장음표시 사용
11쪽
ameter ad terminum commune eorum ducta, chordam arcus compositi ex eis secundum proportionem chordae arcus dupli unius, ad chordam arcus dupli alterius secabit. I sn semieirculo sint duo arcus a, h. ec b g. quoru aggregati chordam
a g. secet semidiameter h d. in puncto e. Dico proportionem a c. ad e,melle sicut proportione chordae dupli arcus a,h. ad chorda dupli arcus b. g. Sint enim super d, b. perpendiculares a z. &n h. per quartam sexti set Re. ad e g. proportio sicut Ra. ad g h. Sed per tertiam tertii λ Σ.est medietas chordae arcus dupli a b. de g h. medietas chordae arcus dupli h g.quare per i 3.quinti λα ad Qq. proportio est scut proportio chordae clupli arcus a,h.ad chordam dupli arcus h g. quod fuit ostendendum
Si arcus cognitus in semicirculo in duos diuidatur, proportio* chordae dupli unius ad chordam dupli alterius data sc
uterm eorum quos diuidit, cognitus erit.
ε Quia totus a b,ς arcus cognitus est, ergo sua chorda Ag. ex tabula chordarum data erit. Et quia proportio chordae arcus dupli a b. ad choraedam arcus dupli b g. data est, sed ea per praemissam est, sicut RQ ad e,m Quare proportio Re.ad e, g.data. Et cum tota a, data sit per coniunctam proportionalitatem,& i s. sexti quaelibet duarum a e.& e. patefiet. Diriscatur autem a centro es. perpendicularis ad a g. quae si dόα per tertiam 4. tertii 'Σ. erit aequalis Σ g. ideo Ret. excessus medietatis a g. s aper Re nota erit. Sed triangulus a d z. cumsit orthogonius suscipit medietatem arcus a,m ideo notus, de cum angustas z. in triangulo a, z. sit reclus per 32. primi. notus set angulus d a,Σ. quia angulas et R d. mangulo 'd Σ. sauciunt unum ree um. Ergo triangulus a d . cum sit orthogonius 8c notolariim angulorsi set per tabulam chordaru notorumlateru notus,uel per pela ultimam primi ex a z. 8e a, d. cognoscetur z d. Item per eandem penu istimam primi ex e z. 8c d et notis,nota fiete,d Trian si itam e d z. ortho,
gonii notorum laterum in partibus quibus a d. est 6 per et s. primi, nota fient latera in partihu; quihus d e. est iro. Hinc per tabulam chordarum noti sent eius amuli, prout tres anstuli trianguli orthogonii corresponis dent toti circulo sibi circuscripto idest prout rectus est iso. gradus. Ergo
Be noti fient eius anguli cum rectus angulus est 'o . sie notus erit angulus die.sed prius notus fuit Ad,Σ. Ergo notus erit angulus 'd,e. cuius quantitas est arcus a,h. qui quaerebatur. Pnopos ITIO NIO
Si linea praeter centrum ab uno termino arcus semicirculo minoris arcum secans educatur,donec diametro per reliquum eiusdem arcus terminum adiunctae concurrat,proportio lineae praeter centrum transeuntis ad partem eius extrinsecam circulo
siet sicut proportio chordae areus dupli totius ad chordam duis pii partis eius, quam extractae lineae includunt.
sit circulus a,h,2. super centro d. in quo per terminsi arcus a,q. eNeat diametes
12쪽
diameter 1 d a. in α & linea asia praeter centrum transsens ab altero ter; in no arcus sit 8, e. secans arcum in b. di occurrens diametro continuate in e. Dico quod proportio ne. ad e,b. fit sicut proportio chordae arcus dupli a g. ad chordam arcus dupli a b. A punctis h,&n descendant perpendiculares b,Σ.& g h. super he. Ideo per 3 a. primi trianguli Hli,e. 8c b, e. sent tequianguli. Quare per 4. sexti ne.ad e, h. sicut gh. adb,z. Sed per tertiam tertii, & ultimam sexti g,h. est medietas chordae dupli arcus Ag. ech et medietas chordae dupli arcus a b. quare per a P. quinti proportion αad Wh. cst sicut proportio chordae dupli arcus a,g. ad chordam dupli arcusa, b. quod est propositum. PRO post Tro XIlIi.
