositumst rectangulum ABCD, nihil autem restri, quod oblatum rectangulum sit quadratum, vel altera parte Iongius, tum quia solum id diseriminis est, quod in analogismo, cum fuerit altera parte longius, non fit eiusdem lateris repetitio; unde ille contingit in quatuor terminis non sic chm suerit quadratum; tunc enim in tribus terminis accidit analogismus, tum quia rectangulum ad quadratum facile reuocari potest facta igitur sit hypothesis de rectangulo ABC D; unitas autem sit V, recta quaedam linea ad libitum, quae Posita dicitur. Fiat igitur ut V, ad A B, ita A D; & si suerit dquadratum, ita eadem A B ad aliam; haec enim prouo
I. Κ, Occurrens in Κ. Centro K , interuallo Κ E, describatur semiessetisti. - '
Glidum, unitatis praesidio, insimplicem longitudinem transmutare In solidis vero sic procedendum. Sit parallelepipedum nihil autem refert, urtum sit cubus,an non si enim cubus non fuerat, longior est operatio; praestat ob id illud ad cubum i euocate.Esto igitur cubus,cuius latus A sit autem unitas V, quae posita dicitur, & fiat, ut haec ad: Iatus A , ita latus Α, ad aliud et proinde disponatur recta quaedam EI, ex qua subtrahatur E F, aequalis positae V; deinde ex F, erigatur perpendicularis F G, ipsi E I, ae
qualis tamen lateri dati cubi, nempe Α; mox vero ducatur E G , quae bifariam secetur in L, & ex L, allatur insi V C 3 ω
ipsi EI, necusiario occurret, ut constat ex Eri Gi teruallo K E, cibatur semicirculus, qui necessario transibit per G i & seeet E se z faciens. iδ si ii Pr tamen 'erh contingit, ut in reisutrin solida sint me di
vel sola, vel cubi S admixta I illa autem ad cubos reuocare non ex ui labori, si em 'ter duas rectas Oporicat duas medias in continua ratione a linum e . iuuat promere'. ipsi' par llelpp peda in longitudines resoluere, vel quod idem est , prae catiere ne in illa incidatur ; quoniam vero parallelepipedum potest in dupliei esse ditetistiine Venit
dratum, ad quadratum redigatur. ' μ- o HSulum, scd non qua- Exponatur
44쪽
Exponatur igitur recta quaedam EI, in qua sece. tur E F, aequalis V, positae quantitati, quae unitas dicitur; ex F, erigatur perpendicularis F G, a qua- sis rectar, quae est latus baseos ipsius parallelepipedivi α δ; agatur E G, quae secetur bifariam in & ex L, ad rectos angulos ducatur L Κ; mox vero centro Κ, interuallo Κ E. describatur semicirculus, cuius peripheria secet EI, in H; mox vero fiat F O, aequalis altitudini ipsius parallelepipedi, ut α β;deinde ducatur E O; Modo protrahatur H E, ad partes E, in M, ita ut M F, sit aequalis P H, agatur autem M LN parallela ipsi E O, donec occurrat ΓO,protractae . in N, erit F N, recta proposito satisfaciens.
