Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum: Petri Mengoli ..

121쪽

iarithmeticae

inorem M; inter Arithmetice dispositos inueniantur duo numeri consequentes O, P, maiores numero sergo etiam planum os, maius est plano numeri , ducti in seipsum auctum numero C;& multo maius est, quam M,

Sinultiplicando per planum AB,)planoplanum ABOR maius est solido A B M videlicet numero . est autem numerus Q, ad quadratum plani Assi, ut G , ad Is ergo planoplanum ABOP,ad quadratum plani AB, maiorem habet proportionem, quam G, ad I,4 per conuersionem rationis, planoplanum ABOP, ad excessum eiusdem supra quadratum plani AB, minorem habet proportionem, quam G, ad D; habet autem excessus planoplani ABO Pr is P, supra quadratum plani AB, ad excessum planorum P, A R, proportionem eamdem quam planum AS, ad unitatem; vel eamdem quam unitas ad unitatem denominatam plano A B; vel diuidendo per duplum

C, eamdem quam unitas denominata duplo C, ad Vnitatem denominatam solido sub duplo C. AB, b delicet ad Gue ergo ex aequali inperturbata planoplanum AB OP, ad excessiim planorum o P, A B, minorem ha bet proportionem , quam unitas denominata duplo C, ad , conuertendo excessus planorum GPA B, ad plano planum A BD P, maiorem habet proportionem, quam , ad unitatem denominatam duplo C; est autem f. aggregatum intermediorum numerorum Arithmetice dispositorum inter A, P, ad exccssum planorum P,

AB, ut unitus ad duplum C; velit unitas denomina-

122쪽

ta duplo C , ad unitatem; ergo ex aequali in perturbata aggregatum intermediorum inter A, P, ad plano planum A BD P, maiorem habet proportionem, quam D, ad unitatem aggregatum intermediorum inter A, P, denominatum planoplano AB OP ad unitatem habet maiorci proportionem quam ad eam deminiatatem Ergo aggregatum intermediorum inter A, P, denominatum planoplano ABOP, maius est quam intA. a. i. s.

quot aurem sunt inter A, P, intermedis totidem assii, mantii a prima earum unitatum , quae in infinitum dispositae, & aggregatae sunt in D; quarum assumptarum aggregatum sitin constat R, esse partem, vel porti ncin ipsius D; constat etiam x, esse aequalem aggregaro intermediorum A, P, denomin

tope planoplanum Assio P ergo R est maius D pars toto, quod est absurdum et non ergo D est mino G, neque mainior; ergo D, est aequalis ipsi G. Quod,&c. Theor.

123쪽

Theor. 6. Prop. 28.

Vnitates denominata solidis numerorum drithmetice dispositorum , quotlibet si sumpta ad Iuccedentes in infinitum siunt, ut excessus plani, qui sit a maximiin i meris adhibitus in denominatione assumptarumsupra planum, qui sit a minimis, ad idem planum a minimis contentum.

NVmerorum Arithmetice dissipositorum sint A, B,

minimi cum excessura; 4n F, quotlibet a Giumptae, aggregata unitates denominatae solidis

planorum CD, AB, ad planum B. Quoniami, sunt Pr

storuin intor A, D, denominato per planoplanum ABCD 's sum aqua et unitati denominatae solido sub Pr. 17. a. duplos,&plano CD; igitur F, ad G sunt ut aggregatum ut cimcdicrtim inter A, D, denominatum pia

124쪽

Ioo A. 2. B. s. . . II. D. Iq. F. uti Eo G no plano ABCD, ad unitatem denominatam solido sub duplo E 4 plano CD & multiplicando per pla num CD, sint ut aggregatum intermediorum A, D, denominatum plano AB, ad unitatem denominatam duplo E. muli iplicando per duplum , ut excessus pr. 3. r. planorum C D, AB, oest enim excessus huiusmodi multiplex aggregati intermediorum inter A, D, ut duplumi, unitatis denominatus plano x ad unitatem naultiplicando etiam per planum AB, sunt , ad G, ut excessus planorum CD HB, ad planum AB. Quod,

mis Libri Secundi.