Data parte una arcus,lineis eductu,ut iam dictum est diuisi. nota p proportione chordae dupli arcus totius, ad chordam dupli partis eius,ciuam lineae eductae includunt,cognoscetur 3careus lineis industis.
Sit b,g. portio una arcus, g. nota, &proportio chordae dupli mad chordam dupli. b. data. Dico arcum h. notum fieri. Ducatur enim a centro d. perperapicularis ad se g. quae sit is, Σ. aequalis et, g. Ideo cum tota chorda b, g, sit data, quod cius arcus sit notus, erit b, et. nota, Ac per ultimam sexti angulus b, d, z. suscipit medietatem arcus i R. erispo notus. Sed b, d. nota: quia semidiameter, ergo per penultimasia primi
data est sed per praecedentem Ra. est scut ne.ad e bri cum g b. st nota, per coniunnam proportionalitatem, S 11. sexti nota erit e, b. ergo tota
e, . Trianguli ita eid,Σ. orthogonii notorum laterum uia, qua in ante praemissa dicta est, noti fient omnes anguli. Sic angulus a d,et. notus in aquo dempto angulo b, d, et. iam noto, relinquetur angulus Rit,b. coius quantitas est arcus 'b. qui quaerebatur. p Ropos a TIO xv.
Si in superficie Sphaerae fuerint quatuor arcus circulorum maiorum,quoru neuter si semicirculo maior, duo quidem ab angulo uno descendentes,duo Dero reliqui a terminis priorum alternaturi res texi sese secantes; proportio chordae dupli partis
inferioris unius,descendentium ad chordam dupli partis eius superiosis set eomposita ex duabus, quarum una est proportiochorde dupli partis inferioris resexae 9 termino illius descederi tis ad chordam dupli partis eius superioris. Altera est proportiochorde dupli partis inferioris alterius descendentis ad chordam dupli holitis huius descendentis.
his Sint in stiperseie Sphaerae quatuor arcus circulorum magnorum, aequilibet eorum sit semirculo minor. duo quidem descendentes ab angulo sint a b.&a.g. duo uero a terna nis illorum reflexi super se sint b. e. 8cnd. se secantes in z. Dico quod proportio chordae dupli arcus me ad C chordami
13쪽
Mchordam dupli arcus e a. est composta ex duabus proportionahus, quarii una est chordae dupli arcus p et. ad chordam dupli arcus Ad. altera est proportio chordae dupli arcus 4b. ad chordam dupli arcus b.a. Ponamus eiii centrum Sphaerae h. a quo ad puncta b et e. ducamur semidiametri h,b,
h, i eo chorda a, d. continuata quantumlibet: occurrat semidiametro h.
continuatae similiter in puncto t. Item chordae na. ει g d. secent semidiaα metros h e. 8c h z. in punctis 1,& h.necesse est tria putidis I kr. esse in una linea redia nam sunt insuperficie circuli b Me. sunt etiam in superficie tris anguli a,4 q. Igitur necelsarium est, ut sint in sectione harum Iupersetera communi, quam per tertiam undecimi constat esse lineam rectam. A ter minis ita a duarum linearum t. N a g. resectinmir as1ae duae hi. g d. secantes se super h. ergo per quintam decimam huius proportio ni. ad 1,a. componitur ex duabus : scilicet proportione sth. ad k d. 5c proportione dit ad La. Proportio autem l .ad l a. per undecimam huius est sicut prolaportio chordae dupli qe ad chordam duplie,a. Ein h. ad kd. proportio per eandem est, sicut chordae dupli g, T. ad chordam dupli et d. Item per 13. huius di conuersam proportionalitatem proportio d, t. adt, a. est sicui chordae dupli d, b. 'ad chordam diipIib,a. quare oportetur proporistio chordae dupli g,e. ad chordam dupli qa. sit composita ex duabus: se licet proportione chordae dupli get. ad chordam dupli Σ d, item proporistione chordae dupli d. b. ad chordam dupli bia. quod fuit probandum.
Item proportio chordae dupli unius arcuum descendentiuad chordam dupli partis eius superioris, componetiar ex dua bus,quarum una est proportio chordae dupli arcus reflexi conterminalis huius flescendentis ad chordam dupli partis eius suis perioris. Altera est proportio chordae dupli partis inserioris alterius resesi ad chordam dupli totius huius reflexi.
