장음표시 사용
141쪽
*Vι conuertendo , unitatem esse ad assumptas Vt Gisi planum V, ad differentiam V, G sed maiorem habet proportionem planum G ad differentiam V, G, quam
G ad unitatem vel quam unitas ad unitatem denomi natam per G ergo unitas ad assismptas maiorem habet proportionem quam ad unitatem denominatam per G; propterea quotlibc assumpta sunt minores unitate denominata per G ergo P, est finitae extensionis Irae Pr. s. terea differentiae denominata planis in I, disponantur in serjem , quarum prima est excessus H, G, denominatus plano GH quoniam magnitudines A, procedunt in infinitum etiam producti carum lcm I, procedunt in infinitiam ergo est extensionis finitar aequalis pr.c. 3 est unitati denominata per G: cum G, sit productum
num GH, productum BCDE, in D: ergo GH,&planum GH, sunt homologa rationis eiusdem D, E,&producti BOD E ergo excessus H, G, ad planum GH, est vi excessus E, B, ad pio ductum BCDE; fractio, in qua excessus H, G, denominatur plano GH, videlicet prima dispositarum in , aequalis est fractioni, in qua excessius E, B, denominatur producto BCDE, videlicet primae dispositarum in F: similiter demonstrabimus easdesingillatim magnitudines tum in K, lim in F, esse dispo
sitas, sunt ambae dispositiones , a, extensionis finitae, ut probauimus; ergo Κ, F congruunt xx. inter se: cum ergo Κ,sit aequalis unitati den
minata G, videlicet productora Coa etiam , est aequalis unitati den ruinatae producto B GD Quod,&c.
142쪽
Datis extremis inaequalibus , intermediam
inuenire , cuius unius extremarum
inferentia plano denominata sit qualis ali data magnitudini, qua sit minor disse
rentia extremarum plano denominata.
DAtae sint inaequales extrema A, B; quarumdisscirentia plano denominata st C;&data sit alia magnitudo D, minor C. Opportet extremas A, B, intermediam liuenire; cuius,& A, disserentia plano den minata sit aequalis in Vel est A, maiori; vel minor sit maiori; χου multiplicatione DA, fiat ES qui auctus, nutate siti in per F, diuidendo A fiat quotiens G. Dico, quod G, est termedia A, B, quod excessus A, G, plano denominatus est aequalis D. Quoniam G, multiplicandos, producit A;& multiplicando aggregatum Ε, unitatis producit aggregatu plani GE, G;est autem F, aequalisi,& unitati igitura est aequalis plano GE, Go in est maior Gi ergo communi ablata G, excessus A, G, est aequalis plano E;&diuidendo per G, excessus A, G, denominatus per G, est aequalis T videlicet plano DA;4 diuidendo per A, exces usin,G, plano denominatus est aequalism: non est autem , aequalis, neque minor st; nam excessus A, G, plano de
143쪽
Arithmeticae. IIS Rominatus, videlicet D aequalis esset vel maior C,coris tralipothesim ergo G, est intermedius A, B; exces sus A G, plano denominatus est aequalis D. Sit A, minor B;4 conuertendo, B, maior A . quoniam D,est minor C; sit defectus H inueniatura, intermedius B, A, ut excessus B, E, plano denominatus aequalis fiat Hr quoniam A, E, B, stilat magnitudines continue dispo sitae; aggregatum differentiarum A, E E, B,planis denominatarum est aequale a videlicet aggregato D H; est autem differentia E, B, plano denominata aequalis H; ergo residua differentia, videlicet defectus A, E , plano denominatus est aequalis D. Quod, &c.
