장음표시 사용
21쪽
ad D Q ita Mnad BG, maior igitur erit BG quam BM, quia
DC maior est quam A bauserantur aequales B C, BA, reliqua igitur Camaior erit quam reliqua MA, S cum lecetur CGbifariam in L,erit quoque Lamaior qua Ex in ipsa situr LGlamatur LFaequalis EA, centro L,interuallo LC, vela describatur circulus C lG. Suaviliter Sc centro B, interuallo BF, alius circulus describatur secans priorem in I, conectantur BI LI, ipsam autem Bl secet circulus C Iain H, perpendicularis vero LΚ, in K. Quoniam igitur AB. BC,lunt aequales ex constructione, SI aequales quoque CL LG, erit AG ipsius BL dupla,S quoniam Blinperat ipsam BL, excessu LF,hoc est AE, superabit BI dupla duplam BL hoc est ipsam AG. excessu AEduplo,hoc est excessu AN, quare G ipsitus BI dupla erit Et quoniam est ut AD ad DC, ita Bad BG, erit componendo,Vt AC hoc est ut BC dupla ad D ita Mahoc est BI dupla ad BG,&subduplatis antecedentibus erit vi BC, ad Da ita BI ad BG, sedit BI ad BG, ita est BC ad BH, ergo ut BC ad D cita et ii BC ad BH,aequalis igitur erit BH differen ta segmentorum DK, I, ipsit D hoc est datae, est autem S BC differ elatia late tui L,LI, aequalis ipsi AB ex constructione S excessu LF,quo basis BI superat latus maius B L,aequalis E datae. Constructum est igitur triangulum BLI, quale construendum proponebatur
Itaque erit ut excessus,quo dupla differentia laterum trianguli superat differentiam segmentoriaria basis, ad compositam ex differentia laterum , i duplo excessu,quo basis latus maius cxcedit, ita differentia segmentoriani basis ad aggregatum loteriam, Mita di Frentia laterum ad basim .
Clim enim si AD ad DC, sicut B ad BG, erit permutando ut AD ad MB, ita DChoc est BHad BG S coniequenter ita
B ad BI,est enim BC ad BI, sicut PH ad BG. Sit
22쪽
Est enim vis adro, ita 6, ad D. N ita Ia, ad O. Si vero excessu, iii erit penes latus.
Erit ut excelsus inter differentiam egine torum basiis 3 duplam differentiam laterum trianguli, ad excessum ter differentiam laterum,& duplum excessum quo latus m ius superat basim ita differentia segmentorum basis, ad aggregatum latorum, ita different in laterum abbasim . Sit enim triangulum ABC, in qu Dperpendicularis A D. secet basim BC in duo segmenta BD, DC,4 latus Am quod sit maius latere AC excedat basim B C; centro A interuallo AC dei cribatur circulus secans basim BCina, latus vero BAproductum in punctis F, G, erit igitur Litera AB AC differentia FB dimi entia vero legmentorum BD C. ipsa BE. Duplicetur FB in Hproducatur BCina, ut sit CL excessiis, quo B Aiplam BCluperat, cui excessiva sumantur H M. MK.rquales, C ut matri imito
Et quonia est it BF ad BE, ita BQ ad BG. duplatis antecedentibus. erit vi H F.ut BE hoc est ad FN. ita G ad BG diuidendii. in NH id F. ita RK, ad BG, ac denique permutan do, erit vi H MLK, nam F. hoc
23쪽
ad BG, ita BF ad BC. erit ut NH, ad BK, ita BF ad B quod se
cundo loco erat demonstrandum.
Sit BF , BEIo, Cus, erit BG composia ex lateribus B A, AC in basis vero Caa, unde AB 7,ACI 3. Est enim ut a, ad 6, ita Io,ad O S ita , ad a. Rursus sit BFs, BE II, CL , erit composita ex lateribus BA AC s basis vero Bais, unde A io, AC I .
