장음표시 사용
11쪽
relatione constituamus, plures partes pro numero Variabilium functionem ingredientium constitui debere videatur, ita ut pars secunda fummones duarum variabilium, tertia trium, quarta quatuor etc. complectatur. Verum pro his posterioribus par tibus methodus sere eadem requiritur, ita ut si inuentio functionum duas variabiles inuoluentium suerit in potestate, via ad eas, quae plures variabiles implicant, satis sit patefacta; unde inuentionem eiusmodi functionum, quae duas pluresue variabiles continent, commode coniungimus, indeque unicam pamtem calculi integralis constituimus, posteriori libro tractandam.
Caeterum haec altera pars in elementis adhuc nusquam est tractata, etiamsi eius usus in Μechanica ac praecipue in doctrina fluidorum maximi sit usus. Quocirca cum in hoc genere praeter prima rudimenta vix quicquam sit exploratum, noster secundus liber de calculo integrali admodum erit sterilis, ac praeter commemorationem eorum, quae adhuc desiderantur, parum erit expectandum; verum hoc ipsum ad scientiae incrementum multum conferre videtur.
II. Vterque de calculo integrali liber commode sit diuiditur in partes pro gradu disserentialium, ex quorum relatione functionem quaesitam investigari oportet. Ita prima pars versatur in relatione disserentialium primi gradus , secunda in relatione disserentialium secundi gradus, quorsum etiam disse- ventialia altiorum graduum ob tenuitatem eorum, quae adhuc sunt inuestigata, referri possunt.
18. Vterque ergo liber constabit duabus partibus, in quarum priore relatio inter disserentialia primi gradus proposita considerabitur, in posteriore vero eiusmodi integrationes Oc-
12쪽
eurrent, ubi relatio inter differentialia secundi altiorumve graduum proponitur. Corollarium I. . I9. In primi ergo libri parte prima eiusmodi sunctio
variabilis x inuenienda proponitur, ut posita ea functione in et E p, relatio quaecunque data inter has tres quantitates x, I et p adimpleatur : seu proposita quacunque aequatione inter has ternas quantitates, ut indoles functionis I seu aequatio inter x et I tantum, exclusa p, eruatur.
llo. Posterioris autem partis primi libri quaestiones ita erunt comparatae, Ut posito r etc. si proponatur aequatio quaecunque inter quantitates x, I, p, retc. indoles iunctionis a per x, seu aequatio inter x et I elia
a I. Quae adhuc in calculo integrali sunt elaborata maximam partem ad libri primi partem primam sunt reserenda, in qua excolenda Geometrae imprimis operam suam collocarunt: pauca sunt quae in parte posteriore sunt praestita, et alter liber, quem secundum secimus , etiamnunc fere Vacuus est relictus. Prima autem pars libri primi, in qua potissimum nostra tractatio consumetur, denuo in plures sectiones distinguitur, pro modo relationis, quae inter quantitates x, I et p la proponitur. Relatio enim prae caeteris simplicissima est, quando p -δ aequatur functioni cuipiam ipsius x, qua posita mX, ut sit' X seu 33 XΘx; totum negotium in integratione formulae differentialis XΘx ab luitur: huius operationis iam supra mentionem fecimus, quae vulgo sub titulo integrationis formularum differentialium simplicium, seu unicam
13쪽
variabilem inuoluentium tractari solet. Eodem res rediret, sip aequaretur functioni ipsius a tarmam, quandoquidem quantitates x et 3 ita inter se reciprocantur, ut altera tanquam functio alterius spectari possiit: haec ergo ad sectionem primam referentur. Sin autem p E aequaetur expressioni ambas qua titates x et F inuoluenti, aequatio habetur differentialis huius
cunque exf x, 3 et constantibus conflatae. Quanquam autem Geometrae multum in huiusmodi aequationum integratione dein sudarunt, tamen vix ultra quosdam casus satis particulares sunt progressi. Sin autem p magis complicate par x et ν determis natur, ut eius valor explicite exhiberi nequeat, veluti si fuerit: p m xx p - xyp--xε -I ne via quidem constat tentanda, quomodo inde relatio inter
x eis inuestigari queat: pauca ergo, quae hic tradere licebit, cum praecedentibus secundam sectionem primae partis libri primi occupabunt. Ita ex uniuersia nostra tractatione magis pate
hit, quod adhuc in calculo integrali desideretur, quam quidiam sit expeditum, cum hoc prae illo ut minima quaedam par ticula sit spectandum.
