장음표시 사용
31쪽
Potest & aliter demonstrari prςsens theorema, nam si rectς E GC G protrahantur ad H & Κ,ut in .a .figura, erit angulus D E H maior quam DC Κ, Quare si consideremus duo triangula IC G, ID E,cum anguli aduerticem I ςquales inter se suerint, erit reliquus C G E maior quam reliquus C DE,quod erat demonstrandum .
SI a puncto diametri extra circulum pro
ductae in cauam vel conuexam circuli periferiam plures cadant rectae lines, tamen ad easdem partes,arcus diametro proximior ad suum viciniorem semper minorem habebit rationem,quam angulus ad angulum.
Esto circulus, cuius diameter B A, punctum assumptum D,Dico arcum cauum B E ad arcum cauum E F minorem habere rationem, quam angulus B DE ad angulum E DF
32쪽
Exercitationes Mathematicae. E
protrahantur rectς E G, E A,ut in I .figura,& erunt consti, ruta duo triangula E A D , EG D super communi base ED,cum itaque in triangulo E A D basis E D diuidatur iaI, sitque segmentum D I maius latere contermino DA , erit ex Lemmate quodam Apollonii, quo utitur Ptol. lib. I a. Almagesti cap. I. maior proportio D I ad I E quam anguli D E A ad angulum A D E,& conuertendo maior pr
tortio anguli A D E ad angulum DEA quam IE ad DI, t in reliquo triangulo E G D hasis D E diuiditur in I, estq;
segmentum I E maius latere contermino E G, ergo eadem
ratione maiorerirproportio IE ad DI quam anguli ED Gad anguIus G E D , ex aequo igitur maior erit proportio anguli MI E ad angulum DEA quam anguli E D G ad angulum GED, & conuertendo di componendo minor erit proportio angulorum DEA, A D E, hoc est anguli EAB ad ansulum BDE quam angulorum G ED, EDG , hoc est cinguli F G E ad angulum E D F,& permutando munor erae proportio anguli E A B ad angulum FG E, hoc est arcus caui BE ad arcum cauum EF quam anguli BD E ad angulum E DF
Dico etiam arcum convexum AI ad arcum convexum I G minorem habere rationem qua angulus A DI ad angulum I D G, demonstratum enim est quod arcus cauus BE ad arcum cauum E F minorem habet rationem quam
angulus BD E ad angulum E D F, sed arcus BE, EF se habent ut anguli EA B,F G E, estque angulus E A B ae qualis
33쪽
duobus angulis A E D,A D E,uemque angulus F G E dum hus G E D, G D E , quare mipor erit proportio duorum angulorum A E D, A D E simul ad duos angulos GED , GD E simul quam anguli B D E ad angulum E DF,& per. mutando & diuidendo minor erit proportio anguli A E Dad angulum ADI quam anguli GE D ad angulum ID G, iterumque permutando minor erit proportio anguli qE Dad angulum G ED,hoc est arcus conuexi AI ad arcu convexum I Gquam anguli ΑDI ad angulum I DG , quod erat demonstrandum.
Potestia siter demostrarim sens theorema,exordi edo ab arcubus conuexis,ut in a. ura,nam cu D E ad I emaiorem habent rationem quam anguIus BI Dad angui,
B DI, est conuertendo maior proportio anguli B DI ad angulum B ID, quam I E ad D E, sed I E ad D E maiorem habet rationem quam angulus F DI ad angulum FI D,re aequo igitur maior erit proportio anguIi B DI ad angulum B I D quam anguli F D I ad angulum FI D, & conuertendo di permutando erit minor proportio anguli BI Dad angulum F I D hoc est arcus conuexi B E ad arcum convexum E F quam anguli B D E ad angulum E D F i Dico etiam arcum cauum A I ad arcum cauum I G m,norςm habere rationem quam angulus A DI ad angulum
34쪽
Exercitationes Mathematicae. . asIDG. demonstratum enim est quod arcus convexus BEad arcum convexum E F minorem habet rationem quantia.
angulus B D E ad angulum E D F, sed arcus B E, E F se habent ut anguli B I D, FI D, minor igitur erit proportio anguli BID ad angulum FI D quam anguli BDI ad anguluFDI,& permutando & componendo minor erit proportio anguIi IB A ad angulum 1 F G, hoc est arcus caui A I ad arcum cauum I G quam anguli AD I ad angulum ID G , quod erat demonstrandum.
