장음표시 사용
31쪽
dentibus, erit ut quadratum AB ad quadratum En ita summa quadratorum GH, B, hoc est Quadratum B ad FB quadratum unde ut AB ad EB, ita erit HB ad Fi:, S permutando, vir: Bad HB, ita FB ad FB. Iam agaturi pei pendicularis ad HB, S ipsi HI aequalis ponatur K differentia igitur segmentorum H G B, eri KR, S ideo ex antecedente Lemnia te, erit Ut
AB ad HB ita B ad FB id ostensum est ut AB ad HB, ita esse FB ad FB ergo vi K A ad FB ita erit EB ad FB, aequalis igitur erit B ipsi EB, hoc ellet datae est autem de composita ex lateribu SHG. B, aequalis ipsi AB Constructum est: igitur triangulum
HGB rectangulum in G, cuius aggregatum laterum H GB, aequale est AB datae, cKR differentia segmentorum HI IB, α qualis ipsi Z, quod erat faciendum. ALITER. Ducaturit supra ipsi AB perpendicularis, aequalis AC, disiuncta CB, fiat diameter circuli BAC, cuius centrum E in
fur CD quali set,& iungantur DB, AE, se mutuo secantes M, S ex H ducatur ipsi AD perpendicularis HG. Q Uiniam igitur rectus est an gulus A M. femi rectus G AH , p, rurit quoquea reliquus CHA se 3 mi rectus, S ideo ipsi A saeq0 lis, unde latus HG aequale erit lateri GA addita communi Bicomposita igitur ex lateribus HG, B erit aequalis ipsi AB.
Iam agatur GI perpendicularis ad HB Si centro G, interuallo GA, vel GH, describatur circulus AHF, secans DB in K, ipsam vero AB in F, S iungatur A K, differentia igitur segmeniorum HI, IB, erit KR, sunt enim aequales HI, IK.&quoniam angulus AGH ad centrum rectus est ex constructione , erit angulus AKH ad circumferentiam semirectus, sed semirectus est de angulus ADB, est enimiqualis semirecto ACB, cum uterque, eidem circumferentiae AB insistat ergo reliquus angulus D A K, trianguli Da K rectus erit, Mideo aequalis recto BAC, dempto communi angulo AK, reliquus D AC reliquo KAB aequalis erit, sed & latus AB aequale est lateri AC ex constructione S latus AK aequale lateri Ataratione aequalium angulorum AKD, ADN, ergo de basis kB trianguli AKB, aequalis
erit basi Dc trianguli AD , Consti Actum est igitur triangulum
32쪽
lum GHI; rectanetillum in G. citius aggregatum uterum HG, G B, aequale elli AB S KR disterentia tegmentorum lil, Id aequalis ipsi DC. hoc est Z datae, quod erat aciendum. O In hac tigia radiicenda cilinea Ak.
Itaque erit ut recta, quae potest dupli in quadrati aggregati
laterum trianguli mi iriasinii adiato diffetentiae legmentorum basi sacrae relatum laterum, ita disseientia segmentorum ad differentiam laterum, Mita aggregatum laterum ad balin Resumpta enim ori 1υς csi structionis figura est ut DB ad Al ,
ita EB hoc est KB ad FB. ita AB ad HB, est enim AB ad Fid,
sicut B ad FB AD Inia rura lectandae cc structionis similia sunt triangula AUD, UIA Iunt enim anguli ADB HAB aequales, Ostentus est terque errauectus, S angulus ad B communis Vtraque, Ut igitur DB ad AB, ita erit AB L HB. Litas Bad FB est enui kB ad FB, sicut AB ad HB. . Sit kR7.composita ex latet lotis HG CB s, erit FBs,rido , unde GBro, GH is Elienun ut La o I hoc est ut 9, ad 3 , ta 7,ad 3, 5 uas , ada .