Ptinos num in simplicem longitudinem transmutare In plata planis ita procedendum; & primo quidem plano-planum, de quo loquimur sit quadrato- quadratum , vis s' . Fiat igitur ut posita ad s, itas, adr, &vt posita ad r, itar, adq. Disponatur itaque quaedam recta EI , ex qua auferatur E F, aequalis posita: V; deinde ex puncto F, excitetur perpendicularis F G, aequalis S. mox vero ducatur E G, eaq;bissecetur
in L; ex ta ei fiat perpendicularis L K, Quae necessari. occurret ipsi EI: occurrat autenm in K; & centro Κ, interuallo k E, describatui semicirculus, qui necessario per G, transibit i hic verb secet rectam EI, in H; mox protrahatur F G, ad partes G, ct fiat E N , ἐπ-
qualis F H; ducatur E N, quae bissecetur in O: ex O, eidem E N, constituatur perpendi-T φ. - ςy'δ Q E , describatur semicirculus, qui necessario
transibit per N, de secet EI, in M, erit F M, recta proposito satisfaciens ita tamen in resolutionibus semper fere contingit, ut plano-plana sint, vel sela, vel quadrat quadratis admixta; propterea iuvabit statim ipsa plano-plana in lonstitudines retoluere, vel quod idem est praecauere, ne in illa incidatur. μAut igitur plan planum fit ex ductu duorum quadratorum aequalium, atque tunc ostquadrato-quadratum, de quo hactenM disscruimus; Vcl fit cx ductu duorum uuadrurirum inaequalium, vel duorum rectangulorum, siue aequalium, siue in aetin alium. -- ctanguli,& quadrati. u , , circ. Si constat duobus quadratis inaequalibus ut b' c', & instituenda sit resolutio, fiat ut unitas, siue posita ad b, ita b, ad aliam d, deinde ut unitas ad c , ita c, ad aliam f; mox Vt unitas ad d, ita i , ad g; atque hunc in modum longitudo g, proposito satisfacit - est enim illa, in quam plano-planum praedictum intelligitur resolutum...... . o ς0nstςx dWψb0β xςci Πguli , siue aequalibu , siue inaequalibus suo modo proce Et es hactenus dictis liquido constat quid agendum in Plano-solidis,Solido-solidis,&c. aae hactenus tradita sunt exemplis illustrantur. PROBLEMA. .si in momi p ric , ut rectangulum sub partibus, quia su
Datum sit latus i a. diuidendum in duas partes, ut factum sub ipsis aequale sit Pars yna estor R, alia erit az -- i R productum sub his est i a R --i Q, & hoc ae , & hoc aequale esse
45쪽
esse debet 31. Dimidium longitudinis coeficientis sublateralis, seu numeri radicum est 6. cuius quadratum est 36; a quo si auferatur 3 a, remanebit οἱ cuius latas quadratum esta; quo dcmpto es o, dimidio iam dicto, fit residuum : pro parte minori, unde malo tnon latebit, iubtracta scilicet, minori cx toto latcre diuidendo 12. Hinc
Sume dimiditim numeri radicum , se ab eius quadrato aufer comparationis homogeneum, sine numerum absolutum , residui latur quadratum subtrahe ex dimidio iam dicto; quod rema
Speciebus autem sic Latus diuidendum esto b, homogeneum comparationis sit E planum, Pars una esto a; alia erit b - a; productum ex his est b a - a' quod aequabitur et plano. Dimidium cociscientis longitudinis sublatera lis est*b; huius quadratum cst b' a quo si auferatur a pla num fiet residuum b g plano, cuius latus quadratum est yr b se a plano ) a quo si auferatur 4 b; fiet residuum b' - χ pl. - di pro parte minori Udaior autem non latebit. Hinc
Sumatur dimidium eo scientis longitudinissultiteratis, se ab eius quadrato auferatur homogeneum comparationis, residui autem latus quadratum auseratur ex praedicto dimidio quod enim supereIt erit pars minor quaesita.
Data sit recta A B, diuidenda in duas partes, ita ut rectatabulum sub ipsis, aequale sit quadrato N Diuidatur A B , bifariam in D, & ex D, excitetur perpendicularis D E, aequalis ipsi A D , at vero super D E, describatur semicirculus E F D, in quo aptetur E F aequalis Ni ducaturque D F : centro autem D, interuallo D F,describatur circulus secans A B in C,& I. Dico esse A C, partem minorem; itaut rectangulum A C B, aequale sit quadrato ex N . Protrahatur E D, usque ad peripheriam in G. oniam igitur D E, est aequalis AD.&GD, aris qualis DI; erit AI, aequalis G E; & quia D H, est ar- qualis C D; aequalibus existentibus D E, A D; proinde residuum H E, aequabitur residuo AC: Crgo rectangulum GE H; aequabitur rectan. gulo I A C; sed rectangulum GEH : aequale est quadrato E F; ergo rectangulum I A Qaequabii ur quadrato E F; sed rectangulum I A C; est aequale rectangulo A C B; cum c dem sit A C, in utraque & A I, sit aequalis C B; est enim A D, aequalis D B; atque C D, aequalis DI, propterea AI, erit arctualiS C B; ergo rectangulum A C B; aequale erit quadrato E F, sed E F, facta est aequalis N; ergo rectangulum A C B, aequale crit quadrato N. Quod erat faciendum Data sit recta A B, ita diuidenda, ut rectangulum sub partibus aequale sit dato plano, nempe quadrato ex O. Ad usum Vnitatis uti possemus superiori effectione, ac demostratione Geometrica, lubet tamen idem aliter absoluere .
