Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum: Petri Mengoli ..

11쪽

PATRES

Ereor quin vestris auriabus,Patre AmplisS.Coim nati iumeroru Conmgeries dissonare vide turrat innumeris meritis innumeram numerorum seriem deberi

quis deneget Arenas maris, stellarum

numerum , nivis exagonae multitudianem examinandam contemnere, dum

vestrae sis is humanitati infinitum m i tiri minime dubitaui Fronti nunquam

melior successit sudor, calamus potiori nunquam undauit atramento, eo quod vestro nomini, meo veluti numini comsecratia . Hae meae quaequae sint, integritatis fractiones , quia minima sunt quantitatis, ipsum munus exile prosi tentur; quia vero in singulis disposi

tionibus.

12쪽

tionibus infinita colliguntur, vestrae

non minus humanitatis, quam obsequi mei numerant argumenta. Vester labor est, Patres illustriss dum meis lucubrationibus munificentissimo imperio laborastis vester, inquam, i bor est, cui vestri caetus nostrique sinculi Apollo amplisiimae lucis impendium erogauit. Spinosa haec Matheseos dumeta e rigidis acutissimae artis spinis verecundiae meae rosas collecturi respicere ne dedignemini. Valete. Illustriss DD. V. Servus humillimus

Petrus sevolus.

13쪽

PRAEFATIO

Editanti mihiperspe Archismedis parabola uadraturam, propterquam infinita triangula in continue qua-- drupla proportione exissentia certos limites quantitatis non excedunt occurrit uniuersalis ista uadratura eiusdem argumenti occasiove a Geometris demostrata qua magnitudines iustata continuam quamli-

ιι proportionem Matoris inaequalitatis possidentes in pra ita homogeneas quantitates colliguntur . Admirabile sane Theorema: cuius contemplatione in eam quaestionem inductus sum, utrum magnitudines ea quactinq;

lege di posita , ut aliqua possit assumi minor qualibet proposita, vel videscientes in in Lium evanescant, infinita compos ita omnem propositam quantitatem valeant superare.

In huiusmodi causa experimentularithmeticasfractiones etare agressus, eas ita dispo ui, mi singula umtate singulispoII nitatem nu

meris

14쪽

meris denominarem in qua quidem di positi ne sumi potent magnitudo miracrq ubet assia gnata , propterea ipse magnitudines ad

ordinis incrementum quantitate decrescentes in in sinitum evanescunt.

Causam igitur in assumpta dispositionis ter

minis proponev qumbam, utrum unitates rinominata singulis numeris post unitatem in infinitum disposta, aggregata infinitam aliquam, vel simiam componerent extetisi nem . Pro finita extensione respondendum

videbatur; quod numerorum, infractionum contraria sint potestates, numerorum quidem in multiplicatione, qua magnitudines versus

infinitum progrediuntur fractionum vero in diuisione, qua res ad ipsa indiui sibilia reduciatur: aggregati autem numeri superant quamlibet propositam quantitate Pergo a contrario sensu aggregata fractiones non videntur posse quamlibet proposita magnitudinem excedere. Hoc sophisma toto sere mense sui expectatio

15쪽

nis argumentum, quod pro hac parte Geometricam in causa ferre posse enuntiam atqui dum processum demostrationis examino, iudicium in alterius partis fauorem conuertitur. Eien ratio, quia in propositis fractionibus

aquales magnitudines numeris Arithmeticediositis denominantur ' propterea tres consequentes, utpote A, B, C, risiunt Harmonice disposita,c A ad C, eamdem habet pro ' portionem, quam excessus A, B, ad exclum B, C: en autem A maior C ergo excesus