tis angi tam rectum Ganguli, minoresi quam recta quae potest duplum quadrati disserentia latertim
Sit triangulum AB rectangulum in A, in quo perpendicularis AD, secet basim BC, in duo segmenta inaequalia, BD, D ¢ro A interuallo AC,quod sit natiuis latus, describatur circulus EF secans basim BC in F, latus vero AB productum in punctis F, G, erit igitur laterum AB, AC diffetentia BF dissescia ita et O ieg
33쪽
diati BF. Qia'niam enim est BC ad BG, sicut BF ad BE erit ut quadratiam BC ad quadratum BG, ita BF quadratum ad quadratum BE, S duplatis antecedentibus, erit ut duplum quadrati BC ad quadratum BG, ita duplum quadrati BF ad quadratum Di secun BE, sed ostensum est quadratum BG minus esse duplo qua-- BGergovi quadratum B E duplo quadrati BF mmus erit, , quarevi recta BE minor erit quam recta, quae potest duplum ' quadrati BF, quod erat demonstrandum.
AT A disserentiasigmentorum basi utendentis an
gulum rectum trianguli, cordisserentia laterum inuenire trianguIuno.
Sit data differentia segmentorubasis angulum rectum subtenden iis L,S disterentia laterum AB. Oportetis uenire triangulum Ponatur ipsi AB aequalisi ad angulos rectos AC, S iuncta CB fiat diameter circuli , ex antecedente igitur Lemmate, CB maior est quam Z: ideoque in circulo circa diametruCB descripto poterit aptari recta linea ipsi Tarquatis, aptetur,& sit BE,N iungatur EC, cui aequalis sumatur BD, iungatur quoque DA,&e parallela agatur EF, secans BAcontinuatam in F,4 secetur FA bifariam G, a perpendiculari GH aequali ipsi GA, vel GF S iungatur HB triangu iam igitur GHB recta-gulum est in &differentia laterum GH, GBest ipsa AB data. Iam agatur ipsi HB perpendicularis GL&sumatur IK aequalis IH Quoniam igitur parallelae sunt FF, DA ex constructione, erit ut DB, hoc est EC ad EB, ita AB, ad FB,4 ut quadratum EC ad quadratum E , ita quadratum AB ad FB quadra--r. Himi tum vi componendo ut summa quadratorum EC, EB, hoc est ut quadratum CZ, eu quod idem est duplum quadrati AB, , . s.ιῶ ad quadratum EB, ita erit summa quadratoriam AB, FB, hoc uisi est duplum quadratorum FG, GB, vel GH, GB ad quadratum FB,&subduplatis antecedentibus, erit ut quadratum AB, ad suadratuna EB, ita lumina quadratorum GH, GB, hoc est quadratum
34쪽
dratum Hs, ad FB qiradratum quare ut AB ad FB hoc est ad Z ita erit HB, ad FB led vi HB ad FB ita est AB. ad KB ergo ut AB ad L, ita eiu AR, ad Kν aequale sigilia rerunt KR, S Z. CO nil actum cst gutar triangulum GH iectangulum ad G, cuius laterum GH CR differentia est ipsa AB data S AB disterentia legmentorum HI IB aequalis datae Z, quod iacere opor-niam igitur angulus Fria minor est recto FAC, SI angulus
AkFrectus, erunt ambo sit nati duobus rectis minores, quare coibunt rectae BA, kF coeant in F. circa diametrum F describatur c culus cuius centra rix a is igitur circulus transibit per k, quoniam recthi et a naulus AkF. Denade producatur Bk donec iecet circulum AkF mmci serius autem demonstrabimus rectam Bk lecare circulum, non autem contingere, S iunc' a GH ducatur ipsi HB perpendicularis G I. I Oniam igitur HI, Italiant a quales, differentia segmentorum H I, LB, eru B, cui aequalisci L data Suni luet differentia laterum