aa. In singulis partibus, quas enarrauimus, fieri etiam solet, ut non solum una quaedam functio, sed etiam simul plures inuestigentur, ita ut neutra sine reliquis definiri possit, quemadmodum in Algebra communi usu venit, ut ad solutionem problematis plures incognitae in calcului i sint introducendae, quae deinceps per totidem aequationes determinentur. Velutis eiusmodi binae functiones ν et 2 ipsius x sint inueniendae, ut siti . xυ -- axa Θx m o, et xx ΘΣ-b D m eb: hine nouae subdiuisiones nostrae tractationis constitui possent.
14쪽
eliminationem unius litterae revocatur, ut deinceps duae tantum variabiles in una aequatione supersint, hinc tractatio noumultiplicanda videtur.
aa. In secundo libro calculi integralis, quo sunctio duarum pluriumue variabilium ex data disserentialium relatione in- Vestigatur, multo maior quaestionum varietas locum habet. Sit enim a functio hinarum variabilium x et ι inuestiganda, et cum denotet rationem eius differentialis ad Θ x, si sola x pro variabili habeatur, at φ rationem eius differentialis ad Θt, si sola t variabilis sumatur; prima pars eiusmodi continebit quae-ssiones. in quibus certa quaedam relatio inter quantitates x, i, et et π) proponitur, et quaestio huc redit, ut hinc aequatio inter solas quantitatos x, ι et Σ eruatur; in de enim qualis et sit functio ipsarum x et ι, patebit. In secunda parte
et in computum ingredientur: quarum significatio ita est intelligenda, ut positis prioribus ' p et ubi p et ρ iterum certae erunt functiones ipsorum x et ι, futurum sit simili expressionis modo,
Proposita ergo relatione inter has formulas et praecedentes, simulque ipsas quantitas x, ι et z, aequatio inter ternas istas quantitates solas x, t et e erui debet. Huiusmodi quaestiones frequenter occurrunt in Mechanica et Hydraulica, quando motus corporum flexibilium et fluidorum indagatur; ex quo maxime est optandum, ut haec altera sectio secundi libri ealculi integralis omni cura excolatur. Neqne vero opus erit, ut hancinuestigationem ad differentialia altiora extendamus, cum nul-
15쪽
Iae adhuc quaestiones sint tractatae, quae tanta calculi incrementa desiderent.
α . Si functiones, quae in calculo integrali ex relatione differentialium quaeruntur, algebraice exhiberi nequeant, tum eae vocantur transcndentes, quandoquidem earum ratio vires Analyseos communis transcendit.
as. - Quoties ergo integratio non succedit, toties functio quae per integrationem quaeritur, pro transcendente est habenda. Ita si formula disserentialis X dx integrationem non admittit, eius integrale, quod ita indicari solet fXΘx, est functio transcendens ipsius x.
α s. Hinc intelligitur, si s fuerit lanctio transcendens ipsius x, vicissim fore x functionem transcendentem ipsus I, atque cx hac conuersione nouae functiones transcendentes ori
et . Pro variis partibus et sectionibus calculi Integralis nascuntur etiam plura genera lanctionum transcendentium, quorum adeo numerus in infinitum exsurgit : Vnde patet quanta copia omnium quantitatum possibilium nobis adhuc sit ignota.