46쪽
secetur A B, bifariam in D, & super alterutrum dimidium puta A D describatur semi- o
circulus A F D, in quo aptetur recta A F, aequalis datae rectae O; mox autem agatur F D,& centro D , ad interuallum D F, describatur circulus C F E. Dico alterutrum punctorum C , E, puta C, satisfacere . ita ut rectangulum ACB, aequale sit quadrato datae
Quoniam enim A D, aequalis est D B, ex constructione ἰ&CD, aequalis est D E, erit A C, aequalis E B, addita communi C E, fiet A E, aequalis C B, quare rectangulum sub A C, & C B, aequabitur rectangulo sub A C, & A E, sed rectangulum sub AC,&AE, aquale est quadrato ipsius A F, ergo rectangulum sub A C, & C B, aequabitur quadrato eiusdem A F i sed quadratum rectae A F, aequale est quadrato ipsius Q; cum A F, facta litaequalis ipsi O; propterea rectangulum sub AC, &CB, aequabitur quadrato datae
rectar O. Adscita autem unitate in Geometria procedendum est hunc in modum. Sumatur recta quadam V, quae polita dicetur, unitatis munere fungens, in ordine autem ad hanc omnia tractentur conceptis magnitudinibus , seu quantitatibus cuiuslibet generis per modum
Jongitudinum . Fiat igitur ut V, ad A D, ita AD, ad aliam quae sit I K ; Manifestum est mctangulum sub V,&Ι Κ, aequale esse quadrato ipsius A D. Deinde fiat ut V, ad O , ita O , ad aliam quae sit IL; Manifestum est etiam rectangulum sub V, & IL, aequale esse quadrato ipsus O ; ac proinde aequale esse quadrato rectae A F Sccetur L M, aequalis V.
Quoniam veri, duo sunt rectangula, quorum unum sub I Κ, & L M, aliud vero sub IL, di cadem L M, continetur ob communem autem eorum altitudinem L M, si minus de niatori subtrahatur, quod remanet crit rectangulum sub L Κ, & L M; super L K, deseribatur semicirculus LN Κ,& ex puncto M,excitetur perpendicularis M N,agaturque in; haec utique poterit rectangulum Κ L M, residuum iam dictum; ut itaque rectangulum sub I Κ,&L M, aequale est quadrato A D, & rectangulum sub IL, & L M, aequale est quadraro rectae O, seu A F, ita rectangulum Κ L M, scu quadratum L Ni nempe excessus, quo re
ctangulum sub I κ, & L M. superat rectangulum sub IL, & LM, aequabitur quadrato DF, quo quadratum A D, superat quadratum A F. Si igitur fiat C D, aequalis I F, circulo scripto C F E, erit C V, aequalis L N. Intelligatur Α B, bifariam diuisa in D, &facta sit CD , ipsi quidem LN, aequalis Quoniam igitur rectangulum sub IK , & L M, aequale est quadrato A D, ut vidimus ergo rectangulum sub IK, & L M, minus rectangulo Κ L M, aequabitur quadrato A D, minus rectangulo Κ L M, sed rectangulum K L M, aequale est quadrato L N, ergo rectangulum sub I k , & L M, minus quadrato L N, aequabitur quadrato A D, minus quadrato L N, sed quadratum C D, est aequale quadrato L N, siquidem fecimus C D, aequalem L N, ergo rectangulum sub I Κ, & L M, minus quadrato L N, aequabitur quadrato A D, mi nus quadrato C D; scd rectangulum sub I K , & L M , minus quadrato L N; hoc enim quadratum idem est quod rectangulum I L M ), aequale est rectangulo sub IL, & L M . quadratum vero cx A D, minus quadrato C D, idem est quod rectangulum C A E , cum C E sit in D, bifariam diuisa, & ei addita sit A C, ergo rectangulum sub I L, & L M, aequabitur rectangulo CA E, sed rectangulum C A E, est aequale rectangulo ACB, ergo re clangulum sub IL, & L M, aequabitur rectangulo A C B; sed rectangulum sub IL, &LM, aequale est quadrato ex O, quandoquidem secimus, ut V, ad O, ita O, ad aliam puta IL, atque L M, secimus aequale ipsi V, ergo rectangulum ACB, aequabitur quadra. tu ex O. Quod faciendum erat. Vnitatis
47쪽
o Vnitatis usum hucusque explicuimus, nunc tamen non est opus huiusnaodi industria, si quidem in superiori Probicinatis analysi nullus est factus ascensus ad solida, modo reso-hitionem affercinus Problematis, in quo huiusmodi ascensus contingit ; Propositum it que sit.
