Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

21쪽

VNIVERSI OPERIS

LIBER PRIOR: Tradit methodum inuestigandi lanctiones unius variabilis ex data quadam relatione differentialium , continetque duas partes: Pars prior: Quando relatio illa data tantum differentialia primi gradus complectitur. Pars poserior: Quando relatio illa data disserentialia secundi altiorumve graduum complectitur. LIBER POSTERIOR: Tradit methodum inuestigandi lanctiones duarum pluriumue variabilium ex data quadam relatione disserentialium, continetque duas partes: Pars prior: Quando relatio illa data tantum disserentialia primi gradus complectitur. Pars posterior: Quando relatio illa data disserentialia secundi altiorumve graduum complectitur. CALDiuitiaco by Cc oste

22쪽

METHODUS IΝUESTIGANDI FUNCTIONEs VNIVS VARIABILIS EX DATA RELATIONE QUACUNQUE DIFFERENTIALIUΜ PRIMI GRADUS.

24쪽

ormuIa differentialis rationalis est, quando variabilis a , euius iunctio quaeritur, differentiale Θx multiplicatur in functi nem rationalem ipsius x et seu si X designet iunctionem rati natem ipsius x, haec formula differentialis XΘx dicitur rationalis.

Corollarium L

ritur, quae si ponatur I , ut aequetur functioni rationali ipsius x, seu posita tali iunctione X , ut sit E M

Corollarium a.

differentiale sit XΘx; huius ergo integrale , quod ita indicari solet IXΘx, praebebit iunctionem quaesitam.

Corollarium S.

disserentiate 3 P si X Θ x, quoniam quantitatis P - C idem est differentiale, formulae propositae XΘx integrale comple tum est P -- C. C a Scho.

25쪽

. Ad libri primi partem priorem hiriusmodi reseruntur quaestiones, quibus functiones solius variabilis x, ex data differentialium primi gradus relatione quaeruntur. Scilicet si functio quaesita s et p, id praestari oportet, ut

proposita aequatione quacunque inter ternas quantitates x, Iet p, inde indoles functionis F, seu aequatio inter acet I, elisa littera p, inueniatur. Quaestio autem sic in genere proposita vires analyseos adeo superare videtur, ut eius solutio nunquam expectari queat. In casibus igitur simplicioribus vires nostrae sunt exercendae , inter quos primum occurrit casus ,

quo p functioni cuipiam ipsius x puta X aequatur, ut sitra X , seu δI X Θ x, ideoque integrale F fX Θ x requiratur , in quo primam sectionem collocamus. Verum et hie casus pro varia indole svnctionis X latissime patet, ac plurimis dissicultatibus implicatur: unde in hoc capite eiusmodi tantum quaestiones euoluere instituimus, in quibus ista functio X est rationalis: deinceps ad functiones irrationales atque adeo transcendentes progressuri. Hinc ista pars commode in duas sectiones subdiuiditur, in quarum altera integratio sormularum simplicium, quibus p functioni tantum ipsius x aequatur, cst tradenda, in altera autem rationem integrandi doceri con-Veniet, cum proposita fuerit aequatio quaecunque ipsarum x, I et p. Et cum in his duabus sectionibus, ac potissimum priore, a Geometris plurimum sit elaboratum, eae maximam partem totius operis complebunt.

Scholion I.

s. Prima autem integrationis principia ex ipso calculo disserentiali sunt petenda , perinde ac principia diuisionis ex multiplicatione, et principia extractionis radicum ex ratione

26쪽

euestionis ad potestates sumi solent. Cum igitur si quantitas dis. serentianda ex pluribus partibus constet, ut P--Q -R, eius disserentiale sit Θ P δ. - ΘR, ita vicissim si formula disserentialis ex pluribus partibus constet, ut ΡΘx - - Θx - I x, integrale erit fPΘx --fQΘx-Rῖat, singulis scilicet partibus 1 corsim integrandis. Deinde cum quantitatis a P differentiale sita Θ P, sormulae differentialis aΡΘx integrale crit afPΘx: scilicet pcr quam quantitatem constantem formula differentialis multiplicatur, per eandem integrale multiplicari debet. Ita si formula differentialis sit aΡΘx- hQΘx-- cRΘat, quaecunque functiones ipsius x litteris P, Q, R designentur, integrale erit afΡΘΣ-- QΘx--σRΘx: ita ut integratio tantum in singulis formulis ΡΘx, Q Θx et RΘae, sit instituenda. Hocque facto insuper adiici debet constans arbitraria C, ut integrale

completum Obtineantur.

