Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

31쪽

Problema

s s. Si X denotet functionem quamcunque rationalem stactam ipsus x, methodum describere, cuius ope sormulae X Θ x integrale inuestigari conueniat.

Solutio.

Sit igitur X ', ita ut Μ et N suturae sint functio

nes integrae ipsius x, ac primo dispiciatur, num summa potestas ipsius x in numeratore M tanta sit, vel etiam maior quam in denominatore N8 quo casu ex fractione partes integrae per diuisonem eliciantur, quarum integratio, cum nihil habeat difficultatis, totum negotium reducitur ad eiusmodi fractionem V, in cuius numeratore Μ summa potestas ipsius x minor sit quam denominatore Ν. Tum quaerantur omnes factores ipsius denominatoris N, tam simplices si fuerint reales, quam duplices reales, vicem scilicet binorum simplicium imaginariorum gerentes ; semulque videndum est, utrum hi factores omnes sint inaequales nec ne 7 pro factorum enim aequalitate alio modo resolutio fractionis δ' in fractiones simplices est instituenda, quandoquidem ex singulis factoribus fractiones partiales nascuntur, quarum aggregatum fractioni propositae aequatur. Scilicet ex factore simplici a -- b x nascitur fractio inca ; sola sint aequales, seu denominator N factorem habeat a b x ', hinc nascuntur fractiones -; ex huiusmodi autem factore a -- b x ' hae tres stactiones

et ita porro. Factor autem duplex, cuius forma est a a stabxeos. ζ--bb xx, nisi alius ipsi fuerit aequalis, dabit fractionem par- tialem Diuitiam by Cooste

32쪽

si autem denominator N duos

huiusmodi factores aequales inuoluat, inde nascuntur binae huiusmodi fractiones partiales:

at si cubus adeo a a - α ab x cos. ζ -- b b x x suerit Actor denominatoris Ν, ex eo oriuntur huiusmodi tres fractiones partiales :

et ita porro. Cum igitur hoc modo fractio proposita ' In omnes suas fractiones simplicos fuerit resoluta, omnes continebuntur in alterutra harum sormarum, A . A - - B x Vel el a -- ι x a a - a a b x cos. ζ --b b x x Pae singulos iam per 3x multiplicatos integrari oportet, erit omnium horum integralium aggregatum Valor functionis quae

Corollarium I.

s . Pro integratione ergo omnium huiusmodi formularum Η. Θx, totum negotium reducitur ad integrationem huiusmodi binarum sormularum :

dum pro n successive scribuntur numeri I, 2, 3, etc.

Corollarium I.

58. Ac prioris quidem sormae integrale iam supra sa) est expeditum, unde patet fore:

33쪽

Corollarium I.

sy. Ad propositum ergo absoluendum nihil aliud superest, nisi ut integratio huius sormulae

So. Nisi vellemus imaginaria euitare, totum negotium ex iam traditis confici posset: denominatore enim N in omnes suos factores simplices re Iuto, siue sint reales siue imagin rii, fractio proposita semper resolui poterit in fractiones par-

tiales huius formae - , Vel huius , quaruma -- , x a - b x)' integralia cum sint in promptu, totius formae . 3x, integra Ie habetur. Tum autem non parum molestum foret binas partes imaginarias ' ita coniungere, ut expressio realis result*ret, quod tamen rei natura absolute exigit.

Scholion 2.

62. Hic utique postulamus, resolutionem cuiusque sunctionis integrae in factores nobis concedi, etiamsi algebra neutiquam adhuc eo sit perducta, ut haec resolutio actu institui possit. Diuiligod by Corale

34쪽

Is possit. Hoe autem in Analysi ubique postulari solet, ut quo longius progrediamur, ea quae retro sunt relicta, etiamsi non satis fuerint explorata, tanquam congnita assumamus: sufficere scilicet hic potest, omnes sectores per methodum approximationum quantumuis prope assignari posse. Simili modo eum in calculo integrali longius processerimus, integralia omnium huiusmodi formularum XΘx, quaecunque functio ipsius x littera X significetur, tanquam cognita spectabimus; plurimumque nobis praestitisse videbimur, si integralia magis abscondita ad eas formas reducere Valuerimus: atque hoc etiam in usu practico nihil turbat, cum valores talium formularum IX Θ x , quantumuis prope assignare liceat, uti in sequentibus ostendemus. Caeterum ad has integrationes, resolutio denominatoris N in suos factores absolute est necessaria, propterea quod singuli hi factores in expressionem integralis ingrediuntur: pauincissimi sunt casus, iique maxime obuii, quibus ista resolutionexu δ δ aeearere possumus: Veluti si proponatur haec Prmula -- , statim patet, posito Q T v, eam abire in ἀi GH i, cuius integrale est I x - - ω zzz I 1-at' ); ubi resolutione in factores non fuerat opus. Verum huiusmodi casus per se tam sunt perspicui, ut eorum tractatio nulla peculiari explicatione indigeat.

