장음표시 사용
11쪽
uallo AB,quod siu latus minus,describatur circulias BFE secans latus AC in Ε, basim vero B in F, est igitur a terum AB, AC, disserentia EC, differentia vero segmentorum BD DC, ipsa FC sunt x-ῆ. enim BD,DF aequales, quo . m. ni m centrum pertingit, ipsius pars exterior EC minima erit incidentium circulo ab eode
quam E differentia laterum,quod erat ostendendum
' u rectangula fuerit aequalia fuerint autem
r quadrata laterum prim aequalia quadratis laterum fecund late primi lateribu ecundi 1Palia erunt,maius
videlicet maiori,minus minori. Sit rectangulum ABC aequale rectangulo DERS quadrata AB, BC, simul sumpta aequalia A B quadratisDE EF simul sumptis. 'Dico rectas AB, BC rectis D PEF aequales est maiorem vide licet maiori, minorem minori.
Qusniam enim quadrata AB, BC aequalia sunt quadratis DE,EF,irectangulum ABC aequa-Ierectangulo DEF, quadrata AB,BC una cum recta gulo ABC aequalia erunt quadratis DE, EF, una cum rectannulo DEFduplicentur rectangula ABCDEF,quadrata igitur AB,BC, una. 3Mail; cum duplo rectanguli ABC aoc est 'quadratum AC aequales.. i. erit quadrati DE EF, una cuna duplo rectanguli DFF hoc est quadrato DF,quare&recta AC aequalis erit rectae DF. Iam se, viavi centur ipsis AC,DRbifatiam in G,4 H, erunt igitur AG DHaequales,&aequalia quoque earum qia adrata, sed quadratum 'ΛGaequale est rectangulo ABC, una cum quadrato B, qua ,.s, .dratum 'DHa quale rectangulo DEF,una cum quadrato HErectangulum igitur ABC, una cum quadrato Baequale erit '
12쪽
rectangulo DF F, una cum quadrato HE. alii erant lar aequalia sectangula ABC DEF, reliquum igitur qua . iratu in B, rei uis quadrat OHEaequale erit, unde S recta GA aequalis rectae HE, quare per additionem, subductionem aequalium aeqiralibus erit AB aequalis DE, S reliqua BC aequalis reliquae EF, quod erat ostendendum.
AT A perpendi uiari, disserentiaiaterum triangu b, 2 disserentia segmentorum basis , inuenire trian-
Flicetur in D, invi in ea ponatur Eiqualisa est aut ipsa Z I. - .
quod primo loco praemissum est Lemate maior quam BC, deinde S ducat CB in F, ut sit BP qualis BriS iugatur D, dc P ducat quocueAB in G, ut D EG aequalis DF, ipsi autem BC parallela a gat GH, secans EC continuata in H, S in ea sumatur HI aequalis EC, reliqua vero Iasecetur bifariam, S ad rectos angulos in a recta linea KL aequali ipsi BA, 5 iungantur GL,LH, in triagulo igitur LGH perpendicularis L squalis est AB ex constructione, Λ IH differentia segmentoruG
ΚΗ qualis EC,hoc est ipsi Z.Superest igitur, ut differentia laterum
13쪽
tertim LG LHaequet tu ipsi BC, id alitem ita fiet manifestum Centro L,intertiali O Ladescribatur circulus secas rectam HL,continuatam in punctis M , Ν, differentia igitur laterum 1. Tre/ν. LGI Herit NH,&circulus GNAansibit pera, sunt enim
GICK aequales, S I K perpendicularis es ipsi GΙ. Quoniam igitur H iecta est in N, quadrata MHMN aequa
H Lia. erunt duplo rectaguli H N, una cum quadrat OMN, hoc est una cum quadruplo quadrati LG, diameter enim N dupla est LG semidiametri,sed duplum rectinguli HN,aequale est duplo rectanguli GHI SI quadruplum quadrati LG,ςquale quadruplo quadratorum GK, I K hoc est quadratis G DB, sunt enim GI,DBiplarum GK I K duplae, ergo quadrata H,
