장음표시 사용
21쪽
B G,qui sunt virinque a diametro,inter se quoque ςqualis . fuerint,vi in 7. & 8. Dico angulos EDF, GDH aequales
esse,nam tunc ex demonstratis ςquales erunt anguli B DE,BD G,ergo si ςqualibus arcubus B E, BGςquales addatur arcus E F,GH, aequales quoque fient arcus B F, B H, &anguli B D F,B D H, Quare si ab ςqualibus angulis B D F, B D Ηςquales austrantur anguli B D E, BD G, squales r manebunt anguli E DF, G D HSed si aequales arcus E F, G H ita constituti sint, quod arcus B E, B G, qui sunt vitinque a diametrb quales non fuerint, fueritque arcus B E minor quam BG , ut in ultimis duabus figuris, Dico angulum GDH angulo E DF minorem este, nam tunc si fiant arcus BI, IK aequales arcubus BE, EF, squales quoque erunt arcus
IK, GH, itemque anguli E D F, I D Κ, Quare ex de-
22쪽
Exercitationes Mathematicae. II
monstratis angulus G D H minor erit quam ID Κ hoe est ED F,quod erat demonstrandum.
ΤHEO REM A RSI a puncto diametri extra circulum
productae in circulum plures cadant rectae lineae, tamen ad easdem partes,cauam Sc conuexam circuli periferiam secantes, si aequales arcus cauos abscinderint, erunt arcus conuexi oppositi inaequales, minorquo semper erit ille, qui diametro proximior est.
Esto circulus,cuius diameter B A, punctum assumptum D,sint primo aequales arcus caui B E, E F continui, ut in
I. figura, Dico arcum convexum AO arcu conuexo Κ Ο minorem esse, constat ex I. figura secundi theor. quando arcus BE, EF aequales fuerint, angulum BD E a
gulo E D F maiorem este,ductis igitur rectis lineis E Κ, E A aequales erunt anguli E KR E AB, & proinde reliqui deinceps E K D, E A D, Quare angulus A E D angulo Κ E D , C hoc
23쪽
hoc est arcus A O arcu Κ Ο minor erit. Sint secundo aequales arcus cabi B E, F G non continui, ut in a. figura, D .co arcum convexum A I arcu conuexo K O minorem esse,constat ex 3. figura secundi theor. qua-do arcus B E,F Ga quales fuerint, angulum BD E angulo F DG maiorem esse, ductis igitur rectis lineis FK, E A , aequales erunt anguli F Κ G,E A B, & proinde reliqui deinceps FKD, E AD , Quare angulus AED angulo KFD , hoc est arcus A I arcu Κ Ο minor erit.,inr tertio aequales arcus caui BE, F G Intercepti, ut in 3 . figura, Dico arcum convexum A I arcu conuexo Κ Ο minorem esse , constat ex s. figura secundi theor. quando arcus B E. FG aequales fuerint, arcus B F, E Gquoq; quat s csse,ergo ex antecedente casu arcus AO minor est qua Κ I, Quare si inaequalibus arcubus A Ο, Κ I addatur communis arcus Io, arcus A I arcu KO minor erit , quod erat demonstrandum.
ET contra si praefatae rectae lineae arcus
conuexos aequales abscinderint, caui Oppositi inaequales erunt, minorque semper erit ille, qui a diametro longius abest.
Sint primo aequales arcus conuexi A Ο. Κ O continui , ut in i . sigura, Dico arcum cauum E F arcu cauo B E mi norem esse,constat ex a. figura secundi theor. quando arcus A Ο, Κ O aequales fuerint, angulum A D Eangulo Κ DE maiorem esse,ductis igitur rectis lineis E KkE A, aequales erunt anguli Κ E D, A E & proinde reliquus E K D reliquo E R D maior,Quare angulus E KF angulo E A B,hoc
24쪽
Exercitationes Mathematicae. I s
est arcus E F arcu B E minor erit. Sint secundo aequales arcus conuexi AI, Κ O non comtinui, ut in 1.figura, eo arcum cauum P G arcu cauo B Eminorem esse,constat ex . figura secundi theor.quando areus A I,Κ Ο aequales fuerunt,angulum A D E angulo F DG maiorem esse,ductis igitur rectis Iineis F Κ,E A,aequales
erunt anguli Κ F D, A E D, proinde reliquus F Κ D reli, quo E A D maior, linare angulus F Κ G angulo β Α B,hoc est arcus F G arcu h Eminor erit.