Sint arcus ut in sgura praecedentis. Dico quod proportio chordae dupli arcus ga. ad chordam dupli a,e. est composita ex duabus: scalicet Misportione chordae dupli arcii; g d. ad chordam dupli d, et. & proportione
chordae dupli r h. ad chordam dupli H e. Sit enim h. centrum Sphaerae, a quo ductae semidiametri h a li,d si b. conueniant cum chordis continuati g, Ret,e,Σ. in puncisil, t constabit haec tria in una linea recta scire quὀdsint in duabus stiperficiebus planis: scilicet circuli h, d a. 8c trianguli Re g. quare constat per tertiam undecimi sese secare in linea recta. Habes iram quod a terminis duarum linearum hi. ecs,n reflectantur duae aliae he. Nn h. secantes se in z. Igitur per octauam huius ni. ad s e. proportio comis ponitur ex duabus: sciIicetnh. ad k Σ, S t. ad he.Sed per duodecimam huius patet has proportiones esse sicut chordae dupli g, a. ad chordam dipli a e. Item chordae dupli g d. ad chordam di si d α 5e chordae dubiet, h. ad chordam dupli he. Constatigitur propositum.
Distantiam duorum tropicorum instrumenti artiscio deprehendere.
14쪽
Dispones quartam circuli partem super lineam meridies; θύ si persis
ciem planam horizontis orthogonalem,qtrae sita, b. sua centro c. ita ut c a. sit insi perscie horizontis atque circuli meridiani, b, c. uero si pars axis transeivatis per etenith nostrum & nadis eius. Hinc aptabis regulam Ges. quae Noluatur super c. centro habentem duas pinnulas cum foraminibus sequa liter a linea re ia ς d.remotis obseruabis: circa sorstituam hiemale in meis ridie radio Solis ambo soramina pinularum penetrante, quam minima allatitudinem meridianam solis eo tempore inueneris in sci. partibus arcus, a b. sma illa arcus a e quae erit altitudo tropici hiemalis: similiter faeies cirea solstitium aestitiale ut maximare iunc altitudinem solis meridianam coispnoscas resit arcus a,f. quae erit altitudo tropici restiualis. Arcus ita*e,ffiet distantia duorum tropicorum quaesita. Hanc Ptoleminis reperit 47.
Eraduum. 42. inutorum. O .secundorum. Inuenit enim proportionem eius ad totum circulum, sicut et1 .ad s3. Postea uero minorem inuenerunt.
Nos autem inuenimus arcum a f. F.graduum. s. minutorii,&arciam a.e.
Is graduu. 1 o minutorii. Ideo nunc distantia tropicorsi est grassi 6. sii. ergo declinatio Solis maxima nostro tempore est.23.gra as.minii: Pno posset Io ΣVm.
Cuiuslibet plancti eclipticae, cuius distantia a sectione ecis,pticae & aequatoris data sit, declinationem patefacere. Ex hoc constat quod proportio sinus totius, ad synum maximae decli nationis eclipticae sit sicut proportio sinus dissantiae piartii a se, ctione dicta ad sinum declinationis eiusdem puncti.
Sit circulus meridicinus transicam per puncta impica a i Tnd..Item medietas aequatoris I Qq medietas eclipticae b,e,d.duo puncla tropica, b.
di d.sectio an uatoris de ecliptiem e. punctus in ecliptica sit h. cuius distanistia a sectione scilicet e h. st data. Per polum mundi qui sit z. de puri qui h. vadat arcus circuli magia qui sit Rh t. quaerimus arcum s t. qui est doclinatio ptincit h. Quoniam ab angulo a descendiat duo arcus a e. θc a Ra quorum terminis e. oe T. Feflectantur duo ali j e b.8c z.t. se secantes inh. dc sui arcus omnes circulorum magnorum minores semicis lis,idco pcras huius proportio chordar dupli et a ad chordam duplia b coinposta est ex duabus proportionibus. scilicet chordae dupli et t. ad chorda di pii t h. ci chordam dupli h e. ad chordam dupli hi, sed pra a proportio cognita est,quod arcus a sit quarta circuli,5c arcus a b si mavi a declinat o ter tia quo cognita est, la e h. est arcus datus,& c, b. est quarta circuli, initur ablata tertia a prima remanebit proportio secunda cognita sed e a. ad a,t. proportio est sicut chordae arcus dupli et i ad chordam arcus dupli hii et t. autem cognitus est,quia quarta circus ideo per i s.sexti,& tabilium choris
d. rum t h. cognitus erit, qui querebatur.e Quando uero una proportio fuerit ab alia sul trahenda ut si uelimi
proportionem c. Id di subtrahere a proportione a. ad b ducimus termina secundum aufferendae in primum terminum alterius. 8c prodi scitim sta tuimus terminum primiam res sum. θύ terminum primum atafferendae in secundum asterita & produclum sacimus terminum secundum residuae.
