Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum: Petri Mengoli ..

21쪽

portionem inguia fractiones, in quibus uniatates denominantur triangulis dupla senisi vitarum, in quibus rinominantur planis . ideo utrique dilpositioni eadfm conueniunt δε-

monstrationes.

Ab huius stactionum dipositionis contem-tι latione i liciter expeditus, ad aliampr gradiebar dispositionem, in qua singula nita

tes numeris quadratis denominantur . Hac

hincuseti sinctus quidem laseris rependit, nondi tamen octa V soluendo,sed ingeni,

ditioris postulat adminiculum , ut praecisam dispositionis, quam mihimetipsi proposuidum

mam valeat reportare.

Proseuntibus habetur huius opusculi Theo remata, ea pracipue, qua in primo libro δε- monstrantur pratere sequentes propor

sptiones videlicet. tates de minata compositis exqua. dratis

22쪽

onstat enim, quod neuti fractiones huisse dispositioin congruo singulis, in quibus

unitates denominantur pianis omnium numerorum ab unitate. a. Unitates denominata compositis, ex quadratis ab unitate, I lateribus eorumdem

uuia usu, qua μmuntur alterna a prima, congrum singulis, qua denominantur pianis

omnium

23쪽

Omnium imparium ab nitate, e sciri fiunt

aquales . Alterna vero a suopta cc Asir ints ingulis, qua incre inantur pianis mimum parium a binari , o propterea sunt aquales . Ergo collige id , cmnes sunt aequales i.

3. Unitates, ncmmata ccnbpositis ex quadratis ab unitate , es later lus eor&mdem

triplis disposita in infinitum , a Vata sunt quale l.

Laterum tripli 3 6 9 Ia Is

uuiasumpta prima binis reliniis congruuntvmtatibiis,qua denominantur planis numerorum Arithmetice Vpostorti ab unitate cuexcessu I, rvtere aggregata infinitassint aquales e Sumpta autem a secunda binis relictis cctartiunt nitatibus, qua denominantur planis Arithmetice distositoruma , cum eode xc suis, πήμη AEquales 1, Residua tandem congrutini nitatibu , qua denominantur planis

24쪽

ptiuis A in lice dispositorum ais cum eodem excessu i. γ' ideo sunt quales . .

Ergo omnes equeses suu aggregatis Q - , delicet '. Et alia uiu modi Theoremata,eadem pariter methodo demonstraui. Adpropositam ergo si 'astione redeo cuius plura capita contrarias, ut ostendi, merentur sententias. Inorum autίm duo solumodo in hoc opusculo mihi videor absoluisse; alterum defractionibus, in quibus ' itates denominantur productis numerorum Arithmetice dispositorum alterum de ijs, in quibus disserentia dispositorum quomodolibet numeror eorumdem productis denominantur: praeterea eadem tu

Geometricis quantitatibus demonstrari posse indicaui, prauia solumodo nomissum uterpretatione, qua habetur in Ultimis Unitionibus libri tertij. In sumptis autem capitibus quidqueμο- ni respondendam sit, exsequenti as unusquiisque poterit iudicare.

NOVAE

25쪽

N O V IE

QUADRATURAE

ARITHMETICAE

De Additione Fractioniam.

LIBER PRIMUS.

In quo tractatur de Fractionibus, quarum sunt denominatores numeri plani. Principales Additiones habentur in Propositionibus huius libri 7. 8. 3. 23. 7. Quadraturae vero in Propoli

tionibus 7. 26. Q.

DEFINITIONES

Tisterentiam duarum magnitudinum, qua A prima excedit secundam voco excessum

prima secunda.

cuando vero prima descit a secunda voco, desectum primή,.secunda.

26쪽

a Nouae adraturei II. Similes disserentias voco, tum excessus, tum risiectus inter se. IV.

D similes vero ex essus defectibus

Magnitudinu Arithmetice disssitas , voco, quarum sumptis continue binis quibusliab t infer ntia similes antecedentium , conqeqMentium sunt quales.