Si a puncto diametri extra circulu pro
duine in cauam vel conuexam circuli periferiam plures cadant recti lineae,tamen ad diuersas partes utrinque a diametro , aricus diametro proximior ad reliquum sem per minorem habebit rationem quam angulus ad angulum, unico tamen excepto casu, . quando arcus utrinque a diametro aequales fuerint, nam tunc eandem rationem habe
Esto circuIus. cuius diameter B A, punctum assumptum D, recta lineae DE, D F, quae cum diametro producta D Butrinque abscindant aequales arcus BE,B F, Dico arcum BE ad arcum B F eandem habere rationem quam angulus BD E ad angulum BDF, nam tunc aequales quoque erunt anguli BDE, BDF, Quare cum inter arcus di angulos reperiatur proportio aequalitatis, arcus eandem habebunt
35쪽
Sed si furantur duo arcus inaequales B E, B G, steritque arcus B E diametro proximior minor quam B G, Dico a eum BE ad arcum BG minorem habere rationem quam angulus B D E ad angulum B D G, nam timc si fiat a is B F aequalis arcui B E, aequalis quoque e in angulus h DF angulo B DE, At ex demonstratis minor est proportio a cus B F ad arcum F G quam anguli B D F ad angulum F DG, quare componendo & per conuersionem rationis maior erit proportio arcus BG ad arcum B p quam anguli AD G ad angulum BD F,&conuertendo minor erit propor, tio arcus BF hoc est B E ad arcum BG quam anguli B DF hoc est B D E ad angulum BD G, quod erat demonstran
THEO REM A XIII. Si a puncto diametri extra circulum
productae in circulum plures cadantreetae lineae, tamen ad easdem partes,cauam Sc conuexam circuli periferiam secantes, arcus
36쪽
Exercitatioues Mathematicae. 3 acus cauus diametro proximior ad suu cauqviciniorem semper maiorem habebit rati
nem quam arcus convexus ad conueXum.
Reassiimpta figura i. theor. II. Dico arcum cauum B Ead arcum cauum EF maiorem habere rationem quam a cus convexus A I ad arcum convexum I G, demonstrat um
est enim in eo theoremate, quod minor est proportio duo. rum angulorum A E D, A D E simul, hoc est anguli E A Bad angulum A D E, quam duorum angulorum G E D, GD E simul, hoc est anguli F G E ad angulum G D E, quare Per conuersionem rationis& permutando maior erit proportio anguli E A B ad angulum F G E,quam anguli A E Dad angulum G E D, sed anguli E A B, F G E se habent ut arcus caui B E, E F,itemque anguli A E D, G E D ut arcu
conuexi AI, I G, maior ergo erit proportio arcus caui B Ead arcum cauum E F quam arcus conuexi AI ad arcum c uexum, G,quod erat demonstrandum . . .
Potest & alitet demonstrari praesens theorema exordi do ab arcubus conuexis, rea gualpta figura 2.theor. I l. Dico arcu deoue&um B E ad conuexnm E F minorem habere ratioueni qua uauus ΑΙ ad cauum I G,demonstrata est enim in eo theoremate quod maior est proportio anguli
37쪽
guli B DI ad angulum B ID quam anguli FDI ad anginium F I D, quare componendo maior em proportio duo
rum angulorum B DI , BI D simu I, hoe est anguli IB A ad angulum BI D, quam duorum angulorum F DI, FI D simul,hoc est anguli G F I ad angulum FI D, & conuertendo & permutando minor erit proportio anguli BI Dad angulum FI D quam anguli I B A ad angulum G F I,sed anguli B l D,F ID se habent ut arcus conuexi B E, EF,item que anguli I BA, GFI ut arcus caui A I, IR minor ergo erit proportio arcus conuexi B E ad arcum convexum EF quam caui A I ad cauum I G,quod erat demonstrandum.