Est enim vici,ad , ita I 1. ad 3 3, Mita s,ad s. Sit denique BF BE O. CL I erit aggregatum laterum BA, AC ro basis vero BC Ia,unde AB I3,AC7. Est enim via, as , ita io. ad O,S ita 6, ad a. Quod si nullus fuerit excessus inter duplam differentiam laterum trianguli,&differentiam segmentorum basis silocautem accidit, quando segmentorum differentia dupla est dimerentiae laterum non unum triangulum problemati latis faciet, sed infinita construi enim pomunt infinita triangula, ut quae sunt differentiae in uno, eaedem sint in omnibus, sed priusquam huiusmodi constructionem exhibeamus, sequens Lemma de
inferentia segmentorum basiis triangulifuerit dupli
disserentiae lateriimaatus maius excedit bassim excessis dimidiae laterum disserentiae aequali
Sit trianguluia ABC, in quo perpendicularis A D, secetha sim BC in duo segmenta BD, DC,vi centro A, in rei uallo AC, quod si minus latus,describatur circuliis secans basim BC, mi, latus vero AB productum in punctis E G. erit igitur a erum AB AC differentia BE differentia vero segmentorum BD DC, a. T. ik ipsa BF, sunt enim FD, DC aequales, si autem BF dupla ipsius
p . Dico latus A excedere basim B excessu dimidiae BF,ae quali
24쪽
duali secetur enim PEbisariam in H. Qiuoniam Iitia PF ponitur dupla ipsinis BF dc estv BF ad DF. ita BG, ad BC, eritqtioque BG, dupla ipsius B AMq ii niam E dupla est ipsius ABE dii pia ipsius ΕΗ, tota Bipsius AH do 'la eri . aequalis igitur erit AH , ipsi BC cra go An sit perabit i plana BQ exces-HR. sed H ei dimidia ipsius B E, ergo latu, A exci dis basim BC excessu
aequali dimidiae BE quod erat demon
C 3nstructio praedicti casus, in quo nullus et excellus inter duplam differentiam laterum trianguli different lana segmentorum basis. sirigi H data differentia laterum BE, differ eluia segmentorum basis Zmita sit dupla ipsius BF ergo ex antecedente Lemmate latus ni a ius trianguli excedet basim id excessus aequalis erit dimidiae BFaais ignia dati oportet inuenire triangulum, Producatur BE ad quodcunque punctum G , ea tamen cautione it BG sit maior quam quadrupla B E, V circa diametrum EG dei cribatur circulus cui ulcentrum A, pliamque circulum tangat sccta riu' a B H, in H. Joniam igitur PGp cista st malo qua BE quadrupla tecta nutilum EB G, hoc est qua diali im , I maius erit quadriar loqua dia i DE. hoc est quadrato Z est iam Z quadratiam quadruplum qua di 'timi , quia d. ipla ponitu ipsius B E, ergo S BId maior
erat quam Z li igitur centro B interuallo rectae aequali cilculus describatur, secabit citchimi crentiam circuli sub A centro descripti inter puncta E. Hi describatur Scie-cet in F iuncta BF producatur in C, S iungatur quoque A C.&m BC ducatur perpendicularis AD, erit igitur segmeii tota BD DC disset entia BF, laterum vero AB, AC, disterentia RE, est autem BF aequalis L ex consti iactione, BE pla data, Mquoniam DF dupla est ipsius B Eex antecedente Lcmate, trianguli ABC larus A excelsi t basim BC dimidia BE. Coli structu
est agit ut triangulum AB &c. quod faciendum crat.
25쪽
VARIORVM PROBLEM. CONSECTARIUM.
Constat igitur infinita triangula construi posse, ita ut disserentiae laterum, segmentorum existentes in ratione dupla, sint in omnibus eaedem, atque latera maiora excedant bases,vno eodemqne excessu dumidia videlice laterum differentia rectae enim BG compositae ex lateribus BA, AC terminus G, non est praefinitus illa enim potest esse, maior minor, re-qunitia tantum ut quadruplam BE, excedat. Su BE a BF , latus AB excedet basim BC, excessus erit nempe dimidia BE, composita veto ex lateribus BA AC, potest esse, Io II, 12, vel etiam maior, solii in requiritur, ut superet numerum 8 nempe quadrinplarn BE. Similiter Λ basis
BC potest esse 3, 6, 7, 8, vel cuiuscunque longitudinis ipsa Α,
JD AETA Ue trianguli angulum rectumsubtendenteia,
asserentia laterum, inuenire triangulum . Sit data basis trianguli angulsi rectum subtendens AB, differentia laterum L. Oportet inuenire triangulum Ducatur ipsi AB perpendicula' ras, aequalis AC, te iuncta BCfiat diameter circuli eius igitur circum' ferentia transibit per A, m ipso antem circulo AB accommodetur CE re