A, B, maior est excessu B, σόου aggregatum A, C, maius duplo B; S aggregatum ex ternis A, B, G, maius triplo media . Hoc igitur argumento fractiones in proposita dispositionesumpta terna a prima sunt maiores

triplis mediu es media sunt nitates denominata numeris a ternario multiplicatis , , a, si es earumdem tripia sunto , , , ,

qua ιοiem, quo supra argumento terna I

16쪽

maiores triplis mediis. Ergost Mnes propost distositionis Uumpti otidem semper se

cundum numeros proportionis continuesubtri

pia, , δεδι, singuia unitates excedunt Possunt autem sumi pro quouis assignatant ero totidem incontinuaproportionesu tripla numeri a ternario, iuxta quorum a

gregatum sumpta stractiones dispositionis proposita ipsium assignatam numerum superabui: Ergo proposita fractiones in infinitum dispο- sit in gregata infinitam extensionem valent implere. Sit exempli gratia numerus assignatui :

humantur a ternario quatuor continue

proportionales in subtripla I ρ, γ, δ', quo rumsumma rao igitur sumpta fractiones in multitudine numerio a superant assignatum numerum. nam tres primasuperant tria plum , videlicet unitatem nouem deinceps suprran triplum aggregati . . , videlicet aggregat m sedbuiusmodi aggregatum superat unitatem, ut ostendi; ergo nouem deinceps superant unitatem, propteream-

17쪽

d demon Ira ιm4 ,αδIsubsequentes singuias nitates excedunt. Hinc duo C. Oliaria processere. Primum quod eadem dispositio a quocunque ordinetur principis in in sinitum extenditur utpote sid postiarum fractionum prima sit , or alia deinceps adhuc ipsam dispossitionem propositum

quemvis numerum siverare post , itum enim en aggregatum ex ijs, qui sunt omissa , , et , S sηtti ab in to substractiosnitum

relinquere non potess.

Ziterum , quod infinitarum fractionum dispositio, in qua singula unitates a sim lusis

numeris Arithmetice proportionalibus den minantur, pariter in in nitum extenditur. Fiat ut modi dispositio A, cuius primam fractionem denomine numerus B, excessus Arithmeticeproportionalium sit C, sub singuli fractionibus dispositionis A ab eodem principio a dispositioi factionum, in quibus vinitate denominantur omnibus numeris

18쪽

a B. Quia primi denominatores in dispositionibus , D, fiunt aquales, alter minor est quam ut ad alterum eamdem habeat proportionem, quam C ad unitatem , coiligendo

secundus in dupositione A, minor est quam ut adsecundum in dispositionem, eamdem habeatproportionem sunt aute actiones eumdem habentes numeratorem in reciproca proportione denominatorum; ergo prima, secu

da, singula deinceps fractione d positionis

i, sunt minores quam ut adprimem, secundam , singulas deinceps di positionis A, eamdem habeant proportionem, quam C ad unitatem , colligendo, tota dispositios, mi-m en quam ut ad totam dispositionem A, eamdem habeat proportionem, quam C ad unitatem. Igitur si extensionis A, quantitas Usignatum etiam eiusdem extensionis multi-piam secundum numerum quantitatemn

clines Uignari, qua infinita extensiione O, ις

maiori

19쪽

s nitar raction dispositionis , si infinita. Timissis igitur hisce dispositionibus mantitatis iurisdictionem superantibus, eamdem contemplationem in tituere capi de fractioni

bus, in quibus unitate a numeris Iriangulis denominantur; an videlicet ipse etiam quadraturam excluderent , an potius paterentur:

Factis ergo de more calculis in Iructa δε- monstraIione , inueni dispositionis huiusemodi quadraturam esse nitatem:

quod aggregata quotlibet a prima sunt aqua.

tis numero multitudinis ipsarum denominato per numerum binario maiorem, propterea semper unitate sunt minores eo defctu, qui iuxta multitudinis additarum fractionum incrementum infra qualibet assignatam magnitudine diminuitur,oe in in nitu evanescit.

20쪽

midia ergo dendo, omnes Ou unitatem. unitatisunt aquales.

Tandem peiusdem dispositionis fractiones

totidem Disantur deinceps secundum nume ros proportionis continuesubdupti a binario, videlicetis, , , oec. aggregata Jnt in continue dupla proportioni; atqui magnitudines dupti proportionis aggregata infinita μης aquais duplo prima, cum in nostro casu prima sit dimidium nitatis, ergo proposita fractione aggregata infinita sunt quales nitati. Huismodi sunt, qua in primo risuri opus u libro demonHraui de fractionibus, in quibus unitates denominantur planis omnia numerorum ab unitate avia enim singuli trianguli numeri singulorum huiusmodi pianorumsum dimidi, propter reciprocam pr