SIn disposta quomodolibet magnitudines infinitae in continua dispositione procedcntcs inter extre
144쪽
mas A, B, aba, quaesit in principio dispositionis ad B;& infinitar differentiae planis in dispositione denominat gag gregentur in C; sit L, differentia A, B d ex deno, minatione L per planum Assi, fiat H . Dico, quod C, est aequalis H . Est enim C, extensionis finitae: nam assumptis in C, quotlibet a prima in denominatione vit,
mae assumptarum adhibeantur D, E, magnitudines inter Prop. . . A, B, dispositae constat, quod assumptae sunt aequales Prop.7 a differentiae denominatae plano AE; est autem differentii idenominata plano AE, una cum differentia denominata plano Em, aequalis Id ergo differentia denominata plano Assi, minor est H in propterea quotlibet assumptaretiis ii sunt minores H igitur est finitae extensionis. Iam si C, non est aequalis H, necessario maior erit, vel minor: sit maior; quoniam C est maioris extensionis Ire sumi possunt e magnitudinibus dispositis in C, aliquot aprima, ut impleant Id sumantur, Ut ipsarum multi-
Des i. tudinis numerus P; qui unitate adiecta fiat G ergo C, sumptae a prima in multitudine numeri G, sunt maiores Hu quod est contra superius demonstrata non est ergo maior H. Sit minor; inueniatur D, intermedia extrema A, B st differentia A, D, plano denominata sit Prop. saequalis C pergo differentia A, D, est minor L:& quoniaab Α, ad di, sunt dispositae magnitudines infinitae; etiam differentiae in ea dispositione sunt infinitae; simul compositae sunt aequales uni differentia extrema rumi; ergo vel prima ex huiusmodi different ijs est maior differentia Pr o si. i. A, D4 vel si minor plures a prima sumpta secundum ali quem numerum implent differentiam Α, D, qui numerus
145쪽
- rithmeticae. I 2Iunitate adiecta fiat N ergo differentiae in dissipositione A, ad B, sumptae a prima secundum numerus sunt malo res differentia A, D sumantur igitur secundurn numerum N, magnitudines abra, dispositae ad B, praeter Λἰ assiumptarum sit ultima E; totidemque sumantur X fractionibus dispositis in C; quarum aggregatum sit Petconstat P, esse portionem ipsius C id differentiam Α, Ε, maiorem differentia A, D;4 propterea disterentiam A , Prop. . E plano denominatam, videlicet P, esse maiorem differentia Λ, D, plano denominata, videlicet C; ergo portio est maior toto; quod est abirdum non est ergo C, minores; sed neque maior: ergo C,est aequalis H. Quod
In continua dispositione magnitudinum in tarum inter extremas a prima ad vitiis mam procedentium, disserenita istarum, qua distant aquali ordinis interuallo denominata productis tum earumdem, qGarumhunt disterentiae tum etiam intermediarum,
disposita in in nitum, o aggregata μης aquales disserentia inter prodti itim numeri laterum unitate minoris ab lys, qua sunt in principio spositionis, homogeneam potestatem ab ultimi, denominata plano
146쪽
in continua dispositione procedentes inter extremas A, B, ab A, I, Κ, , , qu e sint in principio dispositionis adi; infinitae differentiae illarum , quaeae litati ordinis interuallo, utpote semper binis retrinis differentiae , , I, O , c. denominata productis AlΚM, IKMO,&c aggregentur in C; sit ut ps sitio productorum numeri laterum unitate minori AIN, IKM, KMΟ, c. in qua quidem dispositiones V,yroductum Alci, R potestas totidem laterum a B mine-rcntia veto R, V, siti ex cuius denominatione per planum R, , fiat, Dico quod C est aequalis H. Est enim C, exlcnsionis finitae; nam assumptis in G, quotlibet a
prima, in denominatione ultimae assumptaru adhibeantur S, T, D, E, magnitudines inter A, B dimpositae , in Prop. i. a. dispositione Q, sint X,Z,producta STD, T DE: constat, quod assismptae sunt aequales differentiae denommatae
plano VZ; est autem differentia denominata plano VZ, 'r ' ' Vni cunn disterentia denominata plano ZR, a quali H ergo disterentia denominata plano et, minor est Id.&proptet ca quotlibet si umptae a prima ex dispositis in C, sunt minores Η: igitur C, est finitae extensionis. Iam si C, non est aequalisvi necessario maior erit, vel minor: sit maior; & quoniam C, est maioris extensionis Holumi possunt ex magnitudinibus dispositis in C, aliquot a prima, ut impleant H sumantur, It ipsarsi multitudinis Des id numerus F; qui unitate adiecta fiat G; ergo C, sumptae a prima in multitudine numeri G,sunt maiores H,quod est
147쪽
contra superius demonstrata: no est ergo tamaiori. Sit minor;&inueniatur X,intermedia extremas VI, ut dit Prop.3.3ferentia V,X,plano denominata sit aequalis C. inteii gatur V,X,esse potestates ipsi R ,homogeneae,quaru radi ces inueniantur ,S quia V,est productus magnitudinuinaequalium, continue dispositarum A, K; conitatqvod Y est intermedia exircinas A,Κ; quia X, est n- termedia extremas , R differentia , , est minor differetia,V, R differetia , S, minor est differetia , B de ablata communi differentia Y,K; differetia Κ,S, minor est differentia , B: de quonia in dispositionem ad B, sunt magnitudines infinitae: etiam differentiae sunt infinitae;&simul sumptae sunt aequales nidi flerentiae extri marum
Κ, B ergo vel prima ex huiusmodi disserent ijs est maior differentiam , vel si minor, plures a prima sumpta se Pr, si Icundum aliquem numerum implent disserentiam , S; qui numerus unitate adiecta fiat ergo differentiae in Def. o. dispositione Κ, ad B, sumptae a prima secundum num e rum N, sunt maiores differentia Κ, S: Sumantur ergo se
cundum numerum N, magnitudines assi, disposita ad B, praetcr Κ44 assumptarum sit ultima TLquam sequantur aliae duae D, E in in dispositione , sita, productumTDT; quot sunt magnitudines assumptae I, sque
ad D, totidem umantur ex fractionibus dispositis in C, a prima ; quarum ag*regatum sit P eon stati, esse portionem ipsius C;&differentiam Κ, T, eme maiorem diselerentia Κ, S44 addita communi differentia Y, Κ, differentiam Y, Τ, maiorem differentia , S, propterea' differentiam inter V, homogeneam potestatem a radice , maiorem disterentia V, X est autem differentia V, Z, maior differentia inter V. homogeneam potestatem a radice T , ergo differentia , L, est mulio maior diste. rentia V, X,&ideo differentia , Z, plano denominata Prop.