Sint tertio aequales arcus conuexi A I, Κ O intercepti , ut in 3. figura,Dico arcum cauum FG arcu cauo B E minorem esse , constat ex s. figura secundi theor. quando arcus AI, Κ o aequales fuerint, arcus A O , Κ I quoque ςquales esse , ergo ex antecedente casu arcus E G minor est quam B F, Quare si insqualibus arcubus E G, B F addatur communis arcus FE , arcus F Garcu B E minor erit, quod erat demonstrandum .
25쪽
xo Ioannis Camilli Gloriosi' THEO REM A VII. SI a puncto diametri extra circulum pro
ductae in circulum plures cadant re Mete lineae, tamen ad diuersas partes, cauam dc conuexam circuli periferiam secantes , si aequales arcus cauos abstin derint, erunt arcus conuexi oppositi inaequales, minorquo semper erit ille, qui diametro proximior est, nico tamen excepto casu, quando videlicet ills rectae lineae aequales arcus cauos abscinderint a diametro, nam tunc aequales quoque erunt Sc conuexi.
Prςsens theorema bipartitum est,nam vel inter has reinctas lineas connumeratur diameter, vel no . Pro expeditio. ne primς partis,esto circulus,cuius diameter B A, punctum
assumptum D,rως lin D E,D F,quς cum diametro producta B D utrinque abscindant equalis arcus cauos B E , B Lut in I. figura, DIco arcus conuexos K A, IA quoque
26쪽
Exercitati ciues Mathematicae . Est
iquales esse, constat ex I. figura quarti theor. quando arcus B E,BF quales suerint, angulos B DE, BD F quoque aequales esse, ductis igitur redis lineis ΒΚ, B I,ς quales erutanguli B Κ E, B I F, & proinde reliqui deinceps B Κ D , BID,Quare anguli Κ B D, I B D, hoc est arcus K A, IA inter
se quoque ςquales erunt. Sed si squales arcus caui B E, F G non fuerint utrinque a diair et ro,ut in a.figura, Dico arcum convexum K A arcu conuexo Io minorem este, constat ex 3. & 3. figura quarti theor. quando arcus B E, F G squales fuerint, angulum BD E angulo F DG maiorem esse, ductis igitur rectis lineis ΒΚ, FI, ςquales erunt anguli B ΚE , FIG, & proinde reliqui deinceps BK D, Fl D, Quale angulus Κ B D, angulo IF D hoc hil arcus K A arcu lo minor erit. 'Pro expeditione secundae partis, quando videlicet dia- merer non connumeratur inter prςfatas rectas lineas, si ςquales arcus caui E F, G Hita constituti sint, quod arcus B E, B G, qui sunt utrinque a diametro, inter se quoque squales fuerint, ut in figura, Dico arcus conuexos KL , Io squales esse . constat ex 7. figura quarti theor. quando
arcus E F,GH aequales fuerint,angulos E DF, GD Η quoque ςquales esse,ductis igitur rectis lineis E Κ, GI quales erunt anguli E K F,G I H, & proinde reliqui deinceps E Κ G I D,Quare anguli Κ E D,I G Rhoc est arcus K L, I Ointer
27쪽
inter se quoque aequales erunt. Sed si squales arcus caui EF, GH ita constituti sint quod arcus BE, BG, qui sunt utrinque a diametro, ςqua les non suerint,sueritque arcus B E minor quam B G, ut in A. figura, Dico arcum convexum K L arcu conuexo Iominorem csse; constat ex 9. figura quarti theor. quando arcus E F,GH ςquales fuerint, angulum E D F angulo GD H maiorem esse,ductis igitur rectis lineis E Κ,G I ua. les erunt anguli E Κ F,G I Κ, & proinde reliqui deinceps EΚ D,G I D,Quare angulus Κ E D angulo IG D,hoc est aditus Κ L arcu lo minor erit, quod erar demonstrandum.
