Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum: Petri Mengoli ..

41쪽

Corollarium .

de constat , quod Onitatum, quae denom

nantur planis omnium numerorum quot

libet assumpta a primasent minores,ni

tate.

Problema primum Propos. q.

Data proportione minoris inaequalitatis, alteram iuuentre maturem data, quasit numeri adnumerum unitate maiorem.

E. F. 9.

SI proportio data minoris iniqualitatis A, ad B Opportet alteram inuenire maiorem propolitone A,ad B, quae sit numeri ad numerum unitate maiorem . Sit C, excestis B, A, O, maxima magnitudo, quam C, metitur in B constat D non esse aequalem A alias C, metiretur etiam A, metitur se ipsum ergo metiretur

compositum ex C, A, videlicet B, non esset D ma XLma magnitudo,quam , metitur in B constat etiam D, non esse minorem A; quia sequeretur idem, vel maius absurdum ergo D major est A; D, ad C, maiorem habet proportionem A ad C. Siti numerus, per quem C, metitur , Laucius unitate fiati; ergo D,

C ad

42쪽

18 Nouae adrature

ad C, est,uti, ad unitatem Pergo E, ad unitatem maiorem habet proportionem A ad C. componendo E, ad , maiorem habet proportionem A ad ι est numerus F, unitate maior, quam E. Quod facere op

porebat.

Axioma Primum.

Q ando infinita magnitudines infinita *nt

extens cnis, possunt in aliqua multitudine sumi, ut sup/rent quamlibet propositam extensionem.

Theor. 4. Propos

and in ordine magnitudinum in infinitum dispositarum, quotlibet assumpta a prima sunt minores una eadem propositat magmtudine generis eiusdem, omnes apri -m in infinitum di posita, oe a Ca sunt extensionis ita.

SInt in extensione A, dispositae in infinitum, aggregarae magnitudiMs, quarum quotlibet assumpra a

43쪽

prima sint minores D, generis eiusdem Dico extensio nem A, esse finitam alias erit infinita,& semptae in alia qua multitudine magnitudines dispositae in A, a prima superabunt quamlibet propositam extensionem D,comtrahipothesim non est igitur A, extensionis infinitae, sed finitae. Quod,&c.

Corollarium.

Ligitur ex bis quod nitates denominata Corol. planis omnium numerorum ab unitate

infinitum divo De , o virgata sunt ex tensionissinit .

DEFINITIO X. Magnitudines dicuntur implere propositam

tensionem , quando existentes in inita sunt extensionis minoris propositi. vel

quando exi rentes ita, ita sunt minores proposita, ut una alia magnitudine adi cita in earumdem ordine continuato proxi

ma sani extensionis maioris proposita.

Axioma Secundum.

suando ini ira magnitudines fvit uni ex tens omi, Npngvis magnitudinia eadem

44쪽

in infinitum concipiuntur in una, oe alte raextensiona dispo i, Uaggregara, congruit Una extensio alteri.

Theor. Is Propos. I 6.

suando magnitudines a prima Vposita in

in tum aggregata sunt extensionis nita sunt in aliqua multitudine a prima, implent propositam extensionem ma

iorem quidem prima, norem tamen ex tenson omnium.

BSI A extensio finita imagnitudinum, quo rima disipositae in infiniturn,& in ea sunt aggregatae,& sit proposita extensio B,maior quidem prima dispositarum in A,minor ;imen ipsa extensione A,&ex magnitudinibus in A, dispositis assum prae a prima& eodem ordine disposita in C, impleant B. Dico, quod assumptae in in C, sunt in aliqua multitudines alias assumpta in C. quae implenti sunt infinitae igitur in extensione B, sunt dispostar eodem ordine in infinitum, aggregata magnitudines, quae pariter in extensionea; iunt ambo A, B, extensiones finitae congruit ergo B, extensioni Α, minor maiori quod est absurdum. Ergo assumptae in C, quae implanti,non sunt infinitae, sed in aliqua multitudine. laod,&c, Theor