VI. Magnitudines Harmonice dispositas , voco, quarum uumptis continue ternis quibus libet prima se babι ad tertiam, ut disserentia prima'secunda ad similem disserentiam secunda, c tertia.

Praeterea suppono Lectorem informatum esse de ijs,qua in Quinto, Septimo, octatio, & Nono libris Elementorum Euclidis traduntur, quoad capescendas monstrationes Nana, quoad ipsas propositiones &praxim numerosam, suscit memoriae mandasse praecepta logisticae Fractionum, quae passim penes Arithmeticos leguntur. Theo.

27쪽

Τheorema 1. Propositio .

Trium Arithmetice dispositorum planumsub

extremis medium est Harmonice inter piana sub singulis extremis, o medio.

D. a.

H. I. q. E. I. G. I. F. In Arithmetice dispositi tres A, B, C, quorum differentia: planum extremorum C, sit G, plana vero sub singulis extrenais, Mediora B, C B, sint E, F Dico quod G, medium est Harmonice inter E, F Ex multiplicationibus D A, D C, producantur IJ, I ergo ut A, ad C, ilicst , ad I & quia E, F, sunt planam A, B O ergo E, ad F est, A, ad C, vel uti, ad I quoniam A, multiplicando B, C, produ citi, G ergo A, multiplicando differentiam B, C, producit similem differentiam E, G in multiplicando D, produciti est autem D, differentia B, C, crgo H est: differentia E, G, similis differentiae B, C, vel differentis A, B Similiter demonstrabimus quod I, est differentia G, F, similis differentiae A, B, vel E, G ergo', adi,est vidisserentia E, G, ad similem differentiam G, F. EGO Dessi. medium est Harmonice inter E, F Quod crat de monstrandum.

28쪽

Theorema et Propos a.

Trium Harmonice inspositorum planumsub

extremis medium est Arithmetice interpla. na subsingulis extremis, oe medio.

H. I. I 2. D. 6.

E. et G. 8. F. q. SInt Harmonice dispositi tres A, B, C, planum extremorum A C, su pla ita veto sub singulis extrenais,& medio A C B, sint E, F Dico quod medium est Arithmetice inter E, P. Sint H, SI, differentiae limi-Def. s. les A, B, B, C, ergo ut A, ad C, ita est id, ad I, productum AI, est aequale producito CH . Sit huiusmodi productum D quoniam A, multiplicando B, C, pro ducit E G ergo A, multiplicando differentiam, B, C producit similem differentiam E, C; multiplicando I, producit D; est autem I, disterentia B, C i ergo D, est dis- ferentiai, similis differentiar B, C, vel A, B Similiter demonstrabimus quod D est differentia G, F, similis Def. , differentia A, B, vel E G ergo differentia E, G, G, F, sunt aequales, similes. Ergo G medium ei Ari. thmctice inter E, F Quod,&c.

DEFINITIO VII.

Unam magnitudinem altera denominatam, zoco, quamlibet fraectionem, in qua na

29쪽

Arithmeticae s

magnitudo Ira loco numeratoris, altera

vero loco denominatoris.

Theor. 3. Propos 3-

Eadem magnitu e tribus Harmonice dispositis denominata sunt sta tiones Arithmel lice disposita

DEFINITIO VIII.

Deserentiai di plava maliqua diu lime

voco

30쪽

voco absolute, differentias, inplana macgnitudinum, qua sunt continue consequentes in ista dispositione, prima videlicet

secunda secunda, oe tertiari 2 sic deinceps Wque ad ultimam Ad posita sunt in alia qua multitudine; vel in infinitum dise sita concipiuntur infinitae.

Theor. . Propos ,

Factis duabus spositionibus prima quidem

omnium numerorum ab unitate, secunda vero omnium numerorum, quos assumptus aliquis numerus metitur ab a pio: itates denominata planis inprima, ad unitates denominatas planis insecunda, ingula adsingulas eiusdem ordinis ita; habent, ut alumpti numeri quadratus ad unita