Vt d. in a. ductus faciat ei ex c. ductus in b. producat s. Dico quod pro,
15쪽
portio e. ad s. es: quae remanet post silbtractionem proportionis c. ad dia proportione a. ad b. Quod sic patet. Ex c. in a. fiat h. quia itaq; ex c. in a. hit h.& ex c. in b. sit fergo per i . quinti Euclidis h. ad s. sicut a ad
h. item ex a. in c. st h.5c ex a in d. hie. ergo per eandem h. ad p. s ut ciat d. Sed h. ad s. est composita ex duabuq scilicet h. ad e. oc e. ad f. quare a. ad b est inposta ex eisdem duabus Et cit h. eoisi ut c.ad d.erit a ad h. postaex duabus: scilicet c. ad dia & e. ad f quare ablata proportione c. ad d. a proportione a. ad h. manebit proportio e. ad s. o fuit ostendendis. Quando antem lina suerit alteri addenda: ducimus terminum prismiana unius in terminum primum alterius: productim statuimus ter minum primum compositae. Jiem terminum secundiam unius in termis num seci dum alterius: &produc ira statuimos iermanu primum comis possidi ex eis. Vt si proportio a. ad bi ingenda sit proportioni c. ad d divico a. in c. dc sat e. item h. in cl. 8c fiat g. Dico e. ad g esse proportionem composita ex duabus: scilicet proportione a. ad b. & proportione c. ad θ.
Quod se patebit. Ex a. in d. stat f quod pono medium inter e.8c g. Quia itaq; ex a in c. δἰ d. fiunt e. de s igitur per i s. quinti Euclidis e. ad f sicut c. add. Item ex s. ina. 8ch sunt f de g. igitur per eandem fadg sicuta. ad h. sed e. ad g. proporti est composta ex duabus: scilicet e. ad s. 8cf ad n i itur est etiam coposta in duabus illis equalibus: scilicet a. ad h. de e. ad d. quod erat demonstrandum. Haec quidem de additione 3c subtractione unius proportionis ad alia aut ab alia dicta sunt quod in demonstratione huius propositionis mentiosam est de subtractione proportionii Ntinc uero ueniamus ad correlares. s num alicuius arcus uoco dimidium chordu dupli talis arcus. Qui quid igitur Ptolemaeus in figuris suis,quas Giaeci sectiones uocant, de propo tionibus chordarum arcuum duplorum ostenderit, id etiam per i s. quinii patet uerum esse de proportionibus sinutim talium arcuum. Ideo in s ura huius propositionis proportio simis arcus et, a. Id snum arcus Ab. eli a gregata ex duabus proporti tithus: scilicet situs arcus T. t. ad sinum
sunt aequales: quia quilibct est quarta circuli magni oc cuiuslibet eorum fiaraus est lemidiameter circuli, quam vocamus unum totum. Erit igitur proὰ portio sinus totius ad sinum arcuq a. h. qui est sinus maximae declinationis composita ex duabus: scilicet proportione sinus totius ad sinum Ah oc proportione sinus h e. ad sinum totum. Vtram hariam postremarum primam sereris: nihil interest. Sed duae proportiones: scilicet proportio si s h c. ad sinum totum. 8c proportio sinus totius ad linum ch. sinus efficiunt proportionem sinus h e. ad sinum L h. quod sinus totus medius inter hos sit. ergo proportio sinus totius ad sinum mavimae dcclinationis est, sicut proὰ portio si us arcus h e. ad sinuna arcus t h.Tribus itaq; primis notis per is. sexti notus fiet sinus arcus t h. hinc per tabulam sinuum arcus hil. labitur. Et ita patet ueritas 3c usus correlarii. Ex dictis constat cum suerint sex quantitates,& proportio primae ad secunda sit coposita ex proportionibus tertiae ad quartam Squinta ad sevistam. li quinq; harum quantitatum cognitae: stet de sext., coxnita. Vt sit proportio a. ad h.coposta ex duabus, scilicet c. ad d.ece. ad s. sit autem uni aeu hi ignotum: reliqua sint nota. Dico ipsum etiam notum seri. am nocesse est in talibus sex quantitatibus, ut multiplicatio primat in quartam du
