Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

2쪽

CALCULI INTEGRALIS

IN QUO METHODUS INTEGRANDI A PRIMIS PRINCIΡIIS USQUE AD INTEGRATIONEM AEQUATIGNO DIFFERENTIALIVΜ PRIMI GRADUS PERTRACTATUR. Editio altera et correctiori P ETR O P O LI

Impensis Academiae Imperialis scientiarum

4쪽

in Volumine primo coriuntorum. Praenotanda de calento integrali in genere, p. 1. Sectio prima, de integratione formularum differentialium.

P. I. De integratione formularum differentisium rationa. Iium, P. 32. CAP. IL De integratione formularum differentialium irrati natium, po Φς. CAP. III. De integratione formularum differentialium per sexies infinitas, P. I CAP. IV. De integratione formuIarum Iogarithmicarum et exponentialium, p. 1O8. CAP. V. De integratione formularum angulos, sinusue angulorum implicantium, P. TIO. CAP. VI. De euolutione integralium per series, secundum sntis eosinusue angulorum multiplorum progredientes, P. Isso CAP. VII. Methodus generilis integralia quaecunque Prori me inueniendi, p. 1 8. CAP. VIII. De valoribus integralium, quos certis tantum casibus recipiunt, P. 2OI.

CAP. IX. De euolutione integralium per producta infinita,

sectio

5쪽

Sectio secunda, de integratione aequationum differentialium.

C P. I. De separatione Variabilium, P. asa. CAP. II. De integratione aequationum ditarentialium ope multiplicatorum, P. a I. CAP. III. De in uestigatione aequationum differentialium, quae per multiplicatores datae formae integrabiles reddantur, P. I O6. CAP. IV. De integratione particulari aequationum dis re - tialium, P. alo. CAP. V. De in uestigatione aequationum transcendentium informa f. contentarum, P. 366. CAΡ. VI. De comparatione quantitatum transcendentium in

Sectio tertia, de resolutione aequationum differentialium, in quibus differentialia ad plures di memsiones assurgunt, vel adeo transcendenter im

6쪽

CALCULO INTEGRALI

IN GENERE. Definitio I.

alculas integralis es methodus, ex data disserentialium res rione inueniendi relationem ipsarum quantirarum: er operatio , qua hoc praefatur, integratio vocari solet.

quantitatum variabilium , relationem differentialium inuestigare doceat: calculus integralis methodum in uersiam suppeditat.

Corollarium 2.

operationes sibi opponuntur, veluti subtractio additioni, diuisio multiplicationi, extractio radicum euectioni ad potestates , ita etiam simili ratione calculus integralis calculo differentiali opis

ponitur.

Corollarium 3-

tates Variabiles x eta, in calculo differentiali methodus traditur rationem differentialium υ:Θx inuestigandi: sin autem vicissim ex hac differentialium ratione ipse quantitatum x et ' relatio sit definienda, hoc opus calculo integrali tribuitur. A Schois Diuiliam by Corale

7쪽

a ' DE cucvLO INTEGRALI Scholion I.

s. In ealculo differentiali iam notaui, quaestionem dedisserentialibus non absolute sed relative esse intelligendam, ita ut, si F suerit functio quaecunque ipsius x, non tam ipsum eius differentiale Θ3, quam eius ratio ad differentiate 3 ex sit

definienda. Cum enim omnia differentialia per se sint nihilo ae qualia, quaecunque functio F suerit ipsius x, semper est da o, neque sic quicquam amplius absolute quaeri posset. Verum quaestio ita rite proponi debet, ut dum x incrementum capit infinite paruum adeoque evanescens Θ at, definiatur ratio incrementi functionis I, quod inde capiet, ad istud Θ e: etsi enim

trumque est Ο, tamen ratio certa inter ea intercedit, quae

in calculo differentiali proprie investigatur. Ita si fuerit I x x, in calculo differentiali ostenditur esse la et x, neque hanc incrementorum rationem esse Veram , nisi incrementum Θ x, ex quo Θ γ nascitur, nihilo aequale statuatur. Verum tamen, hac vera disserentialium notione obseruata, locutiones communes , quibus differentialia quasi absolute enunciantur, tolerari possunt, dummodo semper in mente saltem ad veritatem reserantur. Recte ergo dicimus, si F m x x, fore 33 a x Θ a , tam etsi falsum non esset, si quis diceret δν a xΘx , vel Ozzz xΘx, quoniam ob is x o et D o, hae aequalitates aeque subsisterent ; sed prima sola rationi verae a x est consentanea.

Scholion 2.