Problema I.

6. Inuenire iunctionem ipsius at, ut eius differentiale sit max'δ at, seu integrare formulam differentialem a x' Θ x.

Solutio.

Vnde sormulae differentialis propositae a x' Θ x integrale completum erit - C, cuius ratio vel inde patet, quod eius differentiale reuera fit a x' Θ x. Atque haec integratio. semper locum habet, quicunque numerus exponenti n tribuatur, siue positivus siue negativus, siue integer siue fractus, sue etiam irrationalis.

27쪽

Vnteus easus hinc excipitur, quo est exponens T- , seu haec formula integranda proponitur. Verum in calculo differentiali iam ostendimus, si Ix denotet logarithmum hyperbolicum ipsius x, fore eius differentiale unde viacissim concludimus esse fu Ix, et Dre a I x. Quare adiecta constante arbitraria, erit sormulae integrale completum a I x - C I x' -- C: quod etiam pro C pone do ι c, ita exprimitur I c x .

Corollarium I.

r. Formulae ergo differentialis ax 3x integrale semia per est algebraicum , solo excepto casu quo n - I, et integrale per togarithmos exprimitur. qui ad functiones transcendentes sunt reserendi. Est scilicet f' alx - - C α: Icx .

Corollarium 2.

Corollarium 3.

s. Si n sit numerus negativus, posito n zz - m , si

unde hi easus simpliciores notentur :

28쪽

CAPUT L

Corollarium 4

so. Quin etiam si u denotet numeros stactos, integra. IIa hIne obtinentur. Sit primo a m 7, erit

Unde casus notentur:

Corollarium s

s T. Ponatur etiam et habebitur' a 3 x

Corollarium 6.

sa. si in genere ponamus n m S, fiet:

29쪽

Scholion I.

sa. Quanquam in hoc capite lanctiones tantum ratio nates tractare institueram, tamen istae irrationalitates tam sponte se obtulerunt, ut perinde ac rationales tractari possint. Caeterum hinc quoque formulae magis complicatae integrari possunt, si pro x functiones alius cuiuspiam variabilis et statuantur. Veluti si ponamus x f-get, erit Θx gbet: quare si pro a scribam usi , habebitur:

Casu autem singulari, quo χι - - I: Tum si sit x - m, fiet:

Ae posito η di, prodit:

Posito autem n - Obtinetur,

Scholion 2.

34. Caeterum hic insignis proprietas annotari mere tur. Cum hic quaeratur stinctio 3, ut sit 33 a x' Θ x, si Ponamus p, haec habebitur relatio p ax', ex qua iunctio a in uestigari debet. Quoniam igitur est ob Diuiti do by Corale

30쪽

ob ax p, erit quoque I Τει -- C: sicque exsum habemus, ubi relatio differentialium per aequationem quandam i ter x, F et p proponitur, cuique iam nouimus satisfieri per aequationem F a' ' in. C. Verum haec non amplius erit integrale completum pro relatione in aequatione F TH - Ccontenta, sed tantum particulare, quoniam integrale illud nouin uoluit nouam constantem, quae in relatione differentiali non inst. Integrale autem completum est I nouam constantem D inuoluens: hinc enim iit E m a D P zzz p. ideoque F C. Etsi hoc non ad praesens iustitutum pertinet, tamen notasse iuuabit.

Problema I.

ss. Inuenire functionem ipsius x, cuius differentialest mXΘae, denotante X functionem quamcunque rationalem integram ipsius x, seu definire integrale LXΘx.

Solutio.

Cum X sit functio rationalis integra ipsius x, in hac

bi eXponentes λ, μ, ν etc. etiam numeros tam negati uos quam fractos fgnificare possunt; dummodo notetur, si fuerit - 1, re f-- aix, qui est unicus casus ad ordinem transcendentium reserendus. D Pro Disiligod by Cooste