Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

41쪽

2. Sic ulterius progrediendo, omnium huiusmodi foris mularum integralia obtinebuntur:

quorum primum arcu circulari solo exprimitur, reliqua vero praeterea partes algebraicas continent.

Scholion.

quae modo

exhibuimus. Atque haec sunt omnia subsidia quibus indigemus ad omnes formulas stactas Θ x integrandas, dummodo, M et Diuitired by Cc oste

42쪽

a Μ et N sunt lanctiones integrae ipsius x. Quocirca in genere integratio omnium huiusmodi sormularum LV dx, ubi vest functio rationalis ipsius x quaecunque, est in potestate: de quibus notandum est, nisi integralia fuerint algebraica, semper vel per togarithmos vel angulos exhiberi posse. Nihil aliud igitur superest, nisi ut hanc methodum aliquot exemplis illustremus.

Exemplum I.

4. Proposta formula diserenιiali de ire

eius integrale. Cum in numeratore variabilis x pauciores habeat diamensiones, quam in denominatore, haec fractio nullas partes integras complectitur. Hinc denominatoris indoles perpendatur, utrum habeat duos factores simplices reales nec ney ac priori casu num factores sint aequalesy ex quo tres habebimus casus euoluendos. que

denominator, et fractio ambos factores aequales, si A B η resoluitur in duas 4

unde sit:

I a -- b c Const. Si integrale ita determinetur, Ut evanescat posito xtario, re peritur

II. Habeat denominator duos factores inaequales, si que proposita haec sormula -- Θx, et haec fractio resoluitur in has partiales :

unde obtinetur integrale quaesitum :

43쪽

ut integrale fiat:

III. Sint denominatoris sectores simplices ambo imaginarii, quo casu formam habebit aa - et a b x eos. ζ-b b x x; qui casus cum supra iam sit tractatus, erit:

Corollarium I.

Casu secundo, quo f a, et g

Ηine seorsim sequitur:

b, erit

Corollarium 2.

hincque sigillatim:

44쪽

Exemplum 2.

Proposta formula disserentiali

exponens m - 1 minor sit quam n , integrale definire.

siqvidem

In eapite ultimo Institui. Calculi Differentiat. inuenimus stactiones simplices, in quas haec fractio --- resolui-

tur, sumto 'r pro mensura duorum angulorum rectorum, in hac sorma generali contineri ra sin .s re sin. - 2 cos. ae eos se

Ae si n sit numerns Impar, praeterea accedit fractio - V, cu ius integrale est Til ax : ubi sgnum superius valet, si

m Diuiti do by Coral

45쪽

m impar, in serius vero, si m par. Quocirca integraIe quaesi

secundum numeros impares ipso n minores, seque totum obtinetur integrale si n fuerit numerus par; sin autem n sit numerus impar, insuper accedit haec pars -II 1 ad , prout m si numerus Vel impar vel par: unde si m I, accedit in

Corollarium I.

8. Sumamus m I, ut habeatur sorma et pro variis casibus ipsius n adipiscimur:

46쪽

CAPUT L

Corollarium I.

I9. Loco sinuum et cosinuum valores, ubi commodo seri potest, substituendo, obtinemus :

47쪽

Exemplum I.

go. Proposita formula disserentiali dxsiquidem ex poneηs m - 1 st minor quam n , eius ime grate de ire. Functionis stactae pars, ex factiore quocunque

oriunda, hac forma continetur r

vbi pro h successive omnes numeri o, 1, 2, 3, etc. substitui debent, quamdiu aE non superat n. At casu o fit integralis pars - I 2 - : et quando n est numerus par, vltima pars oritur ex aE n, quae ergo erit - L cos metris x-ax - x α - Ιθ2. I x - Grergo si m est par, erit cos. In π - - 1, at si m impar, fit - , hoc modo

48쪽

etc.

Corollarium.

gr. sit m I, et pro n successive numeri 1, 2, a, etc. substituantur, ut nanciscamur sequentes integrationes: I. scire - I x - M

m. f

49쪽

Exemplum

50쪽

Ponatur commoditatis ergo angulus eritque

umto pro i maximo numero impare, exponentem n non e cedente. Si ipse numerus n sit impar, pars ex positione i muoriunda, ob sin. m π O, evanescet. Notetur ergo, hic to tum integrale per mero. angulos exprimi.

Corollarium.

8s. Simili modo sequens integrale elicitur, ubi soli