HNaequalia erunt quadratis G DB, una cum duplo rectangurae ἡ ἰ/ li GHI, sed quadratum G Iina cum duplo rectanguli GHI,' quale est quadratis GH, I H, hoc est GH, EC quadrata igit H, H quadratis GH, EC, DB aequalia erunt, sed quadrato EC aequalia sui quadrata FB BC, hoc est FB, BC, ergo quadratis HNH,quadrata GH,DB, BC,FB equalia erunt, quadratis aut DB, FB aequatur quadratu DF, hoc est EG, ergo quadrata H Haequalia erui quadra j GH, BC, EG sed' hiadratis EG, CH quatur quadratum H, ergo quadratis H, NH aequalia erunt quadrata EH, BC. Et quoniam ratione parallelarum BC. GH, est ut FH ad GH, ita E idest II ad BC, rectagulima EHIC sub extremis aequale erit rectangulo GHI sub medijs, hoc est rectangulo JHN, sed & quadrata FH BCistela sunt equalia qadrat is H, NH,
ergo ex antecedente,quod secundo loco praemissum est Lemmate, recta MHipsi EHerit aequali, S NHipsit quod erat Ostendendum. Constructum est igitur triangulum LGH in quo perpendicularis L aequalis est AB, ipsa vero H differentia laterum, aequali BC, ac denique H differentia segmentorum basis,aequalis L, quod erat faciendum.
Itaque erit ut recta, quς potest differetiam quadratorum ex different ijs late hi videlicet, δ segmentorum basis, ad rectam quae potest quadratum perpendicularis duplae, praedictam
quadratorum differentiam, ita disteretia laterum ab basim, de ita disserentias mentorum basis ad laterum aggri gatum
14쪽
E AI AI A. REC A M potest quadratum compositae ex lateribus
manguli, minus quadrato diserentiae segmentorumbuss,maior ess perpendiculari dupla.
Sit triangulum ADC in quo perpendicularis A D, secet basim Tam duo segmenta n. equalia BD, DC,quorum differentia sit BE M continuetur B in F longitud me AC, eri igitur BF compositae ex lateribus BA, AC, aequalis, itaque in ipsa BF, describatur semicirculus BCF,m quo accomodetur BG aequalis BE,N conectatur GF recta igitur GF poterit quadrarii F, composita ex lateribus,minus quadrato G B. hoc est E inerentiae segmentorum basis tangulus enm BGFria emicirculo rectus est. Dico piam GF maiore melle dupla perpendiculari AD. Quoniamen mi quadratum DF constat quadratis BA,
F dc duplo rectanguli B AI, duplum vero rectanguli B A F, maius est duplo quadrati AD, nam utraque piatum B A, AF maior est pia AD, quadrata quoque BA, AF simul maiora lintduplo quadrati AD pro qualitate quadrator ima B, D DC: qtiadratu igitur BF quadruplo quadrati AD multo maius erit, quana pro quantitate quadrato ruiti BD D sed quadratia BF mauis est quadrato G F, pro qu Mi Pa e quadrati Biani una, hoc est BE, ergo qua diatum G F, rara luseri qua diu plo quadra i AD,
hoc est quadrato AD dustae, quared GF maior erit, quam AD dupla, quod erat Ostcnd cndum. Problenaa
15쪽
J AT A perpendiculari, aggregato laterum trianguli/
ί disserentia segmentorum bassis , inuenire triangu
lum. Sit data perpendicularis triangsali Α, aggregatum alterum B. differentia segmentorti basis CD. Oportet inuenire trian-ghilum a puncto D ipsi CD ducatur perpendicularis DE,5 intea ponatur CE aequalis ipsi B,S: describatur semicirculus Erinin quo accomodetur Di,
squalis duplς ipsius A. hoc in i
autem fieri potest, nam ex 2 -- . antecede te Lemmat c, Eo maior est quam A dupla, conectatur igitur EF,cui qualis ponatur Ea ipsi autem DC parallela agatur GH, secans EC in H;Scio- natur EI aequalis CD, reliqua vero IH secetur bifariam, uad rectos angulos in K a recta KL aequali is-s A, S conectantur LyLH, M centro L, interuallo LM. describat circulus H M N secans EL producta in punctis , N. Quoniam igitur ex L centro cadit in Iss perpendicularis Lxsecans ipsam IH bifariam , circulus cuius centrum trais siens per A transibit&per I. Et quoniam secta est EN in M. et ιςώιὰ quadrata EM, EN aequalia erunt duplo rectanguli MEN, nacum quadrato MN, hoc est cum quadruplo quadrati LH, dia, meter enim MN dupla est LH semidiametri, sed duplum rectanguli EN aequale est duplo rectanguli IEH Quadru- Dium quadrati LHaequale qnadruplo quadiatorum 1 Κ ΚΗ
