장음표시 사용
31쪽
SIt omnium numerorum ab unitate dispositio A, an
sumptus numerus E, cuius quadratus ;& sit omnium nil merorum, quosi, metitur ab E, dispositio C; Sint etiam B, unitates denominatae planis in A; D, unitates denominatae planis in C. Dico, quod singulae Β, ad singulas D, eiusdem ordinis, ita se habent, uti, ad unitat cm. Quia numerusi, unitas aeque nactiuntur numerosita C, A, eiusdem ordinis, vi singuli in C, ad Ε, ita singuli eiusdem ordinis in A, ad unitatem , sunt E, unitas homo togae ordinis eiusdem numeris in A,&C, conuertendoque, Mema quo binae inter se sunt ut binae A, inter se, si sumantur homo togae ordinis eiusdem: ergo plani denominatores in singulis D, ad planos denominatores in singulis eiu sed in ordinis B, sunt similes, ct duplicatam habent proportionem homotagorum laterum videlicet numerii, ad unitatem, vel eamdem qua numerusi, ad unitatem ; sed ut denominatores , ad B, inter se, ita reciproce sunt unitates denominata B, ad D, inter se Ergo singulae B, ad singulas eiusdem ordinis D, sunt ut F, ad unitatem. Quod,&c.
Vnitates denominata planis omnium numero
rum ab unitate bina a secunda sunt dimidia sngularum a prima.
SI A, series omnium numerorum ab unitate, i, sint unitates denominatae planis in x. Dico,quod binae B, a secunda sunt dimidiae singularum a prima Sit , series omnium numerorum a binario, quos binarius meis titur,
32쪽
titur; MD, sint unitates denominata planis in C; ergo singulae B, a prima ad singulas D, a prima sunt ut . bi. nari,quadratus ad unitatem: quoniam in A, sunt omnes numeri ab unitate, sunt inter numeros A a binario, qui est secundo loco, omnes C, a primo, interpositis tamen singulis Arithmetice med js,quo binariu non me tituri ergo singuli plani denominatores unitatum D, a primam dij sunt Harmonice inter bino denominatorcs B, a secunda ergo singulae , a prima mediae sunt Arithmctice interimas B, a secunda; propterea singulari, prima ad binas B, a secunda sint dimidiae, videlicet, ut unitas ad x Ergo ex aequo singulae B, a prima ad binas B, a secunda sunt ut . ad 244 conuertendo binae a secunda sunt dimidiae singularua prima. Quod,&c.
Disterentia laterum plano denominata est dissimilis differentia unitatum stingulis laterι-
bus de nometnatarum. SIni latera A, B, quorum differentia C denominetur plano D,ut fiat si actior;& denominata unitates erB, H, fiant fractiones F, C, sit C, c Xccssu A, B. Dico quod , eli desectus F, G. Quia I , cst unitas
33쪽
nominata per A ex multiplicatione in producitur unitas; ex multiplicatione unitatis, i, ploducitur B; ergo ex mutua multiplicatione Fini: producit ut B est autem D, planum A B; ergo ex ni ultiplicatione F D, producitur B. Similiter demonstrabimus,quod ex lutiplicatione G D, producitur A. Cum igitur ex multiplicationibusn i, in D, producantur A, ων ergo ex multiplicatione excessus G, F, in D, producitur excessus A, B, videlicet Q Sed quia E, fractio est ex denominatione C, per D ergo etiam ex multiplicatione El, in D, producitur C ergo E, est aequalis excessui G,F ergo E, est desectus F, G. Quod, c.
Coutinuam magnitudinum dispositionem, Ud
eo, cum disterentia antecedemium, Onsequentiumsuntsemitis.