Problema 4.

6a. Inuenire integrale huius sormulae:

Solutio.

Cum numerator duabus constet partibus ΑΘΑ - - Ba 3x, haec posterior B x Θ x sequenti modo tolli poterit. Cum sit

35쪽

multiplicetur haec aequatio per An, et a proposita austratur: sic enim prodibit

ita ut haec tantum formula integranda supersit. Ponatur brevitatis gratia A -- C, ut habeatur haec sormula:

quae ita exhiberi potest

Statuatur b x - a cos. ζα avsin. ζ, hincque Θ x - in crvnde formula nostra erit:

Ex ealculo autem differentiali nouimus esse est et m Are. tang. V m Arc. tang. ' fidi . 3 ivnde ob C 'AS', erit nostrum integrale

uocirca formulae Propositae ἀ ἀ 3 ῖ in togr lς est :

quod ut fiat completum, constans arbitraria C insuper addatur.

. Corollarium 1

6a. Si ad Arc. tang. Drum res addamus Arc. tang. st , quippe qui in constante addenda contentus concipiatur, prodibit Arc. tang. sicque habebimus:

36쪽

Corollarium I.

6 . Si velimus ut integrale hoc evanescat, posito attaci, constans C sumi debet m- -'1 Iaa, sicque fiet:

Pendet ergo hoc integrale partim a togarithmis, partim ab arcubus circularibus seu angulis.

Corollarium I.

63. Si littera B evanescat, pars a togarithmis pendens evanescit, fitque

seque per solum angulum definitur.

Corollarium 6.

66. si angulus ζ sit rectus, ideoque eos. ζ o , et sn. ζ zz r, habebitur:

Si angulus ζ sit 6o', ideoque cos. ζ , et sin. ζ , erit:

37쪽

6r. Omnino hic notatu dignum euenit, quod easu ζ o, quo denominator a a - aab x--bb xx fit quadratum, ratio anguli ex integrali discedat. Posito enim angulo ζinfinite paruo, erit cos. ζ I et sin. Vnde pars Iogarithmiea fit I ea 'R , et altera pars:

quia arcus infinite parui tangens ipsi est aequalis, sicque haec pars fit algebraica. Quocirca erit

euius veritas ex praecedentibus est manifesta: est enim

Iam vero est

si quidem utraque integratio ita determinetur ut, casu x integi alia evanescant. O

Scholion 2.

68. Simili modo, quo hic usi sumus, si in formula differentiali stacta Vf, summa potestas ipsius x, in numeratore M, Vno gradu minor sit quam in denominatore N, etiam is' terminus tolli poterit. Sit enim Μ α Abe Bx CP etc. et N - α x' -- β x vae '' etc. ac ponatur Eu α Θs: Cum iam sit -

38쪽

Hoc igitur modo omnes formulae differentiaIes stactae eo re duci possunt, ut summa potestas ipsius at, in numeratore duo bus pluribusue gradibus minor sit quam in denominatore.

Problema S.

I aa - aab xcos. ζ--hlxx ' ad aliam similem reducere, ubi potestas denominatoris si uno gradu inferior.

Solutio.

39쪽

a CAPUT L

Iam in formula priori litterae C et D ita definiantur, ut numerator per X fiat diuisibilis. oportet ergo sit z- an DXΘx, unde nanciscimur: A -- a n C ab cos. ζ - a nD a a, et

ita ut reperiatur D α - MALLEM . Sunitis ergo litteris

ideoque

40쪽

ii, X. 'Quare si formula f

ana absin. ζconstet, etiam integrale hoc assignari poterit.

Corollarium I.

-- Arc. tang. Const. Ideoque posito B zz o et A m x, fiet Arc. tang. - Const. Integrale ergo f

logarithmos non inuoluit.

Corollarium I.

Hinc ergo cum sit:

erit illum valorem substituendo:

Ηineque porro concluditur