qualis ipsi Z,, iungatur FB,&in ea sumatur BF aequali Ezvel Z, reliqua EF secetur bifariam in D perpendiculariter a recta DG aequali ipsi DE vel DF,Λ iungatur BG, eri igitur laterum DB, DG trianguli DBG dissutientia FR, hoc est Z data. Eiqitoniam rectus est angulus CEB in semicirculo quadrutum CB, arq tale erit quadratis EB EChoc est FB FB, sed qua-is. ιι-di rata EB, ' FB, dupla sunt quadratorum ED, D B, hoc est D G, DB, ergo quadratum B duplum erit quadratorum DG DB,
scidulum est.&quadrati AB, ergo quadratum AB, aequale erit
26쪽
etitq radratis DB, DG hoc est quadrato B quare S recta AB
amitiali rectae GB. Constructum est igitii trianghilum DBGjectangulum in D cuius laterum DB Dadisseremia FB aequalis es et datiae, basi, CB angulum rectum subtendens aequalis ipsi AB quod erat faciendum A LITI R. Ducatur, ut prius ipsi AD perpendicularis, S
a fialis AC S iuncta CB fiat diameter circuli, quo accommodetur CE aequalis L,S iungatur EB,cui perpendicularis agatur AD, ipsi autem ED ponatur aequalis DF, S umgantur AE, AF. Quoniam igitur anguli AEB, ACBis eadem portione circuli existentes sunt uater se aequales,&est semirectus ACB, erit 6. AEBlem irectus angulus autem EDA rectus est ex coniti tactione reliqinis igit DAE semirectus erit tres enim interni anguli ita anguli FDA duob rectis sunt squales,angulus igitur AED angulo EAD qualis erit, quare de latu SDALueri DE vel DF, unde laterum DA, DB differentia erit FB E quoniam latera E, DA trianguli EDA aequalia sunt lateribus AD DF trian grati ADF, utrunque viriqile. S angi ilia D aequales, nempe recti ,erunt ipsa triangula aequali una laterum 4 angulorum, latu igitur AF, lateri AE aequale erit S anguli is AF aequalis angulo DAE. sed instensus est semifectus DAE. ergo S. DA Flemi rectus erit, atque adeo totus angulus E AF rectus erit 6 ideo aequalis recto CAR. ablato cominu aiangulo CA F, reliquas guus FAB reli quo FAC erit aeqtialis, sunt aute in d late L F, Am ita anguli AFB aequalia lateribit AE AC triauguli AEC, vli unque trique, eigo S basi R. basi EC h: Seii pii aeqrialis erit. Addatam igi Miri sim AR cianstitutum est triana itum ADB,cuius laterum D DB diis rentia FB aequalis ilZ, daiae,quod erat
Itaque excessiis, quo duplum mi ad rati a base subtendente
angulum rectum iri angilli , lupcra quadratum differentia laterum, aequalis et Maadrato aggi egali laterum.
27쪽
FB hoc est excessus, quo quadratum CB superat quadratu CE, est ipsum quadratum EB compositae videlicet ex lateribus, AD DB. Sit AB Io, FBa, erit composita ex AD, DB I , unde DA 6, DB8. Duplum enim quadrati ex Io, est a oo, quadratum vero eva, est , excessius igitur erit 96, pro quadrato composita ex lateribus AD, DB, unde radix quadrata numeri I9ο, quae est i , erit ipsa composita.
E M M A. CT A linea, suae potest duplum quadrati ex basi
subtendente angulum rectum trianguli, non est minor aggregato laterura .
Sit triangulum AB rectangulum in A, cuius basis BG Dic rectam, quae potest duplum quadrati BC, no esse minorem aggregato lateria AB, AC, Pi Odiicatur enim BAini, ut sit AE aequalis AC si igitur latera AB, AC sint aeqtialia, eri EB dupla ipsius AB S ideo quadratum Ela, quadi uptu erit quadrati A sed quadruplum quadrati AR aequale est duplo quadrati BC, ergo quadratum EB duplo quadrati BC aequale erit S consequenter recta quς potest duplum quadrati BC ipsi EB aggregato laterum AB, AC, erit aequalis, non autem minor. Si vero latera AB,AC non sint aequa glia erit alterum altero maius, si maius AB, ex eo abscindatur AD aequalis AC. vel AE uOniaria igitur quadra-
io.Secudi BEGII aequalia sunt duplo quadra
torum BA AE, hoc est duplo quadrati BC, duplum quadrati BC, maius erjt C quadrato BE tantum, d consequenter recta, quae potest duplum quadrati BC, maior ipsa BE, hoc est aggregato laterum AB, AC, non autem minor. Quocunque
igitur casu recta, quae sotest dupla quadrati ex base iubtendente
28쪽
te angultam rectium trianguli non est minor aggregat lateru, quod erat Ostendendum
D AT A se trianguli angulum rectum btendente,
G regato laterum, inuenire trianguliιλλω. sit data basis trianguli angulti re-