6. Quemadmodum calculus differentiaIis apud Anglos methodus fluxionum appellatur, ita calculus integralis ab iis methodus fluxionum inuersa vocari solet, quandoquidem a fluxionibus ad quantitates fluentes reuertitur. Quas enim nos quantitates variabiles vocamus , eas Angli nomine magis idoneo quantitates fluentes Vocant, et earum incrementa infinite

parua seu evanescentia fluxiones nominant, ita ut fluxiones ipsis idem

8쪽

IN GENER E.

a Idem sint, quod nobis differentialia. Haee diuersias loquendi

ita iam vis inualuit, ut conciliatio vix unquam sit expectanda; equidem Anglos in formulis loquendi lubenter imitarer , sed signa quibus nos utimur , illorum fgnis longe ante serenda videntur. Verum eum tot iam libri utraque ratione conscripuprodierint, huiusmodi conciliatio nullum usum esset habitura.

Definitio I.

v. Cum lanctionis cuiuscunque ipsus x differentiata huiusmodi habeat formam X Θx, proposita tali forma differentiali XΘx, in qua X sit functio quaecunque ipsius x, illastinctio , cuius differentiale est X Θ x , huius vocatur in te grate , et praefixo signo findicari solet: ita vi fXΘx eam denotet quantitatem Variabilem, cuius differentiale est XΘx.

Corollarium I.

8. Quemadmodum ergo propositae formulae digerentialis XΘx integrale, seu ea iunctio ipsius x, cuius differentiale est zzXΘx, quae hac scriptura fXΘx indicatur, inuestigari debeat, in calculo integrali est explicandum.

Corollarium α

ς. Vti ergo littera Θ fgnum est differentiationis, ita littera I pro signo integrationis utimur, sicque haec duo signasbi mutuo opponuntur, et quasi se destruunt: scilicetfΘX erit X, quia ea quantitas denotatur cuius differentiale est Θ X, quae uti que est X.

Corollarium 3

9쪽

DE CALCULO INTEGRALI

sgno integrationis f adhibendo, patet fore: fax Θ x xx; DPr dx Hi f. YZ-zgωa-xx unde usus huius signi clarius perspicitur.

Scholion I.

11. Hic olea tantum quantitas variabilis in computum ingredi videtur, cum tamen statuamus tam in calculo di Gserentiali quam integrali, semper rationem duorum pluriumue differentialium spectari. Verum etsi hic una tantum quantitas variabilis x apparet, tamen reuera duae considerantur; altera

enim est ipsa illa iunctio, cuius differentiale sumimus esse X δ x, quae si designetur littera F, erit Θs X Θ x, seu X, ita

ut hic omnino ratio differentialium est: δx proponatur, quae est X, indeque erit 3 -fX Θ x: hoc autem integrale non tam ex ipso differentiaIi XΘat, quod utique est o, quam ex eius ratione ad 3x inueniri est censendum. Caeterum hocsgnum s vocabulo summae efferri solet, quod ex conceptu parum idoneo, quo integrale tanquam summa omnium disserenistialium spectatur, est natum; neque maiore iure admitti potest, quam vulgo lineae ex punctis constare concipi solent.

Scholion ta

lla. At calculus integralis multo latius quam ad huiusmodi formuIas integrandas patet, quae unicam Varia i Iem complaetuntur. Quemadmodum enim hic functio unius variabilis x ex data differentialis forma in uestigatur; ita calcitius integralis quoque extendi debet ad senetrones duarum piuriumue Variabilium inuestigandas, eum relatio quaedam differentialium suerit proposita. Deinde calculus integralis non solum ad disserentialia primi ordinis adstringitur, sed etiam praecepta tradere debet, quorum ope iunctiones tam unius quam duarum plu riumue variabilium inuestigari queant, cum relatio quaedam dis

10쪽

IN GENERE.

strentialium χeundi altioris ne euiusdam ordinis fuerit data. A que hanc ob rem definitionem calculi integralis ita instruximus, ut omnes huiusmodi inuestigationes in se complecteretur; dis, serentialia enim cuiusque ordinis intelligi debent, et voce re Iationis, quae inter ea proponatur, sum usus, ut latius pateret voee rationis, quae tantum duorum differentialium compar tionem indicare videatur. Ex his ergo diuisionem calculi integralis constituere poterimus.

Definitio 3.

rum prior tradit methodum, sunctionem unius variabilis inueniendi ex data quadam relatione inter eius differentialia tam prismi quam altiorum ordinum. Pars autem altera methodum continet, sunctionem dua rum pluriumue variabilium inueniendi, cum relatio inter eius differentialia siue primi siue altioris cuiusdam gradus suerit pria posita.

Corollarium L.

inuenienda, vel unicam variabilem complectitur, vel duas pluresue, inde calculus integralis commode in duas partes princi pales dispescitur, quibus exponendis duos libros destinamus.

Corollarium 2.

Is . Semper igitur calculus integralis in inventione sunctionum vel unius vel plurium variabilium versatur, eum scilicet relatio quaepiam inter eius differentialia siue altioris euius piam ordinis fuerit proposita.

26. Cum hic primam partem ealculi integralis in in velligatione iunctionum unicae variabilis ex data differentialium. A a rei Dissilired by Cooste