ET contra si praefatae rectae lineae ar-
cus conuexos aequales abscinderint , caui Oppositi inaequales erunt , minorquo semper erit ille, qui a diametro longius abest, unico tamen excepto casu, quando videlicet ills rectae lineae aequales arcus Conuexos abscinderint a diametro, nam tunc ae quales quoque erunt Sc caui.
Pr sens theorema bipartitum est , nam vel inter has rectas lineas connumeratur diameter, vel non; Pro expeditione primς partis,esto circulus, cuius diameter B A, punctum assumptum D,rectae lineae DE, D F, quae cum diametro producta B D utrinque abscindant aequales arcus conuexos K A,I A, ut in I. figura, Dico arcus cauos B E, B Fquoque aequales esse, constat ex a. figura quarti theor. . quadr
28쪽
Exercitationes Mathematicae. 23
quando arcus K A, I A aequales fuerint, angulos BDE, BD F quoque aequales esse, ductis igitur rectis lineis B Κ, B I, aequa Ies erut anguli Κ B D,I B D, & proinde reliqui quales B Κ D, B I D,Quare anguli deinceps B Κ E, B I F, hoc est
arcus B E,BF inter se quoque equales erunt. Sed si aequales arcus conuexi Κ A,IO non fuerint utrinisque a diametro,ut in a. figura, Dico arcum cauum FG arcu cauo B E minorem esse,constat ex & 6.figura quarti theo' rema quando arcus K A, IO ςquales fuerint,angulum B DE angulo F D G maiorem esse, ductis igitur rectis lineis BK, FI, aequales erunt anguli Κ B D, I F D, sed FI D maior quam ΒΚ D, Quare angulus FI G angulo BΚ E , hoc est arcus F G arcu B E minor erit. Pro expeditione secundae partis, quando videlicet diosquM
29쪽
aequales arcus conuexi K L,I O ita constituti sint, quod a cus A L, A O, qui sunt utrinque a diametro, inter se quoq; aequales fuerint,vtin 3.figura, Dico arcus cauos EF, GH aequales esse , constat ex S. figura quarti theor. quando arcus K L,I o equales fuerint,angulos E D F, G D H qu que aequales esse,ductis igitur rectis lineis E F,G I, quales erunt anguli Κ E D,I G D, Quare reliqui E K D, G I D, &proinde anguli deinceps E K F, G I H, hoc est arcas E F, GH luter se quoque aequales erunt. Sed si quales arcus conuexi K L, Io ita constituti sint, quod arcus A L, A Ο, qui sunt utrinque a diametro, ςqu les non fuerint,sueritque arcus A L minor quam A ut in .figura,Dico arcum cauum G H arcu cauo E F miaorem esse, constat ex Io. figura quarti theor. quando arcus ΚL, Io ςquales fuerint, angulum E DF angulo GDH maiorem esse,ductis igitur rectis lineis E Κ, G I, squales ersit anguli Κ E D, I G D,sed G I D maior quam ΕΚ D, Quare angulus G I H angulo E ΚF,hoc est arcus GH arcu EF minor erit,quod erat demonstrandum.
Si a puncto diametri extra circulu products in cauam circuli periferiam dus
cadant rectae lineae, arcus cauus interceptus arcu conuexo semper maior erit.
Esto circulus, cuius diame- ter BA,punctum assumptum
inter has rectas lineas con ni numeretur diameter , siue
30쪽
Exercitationes Mathematicae . a sarcu conuexo A G maiorem esse,nam ducta recta A E, erit anguIus B A E maior quam angulus A E G, & proinde arcus B E maior quam A G,quod erat demonstrandum
ΤHEO REM A X. SI ad duo puncta diametri,quorum Vnu
fuerit intra circulum, alterum eXtra , duo constituantur anguli eidem arcui cauo insistentes, angulus intra circulum exteriore semper maior erit.
Esto circuIus,cuius diameter B A,puncta assumpta G, D, arcus C E,Dico angulum C GE angulo CDE maiore esse, nam si recta E G protrahatur ad H , ducanturque rectet EI, C H, ut in I.figura,erunt anguli C H E, CIE inter seqquales,sed CGE maior est quam CHE, hoc est quam CI E,& hic maior quam C DE, Quare angulus C G E angulo CD E multo maior erit, quod erat demonstrandum.