Daiam latus ita Huidere, ut madratum vntus partis a rectangulum Iob ino, ct ςlter
Datum sit latus AB, sic in duas partes diuiden, bdum, ut quadratum unius partis ad rectangulum sub αtoto, & altora parte rationem habeat, ut Il ad S. A - η Numeris hunc in modum Propositum sit latus diui- b - a Res, tutio dendum ir, ita ut quadratum unius partis, ad rc stan-yμ μ νψ-- gultim sub tota altera parte rationem habcat, ut 4 ad 3 , pars una esto R , alia Crit Ia
1 R , quadratum ipsius i R est i Q, rectangulum sub toto, & altera parte est i R i a R , est ut ad 3 , ita i Q, ad r44- ia R, ergo fiet arquatio 3 Q 376 - 48 R, & perantithesin 3 Qq q8 R α 3 6 fiet facto parabolismo I Qq i5Rα r; et, cuius arquatio,
nis radix est 8 hinc Canon &c Resolutio Latus il lum esto b, & pars una sit a , altera igitur erit b - a, quadratum partis, quae pςςiψ με ponitur a est a', i sciangulum autem sub toto, & altora parte, quae erat b - a, est b' - b alvi aurciti est r ad s, ita debet eme ae ad b' - b a, facilioris vero rcsolutionis gratia fiat ut ad r, ita b ad aliam puta d, propterea erit analogismus, ut d ad b, ita a' ad b b a, unde fiet aequatio multiplicatis caetremis, & medijs, eaque erit di,' db ara ba', & per antithesin fiet b a'Φ d b ara d b',omnibus aute applicatis ad b & a' Φ d a m d b.Dimidium coessicientis sublateralis d, est et d cuius quadratum est i d , cui addito d b fit : d q. d b, suius latus quadratum est v, i d' Φ d b - - d; Hinc .