Disrentia denominata planis in continua dispositione simul sumpta seu ut aquales ni
34쪽
SIn A, B, C, D, aliquot magnitudines continuae dis positionis in qua disserentiae planis denominals sint
fractione F, G Disserentia vero denominata plano extremorum A, D, sit fractio H . Dico, quod E, F, G, simul sumpta sunt aequalas Denominentur singuis unitatcs lateribus A. C, D, ut fiant fractiones I, K, L, M. Quoniam Ε, cst disserentia denominata plano A B, I, K, sunt unitates denominatae lateribus A, B; aequaulis est E, differentia I, 2 quae dissimilis est differenti: e A, B. Similiter demonstrabimus G, H, aequales esse dii ferent ijs , L, L, M, , M, qu sunt dissimiles different ijs B, C, C, D, A, D unde quia differenti, in dispositione A, B, C, D, sunt similes, etiam differe tir in dispositione I, K, L M, sunt similes, propterea simu sumptae sunt et eqtrales differentiae I, M, vel fia..ctioni H Qt qua colligendodi Terentia in dispositione I, Κ, L, At, sint quaic fractionibus E, F, G, simul sumptis. Ergo frictiones E, F, G, simul sumpte sunt equa.lcs Η. laod, c. '
Vnitates de minata planis tu Arithmetica distositione punt ad unitatem plauo extra
morum denominatam ut numerus multi' tudinis j arum ad nitatem. sint
35쪽
SInt A, B, C,D, in Arithmetica dispositione,cuius planis denominals singui unitates sint fractiones E, F, G,in unitas denominata plano extremorum MD, si H. Dico quod E, F, G, ad H, sunt ut numerus multitudinis E,F, G,ad unitatem. Sit , differentia semper ea dein indispositione,qus planis denona inetur,ut fiant fractiones I,Κ,L,ωsito, differentia extremorum A, D, qu plano denominetur, ut fiat fractio M. Igitur facti sunt i K, L, squales M. Et quia E, F, G,&I, Κ, L, Osdem habent Prop. 7. denominatores, numerator vero communis ipsarum E,
F, G, est unitas,& factorum I, Κ, L, est , ergo tum sinis gular,tum collectae E, F,G, ad , Κ, L, vel ad M, sunt ut unitas ad N. Pariter quia M, H, eundem habent denominatorem,inmerator vero M, est O ,δε ipsius H, est unitas pergo , ad H, est, ut , ad unitatem 4 exa quo in perturbata collectae E, F, G, ad H, sunt, ut O, ad N: Cum autem A, B,C, D, sint Arithmetice dispositi, esto, disterentia extremorum ad , differentiam consequen. tium ita multiplex,ut numerus multitudinis E, F, G ad unitatem . Ergo E, F, G, ad H, sunt, ut numerus muli, tu dinis F, F, G, ad unitatem. Quod, c.
Vnipate denominata piam omnium numerorum ab unitate terna a tertia sunt par
36쪽
D ORdinentur A, omnes numeri ab unitate, i, uniatate dc nominata planis A . Dico ternasi, a tertia, tertiam esse partem singularum a prima ordinentur omnes numeri , a ternario, quos idem metitur, unitates denominatae planiso Et quoniam Α, sunt Cnanes numeri, etiam inter numeros a ternario, qui est tertio loco sunt omnes C, aprino, binis med ijs Arithmetice scin per interpositis, quos ternarius non metitur Ergo ternae unitates B, a tertia denominatae planis quatuor dispositorum Arithmetice a numeris C, qui sunt inter numeros A, ad singulas unitates D denominatas planis numerorum C, qui eorumdem quatuor sempersunt extremi)a prima sunt, ut idem ternarius, numerus vid c licet magnitudinum, quae ternae sumuntur ad unistatem Singula autem a prima ad singulas B, a prima sunt, ut unitas adi, quadratum ternarij Ergo ex aequo terna B, a tertia sunt ad singulas B, a prima, ut 3. ad s. nempe pals tertia. Quod,&c.
Vnitates denominataplanis omnium numero rum ab unitate, quaterna auruartas intpari quarta singularum is prima.
NAm quia binae a secunda iunt uimidiae singularum asi ima,binet a quarta sunt ad singu las a secunda,
37쪽
ut unitas ad a. de eolligendo quaternaea quarta sunt ad binas a secunda,ut unitas ad a.&tinet a secunda sunt ad singulas a prima, ut unitas ad a. vel via. ad 3. Ergo eκ aequo quaternae a quarta ad singulas a prima sunt tunitas ad q. videlicet pars quarta . Quod, &c- Eadem hujus, ct praecedentis demonstrationum me thodo possunt singuli sequentis Theorematis casus demonstrari,videlicet,Vnitates denominatas planis omni um numerorum ab unitate quinas a quinta partem esse quintam singularum prima, senas a sexta partem seκ-tam,septenas a septima partem septimam, sic deinceps; ex quorum inductionc postea patefiat ipsius veritas conclusionis ne tamen scrupulosum Geometram dubitare contingat, generali superinde factae propositionivnica satisfaciam demonstratione, ut insta.
