장음표시 사용
41쪽
que eius portionem inter communem terminum dZperptii dicularem a centro ad terminum superiorem quadrantis interceptam , ut in prima figura, recla A Eproi, istionalistest inter subtensam A D & eius mutonem A B, itemque inter diametrum A G&semidiametrum A C.,3 Act aeta inter omnes subtensas ductas a puncto A in quadrantem oppofitum E G & earum portiones inter A &.perpendicularem C E interceptas sHinc deducitur sacilis praxis quomodo ex data subtensa cognoscere possimus secante arcus, seu Ut loquitur Vieta bypothenusam periseris , ut in. a. figura,si data subtensa A D bifariam secetur in I, erit A Isinus arcus AF,& portio intercepta AB erit secans arcus reliqui F E, insuper C B erit tangens eiusdem arcus F E , . aequalis est enim C Bipsi E H. ,
L, Atus quadrati circulo inscripti constatu excestu,q uo a diametro superatur ,δc insuper potente duplum excessum .
Hoc theorema indemonstratum mnitur a Vieta in eodem libro ad canonem Mathematicum, cap. 2 . num. I a. quod a nobis ita demonstratur ἰ . Esto circulus,cuius diameter A C,& a cetro F erigatur normalis F duct que A B, C B erunt latera ale quadrati circulo inscripti, ex A Cabscindat ut A E ipsi A B ς alis, &ponatur E D ad F B parallela, connectaturque A D Apparet manifesto similia esse triangula A B C, D
42쪽
Exercitationex Mathematicae. 37
E Q& obid rectas D E,E C aequales esseded E C est excessus diametri A C super A Ε,hoc est A B latus quadrati, er go Π C potest duplum excessum ,' item duo triangula A BD,A D E rectangula sunt, igitur quadrata A B, B D qualia erunt quadratis A E,E D,Quare ablatis ςqualibus quadratis AB,A ER qualia remanebunt quadrata B D,E D, Ic c5- sequenter squales erunt re B D, E D, sed E D ςquatur excessui E C,ergo B C Iatus quadrati circulo inscripti constat ex B D excessu, quo a diametro superatur, & ex D Cpotente duplum excessum,quod erat ostendendum .
SI ab angulis cuiuscunque trianguli in
: Opposita latera perpendiculares demit-ranrur , Omnes in eodem puncto sese intersecabunt.. Regiomontanus lib. primo de triangulis Prop. 32. dicit se alibi hoc demonstrasse,in quo vero loco id secerit, prorsus ignoro, tamen ego as umptum theorema sic demostr rem Proponatur triangulum A B C,ut in 1 .figura, acutangulum, in a.obtusangulum,& angulus obtusus sit ad C, ab angulo B in latus oppositum AC demittatur normalis BD,ab angulo C in latus oppositum A B normalis CE, mu tyo se secantes in G, demum ab angulo A descendat in latus oppositum B C recta A F,transiens per punctum G,Dico rectam A F ad latus B C perpendicularem esse ἰ circa triangulum ABC describatur circulus A H B C, & nor malis C E protracta secet periseriam in H, ducanturque recti; B H, AH, Manifestum est in primis triangula EG B, DG C esseqquiangula, ideoo; squales esse angulos D C G, E B G,
43쪽
E B G, hoe est A C H, A B G, angulo vero A C H qquatur angulus H B Α, insistunt enim eidem arcui H A, quare am,
guli H B A, A B G quoque inter se aequales erunt,quapronter in triangulo H B G aequales quoque erunt anguli B i νG, B G H,basisque H G bifariam secabitur in Ε, ideoque in altero triangulo H A G anguli A HG,A G H inuicem aequabuntur: Cum itaque angulus B GH squalis sit angulo B H G, itemque angulus A G H angulo A HG, erit totus angulus B G A hoc est F G D toti angulo B Η Α qqualis ainamobrem cum quadrilaterum B H A C' sit in circulo , erunt duo anguli oppositi B H A, B C A duobus rectis squales,ostensus est angulus F G D qqualis angulo B H A , ergo in quadrilatero D G F C duo anguli oppositi F G D,
D C F duobus rectis ςquales quoque erunt, At cuiuslibet quadrilateri quatuor anguli simul sumpti quatuor rectis adaequantur, cumisaque ostensum sit duos oppositos angulos FGD, DCF duobusrectis adaequari quare resiquiduo oppositi G D C,C F G squales erunt duobus rectis, estque G DC rectus per fabricam, ergo reliquus angulus C FGrectus quoque erit,&consequenter recta A F transiens per punctum G,perpendicularis erit ad latus oppositum B CIn triangulo rectangulo hoc satis manifestum est, nulla sane indigemus demonstratione, ut in figura , normalis enim
44쪽
Exercitationes Mathematicae. 3 senim quae ducitur ab angulo B in latus oppositum AC, idε est quod latus BA,normalis quae ducitur ab angulo Cin latus oppositum A B, idem est quod latus C A, quare si ab aflgulo A in latus oppositum B C demittatur normalia AF, haec cum duabus reliquis in eodem puncto A se inter secabunt,veru est igitur in omnibus triangulis perpendiculares ab angulis ductas in opposita latera, in uno,& eodem puncto sese inte secare, quod erat ostendendum
ab uno aequalium angulorum isoscetis trianguli in latus oppositum perpendi cularis demittatur, faciet haec cum basiangulum aequalem dinlidio .msuII Verti
Proponatur triangulum isosceles A B C, ut in r. fgu
ra, a cut angulum, in a. Obtusangulum, cuius aequalia lateis
ta sint A B, A C, & ab angulo B in latus oppositum A Udemittatur perpendicularis BD; Dico angulum B C D esti
45쪽
inlatus oppositum B C, seςans AE in I, & angulus B A Chigariam sectus eriti Cum itaq; in duobus triangulia AtD, iBA E anguli ad E de D aquales sint, nempe recti, te quales . sinat quoque anguli ad I, ergo reliqui duo I AD, i Bl, oc est E AC, DBC inter se quoque aequales erunt, est autem angulus EAC dimidium anguli B A C, quare angulus DB 1 Geiusdem BAC dimidium eri . . . ' ZIn triangulo isoscete rectangulo hoc satis manifestum est,ut in 3. figura,normalis enim B A,quae ducirur ao anguinto B in latias oppositum. AC, idem est quod lati B A, de anguli ABE, BAE inuicem adaequantur, sunt enim ambo semirecti, quod eratiostendendum . i .