in in sextam sit aequalis multiplicationi secundae in tertiam ductam in quintam
16쪽
in quintam. ει a. enim in d. fiatg. Rexe. in b. sat h. per regulam dictam de lubtractione proportionum constat, quod q. ad h. st sicut e. ad L ergo per i s. sexti ex g. in fisi tantum quantum in h. in e Si iram L fuerit dinorum, cumg. ad lusit ut e ad ecum nh. 8ce.sint nota, set notum. sie. esset ignotum,cum g.ad h.st ut fade. tria uero eorum prima dat dabitur de quartum. Si autem aliqua ex e. 8c d. stet ignota, ponerem loco illar e. tertiam, L quartam Ac agerem uia iam dicta, gnotu nosceretur. Si uero aliqua ex a. dc b. esset ignota, ex et in e. fiat h. ex d. in f fiat 1. per regulam adclitionis proportionum k. ad i. erit ut a. ad b. Et eum Edi l. di altera a. redisint nunciat ec reliqua nota. sic patet propositum. PRO post TIO Nita.
Cuiuslibet arcus ecliptior a sectione aequatoris Ac eclipticae inchoati ascensionem in Sphaera recta ostendere. Hinc manise sum est, quod proportio sinus totius ad sinum complementi ascensonis recte sit, scut proportio sinus complementi declinationis puncti,arcum eclipticae terminantis ad sinu complemen ii talis arcus ecliptic arcus in quam qui test ascensioni recte cor respondet
Ascenso recta alicuius arcus ecliptica uocatur arcus sequinoctialis, qui eum tali arcu eclipticae incipit didesnit oriri in Sphaera recta. Sit igiatur figura superioris propositonis, in ea arcui eclipticar e, h. correspondet ascensio recta quae est arcus e t. haec qiuaeritur. Quia duo arcus descendunt ab angulo a. scilicet a e. N a z.a quibus reflectuntur duo alii Q h. 5c ML se secantes inti. Igitur set is huius,& is. inti proportio snus arcus Aa. adsitum arcus h a. componitur ex duabus, scilicet proportione sinus Rh. ad sinum h, t. eg sinus e. ad sinum e a. Sed quinet arcus sunt noti:scilicet A
h a. uero est maxima declinatio Rh. est complementum declinationis punesi h h, t. est declinatio h, puncti e, a. est quaYta circuli, igitur ξd horum quinco arcuum chordae aut sinus noti sent per tabulas, quare per regulam sex quantitatum sinuse, t. notus fiet, ergo & sinos arcus,qui quaerebatur. Verum hac uia correlarium nonsequitur, sed ira proceden quia per et s. huius proportio sinus e ae ad sinum t. componitur ex duabus: scilicet proὰ portione snus e h. ad sinum b, h. ec proportione sinus ii, z. ad sinum et, ti inm uero sunt nota quia areus Ra Wh Σ,t. sunt quartae circulorum h h. uero completnentum arcus Wh. dati hός uero complementum declinati,nse putarith. dati, ergo per regulam sex quantiratum a t. notus fiet. Ergo residuum de quarta cognitum: quod querebatur. Ex hac patet correlarium: quia proportio sinus totius ad sinum M t. composta est ex duabus: sciaiicet proportione sinus totius ad linum b, h. ec sinus I, 2. ad situm totum, non refert utram harum postremarum proportionum alteri praeposueris. Sequitur enim ut proportio sinus h r. ad sinumh,h staequalis proportionisnus totius ad sinum a t. sed horum quantitatum tres sunt cognitor, igitur di quarta patefiet. Patet igitur ueritas corresarii are usiis eius.