maior est differentias, X, plano denominata; videlicet in a fra
148쪽
fractione C est autem differentia V,Z,plano denomin ta aequalis P ergo P, est maior C, portio toto quod est absurdum non est ergoc, minor His sed neque maior: ergo C, cst aequalis H. Quod,&c.
Si Mures continua in positiovis, iniquitas is entia set ius, magnitudinum infinis
sitione , ut qua sunt ordinis eiusdem sint similiter ordinatas iuberentia snsiiugia/sῶ- θοsitioni se Leodem ordinesumpta, cum lys,
qua sunt in ipsarum dispositionum princi
pijs, denominata productis thm earumdem, quarum sisut disserentia, tum etiam inter
mediarum disposita in infinitum , aggregatas i quales uni disserentia pro
ductorum a primis ab ultimis extramis, eorumdem prodis torum plano den
reinata. TR ium continuarum dispositionum ex magnitudinibus infiititis inter binas extremas procedentium prima sit ab A per B, ad C; secunda a D, peri, ad F; tertia a G, per H, ad L, in quibus differentiae sint similes; quae
149쪽
quae componantur in una dispositione ab A,per D,G, B,oc ada, ita ut primae A, D, G, secundae B, E, H, reliquae deinceps ordinis eiusdem, necnon vltimae C, F, Ι, sint similiter ordinatas; singularum dispositionum differentiae denominatae productis in huiusmodi compo. stadispositione utpote disserentia A B, denominata
producto ADGB; disserentia D,E, producto D GBE;&sic deinceps in infinitum disponantur , colligantur in L; 4 primis ADG,4 vltimis CFI,producantu M, N. Dico, quod L, est aequalis differentia M,N, plano denominatae . Est enim L, extensionis finitae: nam as sumptis in L, quotlibet a prima, in denominatione vitimae assumptarum tres adhibeantur B, E, H, magnitudines inter A, I, dispositae;&Q, sit productum EF ;&quoniam sunt continuae dispositiones ABC, DEF,GHI Ex Dem.
ςQntinua essetiam dispositio MQN;&differentia M,Q, 'P immo est differentia M. ; disserentiam, Q plan Prop. . denominata minor est differentia , , plano denomi nata is autem differentiam, plano denominata Prop.1.3aequalis quotlibet assumptis in L igitur quotlibet assumptae in L sunt minores differenti,M,N, plano dc nominata ; ergo L est finitar exicusionis Inter , N, dispo ph.
nantur homogene producta in dispositione ab A ad I, ut fiant , P, Q, producta DCB, CBE, BEH, deinceps infinita δε eadem demonstrarione, qua ostendimus Q .esse intermedium M. Lostendemus tiam O, P,
150쪽
reliqua producta esse intermedia M,N; necnon O,P,esse intermedia .Q; sic dispositionem huiusnodi productorum inter , , esse continuam stimatur praeterea quaelibet magnitudo R, inter , Ni& analogias id licet proportionum proportio proportionis M, ad , ad proportionem M, ad R,eadem esse concipiatur singularum proportionum A, ad C, D, ad F G , ad , ad singulas proportiones Α, ad L, D, ad T; ad V,
rae loebi possibiles inueniri: quoniam R, est inter , Ni i n- η LQς' gulae A, D, G, singulis , F, I ,sint minores ergo M, m' est minor N; minor est proportiora, ad N qu M M ad R;&singulae proportiones Α, ad C D, ad F;G,ad , sunt minores quam singulae A, ad SA D, ad T , G, ad Vasunt ergo singula C, F, I, singulis S, T, V. maiores fiunt
autem proportiones M, ad Nara, ad Ro singularum A, D, G, ad singulas C, F, I, minoris inaequalitatis, ergo etiam propoitiones singularum A, D, G, ad sing las S T, V, siant minoris inaequalitatis; ingulae A, D, G, singulis S, T,V, minores.Si vero singulae A, D,G, singulis C, F, I, fiant maiores; ergo M, est maior Ni de maior est proportio M, ad , quam ad R,o singulae proportiones Α, ad G D, ad F; G, ad ,sint mai res. quam singulae A, ad S; D, ad T; G, ad V: sunt ergo singulae C, F, I, singulis S, T, V, minores sunt autem proportiones , ad N M, ad R,&singularum A, D, G, ad singulas C, F, , maioris inaequalitatis;ergo propor