16쪽
duplae, ergo quadrata EM, EN aequalia erunt quadratis F, IIJ, una cum duplo rectanguli IEH: quadrato autem ' una cum duplo rectanguli IEH, aequalia tum quadrata E , H, hoc est CD TH, quadratis igitur EM EN, quadrata Di, EM, CD
qualia erunt, sed qtiadrato Eb aequalia scin quadrata HG, EG, hoc est H G. E F. ergo quadratis UM, EN aequalia erunt quadrata DF, CD, H G, EI, at quadrata DF, EF aequalia sunt quadrato D. quadrata igitur EM, E N aequalia erunt quadratis ED CD, H G Ied quadrata ED, CD quadrato E iunt aequalia, ergo quadiata EM, E quadratis HG, EC aequalia erunt.
Et quoniam propter parallelas CD, HG cst EH, adH sicut EC ad CD aioc est ad EI, rectangulum IEH ub extremis, hoc est Tm qitale erit rectangulo ECH G ub medijs, sed
quadrata EM ENOstenta lunt aequalia quadratis HG, E C. ergo ex Lemmate , quod prma olcoblemati praemissum est recta EM aequalis erit ipsi HG, S a composita videlicet ex lateribus EL L H qiralis EC hoc ei ipsi B, est autem S perpendiculam Lia aequalis ipsi A ex constriictione 5 Et disterentia
sc glia emolum FN . H aequalis CD. Constructum est igitur stransulum ELH. quale construendum proponebatur.
Itaque erit ut recta quae potest quadratum compositae ex laterabas trianguli, minus quadrato differentiae cymetuc is basis, ad lectam quae potestini radiatum praedici ae compositae ira inus' ad ratis, quae fiant ex diff rei Hi lcgmentoriarii basis, Perpendiculari dupla, uacomposita ex lateribus ad basim Mita differentia lex ineratorum basi, ad laterum diis eiciat iam.
S ab angulo verticis trianguli ducta recta linea secuerit bifariani basim SLangulus vcriicio sacru acutus, illa recta. inea B a secans
17쪽
secans maior erit quam dimidia basis, non autem quam pars diametri circuli circa triangulum descripti, ea scilice quae in portione in qua est triangulum, comprehenditur. Si vero angulus verticis suerit obtusus, illa secans minor erit di diabale, non autem praedicta diametri parte. Cadat ab angulo verticis ma-guli AGB recta linea GE lecas basim AB bifariam in E,& circa triangulum Acm circulus describatur,cuius centrum sit D.&iuncta ED producatur ad circumferentiam in F Dico existente angulo AG B acuto, ipsam GE maiorem esse quam ΑΕ, non autem quam EF Contra uero ex ille te angulo AG Bobtuso, ipsam Zminorem esse quam AE, non autem quam EF. Sit primum angulus AGB acutus,ergo portio circuli AGB . Terti, maior erit semicirculo, S centruerit inter F, F, maior igitur erit FG quam AE minor vero quam EF, pars videlicet diametri circuli, quae in portione AG comprehenditur. Si vero
punctum G sit idem quod F, erit G E aequalis ipsi FE, immo e
Deinde sit angulus AGB obtusus erit igitur portio circuli AG minor semicirculo, centrum D erit extra linea FE, . ιν ij itaque GE ' minor erit quam AE, maior vero quam PE, at si
punctum G fuerit idem quod F, erit GE aequalis ipsi FE im
M , T AT trianguli angulo verticis data tic j ,h. recta linea,qu a dato angulo ducta secat assim bifu-
aismρι i. riam, inuenire triangulum sit