uiuadrato dimidia coenientis sublateralis addatur rectangulumfactum a latere diuiden do in istud, ad quod latus Hodendum in earim est ratione , in qua ea terminus consequen/rat IonIs datae ad terminum antecedentcm , aggregati et ero sumatur latus , se eisubducatur coe ientis dimidium, residuum enim erit radicis pretium , se partem unam gura iam sita denati lateris erub bebri, reliqua vero non latebit. Duobus modis potest contingere resolutio, vel ita ut latus diuidendum sit minus co , ad quod est, ut ici minus consequens rationis datae ad antecedentem,idque eucriit,quando ratio data est maioris ad minus, vel contra, ideo etiam duobus modis continget effectio, eadem tamen omnino
contingit demonstratio, Datum sit latus A B, diuidendum ea lege, ut quadratum unius partis ad rectangulum sub toto, & altera parte rati nem habeat ut R, ad S. Fiat vi S ad R, ita A B, ad B D de- inde super A D, describatur semicirculus A G D, diuisa autem n D, bifariam in C, centro C, interuallo alterutro C B, C D, describatur circulus , mox vero ex B, excitetur
perpendicularis B G, & per G, & C, ducatur G C H, quae protrahatur ad partes G, ita ut F E, sit aequalis A B. Dicos E, sic esse diuisam in G, ut quadratum G F, ad rectangulum FEG , rationem habeat, ut B D, ad AB; seu vi R ad S. Quoniam enim A B, B G, B D, sunt continue proportionales , erit ut A B , ad B D, ita quadratum A B, ad quadratum B G; sed quadrato B G,est aequale rectangulum H G F; ergo quadratum AB, ad rectangulum H G F erit, ut A R, B D ; & convc ςndo ut B D, ad A B, ita rectangulum H G F, ad quadratum A B,h
48쪽
est ad quadratum F Equare vi H F, ad F E: ita enim est B D, ad A B,) ita erit rectangissum H G F, ad quadratum E F; sed vi H F, ad F E, ita rectangu lum H F G, ad rectat
sulum E F G, ob communem altitudinem F G; quare vi rectangulum H F G, ad rectangulum E F G, ita rectangulum H GF, ad quadratum E F; quoniam autem est, ut totum rectangulum H GF ,'ad totum quadratum E F; ita ablatum rectangulum H F G, ad ablatum rechmgultam E F G, erit reliquum, puta quadratum F G hoc enim rem an , si cx re-etaogulo HGF, auseratur rectangulum H FG ad reliquum rectangulum FEG hoc enim remanet, si ex quadrato E F, auferatur rectangulum E FG, ut totum metangului
H G F, ad totum quadratum E F; hoc est in rectangulum H F G, ad rectangulum EFG; seu vi H F, ad F E; hoc est ut B D, ad A B, seu ut it, ad S, &c.
Quoniam superior resolutio , cisi procedens ad solida ascendendo,Essectionem Gcometricam dictauit, cuius demonstratio satis est obuia solidis neglectis, por quae factus erat incessus in resoluondo: at vero synthesis, analyseos vestigijs repetitis, utpote pcr solida procedens, parum videtur ijs arridere, quibus candor Geometricus est in delitijs, quamuis habcat cum veritate commercium. Ea vero sic se habct, eadem Effectione supposita.
Ononiam B G, tangit circulum B F D, eric rectangulum H G F, Qquale quadrato BG. =ἡ 'πὸ lioc est rectangulo A B D, hoc est rectangulo EF H; sed rectangulum H CF, aequale cst procedciis, quadrato G plus rectangulo GFH; ergo quadratum G F, plus rectangula, G P H, aequa- . bitur rectangulo EPH,omnibus ductis in AB, seu EP; ergo solidum ex AB, seu EF,in quad. GF, plus faeto abs G F, in rectangulum E F H,aequabitur facto ab E F, in rcctangulum E FH ; hoc est abs F H, in quadratum EF :& per antithesin, quod sit ex F H, in quadratum E F. minus facto ab F H, in rectangulum EFG, aequabitnr facto ex E F, in quadratumia G F; reuocata aequalitatu ad proportionem, fiet analogismus ut F H, ad E F, hoc est ut B D, ad A B, hoc est vi II ad S, ita quadratum G F, ad quadratum E F, minus rectangulo EFG, hoc est ad rectangulum F E G. Eo igitur omnis industria debet Artificis tendere,ut non casu comparanda sit demonstratio Geometricae Effectionis habitae, analyseos praesidio, & non contexatur per solidorum
Comparationem, propter eam, quam diximus, obscuritatem: In cuius gratiam multa nostris lucubrationibus adinvenimus, quibus opitulantibus assequi licebit intcntum; unde repetendo analyseos vestigia, quamuis in ea factus sit assensus ad solida, licebit vel uri deducto filo, incedere, solidis ipsis neglectis, atque propositum demonstrare. Praecauendum est igitur, ire habita radicis aestimatione, atque inde comperta aequa istate inter plana, nE dcinde incidatur in solida ad concludendum propositu in . Id vero fit beneficio positae quantitatis ad eum, qui sequitur inodum.Cum igitur ad inuentum sucrit quadratum ex GF, una cum rectangulo GFH, aequale esse rectangulo EFH, operae prctium est, quantitatem aliquam ad libitum ponere, quae unitatis munere langatur, quae dicatur V . penes quam plana tractanda sunt per analogismos, ut in longitudines resoluantur, mox vero eadem posita quantitate adhibita, inuehenda est in medium quantitas E F, veluti secundus terminus analogiae hoc cnim pacto inter longitudines aequalitas retinebi tur, quae per antithesin non Euanescct, atque tandem hac trasmutata in analogismum ,
comperiemus esse, ut FH, ad E F, ijs adhibitis, quae praemisimus, Lemmatibus, ita qua Eratum G ad quadratum E F, minus rectangulo EFG, hoc est ad rectangulum F.E G. Fiat igitur secundum positam quantitatem V, resolutio quadrati G F, in longitudinem K, & rectanguli G F H, in longitudinem L, demum rectanguli E F H, in longitudinem M . & crit quidem Κ, una cum L, aequalis M. Mox fiat ut eadem posita ad E F, ita K, ad N , & ut eadem posita ad E F, ita L, ad O, denique ut eadem posita ad E F, ita M, ad P,