17쪽
Prolixitatem diei, Altitudinem poli, Vmbras Solis, Ascensisones obliquae Sphaerae angulorum,o concursu circuloruprouenientium,uarias habitudines perscrutando exactissime explicati
latitudinem ortus dati piincti ecliptics per arcum semidiurnu talis puncti demonstra re. Vnde palam est, quod proportio sinus totius ad sinum arcus semidiurni alicuius puncti eclipticae sit sicut proportio sinus complemeti declinationis eiusdem punc hi,
ad snum complementi latitudinis ortus eius. . Horiran obliquus seu decliuii; dicitur si pra quem alter polotu muris
di eleuatur. Latitudo ortus alicuius puneii eclipticae isocatur arcus horizontis inter ortum talis puncti θc aequinoctialem interceptus. Arcus semidia Urnus Micuius pucti eclipticae est medietas arcus pareselli talis puncti exiis stentis supra horizontem. Sit in figura cireulus meridiei λ ζα medietas aequatoris a, eig. mesdietas horizontis obliquib e e secans aequatorem suae. polus mundi sub horizonte uel supra sit et punictus eclipticae datus oriatur suprali sellanili
do eius ortus e si transeat arcus circuli magni a polo z.p h.qui sit et lia. a terminis itaque duorum arcuu magnorum descendentiu a T. Re. resediuntur duo et t. ec e h. se secantes saper h. igitur per i . primi huius prorortio sis nus e,a. ad sinum a t. componitur ex duabus, scilicet sportione sinus e b. ad suum b h. 8c proportione sinus h et ad sinum et t. iii 3 autem arcus ex his dati sunt, iam e a. e b. ξc z. t. sunt quartae circulorum a t.uero archin
semidiurnus sed h . complementum declinationis puncti eclipticae, ius ortus est in h. igitur a regulam sex quantitatum notus fiet arcus b, h. cuius complementu est i e. residuum de quaria circuli quod quaerebatur Corretarium uero ex his trahitur. Nam in his sex quatitatibus prima tertia di sexta sunt inter se aequales. Ergo eodem argumento quo superiora corresaria ostensa sunt, sportio primae ad secunda fiet sicut oportio quintae ad quaritam. prima autem est sinus totus secundasnus arcu diurni, quinta sinus complementi declinationis puncti, quarta uero sinus complementi satituis clinis ortus, igitur e . PRO Pos Tro II.
Idem per altitudinem poli cognoscere. Manifesti est igitur quod proportio sinus altitudinis aequatoris ad sinum totum stscut proportio sinus declinationis puncti eclipticae ad sinum latitudinis ortus eiusdem puncti.
Sit figura prior quia proportio sinus Ra. ad sinum a,b. coponitur ex duabus
18쪽
ad sinum e b per is primi huius. Sed quinq; arcus sunt noti: nam Ra. Lec e,b. sunt quartae. a b.aut est complementu altitudinis poli,t.h. uero de elinatio puncti dati,ideo sextus: scilicet l, e. notus set. Correlariti patet eo modo quo priora correlaria patuere: di per conuersam proportionalitate. PRo post Tio II I.
Ex nota quantitate arcus semidiurni alicuius puncti ecliptiem: 8c latitudine ortus eius altitudine poli deprshendere. Cono latitam φ proportio sinus complementi arcus semidiurni ad sinum talis arcus sit composta ex duabus: scilicet proportionestius latitudinis ortus puncti eclipticae ad sinu coplemeti huius latitudinis,& proportione senus altitudinis poli ad sinu totum.
sit iterum prior figuratio Patet Q proportio sinus Q t. ad lina ha. est composita ex duabus: scilicet proportione unus e h. ad sinum b,h. θύ pro portione sinu, b,α ad sinum et,a.sed quin arcus sunt notio scilicete, .coaepsementum arcus semidiurnit a arcus semidiurnus e si latitudo ortus si, complementum huiu , satitudinis oc sexta scilicet M a. quarta circuli. Per regulam igitur sex quantitatum: quinta scilicet sinus hiet. cognita fiet. P Ropos a Tio IIII.
Idem aliter paresaeere. Palam est ergo quod proportio mous totius ad sinu complementi altitudinis poli sit sicut proportio sinus latitudinis ortus ad snu declinationis puncti eclipticae,
correlarium ptimo manifestu est ex correlario secundae huius S conDersa proportionalitate. Cum ita latitudo ortus θe declinatio puncti est. pticae notae sint, fiet de per regulam quatuor numerorum nota vilitudo potii, quae quaerebatur. pnopos ITIO V.