Unitates denominata planis omnium numer rum ab unitate sumpta totidem ab una ipsarum secundum numerum ordinis eius dem sunt pars ab eodem numero denomit natasingularum a prima.
ORdinentur A, omnes numeri ab unitate, & B, unitates denominata planis A,quarum F, assumpta,& ter numeros A sit eiusdemi, numerus ordinis E. Dico B, sumpta ab F, semper totidem secundum num rumi, partem esse denominatam ab E , singularum B, antimi ordinentur ab E,omnes numeri C,quosi,metis turi
38쪽
A. I. a. E. 3. T. q. . . . 6. M. 7. 8. I. st
C . . . trer, O , unitates denominatae planis numerorum C. Quoniam Α, sunt numeri ab unitate, sunt etiam inter nu. meros A ab E, qui est in eiusdem ordinis loco, omnes numeri C, a primo, qui sint E, H, I, interpositis totidem semper medijs Arithmetice, secundum numerum unitate minorem E. Sint numeros E,H, interpositi L, mu- meros H, I, totidem interpositi M,N, secundum num tum unitate minorem E; Coassumptis ergo inclinde semper duobus eorum quos E, metitur, fiunt singulae dispositiones Arithmeticae numerorum Ε, Κ, L, H, H, M,N,I, totidem semper, secundum numerum unitate maiorem E, quarti planis denominatae unitatcs sunt ipsae Β, sumptae totidem abi, secundu numerui, quae ad sin-prop.s gula unitate D, prima denominatas planis extremoruearudem dispositionum, qui sunt numeri C, ita se haber, uti, numreus multitudinis totidem sumptarum ab F, ad Prop. . nitatem Singulae autem D, a prima ad singulas B, a prima sunt, ut unitas ad quadratum E ergo ex aequo sumptae B, abi, semper totidem secundum numerum Ε,
ad singulas B, a prima sunt, uti, ad suum quadratum iSed E cum suum quadratum metiatur per se ipsum, sui quadrati pars est a se ipso denominata. Ergo sumptari,
ab F, semper totidem secundum numerum E sunt pars
39쪽
tates denominatae planis omnium num rarum ab unitate, pumpta a prima totidem semper ecundum numeros proportionis continue subdupti ad unitate junt in proportione continue dupla.
C. ἰVNitatum, quae denominantur planis omnium numerorum ab unitate prima sit A, duarum aequentium aggregatum B, quatuor sequentium aggregatum C, deinceps totidem huiusmodi nitatum secundum numeros proportionis continue subdupla sumantur aggregata. Dico A, B, C ess e in proportione continue Pror F, dupla. Quia binae a secunda sunt dimidia singularum a prima, B, subduplum est ipsius A. eadem ratione, quia quaternae a quarta sunt dimidiae binarum a secunda, C, subduplum est ipsius B,4 eadem semper cmonstratione , quodlibet Pgregatum subduplum est praec dentis. Ergo conuertendo A. B, C, sunt in proportiO- ne continue dupla. Quod,&c
40쪽
tatum, denominantur planis omnia numerorum ab unitate, quotubet assum pta a prima siunt quales numero ipsarum multitudinis denominato per numerum
SIntra numeri ab unitate,&B, quotlibet unitates
a prima earum, quae denominantur planis numerorum A. Dico B, aggregatas aequales esse numero muItitudinis ipsarum B denominato perinumerum unitate maiorem Sm D, E, numeri quorum plano denominatur vltima ipsarum B. Et quoniam sunt dispositi ab vn late omnes numeri A quorum consequentium defectus sunt singula unitates, quae planis eorumdem denomina-Prop 7 tae sunt B; Igitur B, aggregatae sunt aequales defectui extremorum unitatis,&i, petr eorumdem planum denom, nato . Est autem D, defectus unitatis,4 E,& eorumdcm planus idem E Elgo B, sunt squales D, denominato Per E. Sed cum numeri A sint omnes ab unitate, numerus E, est multitudinis numerorum A, usque ad E,&D unitate minor, qua mi, numerus multitudinis ipsa rum B. Ergo unitates B,aggregatae sunt squales nume mero ipsarum multitudinis denominato per numerum unitate maiorem. Quod, &c.