M. crit quidem N, una cum O, aequalis P, ergo P, minus O , aequabitur N.
Resoluatur quadratum E F, in longitudinem in & rectangulum EFG, in longitudiacem R, utrumque secundum eandem positam; ergo rectangulum FEG, ciit , minus Ri resolutum autem erat quadratum G F, in longitudinem K; ex ijs igitur, quae in supra litis Lemmatibus ostenta sunt, erit vi H F, ad FE, ita Κ, ad , minus R; hoc est ita quadratum G F, ad rectangulum F E G ; Quod erat intentum. Sed ut hoc idem Problema iuxta generalem nostram componendi formam tractemur, ει' ίζ
tepetitis omnino Resolutionis vestigijs,sistendo intra planorum comparationem, quamuis di. quam Au
haec per solida processerit , , a ratiocinandum. Et primo Effcctio, quam Porisma dictat, δή uu*t G ad eum,
49쪽
Hoc est quadratum C B, ad rectangutebat efficere dic. um B AC, erit ut BD, ad AB. Quod opor, Quoniam rectangulum E H G, aequale est quadrato H Κi sed H g est aequalis C H; ergo rectangulum E H G, aequabitur quadrato C H; sed quadrato C H, est aequale rectan gulum D C B, plus quadrato B Hi ergo rectangulum E H G, aequabitur rectangulo D Cui plus quadrato B H; in rectansulum Et G, est aequale rectangulo E F in G H, pluire t R-
50쪽
rectangulo F H, in C H; ergo rectangulum E F, in G FI, plus rectangulo F FI G, aequabitur rectangulo D C B, plus quadrato B H; sed rectangulum E F, in G H, aequale est quadrato B H factum est enim ut G H, ad B H, ita B FI, ad E F; aequalibus propterea hinc inde sublatis, rectangulum F H G, aequabitur rectangulo D C B: sed rectangulo D CB, cst aequale quadratum C B, plus rectangulo CBD, ergo quadratum CB, plus rectangulo C B D, aequabitur rectangulo F H G. Fiat ut G H, ad C B, ita C B, ad M N, & ita B D, ad N O; nam rectangulum M N, inc PI, plus rectangulo N Ο, in G H, aequabitur rectangulo F H G; atque adco M N, plus N O, aequabitur F H. Fiat rursus ut G H, ad AB, ita MN, ad QR: ita NO, ad TV, & ita FH, ad S X. Vel, cum fuerit factum, ut G H, ad A B, ita A B, ad P Y, fiat ut G H, ad B D, ita P Υ, ad aliam, quae erit eadem S X. Cum enim M N, plus N O, aequaretur F H, ctiam QR,plus T V, aequabitur S X; & per antithesin S X, minus T V, aequabitur QR. Fiat ut G H, ad A B, ita C B, ad Z Y; ut permutando fit G H, ad C B, quemadmodum A B, ad Z Y. Superest ostendendum aequalitatem hanc ad proportionem redigi,in qua Ut BD, ad AB, ita sit NO, ad Z V. Quoniam igitur factum cst ut G H, ad A B, ita F H, ad S X i & conuertendo ut A B, ad G H, ita S X, ad F H; factum autem erat ut G H, ad B D, ita Ρ Y, ad S X ; crgo ex aequali secundum rationem perturbatam erit ut A B. ad B D, ita P Y, ad F H; ergo conuertcndo ut B D, ad A B, ita F H, ad P V, sed F H, aequatur M N, plus N O ; ergo ut B D, ad AB, ita M N, plus N O, ad P Y; sed siccimus ut G hi, ad C B, ita B D, ad N O, & ut GH , ad C B, ita A B, ad Z Y ; ergo ut B D, ad N O, ita Α Β, ad Z Y; ergo ut B D, ad AB, ita N O, ad Z Y; sed crat ut tota B D, ad totam A B, ita tota M N, plus N O, ad totam PSY; nunc vcro est ut tota B D, ad totam A B, sic ablata N O, ad ablatam Z Y, ergo reliqua M N, ad reliquam P Z, erit ut tota B D, ad totam A B ; hoc est quadratum C B, ad 'xectangulum B AC, erit ut B D, ad A B.