CH GB est pia AB data luperest igitur ut angulus HGB sit rectus. id uitem ita fit manifestum. Quoniam enim emitectus est angulus AkB est enim aequalis emitecto ACB. vleique eidem circum se enitae AB sisti 'est autem ALF lectus ex constriactione, reliquus FkH emi rectus erit: ie Senim avguli AkB ALF akH duobus rectis sunt aquales, d quoniam angulia FGH ad centrum duplus est albguli FkH ad circumferentiam. 6 est semirectus Fklin, erit angulus FGH rectus, qua ce HGB ictus quoque erit Constructum est igiti ira tangulum GH angulum in G. cuius lat rum GH GR. lifferentia est ipla AB daia, S id fiseientia segmento tum HI IB aequali ipsi Z quod ei a faciendum. At vero rectam B lecare circulum,na demonstrabular. Si enim non secar,tangit tangat si possibile est , cont .actus igitur
erit in D, S angulus ta , ciuicctus,ac diem n ectus est ALB,
ALITER Inclinens ar, ut prius ad angulos rectos AB, AC aequales, Miuncta BC fiat
Z X conectatur AK, cui per pedicularis ducatur kF. Quin quia
35쪽
quia aequalis est semirecto A CI, ergo S reliquus AEG semi- rectus erit, sed angulo AkG aequalis est angulus GAk, ratione aequalium laterum GA Gk, ergo SC ipse G Ak semirectus erit, ablato igitur semirecto angulo G Aka recto G AC, reliquus I AC erit semirectus, sed ipsit kAC aequalis est kBC , sunt enim in eadem portione circuli, ergo S ipse kBC semirectus erit, quare semirecto ABC aequalis, quod est absurdum mon igitur B rangit circulum, sed secat, quod erat demonstrandum,
Itaque erit ut recta quae potest duplum quadrati differentiae laterum trianguli minus quadrat differentia segmentorum basis, addi Grentiam laterum, ita differentia segmentorum ad aggregatum laterum, d ita differentia laterum ad basim, Resumpta enim primae constructionis figura , est ut DT , ad BA ita EB ad DF, hoc est ut EC, ad BA. ira Bh ad BF S ita AB, ad ΒΗ est ' enim eadem ratio AB ad ΒΗ, quae kB ad DF. In secunda constructionis figi ira, iuncta ko, similia erunt triangula xkC RUB, nam ang ilus A C L aequalis est angulo ABl, quia in eadem sunt portione circuli, quoniam recti
sunt anguli CkB AkF, hic ex constructione, ille exora sciani circuli, ideo aequales, addito communi angit L At B, Olus angulas As C toti FI B aequalis erit ac reliquus est quo gitur
KC, ad A, vel ad AB, ita erat Ic ad FB S ita AB, ad pH, est Eae rem enim AB ad ΒΗ, sicut AB ad DF. in prob . Sit AB, I, A B i , erit FB a I, H 169, unde G i 16, GH
IJ AT O nouo extiteribus trianguli angulum recli moambientibus es, disserentia inter reti 1uum titus, bassim inuenire triangulum Sit
36쪽
Sit datum mim ex lateribiis trianguli angulum lectum ambientibus A. data quoque differentia ter reliquum latus, cbassim BC. Opoit et inuenire triangulum . Fiat quadrato A - 1 rale rectangulum BCD d circa diametrum DB describatur circulus cuius centrum E ip- sum autem circulum contria- pat recta CF in F, i iungatur F, erit igitur rectangu hun
Z BCD aequale qua diato C, sed aequale ei S quadrato AD E consti uctione quadratum igitur C quadrato A aequale erit quare S recta C aequalis rectae A. Eil autem dc angulus is T. j, E FCrectus, e basis Ec differta latere EF per B aequales enim sunt EF. FB ex definitione circuli. O nil ructum est igitur triangulum EF quale coiuli ruendinia proponebatur.
itaque , alterum ex duobus lateribus trianguli angulum retium ambientibus medium et proportionale inter differentia n, aggregatum reliqui laterim basis. Onia ira enim recta iactabim BCD quale est quadrato PC, erit , t DC ad FG ita FG ad QSit FC 2, 2C6, erit DC a , unde EC IS, EF 9, it enim ut 6, ad 2, ita Ia, ada .