28. Iam ante quam in Anaiasin infinitorum penetrauimus, species quasdam functionum transcendentium cognoscere licuit. Ρrimam suppeditavit doctrina togarithmorum: si enim a denotet Iogarithmum ipsius x, ut sit I l a , erit I utique functio transcendens ipsus at, sicque logarithmi quasi primam speciem functionum transcendentium constituunt. Deinde cum ex
16쪽
aequatione F Ix vicissim si x e , erit x viIque etiam sunctio transcendens ipsius st: ac tales iunctiones vocantur eXp nentiales. Porro autem consideratio angulorum aliud genus aperuit: veluti si angulus, cuius sinus est s, ponatur Q, ut sit o 'Arc. sin .s, nullum est dubium, quin o sit functio transcendens ipsius s, et quidem infinitiformis: hincque cum conue tendo prodeat s sin. φ, erit etiam sinus s functio transcendens anguli p. Quanquam autem hae lanctiones transcendentes sine subsidio calculi integralis sunt agnitae, tamen in ipso quasi lis mine calculi integralis ad eas deducimur: earumque indoles ita nobis iam est perspecta , ut propemodum functionibus algebraicis accenseri queant. Quare etiam perpetuo in calculo integrali, quoties functiones transcendentes Ibi repertas ad logarithmos vel angulos reuocare licet, eas tanquam algebraicas
29. Cum calculus integralis ex inversione ealculi dis. ferentialis oriatur, perinde ac reliquae methodi in uersae ad notitiam noui generis quantitatum nos perducit. Ita si a tyrone primorum elementorum nihil praeter notitiam numerorum integrorum positivorum postulemus, apprehensa additione, stati in atque ad operationem inuersam, subtractionem scilicet, ducitur, notionem numerorum negati uorum assequetur. Deinde multiplicatione tradita , cum ad diuisionem progreditur, ibi notionem fractionum accipiet. Porro postquam euectionem ad p testates didicerit, si per operationem inuersam extractionem ra- .dicum suscipiat, quoties negotium non succedit, ideam numerorum irrationalium adipiscetur, haecque cognitio per totam Analysin communem sufficiens censetur. Simili ergo modo calculus integralis, quatenus integratio non succedit, nouum no bis genus quantitatum transcendentium aperit. Non enim, uti B a Om- Diqiligod by Corale
17쪽
omnium differentialia exhiberi possunt, ita vicissim omnium differentialium integralia exhibere licet.
so. Neque vero statim ac primi conatus in integratione expedienda fuerint initi , lanctiones quaesitae pro transcendentibus sunt habendae; fieri enim saepe solet, ut integraIe etiam algebraicum non nisi per operationes artificiosas obtineri queat. Deinde quando functio quaesita suerit transcendens, sollicite videndum est, num sorte ad species illas simplicissimas Iogarithinorum vel angulorum reuocari postit, quo casu solutio algebraicae esset aequiparanda. Quod si minus successerit, formam tamen simplicissimam functionum transcendentium, ad quam quaesitam reducere liceat, indagari conueniet. Ad usum autem longe commodissimum est, Vt Valores functionum transcendentium Vero proxime exhibentur, quem in finem insignis pars calculi integralis in investigationem serierum infinitarum impenditur, quae Valores earum functionum
a T. Omnes functiones per calculum integralem i ventae sunt in determinatae , ac requirunt determinationem ex natura quaestionis, cuius solutionem suppeditant, petendam.
set. Cum semper infinitae dentur functiones, quarum idem est differentiale , siquidem iunctionis Ρ -- C , quicunque valor constanti C tribuatur, differentiale idem est zz ΘΡ: vicissim etiam proposito differentiali Θ Ρ , integrale est Ρ -- C , ubi pro C quantitatem constantem quamcunque ponere licet: Vnde patet eam functionem , cuius differentiale datur α δ Ρ , esse indeterminatam, cum quantitatem constantem arbitrariam in se inuoluat. Idem etiam eueniat necesse est, si functio ex
18쪽
3quacunque differentialium relatione sit determinanda, semperque complectetur quantitatem constantem arbitrariam, cuius nullum vestigium in relatione differentialium apparuit. De te minabitur ergo huiusmodi functio per calculum integralem inuenta, dum constanti illi arbitrariae certus valor tribuitur, quem semper natura quaestionis, cuius solutio ad illam functionem perduxerat, suppeditabit.