45쪽

Theor. i5. Propos II.

tates denominata planis omnium numerorum bonitate in in simium dispossim, aggregata sunt aquales nitati

A B- D E SInt in A, dispostae in infinitum,4 aggregatae unita tes denominatae planis omnium numerorum ab innitate. Dico A, aequalem esse unitati alias erit A, maior, vel minor unitate Sit maior, igitur in aliqua multi Prop. 16.tudine sumptae a prima unitates in A, dispositae implent unitatem Sit huiusnodi multitudininis numerus , qui adiecta vitate fiat C ergo aliquot unitates in A, Decio. dispositae sumpis in multitudine numericiunt maiores unitatς quod est ab stirdum. Non est igitur A, maiorio otivnitate Sit minor, data proportione minoris maequalitatis A, ad unitatem, inueniatur altera maior,qua V vsit numeri D, ad Ε, unitate maiorem; aliquot Inita tes in A, dispositae sumantur a prima in multitudine nu meri D; quae cum sint aequales numero D, denominato ptop. 13. per E, habebunt ad unitatem eamdem proportionem, quam , ad Ε, maiorem videlicet , quam Α, ad unitatem Ergo aliquot, nitates in A, dispositae sunt maiores omnibus in infinitum dispositis, pars totos quod est absurdum. Non igitur A , minor estvnitate, sed neque maior. Ergo A aequalis est unitati ..

Quod, Aliter ἐ

46쪽

Aliter.

Prop. s.

Ovia binae unitatum dissipositarum in A, a secunda sunt dimidia singularum a prinaa; colligendo, omisnes a secunda Ilint dimidiae omnium a prima; diuiden. Prop. i; do, omnes secunda sunt aequales primae; est autem prima dimidium unitatis; Ergo omnes a prima sunt aequa, res unitati. Quod,&c.

Aliter eadem Methodo.

OVia dispositarum in A, ternae a tertia sunt pars teris

tia singularum a prima; colligendo, omnes a tertia sunt pars tertia omnium a prima, 4 diuidendo, omnes apior is tertia sunt dimidiae duarum praecedentium sunt auteni duae praecedentes aequales a. denominato per 3 igitur omnes a tertia sunt aequales unitati denominatae per 3. Ergo colligendo, omnes disposita in A, sunt aequales denominato per 3. videlicet unitati. Quod, c.

Theor. 7. Prop. 8.

itatum denominatarum planis omniσω nerorum ab unitate, qualibet assumpta, summa siuccedentium in infinitum, is summa pracedenrium, oe Fumpta μης

47쪽

rorum ab unitate sit x, quilibet assumpta, cuius ordinis numerus D, Sitque Β, summa succedentium in infinitum, x, simina praecedentium, Massumptae A. Dico A, B, C, esse continue proportionales, ut unitas ad D. Siti, numerus unitate maiori: quia D. est numerus ordinis A est etiam numerus multitud nis aggregatarum in C igitur C, est aequalis D, dcinominato per Prop. a. E, aggregatum vero ex C, B, est aequale unitati , ergo Prop. λει

ad aggregatum ex C, B, estis D, denominatus per E ad via talem, videlicet ut D ad E;&diuidendo,C, ad B, est v D, ad unitatem ; quapropter , ad B, est ut D, denominatus p ri, ad unitatem pariter denominatam per E ergo B aequalis est unitati denominata per Quia etiam D, est numerus ordinis , T inter omnes numeros ipsi,proximus unitate maior; constat, quod A, est unitas denominata plano D E sed unitas denominata peri, ad unitatem denominatam plano DB, est ut planum Dra, ad E; vel diuidendo peri, ut D, ad unitatem ergo B ad A, est ut D ad unitatem. Sunt ergo continue proportionales C, B, A , vim ad unitatem 4 conuertendo, A, B, C, sunt continue pra portionales tunitas ad D. Quod,&

Theor. Prop. I

Factis duabus Arithmeticis dispositioni sprima ab nitate , altera ab sumpto nu-

48쪽

mero rerum videlicet numerarum, quos assumptis metit ripi singulos in prima dispositas; unitates deuominata pia uis omnium numerorum prima, ad unitates δε- nominatas planis omnium numerorum aurarius dispositionis ordinis eiusdem, ita se habent, malumpti numeri quadratus ad

A. I. 3.D.

7. 9.