Υ ATO etuo ex lateribus Ganguli angulum recttin ambientibus, regato relictu lateris, basiis, in
venire triangulum . Sit datum via una ex lateribus trianguli angultim rectum ambientibus A, datum quoque aggregatum reliqQ lalcris S basis B oportet inuenire triangulii a . ccetiar BCm D , ut rectangulii in BCD sit aequale quadrato A. circa di metriam BD circulus describatur cui uoce turrim Ela pancto autem ducatur CF circulum contingen, in F, S iungatu EF QT -niam igitur OF contingit circulum in F, icctangulum BC D,
37쪽
aequale erit quadrato FC, sed aequale est 5 quadrato A ex constructione, ergo quadratum FCea adrato A aequale erit, unde Sc recta FC aequalis erit rectae Λ. Constructum est igitur triangulum EFGreactangulum in F, cuius latus
FC aequale est ipsi A. composita ex reliquo latere π,ωbase EC aequalis Badatae, quod erat faciendum.
Itaque alterum ex duobus lateribus trianguli angulum rectum ambientibus medium est proportionale inter disserentiam,vi aggregatum reliqui lateris & basiis. Quoniam enim rectangulum BCD aequale est quadrato FC. erit ut BG ad FG ita F ad DC. Sit FCia, BC erit DC 6, unde E is, EF, Est enim via , ad Ia, ita I 2, ad 6. Sex Problemata proxime praecedentia proposita sunt de triangulo rectangulo tantum, sex vero quae sequunturi oponuntur de omni triangulo.
AT Abas manguli disserentia terem, angusi
verticis,inuenire triangulum. Si data basiis triangit liet, differentia laterum AB angulus adverticem aequalis angulo C. Oportet inueniret mangulum. Conatui iam iactum& sit illud iri angulum DAG. cuius b, Dis AGesto aequalis ipsit Z angulus ADGaducr icem aequatis angulo C,ac denique differentia laterum D, DG qu iit AB ello positione ac magnitudine data. Quoniam igitur DA, D. i. 'itin per A erunt DB, DG aequales, itaque centro Dinteruallo DB, vel DG describatur criculus,quem secet Atac5tanu .ita F iungatu Ba. Quonia in igitur datus est angu- his ADG dabitur Mangulus FDG, ut reliquus e duobus rectis
38쪽
est enim annii lusFDG ad centrum hi plus anguli G, ad circumlerent ram, sed positione est BD,& positione quoque punctum B erit 'tetitur sitione&M , ,&qhron mam iptam BGi dato puncto A ducta est AG magnitu duae data,dabitur ιpla , AG positione quoque, quale os Dat. 1 tinctum G sed datur, angulus DG B: e enim ςqualis angulo DBG, aequalibus existentibus DB, DG er'
go dabitur GD positione quale δ puncta quoque D dabitur. Qu9niam igitur datae lunt positione extremitates A, D, G, datarum positione AD, DG ipi aequoque ma ac Datagnitud me data erunt. Cona Ponetur autem sic Producatur AB in F fiat angulus FBG aequalis dimidio eius quem relinc PI qui te duobusrectis angulus C hoc
nat AG aequalibet, Joangulo BDqquali Sconltituatur angulus BGD, erunt igitur aequale DB DG,quare differentia lateria D A. D trian-g ili DAG, erit ipla AB data Describatur ex D centro ad internalium D G, vel DB, circulus, quC sece AF in F, erit igitur angulus FDG ad centrum diriplus an ali FAG ad circumferentiam, Ied ei uidem anguli FBO dupitis est auoaue angulus H ex conluuctioni, reo angulus FDGan ulo id aequalis erit, via dei angulus ADG ad vertice trianguli aeqaalis angulo C: est autem e basis AG aequalis datae :x conitructione Constructum e bigaur triangulum DAG, quod iacere oportebat . .