SI a puncto diametri extra circulum pso
ductae in circulum plures cadant re- Etae lineae, tamen ad diuertas partes utrit que a diametro, cauam & conuexam circuli periferiam secantes , arcus cauus diametro proximior ad reliquum cauum scmper maiorem habebit rationem quam arcus conu xus ad convexum, unico tamen excepto Ca
38쪽
Exectitatione 'Mathemasea quando arcus caui utrinque a diametro uales ierint, nam tunc eandem rationem i
llabe ni & caui dc conueXi. Esto circulus,cnius diameter BA, punctum assumptum D, rectae lineae D E, D F, quae cum diametro producta D Butrinque abscindant squales arcus e auos BE, B F, Dico aris eum cauum B E ad cauum B F eandem habere rationem quam arcea convexus AC, ad convexum A C . nam tune
i , ' squales quoque erunt & cm V ιιic uexi. Quare cum inter arcus Q cauos di conuexos reperia
ximior mlaor quam BR, Dico arcum cauum BE ad cauum Bri maiorem habere rationem, quam arcus convexus Aciad c*nuexum AK. nam tunc si fiat arcus cauus v Fηquasis cauo B E, qqualis quoque ςrit arcus convexus C A conuerto AG, At ex demonstratis maior est proportio arcus caci BF ad cauum F H quam arcus conuexi C A ad convexum, kΚ, quare ςomponendo δe per conuersionem rationis mi isnor erit proportio arcus caui B H ad cauum BF quaqi arsus conuexi AK ad convexum CA, & conuertendo maior erit proportio areus caui B F hoe est e ui B E ad cauum BH, quam arcus conuexi C Α hoc est conuexi RG ad co uc inu M. quod erat demonstrandum. . I
39쪽
N hae exercitatione proponuntur quaedam theo. remata ab autoribus absque demonstratione . ad nos transmissa , & quaedam alia a nobis inter legendum animaduersi ,. v
LAtus quadrati cireulo inscripti est pro
portionale inter hypothenusam peris feriae, & sinum duplum residuae.
Hoe est consectarium insigne apud Vietam in libro illo singulari ad canonε Mathematicum, in fine cap. 33. quod facillimE demonstrari potest; esto circulus, cuius diameter A G, de ex centro C eligatur perpendicularis CE, a pun-m ctoque A duis
40쪽
. Exercitatiohes Mathematicae. 3 s
tiseriae,& A D sinus duplus residuae; sed sertassis aliquibus obscurum videbitur, quomodo A B sit hypothenusa periseriae,& A D sinus duplus residuae,erunt isthaec sane declaranda,assumat ur a. ura, in eaque fiat triangulum rectangulum C E Η, recta C H dicituri Vieta hypothenuia peiseriar siue arcus E F, arcus reliquus p A dicitur periferia residua,ex A in C F demittatur normalis A I,ad circumserentiam in D producta,& erit AI sinus residuae F A, sed quia A D diuiditur bifariam in I , erit AD sinus duplus reliduae F A,Quod autem A B sit aequalis hypothenusae C H, ex eo constat,quia cum E H parallela sit ad C A, angulus E H Caequabitur angulo A C I,sunt& anguli C EH,C I A recti, etgo angulus C A B aequalis erit angulo E C H,quare tri gula C E H,B C A similia erunt, igitur ut C A ad A B, sic EC ad C H,& permutando ut C A ad E C, sic A B ad C H , ac aequales sunt C A, E C, quia semidiametri, ergo A Baequalis quoque erit hypothenusat C H. Redeundo itaque ad primam figuram, Dico quod A Eproportionalis est inter Α Β & A D,nam ducta recta D G , similia erum triangula A B C, A D G,ergo ut A C ad A B, sic A D ad A igitur planum C A G quabitur plano B AD,sed plano C A G squatur duplum quadratum ex A C, hoc est quadratum ex Ariergo quadratum ex A E plano B A D aequale erit, quare A E proportionalis est inter AB& Α D,quod erat ostendendum.
PRaesens theorema proponi potest secundum terminos
comunes, hoc modo, latus quadrati circulo inscriptieit proportionale inter secantem arcus desinum duplum complementi, vel generalius, quadrantis subtensa est proportionalis inter subtensam ab eodem termino ductam at-E a que