L. Ir. 22. SIt dispositio Arithmetica numerorum A, ab unitate;&m, numerus assumptu a quo sit dispositio nu- inerorum C, quos B, metitur per numeros λ, eiusdem ordinis unitates autem denominata planis numer rum A, G, sin D, i δε numeri , quadratus F. Dico D, ad Ε, ordinis eiusdem esse, uti, ad unitatem Quia B, metitur numeros C, per A, eiusdem ordinis, ut sunt numeria, ad unitatem, ita C, eiusdem ordinis ad B; sunt numeri Α, c, ordinis eiusdem homologi unitatis,&B;&eadem ratione, tunitas ad numeros A, ita B, ad C, ordinis eiusdem ergo ex aequo numeri Α, inter se sunt ut C, eorumdem ordinum interrae; plani eorumdem ordinum numeris A, C, contentι. sunt similes, ergo denominatores D, ad eiusdem ordit

49쪽

iarithmeti a snis denominatores Ε, sunt similes; duplicatam pro- Portionem habent homologorum laterum unitatis, ad B; videlicet eamdem, quam unitas ad F; Ergo D, adi, ordinis eiusdem sunt reciproce uti, ad unitatem Quod,&c.

Theor. 19. Prop. 2o.

Factis duabus Arithmeticis dispositionibus prima ab unitate secunda vero ab assum pro inprima, eorum, quos assumptus metitur per singulos primae omnes numeriseecunda sunt inprima, totidem semper intemiectis, quot unitatum es sumptus una dempta.

A. ID. F. 3. B. I.

inter numero A, assii plus B; a quo fiat dispositio Arithmetica numerorum, quos idcm B inclitur per singulos A. Dico numeros D, esse liue numeros A, O tidcmicm perint crpositis, quot sunt unitatcs in B, Vna minus. Sit C, excessus B , unitatis, iisponantur numerissi, qui sint cxce suis binorum D, i, citis demordinis. Quoniam B, meritur numeros , peri, eius.

50쪽

s Novae 'adraturedem ordinis; est unitas ad B, ut numeri Α, ad D ωdi.

uidendo est unitas ad C , ut numeri Α, adi igituri, sunt multiplices numeri C; quia C, excestis B, i. nitatis magnitudinum , quae sunt inter numeros A , vel aequalis est, vel multiplex excessu consequentium eo. rundem ergo numerii, sunt multiplices excessui conse. quentium A;& sunt numeri E, excessus numerorum D, A ergo numeri D, sunt inter numero A. Praeterea, quia numeri Α, metiuntur numeros D, perii igitur excessus consequentium A, metitur exces in consequen tium D, per B sed inter extremas mediae Arithmetice totidem interponuntur,quoties excesses consequentium excessum extremarum metitur una minus Ergo numeri D, sunt inter numeros A, totidem semper interpositis numeris A quot sunt unitates in B, una minus. Quod,&c,

Theor. et O. Prop. 2I.

Vnitates denominata planis numerom Arisb. metice sepositorum ab uitate, siumpta semper totidem ab assumpti, quot unitatum ea numerus inter Arithmetice dispositos eiusdem ordinis cum Uumpta, seunt ad singulas a prima, ut unitas ad eumdem

numerum.

Stat numeri A, Arithmetice dispositi ab unitate, S,

unitates denominatae planis numerorum A, qua- Ium