rit, Sc a puncto semoriἰs in diametrum descendat normalis alteri diametro para
leta , secabit haec chordam quisantis in duas partes inaequales, quarum maior semia
diametro aequalis erit. Esto circuli quadrans ACB, cuius arcus A B bifariam.
ditidatur in D, T quo clasitavi noluisti. D E, seella
46쪽
Exercitationes Mathematicae. t
dam quadrantis in G, Dico G B semidiametro aequalem esse; Nam ducta semidiametro C D secans ehordam in Rconstituentur tria triangula iso scella DEC, BFC, DFG prioris duo latera DE, CE aequalia sunt, nam anguli 1d C & D quales sunt, nempe semirecti, secundi dum latera CF, B F, quia anguli ad C & B semirecti, demum tertii duo latera FD, FG, quia anguli ad D & G semirecti, Quare si aequalibus lateribus BF, CF addantur aequalia
latera F G, F D, aequales constituentur rectae B G, Cinnempe maior portio chordae adaequabitur semidiametro, quod erat ostendendum.' ,
47쪽
N hac Exercitatione describuntur problemata - let quaedam, partim mihi ad soluendum proposi-τ ta , partim inter legendum a nobis animadueris
DAto triangulo rectangillo. in eius bain se et ram producta punctu invenire, a quo si circulus describatus traqseat is per extremitates hypothenusae. t J
Esto triangulum rectanaulum ABC,'eius basis BCh pollienusa AC bifari m diuidatus in D, eκ qua puncto ad ipsam eandem excitMur normalis,os currens basi. in E,Di
co E punctum esse quaesitum,nam ducta EA,erunt duo la'
48쪽
Exere Italiones Mathematicae. s
tera AD, DE aequalia duobus lateribus C D, D E angulosque continent qsi ales,nempe rectos,ergo & b ses EC, E A inter se quoque aequales erunt, quare si centro B &interuallo E A circulus describatur, necessario transibitis per punctum C; factumque erit quod fieri oportebat.
PROBLEMA Ii IN dati circuli periseria punctum inuentis
re, a quo cum in diametrum perpendicularis cadat, ea datae rectae lineae sit squalis, oportet datam rectam lineam semidia.
metro non esse maiorem. Esto semicirculus ACB, data recta linea D, a puncto A super diametrum AB excitetur perpendicularιε ΛΕ, squalis datae, lines D, & ab E ducatur E C ipsi diametro
Parallela occurrens petii riae in L, Dico C punctum esse quaesit iam, a puncto itaque C cadat ic diametrum norma. lis C F, quare cum parallel grammum sit A C, erit recta C Fr eis EA, hoc eth duae D aequalis, adinvenimus ergo punctum in perifitia, quod quari ebatur.
49쪽
AB angulo dati quadrati lineam rectam
ducere, que secet latus oppositum, de concurrat cum reliquo latere inseriori producto , ita ut triangulum exterius sectum dato quadrato sit aequale.
Hoc problema demonstratum adima enimus a Nicolao Tartalea per longas ambages,itemque ab Alexandro An-dersona tamen generalius & elegantius , sed profecto hoc etiam modo demonstrari potest ; Datum quadratum esto A D, & ab angulo A ducenda sit recta linea, quς propositum absoluat,unes BA, DC dupletur ad E di F, complea. turque rectangulum DE, quod dati quadrati A D duplum erit, amplius super DF applicetur re tangulum DG iqua- Ie rectangulo DE, excedens quadrato GF, demum ab angulo A dati quadrati ducatur recta AI occurrens lateri C, D producto in K, Dico restam AI K absoluere problema, triangulumque externum D IK dato quadrato A Die esse ; Nam cum rectangulum DG aequale factum sit imD E. ablato communi D M,remanet rectangulum B M ae-
50쪽
Exercitationes Mathemticae. 6squale quadrato G F, ergo vi IM ad M G, hoc est D F ad DI, sic FM ad ME, hoc est DI ad IR , sed ob similitudinem triangulorum D IK. BI A, ut D I ad ΙΒ ita DK ad BA, erum ut D F ad D I ita D K ad B A, rectangulumque sub DF, B A, hoc est rectangulum D E rectangulo sub D Κ, DI squale erit, quare ipsorum dimidia, quadratum videlicet Α D & triangulum D IK aequalia quoque inter se erunt, cactum est igitur quod ab initio proponebatur.
EX data recta linea triangulum efforis mare, cuius anguli ita disponantur, υτ nus unius tertia pars sit,& alterius pars di
midia. a Dara ecta linea sit AB fiat quadratum C F, a quo a scindatur pars tertia C M per rectam MG,& EC produc tur ad I, siarquc equales CI, CG,'supetquc EI descripto semicirculo, ad eius periseriam in K extendatur DC, see e Ir postea recta proposita in L ut A L ad L B sit vi K C ad C D, S ex L B auferat ut pars tertia B Η, super L H d scripto circulo,cuius centrum O. accomodetur in eo recta