Eae supraposito Exemplo definitiones iam supra allatas facillimum erit explicare. Cum
supra diceremus; sat τι GH, ad B H , ita R H, ad E F, ipsa E F, dicitur quadrat m resolu- explicantur . sum . Deinde cum diceremus fieri ut G Η , ad C B, ita CB, ad M N, ipsa MN, er/i pariter quadratum resolutum. Cam diceremus fieri ut G H, ad C B, ita B D, ad NO, erIt i a N O, ne- sta angulum resolutum. Cum dicerem usfieri ut GH, adAB, ita MN, MVR. erit Vs α R,xςiis inum solidum refotatum, ira et iam T V, quemadmodum S X, erunis olida resoluta. ''REsiluit, ando autemsuperius resoluimus quadratum B H , in E F longitudinem, ut quadratum prior. C B, rn longitudinem M N, or rectangulum C BD , in longitudinem N O. Eicitur prior reD- IJ ' η v pq Diio; fle quando solidum res vimux in fovi Mincs mi , T V , S X, pecu adicitur resolutio. xiani liudi. Resoluitim es enim Pliaeum sub altitudine A B quadrato C B , in longitudinem Ut no xquiret
selirim sub altitudine As , o rectangulo CBD, in D itudinem T V, ct solidum sub alti- bi hii adine BD, se qua ato A B, vel sub altitudine A E , ct rccI angulo A B D, restatum e B L uaria. longitudinem S X. Rat o aequi Supradicta autem longitudines, in quassictae sint commemoratae resolutiones, magnitudi- Regeeit is pernes aequipollentes dicuntur. AEqualitas autem, quae est inter rectangulum E H G , or quadro M lv P0iiς πιιὰm H x inire rectangulum F H G, ct rectanguium DC B , originaria dicitur ratio, s- 'Ilialogismique ratio aequalitatis i at vero aequalitas inIer longitudines Mo, o F H, o inter α R, plus Analytici. T V, 9 S X, aequipollens ratio nuncupatur. Ille autem regressus, quem facimus ab aequatitale inter rectangulum F HG., o rectangulum DC B, ad aequalitaIem inter MO, F H, ct Ttauuiietitia.
inur IJ, plus T V, M. dicitur regressus per aequipollentia. Muando autem fecimus ut GH, ad B Id , ita B H , ad E F ior ut G H, ad A B , ita A D , adF H ; out G H, a C B, ita C B , ad Is N, s. Hi sunt analogismi, quos Analyticos anti . rauando vero fecImus ut G H, ad A Γ, ita M N, ad mi, e . quantitas AB , es, quae a nobis re umpta dicitur ἱ haec enim est, ad quam omnium ectas applicatio inresolutione, in qua deinceps negligitur . mando auum gradu ecimus a comparatione inter MO, ct FH, ad comparationem inter r, plus TV, cst S X, dicimur trans sentiam fecisse. Cum auicm inferimus ex ratione, quam habet MN G a ad PM