S angi ius triangulifuerit centrum circuli, basis veros-
m diameter, o duc tu linea rectan9n ex centro cireuli,sed baltera extre= te aggregati laterum con titues cum eo angulum piale dimidio, qui en ad verticem triau
ruli, angulo ista reba linea in circulum incidet
39쪽
Sit triangulum D AG cuius basis AG S centro A interuallo AG describatur circulus, producatur AD in F, ut si DF aequalis G, aggregatum igitur laterum AD, DG erit M 1 puncto autem F ducatur FI, faciens angulum A FI,ςqualem dimidio anguli ADG Dico ipsam FI m circulum incideres, si enim non incidit, cadit extra qualis est: FE,itaque contInuetur DG,donec secet ipsam FE in E. Quoniam igitur externu Sangulus ADE trianguli DFE, aequalis est duobus internis DFE, DEF, quorum unus nempe DFE, ponitur dimidius ipsius ADE, eriti reliquus D EF ipsius ADE dimidius ςquales igitur erunt angu-Ii DFE, DEF. ideo aequales rectae DF, DF, quod est absurdu ponitur enim DF aequalis DG Recta igitur FLin circulum in cidet, quod erat demonstrandum. ALITER. Sit triangulum, DAG cuius basis AG, .centro D, interuallo DG describatur circulus secans AD produ ctam in F, iungatur FG, erit angulus AFG aequalis dimidio anguli AD Ghic enim est ad centria, ille ad circumferentiam. Si igitur ex Acendio ad teruallu AG circulus de scribatur, PSH tanget, vel secabit recta linea FG, ideoque in ipsum circulum incidet, quod erat demonstrandum.
: A bast manguli , aggregato citerum, angusi
verticis, inuenire triangulum .
sit data basis trianguli Z aggre um laterum Ap angulus
ad verticem aequalis angulo C. Oportet inuenire triangulum.
Factum iam sit,ac sit illud triangulum DAG. cuius basis AGesto aequalis ipsit,aggregatum vero laterum AD, DG, aequale
40쪽
ipsi AB, magnitudine ac posivione datae,ac angit tris ADG advertice in aequalis angulo iungatur autem BG inoniam igitur composia ex AD , DG aeuualis est ipsi AB ablata communi AD , reliqhia Dareliqua D aequalis erit S ideo circulus ex D centro descriptus ad interuallum DG,transsibi per B describatur, erit igitur angulus A DG ad centrum, duplus anguli ad circumferentiam, sed datur angulus Ama ergo dabitur M angulus R. . ei posivione A B, ergo Q. BG positione erit, sed a in ipsam PGa dato puncto Aducta est AG magnitudine data ergo dabitur ' pla AG positione quoque, datum irripuistum G data ' quoque positione G D, daturin in angulus D aB, quia aequalis est dato D BG aequalibus existentibus DB DG quared punctum dabitur
niam igitur data sunt extremita
tes A is a datarum postulone,AD, DG iplae quoque magnitu
Componetur autem ioblema, hoc modo Centro A interuallo datae L aequali deictabatur
circulus, Iat angulus ABG aequali dimidio anguli C. ex antecedent ei: itur Lemmate. recta BG mcidet in circulum sub Acentro descriptum incidat in G, demingatur AG cuiat angulo B aequalis angulus BGD . erit guia D aequalis Di , addita communi AD, composita ex AD , D G, erit aequalis A . Centro autem D. interuallo DB, vel DG describatur circulus BG eruigaurangulus ADG ad centrum duplus anguli Bad circumferet uiam, ei angulus C duplus est anguli Rex constructione ergo angulus AD Eangulo C aequalis erit, et autem Sebasiis AG aequatis datae ex conluxactione Constructu ira est igitur triangulum D AG quale construendum proponebatur.