NOVAE

125쪽

N O V IE

QUADRATURAE

ARITHMETICAE,

De Additione Fraehionum

LIBER TERTIUS,

In quo eorum, quae superioribus Libris demonstrata sunt, generaliora traduntur principia.

Theoremat Propositio 1.

Tispositi quomodolibet magnitudinibus , ut

a sumptis totidem semper secundum aliquem numerum,singula excedantsingulas pracedentes pariter totidem humptas ordianis eiusdem Lex denominatione huiusmodi excessuum magnitudinum ordinis eiusdem per productum tum ex magnitudinitas quaru excesius, tum eiiam ex intem

126쪽

medi', ni fractiones, quarum aggregatum eII excelus productorum totidem la

terum ab extremis hinc inde, denominatus

per productum dupli numeri laterum abjsdem extremis.

DIspositis quomodolibet magnitudinibus A, B, C,

D, E, F, G ut assumptis totidem semper secundum aliquem numerum, utpote singula D, E, F sup rent singulas totidem sumptas praecedentes A, B, C, &similiter EGU, G, superent B, C, D,& sic deinceps; X denominatione excessus D, A,per productum earumdem excedentium D, A intermediarum B, C , fiat fractio I similiter e denominatione excessuum E, B; P, CC, D H i, per productos BC Di CDEF, DEFG EFGH, fiant istacitiones , L, quo sunt A, B, C , vel D, E, F, c totidem sint extremae maximae F, G, H,4 minimae A, B, C; ex denomination Gexcessus producti extremarum hinc inde F GH, ABC, per productum omnium earumdem extremarum ABCFGH, fiat fractio P. Dico I, Κ, L , , , aggregatas aequales esse P. Ex totidem semper consequentibus A BC, BCD, c. fiant producti Q . R, S, T, X, Y quo niam Q , est productum AB C. R , productum BCD planum in , est pro luetum ex productis ABC, BCD ergo A, D 4 productus Aa CG, sunt homologi rationis eiusdem laterum Q, R,&eorumdem lateium plani

127쪽

QR; ergo excessus D, A, ad productum ABCD, est ut ex ccssu R , , ad planum I ergo excessus D, A, de nominatus producto A BC D, videlite fractio I est aequalis excessui I denominato plano QR simili ter clemonstrabimus K, L M N, aequales excesssibus S, R it T. . , T J X, dc nominatis planis S, ST, TV, Y ergo colligendo I K a , , , sunt aequaleS

excessibus con Icquentium Q, R, S, T, X, Y, denominatiSeorumdem conssequentiu planis; videlicet ni exces Pr. 1ui extremorum , Q, denominato corum d extremo

rum plano Y est autem Y, productum FGH, Q, productum BC; ergo excessius, , , denominatus plano Y, est aequalis excessu productorum FGH , ABC denominato producto A B CF GH , videllcct fractioni P ergo', Κ, L M, , compossitae,in aggregatae sunt aequales P. Quod, dic.

Theoti et Prop. r.

Dispositis Arithmetice magnitudinibus, ex cessus producti quotlibet laterum a maximis extremis, supra productum totidem lato

rum a mimmis extremis, adaggregatum productorum numera laterum unitate L

noris factorum ab ijsdem dispositis consoquentibus, prater primam, inultimam, habet proportionem compositam, tum excessus Us optionis, tum etiam numera multi

128쪽

x o Nouae cluadratura

turinis laterum productorum excedentium

ad unitatem.