18쪽
Si data basis trianguli AB,da: usquoq; angulus
gulum aequalem angulo C, MPer punctum E S cciritu cir culi, quod sit D ducatur recta lineal DF vique ad circumie reia iam portionis. Si igitur angulus Citierit acuturi ex ante cedente Lemmate et u L, a ior quam AE, non autem qua PE, si vero obtutus, ipsa taminor erit quam AE, non autem quam FE, quocunque igitur calu circulus descriptus ex Ecentro ad interuallum rect daequat iccabri vel tange Por tionem circuli ACB, dcicribatur, de secet vel tangat in G,Miungantur AG. CB GE, trianguli igitur AG angulus AGBad verticem aequali cit angulo C. portio enim circuli AGBiulcipit angulum aequatam ipsi C, clia iliciori baiis pia AB data. Eieca, piam basim bita iram aeqciali, et L data: qtiate iactam cil quod Poί-
At vero si datus angulus C fuerit rectus, oportcbi datam Z, aenualem essedm,idia: basi AB amne ita angi lunaicctangi iam supra basim AB constitutumii blema ciliciet.
fariam es cadat in basim non adre los angulos. Da-
19쪽
i VARIORVM PROBLEM.tis pomonibus basis, s angulo, suem ira linea cumba
consitum uenire triangulum, Sint datae portiones basis A B, B Q angulus autem quem linea secans cum ipsa base constituit in aequalis angulo Z.Opor
tur in directum AB, B C, ωsecetur AC bifaria in D perpendiculariter a recta DI, S: fiat anguloZςqua is angulus CBF, prodacta FB occurrat rectae
circulus describatur, quem secet recta BF in F, S iungantur
secat A bifaria, ad rectos angulos, erunt circumferentis RE EC aequalec; quare an sul AFE,EFCaeqsialibus circumserenti j insisten e serunt atrales, recta igitui insecat angula A SC aduertice trianguli AF bifariam , est autem 6 angulus CBFaequalis angulo Z ex constructione S portiones basis AR, DC sunt ipsae
duae rectae eae circulum cent, ct extra imum conueniant, eritfrima adfecim lum secut pars exterior ecundae adpartem exterioremprimae. Secent circulum sub centro H lescriptu,duzelmee rectae AB, AC, κα tra ipsum conueniant in A risint partes exteriores ipsarum AD, AE. Dico es se AB ad AC sicut AE ad AD. Quoniam im rectangulum BAD ae,
20쪽
clitato est rectagulo CAE, erit AB ad A sicut AE ad AD, quod
basis triangulifuerit latere maiora maior , dupla laterum disserentra disserentiam segmentorum basis ex-eedet. Sit triangulum ADC cunis basis DC sit maior latere maiori AB. en o A. in seni alto A describatur circulus EF, secans latus A prodiic lim in punctis F. G. bassim velo BC in E. cadat in BC perpendicularis AD.eru igitur laterum AB AC differentia Bi disseientia vero segmentorum BD, DC ipsa BE, aequales ' enim sunt ED, D C, I TM tr. Dico dii plana BF maiorem escte ipsa BE. Quoniam enim BC major ponitu quam B A, erit duplam maior quam duplata , 5 conscquenter multo maior quam BGi. Et quoniam ex antecedente Leni male est ut PQ ad Da ita BF ad DE duplatis ante cc dentibus, erit, dupla BQ ad D ita BF dupla ad DE sed duplam maior ponitur quam BG, ergo BF dupla maior erit quam BE, quod erat demonstran
D, T A disserentiat terum trianguli, gerentia segmentorum basis, datoque excessu inter latus maius, o basim,inuenire Gangesura .
Sit data differentia laterum trianguli AB differentia segmentorum basis Z.4 excessus inter latus maius, cubasim, AE. Oportet inuenire trianguhma. Duplicentur AB, AE haec in M, illa in Q Nessit primu excessus penes basim ergo ex antecedente quod secundo loco praemissum est Lemma te, erit AC maior