Cuiuscunm puncti eclipticae arcum semidiurnum per alti tudinem poli notificare. Unde proportio sinus altitudinis poli ad finiam complementi eiusdem componitur ex duabus: scili cet proportione sinus complementi declinationis puncti eclipticae ad sinum declinationis eius: 8c sinus differentiae arcus seis mi iurni, R quartae ad sinum totum.
4e In priori figura proportio sinus et,q. ad unum b, a. componitur ex duabus: scilicet proportione sinus et, h. ad sinum i t. 8c proportione snust e. ad si ira e,a. sed qu nin arcus dati sunt nam h. est altitudo poli b a.
complementum cius h. complementum declinationis puncti eclipticae dati I t. declinat o eiusdem, e a. quarta.Ex quibus per regula sex quanae litatum notus fiet arcus t e qui est differentia arcus semidiurni ac quartae circuli quo noto noscetur di arcus semidiurnus. PROPOsITIO VI.
Idem aliter habebis per latitudinem ortus.
Eu prima huiuq proportio sinus h, r. ad sinum h b.est scut promitiosnus totius ad sinum a,t. igitur di
19쪽
Inuentionem disserentiae semidiurni aequalis 3c breuissimi
in omni regione ad quatuor quatitates Sportionales redigere.
Figuratio quintae huius habuit proportione sinus et h. ad sarum b, a. componi ex duabus, scilicet proportione sinus Ah. ad sinum n, t. 8e sinus e ad sinum e a. sed dum h. iuerit punctus ortus tropici Capricorni, sed
quitur ut Rh. 8et t. Ne a. maneant eaedem quantitates in omni regione. Est enim*h.complementum maximae declinationis 1 t. maxima declina
tio e a. quarta circuli. Multi licatio igitur sinus ii, si sti sinum a. faciatia, autem diuisum per snum et h. producat n. Dico quod proportio n. ad Ronum t e. sit sicut proportio sinus b,a. ad sinum et h. s Multiplicatio enim sinus Rh. in sinum L e. faciat m. o regula addidtionis proportionum constat quod i ad O. proportio sit sicut proportio si
nus et b.ad sinum hia. .se m. ad 3.per i s.quinti est ut stius t e. ad n ergo proportio sinus he. ad n.est siciat proportio sinu h. ad senum b a.Ideo pconuersim proportio sinus b a. ad snum et b. est sicut proportio n. ad sinat e. H. uero manebit idem in omni regione propter quantitates Ah,h, t. de Ra. easdem manentes ex quibus productum fuit o Ioco sinum altitudiniupoli in regione qua uolueris duc in Do productum diuide per sinum complementi eiusdem altitudini poli ec euibit sinuq disserentiae semidiurni aqualis de breuissimi in eadem regione. Fietis hoc ingenio tabulae diei longissimi in omni regione compositio facilis.
Quilibet duo paralessi per puncta eclipticae aequalis disan
licea duobus punctis tropicis euntes,secant de horizonte obli quo ab utram parte aequinoctialis arcus aequales5 si asternatim arcus diei unius aequalis arcui noctis alterius. Idem quom hi de paralellis euntihus per puncta eclipticae a duobus punctis aequinoctiorum aequalis distantiar.
Sint talia duo puncta eclipticae linti ad partem septetrionis ab aequaetore alterum ad partem meridici Meridionale oriatur in horizonte obli quo in h. septentrionale in h. Portiones palallesorum per ea euntium sint i h. di in h. quartae circulorum magnorum a polis uenientium sint Ah, t. Si, ksDico arcum hie. ualem ede arcui k dc alternatim arcum unius diei arcui noctis alterius. Nam cum puncti data sunt: ualis distantiae a punctis tropicorumaut aequinoctiorum, oportet per ea quae de declinati ne habentur, ipsa aequalis esse declinationis. Sic arcus h,t. aequalis erit a cui s. ergo ambo paraselli aequalis erunt magnitudinis, quod sinus arcu h,α sit aequalis arcus sinuit h. qim sunt semidiametriparalelsorii ergo pero. primi Theodosii horizon circulus magnus resecat ex eis steria in ariscus aequales. quare arcus m,h. set aequalis arcui nόh. sed n k est arcus semidiei puncti orientis in him h autem arcus seminoctis puncti in ti,orienti . Item his similes sunt arcus a s. ec t m igitur aequales a quibus demptis a.t hc sq. se ausibus, remanenti e. ec e.c aequales, igitur ec residui a,t. R Lm
sunt aequale ec arcus semidiei puncti orientis in h. arcui minotiis pis iacit orientis in h.aequalis,quod cli secundum.