SIn Arithmetice dispositae quotlibet magnitudines

A, B, C, D, E, F, G, Id vi a maximis extremis fiat productum trium laterum FGH;&a minimis extremis productum totidem laterum Alc. Dico excessum prinductorum FG H, A B C, ad aggregatum productorum duorum laterum , qui fiunt a consequentibus , praeter primam, vltimam A, H, videlicet ad compositum explanis BC, CD, DE, EF, FG, habet proportionem compositam, tum excessiis B, A, tum etiam ternari; numeri multitudinis laterum F, G, H, ad unitatem. Siti, in dispositione proposita proxima minor F quoniam excessiis H, E, ad excessum B, A, est ut . multitudo numerorum F, G, H, ad unitatem addita communi proportione excessus B, A, ad unitatem, ergo excessus H,E, ad unitatem habet proportionem composita, tum excessus B, A, tum ternari ad unitatem ducaturi, in proxi. mas maiores magnitudines F, G, ut fiat EFG, productus totidem laterum, quot est FGHI ergo planum FG, ad productum EF est ut unitas ad E est autem productus EFG, ad productum FGH, ut E, ad Hi& diuidem do productus EFG, ad excessum productorum FG H, EFG, ut E, ad excessum H, E, ergo exaequali planum FG ad excessum productorum FGH, EFG, est ut nitas ad excessum Η, Ε, conuertendo, excessus productorum FG H, ET G, ad planum FG, cst ut excessus H, E, ad unitatem similiter demonstrabimus , quod sinatili excessiis productorum EFG, DEF,CDE, BCD,

ABC, ad singula plana EF DE, CD, BC, AB, sunt e

129쪽

Orithmetits Io excessus H, P, ad unitatem: crgo colligendo, cXccssus productorum FGH, AB , ad aggregatum planosima AB, BC, D, E, F F, FG , est ut excessus H, E ad unitatem; videlicet proportionem habet compositam, tum excessus B H, tum etiam numeri muliuudinis laterum F, G, H, ad unitatem. Quod,&c.

Dispositis Arisbmetice quotlibet magnitudini

bus; nitates denominata productis totidem semper coi sequentium, sunt aquale aggre gato productorum numeri latertim binario

minoris factorum ab ijsdem dispositis consequentibus, prater primam, O vltimam, denominato per pianum sub duobus toti

dem hinc inae extremarum productis numer laterum unitate minoris.

Sint dispositae Arithmetice magnitudines quotcu Iaq; A, B, C, D, E, F, G unitates denominata prC- ductis earumdem Cex.gr. quaternarum sint hi, , Κ, L;ωaueritatuna productorum ex bini ijsdem, praetcrii imam A, vltimam G, denominatum per planum sub duobus

130쪽

ductis ABC EFG, sit M. Dico, quod H, I, Κ, L, sunt aequa es M. Sumantur A, B, C, D, E, F, G, ternae;

singularum,quae terns sumuntur excessus supra singulas praecedentes denominentur productis eatumdem, qua rum sunt excessiis,4 intermediarum qui producti sunt inguli quatῆrnorum laterum it fiant fractiones N. I, P, O excessiis productorum a ternis hinc inde extromis EFG, ABC, denominatus omnium earum de extremotum producto ABC EFG, sit R; ergo N,O,P,Q, sunt aequales': in uiam, O, P in singuli sunt excessus

carum, quae ternae sumuntur denominati productis quaternarum Cut excessus D, A, denominatus producto ABVM H, I K, L, singulae sunt unitates denominatae iii militer ergo singuli N, O, P. ad singulas H, I, K,L,

sunt ut excelsus D, A, ad unitatem videlicet proportionem habent compositam excessus D, A, ad excessum

consequentium B d. huius ad unitatem est autem excessiis D, A, ad excessum B, A, ut 3.ad unitatem; ergo excessus D A ad unitatem habet compositam prop tionem tum excessus B, A, tum etiam . ad unita:m: quae composita eadem est proportioni excessus productorum tritim laterum ab extremis factorum EFG,ABC. ad aggregatum productorum ex binis ijsdem, praeter A, ' ' ς' do per productum omnium extremarum ' V, eadem est proportioni R ad Dergo singuis magnitudines N, O, P, Q, ad singulas H, I, K, L sunt tR ad M;& colligendo omnes N, O, P, Q, ad omnes H, I, K, L, sunt, R, ad M;&permutanrdo a