aa. Si ergo functio a ipsius ae ex relatione quapiam differentialium definitur, per constantem arbitrariam ingressam ita determinari potest, ut posito x a fiat I b: quo facto functio erit determinata , et pro quovis valore ipsi x tributo functio a determinatum obtinebit valorem.
as. Si ex relatione differentialium secundi gradus stinctio 3 definiatur, binas inuoluet constantes arbitrarias, ideoque duplicem determinationem admittit, qua emci potest, ut posito x a, non solum a obtineat datum valorem sed etiam ratio dato valori e fiat aequalis.
a . Si s si sunctio binarum variabilium x et ι ex relatione differentialium eruta, etiam constantcm arbitrariam involvet, cuius determinatione essici poterit, ut posito ι a , aequatio inter I et x prodeat data, seu naturam datae cuiu3piam curvae exprimat.
as. Ista lanctionum integralium, seu quae per calculum integralem sunt iduentae, determinatio quouis casu ex natura quaestionis tractatae facile deducitur; neque ulla dissicultate laborat, nisi sorte praeter necessitatem solutio ad differentialia B a fuerit Disiligod by Cc oste
19쪽
suerit perducta , eum per Analysin communem erui potuisset: quo casu perinde atque in Algebra quasi radices inutiles ingeruntur. Cum autem haec determinatio tantum in applicatione ad certos casus instituatur, hic ubi integrandi methodum in genere tradimus, integralia in omni amplitudine eruere conabimur ; ita ut constantes per integrationem ingressae maneant arbitrariae, neque nisi conditio quaedam Vrseat, eas determinabimus. Caeterum determinatio functionum ipsius x simplicissima est, qua eae casu x O, ipsae evanescentes redduntur.
56. Integrale completum exhiberi dicitur, quando lanctio quaesita omni extensione cum constante arbitraria represe latur. Quando autem ista constans iam certo modo est determinata, integrale vocari solet particulare.
. a I. Quouis ergo casu datur unicum integrale cominpletum; integralia autem particularia infinita exhiberi possunt. Sic differentialis x Θ x integrale completum est ἰ x x -- C, integralia autem particularia ἱx x; ὲ x x - 1; ἰ x x - 2 etc. multitudine infinita.
a 8. Integrale ergo completum omnia integralia particularia in se complectitur; ex eoque haec omnia facile sormari possunt. Vicissim autem ex integralibus particularibus , integrale completum non innotescit. Saepenumero autem, uti dein Ceps patebit, habetur methodus, ex integrali particulari completum inueniendi.
as. Interdum facile est integrale particulare coniectura Vel diuinatione assequi. Veluti si eiusmodi functio ipsius x, quae Diuiti od by Corale
20쪽
aequationi manifesto satisfit sumendo F x; quod ergo est integrale particulare , quoniam , in eo nulla inest conflans arbitraria: at integrale completum reperitur I P ' , quod illud particulare in se continet, sumendo C eo. Simili modo sumendo C o , hinc aliud integrale obtinetur I , quod superiori aequationi perinde satisfacit ac prius F x. Omnia autem integralia particularia, quaecunque satisfaciunt, contineri necesse est in formula generali = , prouti constanti arbitrariae C alii atque alii valores tribuantur: ita sumto C fit etiam 3 I. Plerumque autem euenire solet, ut etiamsi integrale quoddam particulare sit algebraicum, tamen integrale completum sit transcendens. Veluti si proposita sit haec aequatio ΘΙ --a statim patet satisfieri positor x, quod ergo est integrale particulare; verum integrale completum constantem arbitrariam C inuoluens, est a x. Cer , denotante e numerum cuius logarithmus zz I : nisi ergo hic sumatur C m o , functio I semper est transcendens. Haec in genere notasse susciat, antequam ad tractationem ipsam calculi integralis aggrediamur, quandoquidem ad omnes integrationes pertinent: nunc igitur forma tractationis exposita, ad Opus tractandum Pergamus.