istum tib tendens AB, aggregatum laterum L. Oportet uenire ita angulum Ducatur ipsi AD perpendicularis, e aequalis AC, e iuncta CR fiat diameter circuli, pla igitur CB ex ante dente Lemmat non erit mi nor quam Z ideo lite in circulo circa diametrum Adescripto Poterit
aptari recta linea ipsi aequalis aptetur Jc sit BE A iungatur L C, cui aequalis ponatur BF reliqua EF seceturi: iaciam ni D perpendiculariter a recta DG. aequali ipsi DF, vel DE S iungatu BG. erat igitu EB, hoc est Zaequalis aggregato laterum DB, DG. Et quoniam rectus est angultis CFB in semici ictilo, quadratum CB.x quale erit quadratis FB EC. hoc est FB FB sed quadrata ER JR 'dupla uia quadratorum ED, DB hoc ei ID G DR . e et quadraraim CB dupli metit quadratorum D G, DB, ted duplum est S quadrati AB. eigo qua satum A R. a vitale erat quasi alis R. DG hoc eit quadrato G B; quare de recta AR aequalis rectae R. Constructum est igitur triangulum DBG sectangulum in D, cuius aseligatum laterum DB. G. aequale estu datae δε basis Bam illim rectum sub te iidens aequalis ipsi AB, quod erat facien
A L PT E R Ducatur ut prius ipsi AB perpendicularis,
aequalis AC, e iuncta Bria diameter circuli , in quo accommodetur BE aequalis radiameter enim CBostensa est non minor quani Z ipsi autem EB ducatur Perpendicularis A D. Miungatur AE. Quoniam igitur aequales sunt anguli ACB APB, sunt enim in eadem portione circuli, erit ango his AFB enu-
rectus; quia semirectus est A CR. sed rcctus est angulus EDA, reliquus igitur DAE trianguli DAE, em quoque emi rectus,
29쪽
omnis enim trianguli,tres interni an guli duobus rectis sunt aequales,angu clus igitur D AT angulo D E A aequalis I erit, unde S natus D E lateri in eritis squale, addita communi DB,composi ta igitur ex lateribus AD, DB aequalis ' '
erit ipsi EB, hoc est Z date. Ad datam
igitur basim AB constitutum est trian /gulu DAB rectangulum in D, cuius ag EN gi garum laterum DA, DB aequale est Adaiae, quod faciendum erat.
Itaque excessus, quo duplum quadrati ex base subtendente angulum rectum trianguli superat quadratum aggregati latorum,aequalis est quadrato differentiae laterum. Resumpta enim primae constructionis figura,excessus, quo duplum quadrati AB, hoc est quo quadratum CB superat quadratum EB,est ipsum quadratum EC, hoc est FB differentiae bdelicet laterum DG DB. Sit basiis GBio composita ex lateribus DG DB I ,erit FB differentia laterum DG DB a,unde DG 6, DB 8. Duplum enim quadratum ex Io, est zoo, quadratum vero exu , est I96 excessus igitur erit , pro quadrato differentiae laterum DG, DB, unde adix quadrata numeri , qua est ierit ipsa differentia.
addisserentiam laterum eadem habet rationem quam regatum laterum ad basim .
Sittrangulum ABC in quo perpendicularis AD secet basim BC indu egmenta BD, DC,S centro A,mteruallo AC quod sit latus minus,describatur cuculus CEF secans bassim BC in Ε, latus
30쪽
latus vero AB productum in punctis F. G, erit igitii claterii in V, AC differentia F, aggregat uiri vero BC, atque differe ima segme' torula BD. DC, et u BE: iunt nuncia νιν.
aequales WED. DC. Diso esse BE, ad BF laui BG, ad BC: rectangulum enuo EB aequale est rectangulo FBG, quare constat proPOu'
I, T dilberentia segmentorum basis subtendentis
Q angulum recitum trianguli aggregato laterum ,
inuenire manguluλ . Sit data differentia segmentorum basis subtendentis angulum rectum trianguli , aggregatum autem laterum AB,
Oportet inuenire triangulum Ducatur ipsi AB perpendicularis, S aequalis AC, S: iungatur B, in eaque describatur emi- Circulus, eius igitur circumferentia transibit per A in ipsoautem semicirculo accomodetur
CD aequali set, iungantur DB. Da, ipsi autem CD aequalis po- iratur BE per E ipsi DA arallela agatur EF, secans AB in F, reliqua AF lecetur bifariam, S ad rectos angulos ecta GH aequali ipsi A, vel J, Sciungatur H B. Jioniam igitur parallelae lunt D A. EF ex constructione, erit ut DB ad EB ita AB ad FB S ut qua diatum DB ad quadratum EB, hoc est CD, ita quadratum AB ad FB quadratum, S componendo erit ut summa qua dicitorum DB, DC, hoc est ut quadratum B leu, quod idem est. v duphim qua diat AB ad quadiatum EB, itas unam a qua dilatoriim AB, FB, hoc est duplum quadiatorum διαμAG, B, vel GH, B, ad quadratum FB,S Iubdupla iis antece dentibus,