20쪽
spraeterea cum duo arcus e r.t h. sint aequales duobus arcubus 'sis N anguli t. & s. recti, di anguli e. compositi tequales: sequitur per moedum probationis iuxta Minu Euclidis arcum e h. ae rara arcui Q h. quod erat primum. Vel possies hoc primum probare δε ea quae demonstrata iunt in secunda huius, quod ptoportio sinus 5 a. ad linum tonim; est sicut pro portio simis si,t. ad sinumh,e. Item proportio sinus es q. ad totum est sicut proportio sinus s. ad Le. sed a. h. est aequalis es,q. 8c h, t. tequalis h,s. ergo si inus t h. ad li,e. sinum scuti,h. ad e h. quare per nonam quinti h e.ar illaeli; erit e h. Simili uia secundum probabis per ea quae di ita sunt in proba tione praemiis Q proportio m ad sinu he. sit sicut n. ad sinu e, sigitur eci.
Data Solis altitudine,umbram rectam seu uersam phi seruistari. Vnde necesse est, ut proportio stratis altitudinis datae ad sinum complemcnti eius sit sicut proportici logitudinis umbro si ad umbrae suae rectae longitudinem.
Vmbram rectam dicimus umbram quam res orthogonaliter super sum, fietem horizontia erecta efficit in ipsa horizontis supei scie. sed unishram uersam vocamuς umbram quam res horirantis sui ciet aeqiud facinuessicit in supel ficie orthogonali super horizontem, uelut est umbra stili in chilindro pendente. et Sit itaq; circulus altitudinis a b q. cuius centrum ' & propter insenue sibilem quantitatem semidi ametri terrΛ respectu semidiametri orbis Solis
ponimus, ut centru huius circuli sit caput umbrosi facientst umbram sit tale umbrosum e g orthogonaliter superficiei hopirontis in qua si lineanet. insitim, semidiametere, b uidistet superficiei hor et latis, sit etiamnunc die a Solis altitudo arcus b,c duc a linea c e. representatis radium solarem obviet horizonti in et: Vmbroso itaque ne respondet unabra rectanet. dum altitudo solis suetit huec. arcus cadato,d. super l, et perpendi uis aris, disil. super e,a. etiam perpendicularis set per as. θc 3 q. primi sid. aequalis I,e.& cI aequalis d,e.Qd.autem est sinus altitudinis b, c ct s.sinus P complementi eiusdem altitudinis sed per quartam sexti d.a i d, e. pro portio scute,q.ad net sed prima tria data sunt igitur quartum notum siet. Hinc etiam correlarium probatum est Sed de umbra uersa sitim,o. orthos natis super horizontem,cui infixum sit umbrosum aequidistans hori nes, quod sit m e. cuiuς extremitatem e, licut antea reputabimus tanquam centrum circuli astitudinis propter parilitatem stimidiametri terrae respeὰ Pesu semidiametri orbi Solig. Altitudine itaque Sops euis et ite arcu D, c. umbrosi d m.umhra Dersa est min. cum quaeritur. nota autem serox quarista sexti quod e d. ad es,c. proportio hi sicut φ m. ad Nn Sed tria prima sunt data: igitur quartum m,n. notum set.Insertur eκ hoc correlariu illud.
Proportio sinus complemeti altitudinis datae ad sinu altitudinis,est sicut proportio Ionstitudinis umbros ad sua umbra uer-- α sam es umbra solis seu recta seu uersa altitudine Solis coni cere.
Is Sit primo g et. umbra reeti data umbrosi g, e quadrabo utram longitudinem, produc i radix erit linea et, ei se et, e. ad e g proportio sitacut et c. sinus tot us ad ci d. sinuin altitudinis quae quaeritur. Sed tria prima